1、2023年青岛市市北区中考模拟数学试题一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1. 下列实数是有理数的是（ ）A. B. C. 0.121121112D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 4. 正在热映的春节档电影电影满江红中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图所示的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B
2、. C. D. 5. 如图，的顶点坐标分别为、，线段交轴于点，如果将绕点按顺时针方向旋转90，得到，那么点的对应点的坐标是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，平分交于点E，若则的大小为（）A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）A. B. 1C. D. 8. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线则下列结论：；直线可能与有4个交点若点，点是抛物线上的两点，若，则其中正确的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9. 计
3、算：_10. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_11. 如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩较稳定的是_；如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么甲的方差变化情况是_（填“变大”“变小”或“不变”）12. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是_min13. 如图，在扇形中，点C是上一动点，连接，过点A作于点D，连接当的长度最小时，图中阴影部分的面积为_14.
4、 如图，已知矩形中，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：；折痕的长度的取值范围为；当四边形为正方形时，为的中点；若，则折叠后重叠部分的面积为其中正确的是_（写出所有正确判断的序号）.三、作图题（本题满分4分）15 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16. （1）化简：（2）解不等式组17. 由于疫情爆发，张明一家小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购
5、买生活必需品.为增添生活乐趣，张明制作了下面两个可以自由转动的转盘：A转盘被分成如图所示的三份（一个半圆，两个四分之一圆），并分别标有数字1，2，3；B转盘被等分成三份，分别标有数字1，2，3（1）A转盘转出-3的概率是 （2）张明让爸妈两人同时转动A、B两个转盘，规则如下：当转盘停止转动时（两个指针只要有一个指针停在分割线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在标有数字扇形区域），如果指针所指的数字之和为正数，则爸爸去；如果指针所指的数字之和为负数，则妈妈去请问，这个游戏对双方公平吗？说明理由18. 安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的
6、截面示意图，已知米，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角且米，求匾额悬挂的高度的长（结果精确到0.1米，参考数据：，）19. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？（2）“篮球运球”的中位数落在_等级；（3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平
7、均成绩；（4）青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由20. 如图，已知ABCD，EF为BC边上的垂直平分线，且（1）求证：；（2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由21. 长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为（1）当时，解答：求与的函数关系式（不写的取值范围）；当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排
8、尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程22. 综合与实践知识再现如图，中，分别以、为边向外作的正方形的面积为、当，时，_问题探究如图，中，（1）如图，分别以、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、，则、之间的数量关系是_（2）如图，分别以、为边向外作等边三角形的面积为、，试猜想、之间的数量关系，并说明理由实践应用（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点求证：；（2）如图，分别以图中边、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、
9、为直径的半圆柱的体积分别为、若，柱体的高，直接写出的值23. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系着陆坡AC的坡角为30，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，
10、其解析式为（1）求b、c的值；（2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆求x关于t函数解析式；当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？24. 如图1，在等边中，动点从点出发以的速度沿匀速运动，动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动设运动时间为，过点作于，交边于，线段的中点为，连接（1）当时，求的值；（2）在点、运动过程中，点、也随之运动，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求的长；（3）连接，设四边形的面积为，求与
11、之间的函数关系式；（4）如图2，将沿直线翻折，得，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值2023年青岛市市北区中考模拟数学试题一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1. 下列实数是有理数的是（ ）A. B. C. 0.121121112D. 【答案】D【解析】【分析】根据实数的分类逐项分析即可求解【详解】A. ，是无理数，故该选项不符合题意； B. ，是无理数，故该选项不符合题意； C. 0.121121112，是无理数，故该选项不符合题意； D. ，是有理数，故该选项符合题意； 故选：D【点睛】本题考查了实数的分类，无理数的定义，掌握“无限不循环的小数是无理数”是解题的关键
12、2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项合题意；D、是轴对称图形，不
13、是中心对称图形，故D选项不合题意故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7【详解】解：0.0000003 故选A【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a10-n，其中1|a|10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定4. 正在热映的
14、春节档电影电影满江红中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图所示的几何体，该几何体的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图的定义，从正面看到的是主视图，结合题意，正中间是个正方形，据此即可求解【详解】解：依题意，该几何体的主视图是正中间是个正方形，故选：C【点睛】本题考查了三视图的定义，掌握三视图的定义是解题的关键5. 如图，的顶点坐标分别为、，线段交轴于点，如果将绕点按顺时针方向旋转90，得到，那么点的对应点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求得点的坐标，过点
15、作于点，过点作轴于点，证明，进而即可求解【详解】解：、设直线的解析式为，则解得：解得：，令，解得：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，将绕点按顺时针方向旋转90，得到，又， ，即，故选：A【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形，求得点的坐标是解题的关键6. 如图，四边形内接于，平分交于点E，若则的大小为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用根据圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，求出与的度数，再根据三角形内角和定理，即可求解【详解】解：四边形内接于，平分，故选：D【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆
16、内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键7. 如图，在矩形中，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质得出，求出，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可【详解】解析：四边形是矩形，点E、F分别为、的中点，由勾股定理得：，解得：，故选：A【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键8. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线则下列结论：；直线可能与有4个交点若点
17、，点是抛物线上的两点，若，则其中正确的有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线，即可得到正确；根据二次函数图象与轴的一个交点为，所以时，即，进一步推导即可证明错误；根据时，及对称轴为直线，得到，进一步推导即可证明错误；根据由二次函数的图象作出的图象，即可证明正确；点，点是抛物线上的两点，时不能证明，错误；【详解】二次函数图象开口向上，二次函数图象与轴交于负半轴，对称轴为直线，正确；二次函数图象与轴的一个交点为，当时，即，错误；当时，即，错误；由二次函数的图象可知的图象为，直线可能与有4个交点，正确；若点，点
18、是抛物线上的两点，时不能证明，错误；和正确故答案为A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数，熟悉二次函数图象开口、与轴的交点、对称轴的关系式与系数的关系是解题的关键第卷（共96分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9. 计算：_【答案】【解析】【分析】根据负整数指数幂和二次根式乘除运算法则计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了实数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键10. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_【答案】且【解析】【分析】由于关于的一元二次方程有两个实数根，根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到且，即，然后
19、解不等式组即可得到的取值范围【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，且，即，解得且，的取值范围为且故答案为：且【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根也考查了不等式的解法11. 如图，是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩较稳定的是_；如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，那么甲的方差变化情况是_（填“变大”“变小”或“不变”）【答案】 . 乙 . 变小【解析】【分析】根据统计图得出甲和乙的成绩，进而计算方差，比较即可求解【详解】解：甲的成绩为，平均分为，甲的成绩的方差为：乙的成绩为平
20、均分为，乙的成绩的方差为：则乙的成绩更稳定，如果甲又连续射击了5次，且环数均为9环，则甲的成绩的方差为：那么甲的方差变化情况是变小，故答案为：乙、变小【点睛】本题考查了求方差，方差的意义，条形统计图，掌握方差的求法与意义是解题的关键12. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是_min【答案】【解析】【分析】根据题意求得正比例函数解析式与反比例函数解析式，进而得出有效作用时间，即可求解【详解】解：依题意，时，喷洒消毒液
21、时教室空气中的氯含量与时间成正比例，设函数解析式为，将点代入得，解得：，解析式为，当时，当时，与成反比例，设解析式为，将点代入得，解得，解析式为，当时，此次消杀有效作用时间是，故答案为：【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键13. 如图，在扇形中，点C是上一动点，连接，过点A作于点D，连接当的长度最小时，图中阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】由题意可知点D在以AO为直径的圆上运动，设圆心为P，则当B、D、P三点共线时，BD的长度最小过点D作于点E，于点F根据题意可求出，从而可利用勾股定理求出易证四边形OFDE为矩形，即得出，根据平行线截线段成比例
22、可得出，代入数据可求出，从而可求出最后根据结合扇形面积公式和三角形面积公式即可求解【详解】， 点D在以AO为直径的圆上运动，设圆心为P，当B、D、P三点共线时，BD的长度最小如图，过点D作于点E，于点F，AO为直径， ，在中，又，四边形OFDE为矩形，即，故答案为【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线截线段成比例以及扇形的面积公式理解点D在以AO为直径的圆上运动，设圆心为P，当B、D、P三点共线时，BD的长度最小是解题关键14. 如图，已知矩形中，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：；折痕的
23、长度的取值范围为；当四边形为正方形时，为的中点；若，则折叠后重叠部分的面积为其中正确的是_（写出所有正确判断的序号）.【答案】【解析】【分析】由题意，逐一判定，由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；根据题意点在线段上（不与两端点重合），假设F分别在C、D两点，即可得出其取值范围；由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN的面积和MEO的面积，即可得解；【详解】由折叠性质，得，BG=FG，BN=FNBFMNBIH=MIG，HBI=GMIMHN=BCF=90故结论正确；假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3；假设F与D重合时，
24、MN取得最大值，MH=3，BC=4，点在线段上（不与两端点重合）折痕的长度的取值范围为故结论正确；四边形为正方形MH=HC=3BH=1令，则，（不符合题意，舍去），即为的中点故结论正确；，AB=CD=3DF=1，CF=2BG=GF=HN=FGNMHNGN=BH=BC-HN-NC=4-=1EMO=CNF，MEO=NCF=90MEONCFEO=折叠后重叠部分的面积为：故结论正确；故答案为：.【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质以及相似三角形的综合运用，熟练掌握，即可解题.三、作图题（本题满分4分）15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落
25、在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆【答案】见详解【解析】【分析】先过点作直线的垂线，垂足为点，再在直线上截取，连接，接着作的角平分线交于点，然后以点为圆心，为半径在内部作半圆即可【详解】解：如下图，和半圆为所作【点睛】本题主要考查了作图复杂作图，解题关键是熟练掌握基本图形的性质，结合几何图形的特征把复杂作图分解为基本作图四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16. （1）化简：（2）解不等式组【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算，先计算除法后计算加法即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
26、中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集【详解】（1）；（2）解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为：【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键17. 由于疫情爆发，张明一家小区被管控，规定每两日每户可派一人出小区购买生活必需品.为增添生活乐趣，张明制作了下面两个可以自由转动转盘：A转盘被分成如图所示的三份（一个半圆，两个四分之一圆），并分别标有数字1，2，3；B转盘被等分成三份，分别标有数字1，2，3（1）A转盘转出-3的概率是 （2）张明让爸妈两人同时转动A、B两个转盘，规则如下：当转盘停止转动时（两个指针只要有一个指针停在分割线上时，重新转动两个转
27、盘，直到指针停在标有数字的扇形区域），如果指针所指的数字之和为正数，则爸爸去；如果指针所指的数字之和为负数，则妈妈去请问，这个游戏对双方公平吗？说明理由【答案】（1） （2）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此求解即可【小问1详解】根据题意可知：“”占整个面积的，A转盘转出-3的概率是故答案为：【小问2详解】根据题意，盘可以看成1，2，3，3四个数字组成，则每个数字被选中的可能性相等，列表如下，BA0144105
28、54500由表知，共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数有3种结果，指针所指的数字之和为负数有5种结果，所以爸爸获胜的概率为，妈妈获胜的概率为这个游戏对双方不公平【点睛】本题考查的是求概率，游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比18. 安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图，已知米，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角且米，求匾额悬挂的高度的长（结果精确到0.1米，参考数据：，）【答案】4.9米【解析】【分析】通过作
29、垂线构造直角三角形，在RtBCN中，求出CN、BN，在RtABE中用AB的代数式表示AE，再根据ADC45得出CFDF，列方程求解即可【详解】解：过点C作CNAB，CFAD，垂足为N、F，如图所示：在RtBCN中，CNBCsinMBC2sin3420.56=1.12（米），BNBCcos3420.831.66（米）在RtABE中，AEABtanABEABtan34AB0.670.67AB，ADC45，CFDF，BNABADAF，即：1.66AB0.67AB4.41.12，解得，AB4.9（米）答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9米【点睛】本题主要考查直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角
30、形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法19. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？（2）“篮球运球”的中位数落在_等级；（3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩；（4）青岛市今年参加体育中考的人数
31、约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由【答案】（1）300人；165人；（2）良好；（3）7.71分；（4）能，29750人【解析】【分析】（1）先求得参加“篮球运球”的人数，占本次测试人数的35%，可求出本次测试的人数；再求得参加“足球运球”的人数，即可求得参加“排球垫球”测试的人数；（2）根据中位数的意义，确定处在53位是什么等级即可；（3）利用加权平均数的概念计算平均分；（4）估计总体8.5万人中大约有35%的人选择“篮球运球”，计算即可【详解】（1）参加“篮球运球”测试的人数为：10+25+40+30=105(人)，参加
32、测试的人数为：1050.35%=300人，参加“足球运球”测试人数为：30010%=30(人)，参加“排球垫球”测试的人数为：300-105-30=165人；（2）将参加“篮球运球”测试的105名学生的成绩从大到小排列后，处在第53位的两个数都是良好等级，因此中位数是良好等级，故答案为：良好；（3）参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩为：（分）；（4）估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有：（人）【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的意义，中位数的概念，平均数的定义，样本估计总体等知识，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的前提20. 如图，已知ABCD，EF为BC边上的垂直平分
33、线，且（1）求证：；（2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由【答案】（1）见解析； （2）四边形ABDF是矩形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据垂直平分线可得，根据已知条件可得，进而可得是等边三角形，由平行四边形对角相等可得，根据即可证明ABDCEF；（2）根据平行四边形的性质可得，进而根据已知条件可得，进而可得，即可判断四边形ABDF是平行四边形，根据（1）的结论可得，根据等边三角形的性质可得，可得，进而即可判断四边形ABDF是矩形【小问1详解】证明： E为BC边上的垂直平分线，ABD90 BF=BC是等边三角形, BC=2AB，四边形是平行四边形在与中【小问2详解】如图，
34、连接四边形是平行四边形是等边三角形，四边形平行四边形又四边形是矩形【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键21. 长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为（1）当时，解答：求与的函数关系式（不写的取值范围）；当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）
35、（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程【答案】（1）；（2）与的函数关系式为：，此时队伍在此过程中行进的路程为【解析】【分析】（1）排头与O的距离为S头（m）等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；（2）甲这次往返队伍的总时间为T
36、（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度返回时间【详解】（1）排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），S头=2t+300；甲从排尾赶到排头的时间为300（2vv）=300v=3002=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t150）s，S甲=S头S甲回=2150+3004（t150）=4t+1200；因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系
37、式为S甲=4t+1200（2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400；因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误22. 综合与实践知识再现如图，中，分别以、为边向外作的正方形的面积为、当，时，_问题探究如图，中，（1）如图，分别以、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、，则、之间的数量关系是_（2）如图，分别以、为边向外作的等边三角形的面积为、，试猜想、之间的数量关系，并说明理由实践应用（1）如图，将图
38、中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点求证：；（2）如图，分别以图中的边、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、为直径的半圆柱的体积分别为、若，柱体的高，直接写出的值【答案】知识再现 ；问题探究：（1）；（2）；理由见解析；实践应用：（1）见解析；（2）【解析】【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；(2)过点D作DGBC交于G，分别求出，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明HNP
39、是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则，再由，可证明(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求【详解】知识再现：解：中，故答案为：；问题探究：解：中，故答案为：；解：中，过点作交于，在等边三角形中，同理可得，；实践应用：证明：设，是等边三角形，是等边三角形，是等边三角形，四边形是平行四边形，是直角三角形，；解：设，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，是直角三角形，【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性
40、质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键23. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系着陆坡AC的坡角为30，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解
41、析式为（1）求b、c的值；（2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆求x关于t的函数解析式；当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？【答案】（1）， （2） 时，最大，为【解析】【分析】（1）根据题中所给信息，得出，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论；（2）根据题意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运
42、动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为【小问1详解】解：过作于，于，如图所示：，着陆坡AC的坡角为30，即，在中，则，即，将，代入得，解得；【小问2详解】解：由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，解得，水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；作轴交抛物线于，交于，如图所示：设直线的表达式为，将，代入得，解得，即直线的表达式为，由（1）知抛物线表达式为，运动员离着陆坡的竖直距离，由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键24. 如图1，在等边中，动点从点出发以的速度沿匀速运动，动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动设运动时间为，过点作于，交边于，线段的中点为，连接（1）当时，求的值；（2）在点、运动过程中，点、也随之运动，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由，若不发生变化，求的长；（3）
