1、2019 年甘肃省张掖市高台县中考数学二模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1 （3 分）下列计算结果等于 x3 的是（ ）Ax 6x2 Bx 4x Cx+x 2 Dx 2x2 （3 分）某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱） ，该几何体的俯视图是（ ）A B C D3 （3 分）如图，已知 ABDE，ABC 75，CDE145，则BCD 的值为（ ）A20 B30 C40 D704 （3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 2+x2x 4 Bx 8x2x 4 Cx 2x3x 6 D （x ） 2x 205 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0
2、 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak4 Bk4 Ck4 Dk 46 （3 分）如图，在ABC 中，C35，以点 A，C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD， BAD60，则ABC 的度数为（ ）A50 B65 C55 D607 （3 分）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是（ ）A （322x） （20x）570B32x +220x3220570C （32x） （ 20x）3220570D
3、32x+220x2x 25708 （3 分）如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，菱形 ABCD 的周长为 36，则 OH 的长等于（ ）A4.5 B5 C6 D99 （3 分）如图，已知直线 y1k 1x+m 和直线 y2k 2x+n 交于点 P（1，2） ，则关于 x 的不等式（k 1k 2）xm+ n 的解是（ ）Ax2 Bx1 C1x2 Dx 110 （3 分）如图，AB 与O 相切于点 C，OAOB，O 的直径为 6cm，AB6 cm，则阴影部分的面积为（ ）A BC D二填空题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分）11 （
4、4 分）若使代数式 有意义，则 x 的取值范围是 12 （4 分）已知两个角的和是 6756，差是 1240，则这两个角的度数分别是 13 （4 分）已知菱形的周长为 20cm，一条对角线长为 6cm，则这个菱形的面积是 cm214 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 15 （4 分）如图，ABC 内接于O，若OAB 32，则C 16 （4 分）有七张正面分别标有数字1、2、0、1、2、3、4 的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 m，则使关于 x 的方程 x22（m 1）x+m
5、 23m0 有实数根，且不等式组 无解的概率是 17 （4 分）抛物线 yx 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程x 2+bx+c0 的解为 18 （4 分）如图，在ABC 中，ACB 90，AC 1， AB2，以点 A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交 AB 边于点 D，则弧 CD 的长等于 （结果保留 ）三解答题（共 5 小题，满分 40 分）19 （8 分） （1）计算：4sin60| 1|+（ 1） 0+ ；（2）解不等式组 ，并写出该不等式组的最大整数解20 （8 分）如图，已知ABC，请用圆规和直尺作出ABC 的一条中位线 EF（不写作法，保留作图痕迹） 2
6、1 （8 分）如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60，沿山坡向上走到 P 处再测得点 C 的仰角为 45，已知 OA100 米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i1：2，且 O、A、B 在同一条直线上求电视塔 OC 的高度以及此人所在位置点 P 的铅直高度 （测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）22 （8 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交AB， CD 边于点 E，F （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长23 （8 分）某超市对今年“元旦”期间销售 A、B、C
7、 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图根据图中信息解答下列问题：（1）该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A 品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度；（2）补全条形统计图；（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋 1500 个，请你估计这个分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？四解答题（共 4 小题，满分 48 分）24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y12x 的图象与反比例函数 y2 的图象交于 A（1，n） ，B 两点（1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；（2）观察图象，
8、请直接写出满足 y2 的取值范围；（3）点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若POB 的面积为 1，请直接写出点 P 的横坐标25 （12 分）如图，O 为菱形 ABCD 对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的O与 BC 相切于点 M（1）求证：CD 与 O 相切；（2）若菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，求O 的半径26 （12 分）某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价 0.
9、5 元，每天可多销售 4 件，那么每天要想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？27 （12 分）如图，已知二次函数 yax 2+bx+4 的图象与 x 轴交于点 B（2，0） ，点C（8，0） ，与 y 轴交于点 A（1）求二次函数 yax 2+bx+4 的表达式；（2）连接 AC，AB，若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B，C 重合） ，过点 N 作NMAC，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求 N 点的坐标；（3）连接 OM，在（2）的结论下，求 OM 与 AC 的数量关系2019 年甘肃省张掖市高台县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 3
10、0 分，每小题 3 分）1 （3 分）下列计算结果等于 x3 的是（ ）Ax 6x2 Bx 4x Cx+x 2 Dx 2x【分析】根据同底数幂的除法、乘法及同类项的定义逐一计算即可得【解答】解：A、x 6x2x 4，不符合题意；B、x 4 x 不能再计算，不符合题意；C、x+x 2 不能再计算，不符合题意；D、x 2xx 3，符合题意；故选：D【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法及同类项的定义2 （3 分）某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱） ，该几何体的俯视图是（ ）A B C D【分析】找到从上面看所得到的图形即可【解答】解：空心圆柱由上向下看，
11、看到的是一个圆环，并且大小圆都是实心的故选：D【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图解答此题时要有一定的生活经验3 （3 分）如图，已知 ABDE，ABC 75，CDE145，则BCD 的值为（ ）A20 B30 C40 D70【分析】延长 ED 交 BC 于 F，根据平行线的性质求出MFCB75，求出FDC35，根据三角形外角性质得出CMFCMDC，代入求出即可【解答】解：延长 ED 交 BC 于 F，如图所示：ABDE ，ABC75，MFCB75，CDE145，FDC18014535，CMFCMDC753540，故选：C【点评】本题考查了三角形外角性质，平行线的性
12、质的应用，解此题的关键是求出MFC 的度数，注意：两直线平行，同位角相等4 （3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 2+x2x 4 Bx 8x2x 4 Cx 2x3x 6 D （x ） 2x 20【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）原式2x 2，故 A 不正确；（B）原式x 6，故 B 不正确；（C）原式x 5，故 C 不正确；（D）原式x 2x 20，故 D 正确；故选：D【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型5 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak4 Bk4 Ck4
13、 Dk 4【分析】根据判别式的意义得4 24k0，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得4 24k0，解得 k4故选：C【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根6 （3 分）如图，在ABC 中，C35，以点 A，C 为圆心，大于 AC 长为半径画弧交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD， BAD60，则ABC 的度数为（ ）A50 B65 C55 D60【分析】由作图可知 MN 是 AC 的垂直平分线，可得 DADC，据
14、此可知DACC35，再根据 B180BAD DACC 可得答案【解答】解：由作图可知 MN 是 AC 的垂直平分线，DADC，则DACC35，BAD60，B180BAD DACC18060353550，故选：A【点评】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的尺规作图及等腰三角形的性质、三角形的内角和定理7 （3 分）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是（ ）A （322x） （20x）570B32x +220x3220570C （32x）
15、 （ 20x）3220570D32x+220x2x 2570【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为 xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程【解答】解：设道路的宽为 xm，根据题意得：（322x） （20x ）570，故选：A【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程8 （3 分）如图所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，菱形 ABCD 的周长为 36，则 OH 的长等于（ ）A4.5 B5 C6 D9【分析】可先求得 AB 的长，再根
16、据三角形中位线定理可求得 OH 的长【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，且周长为 36，ABBCCDAD9，又O 为 BD 中点，H 为 AD 的中点，OH 为ABD 的中位线，OH AB4.5，故选：A【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直平分是解题的关键9 （3 分）如图，已知直线 y1k 1x+m 和直线 y2k 2x+n 交于点 P（1，2） ，则关于 x 的不等式（k 1k 2）xm+ n 的解是（ ）Ax2 Bx1 C1x2 Dx 1【分析】根据图形，找出直线 l1 在直线 l2 上方部分的 x 的取值范围即可【解答】解：由图形可知，当 x1 时，k
17、1x+mk 2x+n，即（k 1k 2）xm+n，所以，关于 x 的不等式（k 1k 2）xm +n 的解集是 x1故选：B【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键10 （3 分）如图，AB 与O 相切于点 C，OAOB，O 的直径为 6cm，AB6 cm，则阴影部分的面积为（ ）A BC D【分析】连接 OC，如图，先根据切线的性质得 OCAB，再根据等腰三角形的性质得ACBC AB3 ，AB，接着利用锐角三角函数计算出A30，从而得到AOB120，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积S AOB S 扇
18、形 进行计算即可【解答】解：连接 OC，如图，AB 与O 相切于点 C，OCAB ，OAOB ，ACBC AB3 ，AB，在 Rt AOC 中， tanA ，A30，AOB120，阴影部分的面积S AOB S 扇形 6 3 （9 3）cm 2故选：C【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了扇形的面积公式二填空题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分）11 （4 分）若使代数式 有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案【解答】解：分式 有意义，x 的取值
19、范围是：x +20，解得：x2故答案是：x2【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键12 （4 分）已知两个角的和是 6756，差是 1240，则这两个角的度数分别是 4018、2738 【分析】设这两个角的度数为 x、y，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可【解答】解：设这两个角的度数为 x、y，则 ，解得：x4018，y 2738，故答案为：4018、2738【点评】本题考查了角的计算和度、分、秒之间的换算，能根据题意列出方程组是解此题的关键，注意：16013 （4 分）已知菱形的周长为 20cm，一条对角线长为 6cm，则这个菱形的面积是 24 cm2【分析
20、】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解【解答】解：如图，在菱形 ABCD 中，BD6菱形的周长为 20，BD6，AB5，BO 3，AO 4，AC8面积 S 6824故答案为 24【点评】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大14 （4 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+4x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 k5 且 k1 【分析】根据一元二次方程有实数根可得 k10，且 b24ac164（k1）0，解之即可【解答】解：一元二次方程（k1）x 2+4x+10 有实数根，k10，且 b24ac 164（k 1）0，解得：k5 且 k1
21、，故答案为：k5 且 k1【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键15 （4 分）如图，ABC 内接于O，若OAB 32，则C 58 【分析】由题意可知OAB 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出AOB，再利用圆周角定理确定C【解答】解：如图，连接 OB，OAOB ，AOB 是等腰三角形，OABOBA，OAB32，OABOBA32，AOB116，C58故答案为 58【点评】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解决和圆有关的题目时往往要添加圆的半径16 （4 分）有七张正面分别标有数字1、2、
22、0、1、2、3、4 的卡片，除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 m，则使关于 x 的方程 x22（m 1）x+m 23m0 有实数根，且不等式组 无解的概率是 【分析】根据判别式的意义得到4（m 1） 24（m 23m）0，解得 m1；解不等式组得到1m3，满足条件的 a 的值为1，0，1，2，3，然后根据概率公式求解【解答】解：一元二次方程 x22（m 1）x+m 23m0 有实数根，4（m1） 24（m 23m）0，解得 m1， 无解，m3，1m3，满足条件的 a 的值为1，0，1，2，3，使关于 x 的一元二次方程 x22（m 1）x+m
23、 23m0 有实数根，且不等式组无解的概率 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）1；P（不可能事件）017 （4 分）抛物线 yx 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程x 2+bx+c0 的解为 x 11 ，x 23 【分析】直接观察图象，抛物线与 x 轴交于 1，对称轴是 x1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标，从而求得关于 x 的一元二次方程x 2+bx+c0 的解【解答】解：观察图象可知，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（ 1，0）
24、 ，对称轴为 x1，抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（3，0） ，一元二次方程 2x24x +m0 的解为 x11，x 23故本题答案为：x 11，x 23【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法一元二次方程x 2+bx+c0 的解实质上是抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标的值18 （4 分）如图，在ABC 中，ACB 90，AC 1， AB2，以点 A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交 AB 边于点 D，则弧 CD 的长等于 （结果保留 ）【分析】先根据 ACB90，AC 1，AB2，得到ABC30，进而得出A60，再根据 AC1，即可得到弧 CD 的长【解答】解：A
25、CB90，AC 1，AB2，ABC30，A60，又AC1，弧 CD 的长为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为：l （弧长为l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） 三解答题（共 5 小题，满分 40 分）19 （8 分） （1）计算：4sin60| 1|+（ 1） 0+ ；（2）解不等式组 ，并写出该不等式组的最大整数解【分析】 （1）将式子逐项化简为 4 1+1+4，即可求解；（2）分别解出每个不等式即可；【解答】解：（1）4sin60 |1|+（ 1） 0+4 1+1+42 +46 ；（2） ，解得： ，不等式组的解集为1x3；最大整数解是 3；【点评
26、】本题考查实数的运算，一元一次不等式组的解；熟练掌握零指数幂，二次根式，特殊角三角函数值的运算，利用数轴准确确定不等式组的解题是解题的关键20 （8 分）如图，已知ABC，请用圆规和直尺作出ABC 的一条中位线 EF（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作线段 AB 的垂直平分线得到 AB 的中点 E，作 AC 的垂直平分线得到线段 AC的中点 F线段 EF 即为所求【解答】解：如图，ABC 的一条中位线 EF 如图所示，方法：作线段 AB 的垂直平分线得到 AB 的中点 E，作 AC 的垂直平分线得到线段 AC 的中点 F线段 EF 即为所求【点评】本题考查复杂作图、三角形的中位线的定义、线段
27、的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，属于中考常考题型21 （8 分）如图，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60，沿山坡向上走到 P 处再测得点 C 的仰角为 45，已知 OA100 米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i1：2，且 O、A、B 在同一条直线上求电视塔 OC 的高度以及此人所在位置点 P 的铅直高度 （测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【分析】在图中共有三个直角三角形，即 RtAOC、Rt PCF、RtPAE，利用 60、45以及坡度比，分别求出 CO、CF 、PE ，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决【解答】解：作 PEOB 于
28、点 E，PFCO 于点 F，在 Rt AOC 中， AO100，CAO60，COAOtan60 100 （米） 设 PEx 米，tanPAB ，AE2x在 Rt PCF 中，CPF45 ，CF100 x，PFOA +AE100+2 x，PFCF，100+2x100 x ，解得 x （米） 答：电视塔 OC 高为 100 米，点 P 的铅直高度为 （米） 【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形22 （8 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交AB， CD 边于点 E，F
29、 （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长【分析】 （1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定BOEDOF（ASA ） ，得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在 RtADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出 OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，A90，ADBC4，ABDC，OBOD，OBEODF，在BOE 和DOF 中， ，BOEDOF（ASA） ，EOFO ，四边形 BEDF 是平行四边形；（2
30、）解：当四边形 BEDF 是菱形时，BDEF，设 BEx，则 DEx ，AE 6x ，在 Rt ADE 中，DE 2AD 2+AE2，x 24 2+（6x ） 2，解得：x ，BD 2 ，OB BD ，BDEF，EO ，EF2EO 【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键23 （8 分）某超市对今年“元旦”期间销售 A、B、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图根据图中信息解答下列问题：（1）该超市“元旦”期间共销售 2400 个绿色鸡蛋，A 品牌绿色鸡蛋在扇
31、形统计图中所对应的扇形圆心角是 60 度；（2）补全条形统计图；（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋 1500 个，请你估计这个分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？【分析】 （1）用 C 品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用 A 品牌的百分比乘以 360计算即可求出圆心角的度数；（2）求出 B 品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可；（3）用 B 品牌所占的百分比乘以 1500，计算即可得解【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：120050%2400 个，A 品牌所占的圆心角： 36060；故答案为：2400，60；（2）B 品牌鸡蛋的数量为：2
32、4004001200800 个，补全统计图如图；（3）分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋为： 1500500 个【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小四解答题（共 4 小题，满分 48 分）24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y12x 的图象与反比例函数 y2 的图象交于 A（1，n） ，B 两点（1）求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足 y2 的取值范围；（3）点 P 是第四
33、象限内反比例函数的图象上一点，若POB 的面积为 1，请直接写出点 P 的横坐标【分析】 （1）把 A（1，n）代入 y2x ，可得 A（1，2） ，把 A（1，2）代入y ，可得反比例函数的表达式为 y ，再根据点 B 与点 A 关于原点对称，即可得到 B 的坐标；（2）观察函数图象即可求解；（3）设 P（m， ） ，根据 S 梯形 MBPNS POB 1，可得方程 （2+ ） （m 1）1或 （2+ ） （1m）1，求得 m 的值，即可得到点 P 的横坐标【解答】解：（1）把 A（1，n）代入 y2x ，可得 n2，A（1，2） ，把 A（1，2）代入 y ，可得 k2，反比例函数的表达式
34、为 y ，点 B 与点 A 关于原点对称，B（1，2） （2）A（1，2） ，y2 的取值范围是 x1 或 x0；（3）作 BMx 轴于 M，PN x 轴于 N，S 梯形 MBPN SPOB 1，设 P（m， ） ，则 （2+ ） （m 1）1 或 （2+ ） （1m ）1整理得，m 2m10 或 m2+m+10，解得 m 或 m ，P 点的横坐标为 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式25 （12 分）如图，O 为菱形 ABCD 对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的O与 BC 相切于点 M（1）求
35、证：CD 与 O 相切；（2）若菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，求O 的半径【分析】 （1）连接 OM，过点 O 作 ONCD 于 N只要证明 OMON 即可解决问题；（2）设半径为 r则 OC2r，OM r，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）连接 OM，过点 O 作 ONCD 于 N O 与 BC 相切于点 M，OM BC，OM 是 O 的半径，AC 是菱形 ABCD 的对角线，AC 平分BCD，ONCD ，OMBC，ONOMr，CD 与O 相切；（2）四边形 ABCD 是菱形，ABBC，ABC60，ACB 是等边三角形，ACAB2，设半径为 r则 OC2r ，O
36、Mr，ACB60，OMC90，COM30，MC ，在 Rt OMC 中，OMC90OM 2+CM2OC 2r 2+（ ） 2（2r） 2，解得 r6+4 或64 （舍弃） ， O 的半径为6+4 【点评】本题考查切线的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型26 （12 分）某商场一种商品的进价为每件 30 元，售价为每件 40 元每天可以销售 48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价 0.5 元，每天可多销售 4 件
37、，那么每天要想获得 510 元的利润，每件应降价多少元？【分析】 （1）设每次降价的百分率为 x， （1x） 2 为两次降价的百分率，40 降至 32.4 就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【解答】解：（1）设每次降价的百分率为 x40（1x） 232.4x10% 或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4 元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降
38、价 y 元，由题意，得（4030y） （4 +48）510，解得：y 11.5，y 22.5，有利于减少库存，y2.5答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可27 （12 分）如图，已知二次函数 yax 2+bx+4 的图象与 x 轴交于点 B（2，0） ，点C（8，0） ，与 y 轴交于点 A（1）求二次函数 yax 2+bx+4 的表达式；（2）连接 AC，AB，若点 N 在线段 BC 上运动
39、（不与点 B，C 重合） ，过点 N 作NMAC，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求 N 点的坐标；（3）连接 OM，在（2）的结论下，求 OM 与 AC 的数量关系【分析】 （1）由 B、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设 N（n，0） ，则可用 n 表示出ABN 的面积，由 NMAC，可求得 ，则可用 n 表示出AMN 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时 n 的值，即可求得 N 点的坐标；（3）由 N 点坐标可求得 M 点为 AB 的中点，由直角三角形的性质可得 OM AB，在RtAOB 和 RtAOC 中，可分别求得 AB 和 AC 的长，可求
40、得 AB 与 AC 的关系，从而可得到 OM 和 AC 的数量关系【解答】解：（1）将点 B，点 C 的坐标分别代入 yax 2+bx+4 可得 ，解得 ，二次函数的表达式为 y x2+ x+4；（2）设点 N 的坐标为（n，0 ） （2n8） ，则 BNn+2，CN8nB（2，0） ，C（8，0） ，BC10，在 y x2+ x+4 中令 x 0，可解得 y4，点 A（0，4） ，OA4，S ABN BNOA （n+2）42（n+2） ，MNAC， ， ， ， 0，当 n3 时，即 N（3，0）时， AMN 的面积最大；（3）当 N（3，0）时，N 为 BC 边中点，MNAC，M 为 AB 边中点，OM AB，AB 2 ，AC 4 ，AB AC，OM AC【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到AMN 和ABN 的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出 AB 为 OM 和 AC 的中间“桥梁”是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中
