1、2019 年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1（3 分）互为相反数的两个数的和为（ ）A0 B1 C1 D22（3 分）国产电影流浪地球深受观众喜爱，截止到 2019 年 4 月 15 日，该电影票房已达到 46.86 亿元，46.86 亿用科学记数法表示为（ ）A0.468610 10 B46.8610 8C4.68610 8 D4.686 1093（3 分）某物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）A正方体 B长方体 C圆柱体 D球体4（3 分）点 P（3，m+1）在第二象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A
2、 BC D5（3 分）若 k4，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k 0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D无法判断6（3 分）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点 D 处后进球，已知小明与篮框底的距离 BC5 米，眼睛与地面的距离 AB1.7 米，视线 AD 与水平线的夹角为，已知tan ，则点 D 到地面的距离 CD 是（ ）A2.7 米 B3.0 米 C3.2 米 D3.4 米7（3 分）已知：线段 AB，BC，ABC 90求作：矩形 ABCD以下是甲、乙两同学的作业：甲：1以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧；2以点 A 为圆心，BC
3、长为半径画弧；3两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD，CD，四边形 ABCD 即为所求（如图 1）乙：1连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M；2连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，使 MDMB，连接 AD，CD，四边形ABCD 即为所求（如图 2）对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对8（3 分）数学课上，老师提出一个问题：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，2），点 B 是 x 轴正半轴上一动点，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABC，使BAC 90，点 C 在第一象限，设点 B 的横坐标为 x
4、，设 为 y，y 与 x 之间的函数图象如图 所示题中用 “”表示的缺失的条件应补为（ ）A边 AB 的长 BABC 的周长C点 C 的横坐标 D点 C 的纵坐标二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9（3 分） 10（3 分）分解因式：x 39x 11（3 分）直线 l1l 2，一块含 45角的直角三角板如图放置若 175，则2 度12（3 分）如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心，若 AC3DF，则 OE：EB 13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx1 与函数 y （k0，x0）的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C若点
5、 B 为 AC 的中点，则 k 的值为 14（3 分）对于二次函数 yx 24x +4，当自变量 x 满足 ax 3 时，函数值 y 的取值范围为 0y 1，则 a 的取值范围为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）先化简，再求值： ，其中 x 的值从1，2，3 中选择一个适当的数16（6 分）把 0，1，2 三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率17（6 分）图、图 均是 32 的正
6、方形网格，每个小正方形的顶点称为格点线段AB 的端点均在格点上在图、图 给定的网格中各画一个 APC，使点 P 在线段AB 上，点 C 为格点，且APC 的正切值为 2要求：（1）图中的APC 为直角三角形，图中的 APC 为锐角三角形（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹18（7 分）每年的 4 月 23 日，是“世界读书日”据统计，“幸福家园小区”1 号楼的住户一年内共阅读纸质图书 460 本，2 号楼的住户一年内共阅读纸质图书 184 本，1 号楼住户的人数比 2 号楼住户人数的 2 倍多 20 人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书
7、的数量是多少本？19（7 分）如图，ABC 的边 BC 为O 的直径，边 AC 和O 交点 D，且ABDACB（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若 BD4，AB 5，则 BC 的长为 20（7 分）垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对本校甲、乙两班各 60 名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了 15 份成绩，整理分析过程如下，请补充完整【收集数据】甲班 15 名学生测试成绩统计如下：（满分 100 分）68，72，89，85，82，85，74，92，80，
8、85，78，85，69，76，80乙班 15 名学生测试成绩统计如下：（满分 100 分）86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别班级65.670.5 70.575.5 75.580.5 80.585.5 85.590.5 90.595.5甲班 2 2 4 5 1 1乙班 1 1 a b 2 0在表中，a ，b 【分析数据】（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级 平均数 众数 中位数 方差甲班 80 x 80 47.6乙班 80 80 y 26.2在表中：x ，y （2）
9、若规定得分在 80 分及以上（含 80 分）为合格，请估计乙班 60 名学生中垃圾分类相关知识合格的学生有 人（3）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明理由21（8 分）某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的从凌晨 4点到早 8 点只进水不出水，8 点到 12 点既进水又出水，14 点到次日凌晨只出水不进水下图是某日水塔中贮水量 y（立方米）与 x（时）的函数图象（1）求每小时的进水量；（2）当 8x12 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）从该日凌晨 4 点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于 28 立方米时，直接写出 x的取值范围22（9 分）【问
10、题背景】如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，点 E、F分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF60，试探究图中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 GDBE，连结 AG，先证明ABE ADG，再证明AEFAGF ，可得出结论，他的结论应是 【探索延伸】如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D 180 ，点 E、F 分别是边BC、CD 上的点，且EAF BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由【学以致用】如图 3，在四边形 ABCD 中，ADBC（BCAD ），B90，ABBC6，E 是边AB
11、上一点，当DCE45，BE2 时，则 DE 的长为 23（10 分）如图，在ABC 中，ACB 90，AC 4，BC3，点 D 为边 AB 的中点点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 运动，同时点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度先沿 CB 方向运动到点 B，再沿 BA 方向向终点 A 运动，以 DP、DQ 为邻边构造 PEQD，设点 P 运动的时间为 t 秒（1）设点 Q 到边 AC 的距离为 h，直接用含 t 的代数式表示 h；（2）当点 E 落在 AC 边上时，求 t 的值；（3）当点 Q 在边 AB 上时，设 PEQD 的面积为 S
12、（S0），求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）连接 CD，直接写出 CD 将PEQD 分成的两部分图形面积相等时 t 的值24（12 分）我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”（1）判断抛物线 yx 2 与 y x 2 是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线 yx 22x 与 yx 22mx3 是“共点抛物线”，且“共点”在 x 轴上，求抛物线 yx 22mx3 的函数关系式；（3）抛物线 L1：yx 2+2x+1 的图象如图所示，L 1 与 L2：y2x 2+mx 是“共
13、点抛物线”；求 m 的值；点 P 是 x 轴负半轴上一点，设抛物线 L1、L 2 的“共点”为 Q，作点 P 关于点 Q 的对称点 P，以 PP为对角线作正方形 PMPN，当点 M 或点 N 落在抛物线 L1 上时，直接写出点 P 的坐标2019 年吉林省长春市二道区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1（3 分）互为相反数的两个数的和为（ ）A0 B1 C1 D2【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解：互为相反数的两个数的和为：0故选：A【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键2（3 分）国产电影流浪地
14、球深受观众喜爱，截止到 2019 年 4 月 15 日，该电影票房已达到 46.86 亿元，46.86 亿用科学记数法表示为（ ）A0.468610 10 B46.8610 8C4.68610 8 D4.686 109【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值是易错点确定 n9【解答】解：46.86 亿46.8610 84.68610 9，故选：D【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键3（3 分）某物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）A正方体 B长方体 C圆柱体 D球体【分析】由主视图和左视图确定
15、是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是正方形可判断出这个几何体应该是长方体故选：B【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力4（3 分）点 P（3，m+1）在第二象限，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】由第二象限纵坐标大于零得出关于 m 的不等式，解之可得【解答】解：由题意知 m+10，解得 m1，故选：C【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变5（3 分）若
16、 k4，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k 0 的根的情况是（ ）A没有实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根 D无法判断【分析】计算根的判别式，利用 k 的取值范围进行判断其符号即可求得答案【解答】解：x 2+4x+k0，4 24k4（4k ），k4，4k0，0，该方程没有实数根，故选：A【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键6（3 分）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点 D 处后进球，已知小明与篮框底的距离 BC5 米，眼睛与地面的距离 AB1.7 米，视线 AD 与水平线的夹角为，已知tan ，则点 D 到地面的距离 CD 是
17、（ ）A2.7 米 B3.0 米 C3.2 米 D3.4 米【分析】通过解直角ADE 得到 DE 的长度，然后由矩形 ABCE 的性质求得 CE 的长度，易得 CDCE+ DE【解答】解：在直角ADE 中，DAE ，AE5 米，tan ，tan ，DE1.5 米又 CEAB1.7 米，CDCE+DE3.2 米故选：C【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题7（3 分）已知：线段 AB，BC，ABC 90求作：矩形 ABCD以下是甲、乙两同学的作业：甲：1以点 C 为圆心，AB 长
18、为半径画弧；2以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧；3两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD，CD，四边形 ABCD 即为所求（如图 1）乙：1连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M；2连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，使 MDMB，连接 AD，CD，四边形ABCD 即为所求（如图 2）对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形 ABCD 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形
19、ABCD 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确【解答】解：由甲同学的作业可知，CDAB，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形，又ABC90，ABCD 是矩形所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CMAM，MDMB，四边形 ABCD 是平行四边形，又ABC90，ABCD 是矩形所以乙的作业正确；故选：A【点评】本题考查了作图复杂作图的应用及矩形的判定，从两位同学的作图语句中获取正确信息及熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键8（3 分）数学课上，老师提出一个问题：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，2），点 B 是 x 轴正半轴上一动点，以 AB 为
20、边作等腰直角三角形 ABC，使BAC 90，点 C 在第一象限，设点 B 的横坐标为 x，设 为 y，y 与 x 之间的函数图象如图 所示题中用 “”表示的缺失的条件应补为（ ）A边 AB 的长 BABC 的周长C点 C 的横坐标 D点 C 的纵坐标【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明ADC 和AOB 的关系，即可建立y 与 x 的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的【解答】解：作 ADx 轴，作 CDAD 于点 D，如右图所示，由已知可得，OBx，OA2 ，AOB 90，BAC 90，ABAC ，点 C 的纵坐标是 y，ADx 轴，DAO +AOD180，DAO 90 ，OAB+B
21、AD BAD +DAC90，OABDAC，在OAB 和DAC 中，OABDAC（AAS ），OBCD，CDx，点 C 到 x 轴的距离为 y，点 D 到 x 轴的距离等于点 A 到 x 的距离 2，yx+2（x0）故选：D【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9（3 分） 2 【分析】根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简【解答】解： 【点评】主要考查了二次根式的乘法运算二次根式的乘法法则 （a0，b0）10（3 分）分解因式：x 39x x （x+3）（x
22、3） 【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式【解答】解：原式x（x 29）x（x+3）（x3），故答案为：x（x +3）（x 3）【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底11（3 分）直线 l1l 2，一块含 45角的直角三角板如图放置若 175，则2 30 度【分析】给图中各角标上序号，由直线 l1l 2 可得出4 175，由三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质可求出3 的度数，再利用对顶角相等即可求出2 的度数【解答】解：给图中各角标上序号，如图所示直线 l1l 2，417543+45，344530，2330故答案为：30【点评】本题考查了等腰直角
23、三角形、平行线的性质以及三角形外角的性质，利用三角形外角的性质，求出3 的度数是解题的关键12（3 分）如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心，若 AC3DF，则 OE：EB 1：2 【分析】ABC 与DEF 是位似三角形，则 DFAC，EFBC，先证明OACODF，利用相似比求得 AC3DF，所以可求 OE：OBDF：AC1：3，据此可得答案【解答】解：ABC 与DEF 是位似三角形，DFAC，EF BCOACODF，OE ：OBOF ：OCOF：OCDF：ACAC3DFOE：OB DF：AC1：3 ，则 OE：EB1：2故答案为：1：2【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似
24、的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx1 与函数 y （k0，x0）的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C若点 B 为 AC 的中点，则 k 的值为 2 【分析】求出 B，C 的坐标，根据点 B 为 AC 的中点，求出 A 点的坐标，进而求 k；【解答】解：yx 1 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，B（1，0），C（0，1），设 A（m，n），点 B 为 AC 的中点，m2，n1，k2，故答案为 2；【点评】本题考查一次函数和反比例函数的图象和性质；能够利用中点的特点，找到点之间的等量
25、关系是解题的关键14（3 分）对于二次函数 yx 24x +4，当自变量 x 满足 ax 3 时，函数值 y 的取值范围为 0y1，则 a 的取值范围为 1a2 【分析】根据 y 的取值范围可以求得相应的 x 的取值范围【解答】解：二次函数 yx 24x +4（x2） 2，该函数的顶点坐标为（2，0），对称轴为：x ，把 y0 代入解析式可得：x 2，把 y1 代入解析式可得：x 13，x 21，所以函数值 y 的取值范围为 0y1 时，自变量 x 的范围为 1x3，故可得：1a2，故答案为：1a2【点评】此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答
26、三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）先化简，再求值： ，其中 x 的值从1，2，3 中选择一个适当的数【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得【解答】解：原式 ，当 x3 时，原式3【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则16（6 分）把 0，1，2 三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率【分
27、析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为 4，所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率17（6 分）图、图 均是 32 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点线段AB 的端点均在格点上在图、图 给定的网格中各画一个 APC，使点 P 在线段AB 上，点 C
28、为格点，且APC 的正切值为 2要求：（1）图中的APC 为直角三角形，图中的 APC 为锐角三角形（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹【分析】根据正切函数的定义，结合网格特点作图即可【解答】解：如图所示，图中的APC 为直角三角形，图 中的APC 为锐角三角形【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握正切函数的定义18（7 分）每年的 4 月 23 日，是“世界读书日”据统计，“幸福家园小区”1 号楼的住户一年内共阅读纸质图书 460 本，2 号楼的住户一年内共阅读纸质图书 184 本，1 号楼住户的人数比 2 号楼住户人数的 2 倍多 20 人，且两栋楼的住户一年内人均
29、阅读纸质图书的数量相同求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？【分析】设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为 x 本根据等量关系“1号楼住户的人数比 2 号楼住户人数的 2 倍多 20 人”列出方程并解答【解答】解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为 x 本由题意，得 解得 x4.6 经检验，x4.6 是原方程的解，且符合题意答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为 4.6 本【点评】本题考查了分式方程的应用分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键19（7 分）如图，ABC 的边 BC 为O 的直径，边 AC 和O 交点 D，且ABDACB（1）求
30、证：AB 是O 的切线；（2）若 BD4，AB 5，则 BC 的长为 【分析】（1）根据圆周角定理得到BDC90，求得C+DBC90，等量代换得到ABD+DBC90，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到 AD 3，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：BC 为 O 的直径，BDC90，C+DBC90，ABDC，ABD+DBC90，ABC90，AB 是O 的切线；（2）解：ADB90，BD4，AB5，AD3，ADBBDC90，C ABD，ABDBCD， ， ，BC 故答案为： 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键20（7
31、 分）垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对本校甲、乙两班各 60 名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了 15 份成绩，整理分析过程如下，请补充完整【收集数据】甲班 15 名学生测试成绩统计如下：（满分 100 分）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80乙班 15 名学生测试成绩统计如下：（满分 100 分）86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83【整理数据】按如下
32、分数段整理、描述这两组样本数据组别班级65.670.5 70.575.5 75.580.5 80.585.5 85.590.5 90.595.5甲班 2 2 4 5 1 1乙班 1 1 a b 2 0在表中，a 7 ，b 4 【分析数据】（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级 平均数 众数 中位数 方差甲班 80 x 80 47.6乙班 80 80 y 26.2在表中：x 85 ，y 80 （2）若规定得分在 80 分及以上（含 80 分）为合格，请估计乙班 60 名学生中垃圾分类相关知识合格的学生有 40 人（3）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明
33、理由【分析】由收集的数据即可得；（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可【解答】解：乙班 75.580.5 分数段的学生数为 7，80.585.5 分数段的学生数为 4，故 a7，b4，故答案为：7，4；（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是 x85，67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，中位数是 y80，故答案为：85，80；（2）60 40（人），即合格的学生有 40 人，故答案为：40；（3）乙班
34、的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，甲班的方差乙班的方差，乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好【点评】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键21（8 分）某贮水塔在工作期间，每小时的进水量和出水量都是固定不变的从凌晨 4点到早 8 点只进水不出水，8 点到 12 点既进水又出水，14 点到次日凌晨只出水不进水下图是某日水塔中贮水量 y（立方米）与 x（时）的函数图象（1）求每小时的进水量；（2）当 8x12 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）从该日凌晨 4 点到次日凌晨，当水塔中的贮水量不小于 28 立方米时，直接写出 x的取值范围【分析】（
35、1）由 4 点到 8 点只进水时，水量从 5 立方米上升到 25 立方米即能求每小时进水量；（2）由图象可得，8x12 时，对应的函数图象是线段，两端点坐标为（8，25）和（12，37），用待定系数法即可求函数关系式；（3）由（2）的函数关系式即能求在 8 到 12 点时，哪个时间开始贮水量不小于 28 立方米，且能求出每小时的出水量；14 点后贮水量为 37 立方米开始每小时减 2 立方米，即能求等于 28 立方米的时刻【解答】解：（1）凌晨 4 点到早 8 点只进水，水量从 5 立方米上升到 25 立方米（255）（84）5（立方米/时）每小时的进水量为 5 立方米（2）设函数 ykx+b
36、 经过点（8，25），（12，37）解得：当 8x12 时，y 3x +1（3）8 点到 12 点既进水又出水时，每小时水量上升 3 立方米每小时出水量为：532（立方米）当 8x12 时，3x +128，解得：x 9当 x14 时，372（x 14）28，解得：x 当水塔中的贮水量不小于 28 立方米时，x 的取值范围是 9x【点评】本题考查了一次函数的应用，解题关键是理解图象中横纵坐标代表的意义并结合题意分析图象的每个分段函数22（9 分）【问题背景】如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，点 E、F分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF60，试探究图中线
37、段 BE、EF、FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 GDBE，连结 AG，先证明ABE ADG，再证明AEFAGF ，可得出结论，他的结论应是 EFBE+FD 【探索延伸】如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D 180 ，点 E、F 分别是边BC、CD 上的点，且EAF BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由【学以致用】如图 3，在四边形 ABCD 中，ADBC（BCAD ），B90，ABBC6，E 是边AB 上一点，当DCE45，BE2 时，则 DE 的长为 5 【分析】【问题背景】延长 FD 到点 G使 DGBE连结 AG，即可证明AB
38、EADG，可得 AEAG，再证明 AEFAGF ，可得 EFFG，即可解题；【探索延伸】延长 FD 到点 G使 DGBE连结 AG，即可证明 ABEADG ，可得AEAG ，再证明AEF AGF，可得 EFFG，即可解题；【学以致用】过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G，利用勾股定理求得 DE 的长【解答】【问题背景】解：如图 1，在ABE 和ADG 中， ，ABE ADG（SAS），AEAG ，BAE DAG，EAF BAD，GAFDAG+ DAFBAE+DAFBAD EAFEAF，EAF GAF，在AEF 和GAF 中， ，AEF AGF（SAS），EFFG ，FGDG +
39、DFBE+FD，EFBE+FD；故答案为：EFBE +FD【探索延伸】解：结论 EFBE+DF 仍然成立；理由：如图 2，延长 FD 到点 G使 DGBE连结 AG，在ABE 和ADG 中， ，ABE ADG（SAS），AEAG ，BAE DAG，EAF BAD，GAFDAG+ DAFBAE+DAFBAD EAFEAF，EAF GAF，在AEF 和GAF 中， ，AEF AGF（SAS），EFFG ，FGDG +DFBE+FD，EFBE+FD；【学以致用】如图 3，过点 C 作 CGAD，交 AD 的延长线于点 G，由【探索延伸】和题设知：DEDG+ BE，设 DGx，则 AD6x，DEx+3
40、，在 Rt ADE 中，由勾股定理得：AD 2+AE2DE 2，（6x） 2+32（x +3） 2，解得 x2DE2+3 5故答案是：5【点评】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解23（10 分）如图，在ABC 中，ACB 90，AC 4，BC3，点 D 为边 AB 的中点点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 运动，同时点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度先沿 CB 方向运动到点 B，再沿 BA 方向向终点 A 运动，以
41、DP、DQ 为邻边构造 PEQD，设点 P 运动的时间为 t 秒（1）设点 Q 到边 AC 的距离为 h，直接用含 t 的代数式表示 h；（2）当点 E 落在 AC 边上时，求 t 的值；（3）当点 Q 在边 AB 上时，设 PEQD 的面积为 S（S0），求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）连接 CD，直接写出 CD 将PEQD 分成的两部分图形面积相等时 t 的值【分析】（1）分点 Q 在线段 BC，线段 AB 上两种情形分别求解即可（2）利用平行线等分线段定理解决问题即可（3）分点 Q 在线段 BD，在线段 AD 上两种情形分别求解即可（4）当点 E 落在直线 CD 上时，CD 将P
42、EQD 分成的两部分图形面积相等有两种情形： 当点 E 在 CD 上，且点 Q 在 CB 上时 （如图 3 所示），当点 E 在 CD 上，且点 Q 在 AB 上时（如图 4 所示），分别求解即可解决问题【解答】解：（1）当 0t 时，h2t 当 t4 时， h3 （2t 3） t+ （2）当点 E 落在 AC 边上时，DQAC，ADDB ，CQQB，2t ，t （3） 如图 1 中，当t 时，作 PHAB 于 H，则PHPAsin A t，DQ 2t ，S t（ 2t） t2+ t如图 2 中，当 t4 时，同法可得 S t（2t ） t2 t（4）当点 E 落在直线 CD 上时，CD 将P
43、EQD 分成的两部分图形面积相等有两种情形：当点 E 在 CD 上，且点 Q 在 CB 上时 （如图 3 所示），过点 E 作 EG CA 于点 G，过点 D 作 DHCB 于点 H，易证 RtPGERtDHQ，PGDH 2 ，CG2t，GEHQCQCH2t ，CDAD，DCADAC在 RtCEG 中，tanECG ，t 当点 E 在 CD 上，且点 Q 在 AB 上时（如图 4 所示），过点 E 作 EFCA 于点 F，CDAD，CADACD PEAD ，CPECADACD，PE CE，PF PC ，PEDQ 2t ，在 RtPEF 中，cos EPF ，t 综上所述，满足要求的 t 的值为
44、 或 【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题24（12 分）我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”（1）判断抛物线 yx 2 与 y x 2 是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线 yx 22x 与 yx 22mx3 是“共点抛物线”，且“共点”在 x 轴上，求抛物线 yx 22mx3 的函数关系式；（3）抛物线 L1：yx 2+2x+1
45、 的图象如图所示，L 1 与 L2：y2x 2+mx 是“共点抛物线”；求 m 的值；点 P 是 x 轴负半轴上一点，设抛物线 L1、L 2 的“共点”为 Q，作点 P 关于点 Q 的对称点 P，以 PP为对角线作正方形 PMPN，当点 M 或点 N 落在抛物线 L1 上时，直接写出点 P 的坐标【分析】（1）解方程 x2x 2 得出 x0（2）因为两个抛物线的共点在 x 轴上，y0 代入 L1 中求得交点坐标，分别代入 L2 中，求得 m 的值，获得抛物线的解析式（3） 两抛物线为共点抛物线时，只有一个交点，运用判别式为零，求出 m 的值设点 P 坐标（ a，0），通过 Q 点坐标，获得 P点坐标，因为 PP为正方形，利用 K型全等模型建立全等关系，从而求出点 M 和 N 的坐标，将 M、N 分别代入解析式，获得 a 的值，从而求出点 P 的坐标【解答】解：（1）是，（0，0）x2x 2x0（2）令 yx 22x 0解得 x10，x 22当 x0 时，30（0，0）不是共点当 x2 时，4
