1、江苏省无锡市等4地2023届高三三模数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.B.C.D.2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）A.B.C.1D.23.已知，是空间中两条不同的直线，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步.假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过（
2、）天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍.（参考数据：，）A.82B.84C.86D.885.已知，若，则（ ）A.B.C.D.6.已知，为两个随机事件，则（ ）A.0.1B.C.0.33D.7.已知点在双曲线上，到两渐近线的距离为，若恒成立，则的离心率的最大值为（ ）A.B.C.2D.8.设，则A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在中，若，则（ ）A.B.C.D.10.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.的
3、图象关于直线对称D.的图象关于点对称11.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A.B.在区间上单调递增C.在区间上有且仅有2个极小值点D.在区间上有且仅有2个极大值点12.用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图，在正三棱台中，已知，则（ ）A.在上的投影向量为B.直线与平面所成的角为C.点到平面的距离为D.正三棱台存在内切球，且内切球半径为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数满足：为偶函数；的图象过点；对任意的非零实数，.请写出一个满足上述条件的函数_.14.已约是一组平面向量，记，若，则满足的的值为_.15.已
4、如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为_.16.定义：若函数图象上存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称是“重切函数”，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）记为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求除以3的余数.18.（12分）已知的内角，所对的边分别是，且_.在；这三个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.（1）求；（2）若，点为的中点，点满足，且，相交于点，求.（注：
5、如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19.（12分）如图，已知在平面四边形中，现将沿翻折到的位置，使得.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上，当二面角的大小为时，确定点的位置.20.（12分）为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织10000名学生（其中男生4000名，女生6000名）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有2500名，女生中有潜力的学生有3500名，完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关?是否有潜力性别合计男生女生有潜力没有潜力合计（2）经统计，男生成绩的均值为80，
6、方差为49，女生成绩的均值为75，方差为64.（）求全体参赛学生成绩的均值及方差；（）若参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在的学生人数.参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828若，则，.参考公式：，.21.（12分）已知，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若直线交于，两点，交于，两点，求证：.22.（12分）已知函数.（1）求的极值；（2）求证：.数学参考答案 2023.5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ACABCBAD二、选择题：本题共4小题，每小
7、题5分，共20分.题号9101112答案ACDADACBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（答案不唯一） 14.5或6 15.3 16.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）解：（1）因为，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以，即，所以，由可得，即，所以.（2）由（1）可得，则，所以，所以所以除以3的余数为2.18.（12分）解：（1）若选择条件：因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，又因为，所以.若选择条件：因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以.若选择条件：因为，所以由余弦定理得，即，因为，所以，所以，又因
8、为，所以.（2）法一：因为为中点，点满足，所以，.因为，所以，所以，故.又因为与的夹角即，所以.法二：以为原点建立平面直角坐标系（如图），则，由可知.联立直线，的方程解得，所以.19.（12分）解：（1）取线段的中点，在中，因为，所以，.在直角中，故.故，所以，从而，即.又，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为，所以以点为坐标原点，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系（如图）.由题意可得，.因为点是棱上点，设，则可得点.设平面的法向量，所以，取.因为平面，故可取平面的法向量，设二面角大小为，则，则，解得（舍去）或，所以点是线段上靠近点的三等分点.20.（12分）解：（1）列联
9、表如下：是否有潜力性别合计男生女生有潜力250035006000没有潜力150025004000合计4000600010000零假设为：学生是否有潜力与性别无关，根据列联表中的数据，得，我们推断不成立，即有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关.（2）（）假设男生成绩为，女生成绩为，则.因为，即，即，所以（或者直接用公式计算：）（）由，得，所以这次考试中成绩在的学生大约有人.21.（12分）解：（1）设，则，将，代入，得将代入，得，即，又因为所以，所以，所以的方程为.（2）设中点为，中点为.当垂直轴时，由对称性可得；当不垂直轴时，设，将直线的方程代入，得，所以，即，同理，由此可知.22.（12分）解：（1），设，所以在上单调递增.又，所以当时，；当时，.又因为对恒成立，所以当时，；当时，.即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，没有极小值.（2）由（1）可知，所以当且仅当，取“”.由（1）得，累加得；由得，累加得.综上所述，.
