1、2020-2021 学年吉林省长春市南关区二校联考九年级上期中数学试卷学年吉林省长春市南关区二校联考九年级上期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）若关于x的方程mx 22x+10 是一元二次方程，则（ ） Am0 Bm0 Cm1 Dm0 2（3 分）在 RtABC中，B90，已知AB3，BC4，则 tanA的值为（ ） A B C D 3（3 分）用配方法解方程x 28x+20，配方后的方程是（ ） A（x+4） 22 B（x4） 22 C（x+4） 214 D（x4） 214 4（3 分）抛物线y2x 24x+1 的对称轴是（ ） A直线x1 B直线x1 C直线x2 D直线x2 5（3 分）
2、抛物线y3x 2向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（ ） Ay3（x4） 2+2 By3（x4） 22 Cy3（x+4） 22 Dy3（x+4） 2+2 6（3 分）甲、乙、丙、丁四支仪仗队队员身高的平均数及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 177 178 178 179 方差 0.7 1.6 1.1 0.9 则身高较为整齐的仪仗队是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 7（3 分）二次函数yax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数yax+b与反比例函数在同一平面直 角坐标系中的大致图象为（ ） A B C D 8（3 分）如图，点A，B在反比例函数y
3、（x0）的图象上，点C，D在反比例函数y（k0）的 图象上，ACBDy轴，已知点A，B的横坐标分别为 1，2，OAC与ABD的面积之和为，则k的值 为（ ） A4 B3 C2 D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）cos60的值等于 10（3 分）若关于x的一元二次方程x 2+2xm0 有两个相等的实数根，则 m的值为 11（3 分）如图，ABCD，AD与BC相交于点O若，AD15，则AO的长为 12（3 分）已知点A（1，a），B（3，b）都在二次函数y2（x2） 2+k（k 是常数）的图象上，则a 与b的大小关系为a b（填“”或“”） 13（3
4、分）如图，ABDBDC90，ACBD，AB3，BD2，则CD 14（3 分）如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的 地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部 刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15（6 分）解方程： （1）（x2） 2250； （2）5x 2+2x10 16（6 分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校甲、乙两位同学进校时 可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温
5、 （1）甲同学在A入口处测量体温的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过 程） 17（6 分）某商店进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件 50 元上涨到每件 72 元，求该 商品平均每月的价格增长率 18（7 分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为 45、 35已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为 100m，求热气球离地面的高度 （结果保留整数） 【参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70】 19（7 分）如图，在 66 的正方形网格中，每
6、个小正方形的边长都是 1，我们把顶点都在格点上的三角 形叫做格点三角形，例如ABC是一个格点三角形 （1）在图中，请判断ABC与DEF是否相似，并说明理由 （2）在图中，以点O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与ABC的位似比为 2：1 20（7 分）4 月 23 日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取 20 名学生，对每人每周用 于课外阅读的平均时间（单位：min）进行调查，过程如下： 【收集数据】 30 60 81 50 40 110 130 146 90 100 60 81 120 140 70 81 10 20 100 81 【整理数据】 课外阅读时间x（min） 0
7、x40 40 x80 80 x120 120 x160 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 【分析数据】 平均数 中位数 众数 80 m n 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：a ；b ；m ；n （2）如果每周用于课外阅读的时间不少于 80min达标，该校现有学生 1000 人，估计达标的学生有 人 （3）假设平均阅读一本课外书的时间为 260min，请你估计该校学生每人一年（按 52 周计算）平均阅读 多少本课外书？ 21 （8 分） 甲、 乙两人在净月大街上同起点、 同终点、 同方向匀速步行 2400 米， 先到终点的人原地休息 已 知甲先出发 4 分钟，在整个步
8、行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关 系如图中折线OAABBCCD所示 （1）甲的速度为 米/分，乙的速度为 米/分 （2）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围 （3）求乙比甲早几分钟到达终点？ 22（9 分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容 定理证明：请根据教材内容，结合图，写出证明过程 定理应用： 在矩形ABCD中，AB2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE3BE （1）如图，点F在边CB上，连结EF若，则EF与AC的关系为 （2）如图，将线段AE绕点A旋转一定的角度 （0360），得到线段AE，连结C
9、E，点 H为CE的中点，连结BH设BH的长度为m，若AB4，则m的取值范围为 23（10 分）如图，抛物线yax 2+bx+6 经过 A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛 物线上一动点，设点D的横坐标为m（1m4），连结AC、BC、DB、DC （1）求抛物线的函数表达式 （2）当BCD的面积等于AOC的面积的时，求m的值 （3）当m2 时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得 以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明 理由 24（12 分）在 RtABC中，ACB90，BC3，AC4
10、，点Q在边AC上，CQ1，动点P从点A出发， 沿射线AC运动，速度为每秒 1 个单位长度，当点P不与点Q重合时，以PQ为边构造 RtPQM，使PMQ A，QPM90，且M与点B在直线AC的同侧，设点P运动时间为t秒 （1）AB的长为 （2）点M落在AB边上时，求t的值； （3）当点P在线段AC上时，设PQM与ABC重合部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式 （4）当点M与ABC的一个顶点（点C除外）连线所在的直线平分ABC面积时，直接写出t的值 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1（3 分）若关于x的方程mx 22x+10 是一元二次方程，
11、则（ ） Am0 Bm0 Cm1 Dm0 解：关于x的方程mx 22x+10 是一元二次方程， m0； 故选：D 2（3 分）在 RtABC中，B90，已知AB3，BC4，则 tanA的值为（ ） A B C D 解：如图所示： 在 RtABC中，B90，AB3，BC4， tanA 故选：C 3（3 分）用配方法解方程x 28x+20，配方后的方程是（ ） A（x+4） 22 B（x4） 22 C（x+4） 214 D（x4） 214 解：x 28x+20， x 28x2， x 28x+162+16，即（x4）214， 故选：D 4（3 分）抛物线y2x 24x+1 的对称轴是（ ） A直线x
12、1 B直线x1 C直线x2 D直线x2 解：抛物线y2x 24x+12（x1）21， 该抛物线的对称轴是直线x1， 故选：B 5（3 分）抛物线y3x 2向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（ ） Ay3（x4） 2+2 By3（x4） 22 Cy3（x+4） 22 Dy3（x+4） 2+2 解：y3x 2向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是 y3（x+4） 22 故选：C 6（3 分）甲、乙、丙、丁四支仪仗队队员身高的平均数及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 177 178 178 179 方差 0.7 1.6 1.1 0.9
13、 则身高较为整齐的仪仗队是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 解：由表格数据知甲身高的方差最小， 身高较为整齐的仪仗队是甲， 故选：A 7（3 分）二次函数yax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数yax+b与反比例函数在同一平面直 角坐标系中的大致图象为（ ） A B C D 解：二次函数图象开口方向向下， a0， 对称轴为直线x0， b0， 与y轴的正半轴相交， c0， yax+b的图象经过第一二四象限，反比例函数y图象在第一三象限， 只有B选项图象符合 故选：B 8（3 分）如图，点A，B在反比例函数y（x0）的图象上，点C，D在反比例函数y（k0）的 图象上，ACBDy轴，已知点A，
14、B的横坐标分别为 1，2，OAC与ABD的面积之和为，则k的值 为（ ） A4 B3 C2 D 解：点A，B在反比例函数y（x0）的图象上，点A，B的横坐标分别为 1，2， 点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，）， ACBDy轴， 点C，D的横坐标分别为 1，2， 点C，D在反比例函数y（k0）的图象上， 点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，）， ACk1，BD， SOAC（k1）1，SABD（21）， OAC与ABD的面积之和为， ， 解得：k3 故选：B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）cos60的值等于 解：cos60的值为 故答案
15、为： 10（3 分）若关于x的一元二次方程x 2+2xm0 有两个相等的实数根，则 m的值为 1 解：关于x的一元二次方程x 2+2xm0 有两个相等的实数根， b 24ac0， 即：2 24（m）0， 解得：m1， 故选答案为1 11（3 分）如图，ABCD，AD与BC相交于点O若，AD15，则AO的长为 6 解：ABCD， ，即， 解得，AO6， 故答案为：6 12（3 分）已知点A（1，a），B（3，b）都在二次函数y2（x2） 2+k（k 是常数）的图象上，则a 与b的大小关系为a b（填“”或“”） 解：y2（x2） 2+k（k 是常数）， 抛物线开口向上，对称轴是直线x2， 点A离
16、直线x2 远，点B离直线x2 较近， ab， 故答案是： 13（3 分）如图，ABDBDC90，ACBD，AB3，BD2，则CD 解：ABDBDC90，ACBD，AB3，BD2， ABDBDC， ，即， 解得CD 故答案为 14（3 分）如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的 地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部 刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米 解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A（0，2.5）
17、，B（2，2.5），C（0.5，1） 设函数解析式为yax 2+bx+c 把A、B、C三点分别代入得出c2.5 同时可得 4a+2b+c2.5，0.25a+0.5b+c1 解之得a2，b4，c2.5 y2x 24x+2.52（x1）2+0.5 20 当x1 时，y0.5 米 故答案为：0.5 米 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15（6 分）解方程： （1）（x2） 2250； （2）5x 2+2x10 解：（1）2（x2） 218， （x2） 29， 则x23 或x23， 解得：x15，x21； （2）a5，b2，c1， b 24ac2245（1）240， x， x1，x2
18、 16（6 分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校甲、乙两位同学进校时 可以从学校大门A、B、C三个入口处中的任意一处测量体温 （1）甲同学在A入口处测量体温的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过 程） 解：（1）学校有A、B、C三个大门入口， 甲同学在A入口处测量体温的概率是； 故答案为：； （2）根据题意画图如下： 由图可知共有 9 种等情况数，其中甲、乙两位同学在同一入口处测量体温的情况有 3 种， 则P（甲、乙两位同学在同一入口处测量体温） 17（6 分）某商店进了一批热销商品，出售价格经过两个
19、月的调整，从每件 50 元上涨到每件 72 元，求该 商品平均每月的价格增长率 解：设该商品平均每月的价格增长率为x， 依题意，得：50（1+x） 272， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：该商品平均每月的价格增长率为 20% 18（7 分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为 45、 35已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为 100m，求热气球离地面的高度 （结果保留整数） 【参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70】 解：作ADBC交CB的延长线于D，设AD为x， 由题意得，ABD45，A
20、CD35， 在 RtADB中，ABD45， DBx， 在 RtADC中，ACD35， tanACD， ， 解得，x233 答：热气球离地面的高度约为 233 米 19（7 分）如图，在 66 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，我们把顶点都在格点上的三角 形叫做格点三角形，例如ABC是一个格点三角形 （1）在图中，请判断ABC与DEF是否相似，并说明理由 （2）在图中，以点O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与ABC的位似比为 2：1 解：（1）相似 理由如下： AB1，BC，AC2，DE，EF，DF 4， ， ， ABCDEF； （2）如图，A1B1C1为所作 20（7 分）4 月
21、 23 日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取 20 名学生，对每人每周用 于课外阅读的平均时间（单位：min）进行调查，过程如下： 【收集数据】 30 60 81 50 40 110 130 146 90 100 60 81 120 140 70 81 10 20 100 81 【整理数据】 课外阅读时间x（min） 0 x40 40 x80 80 x120 120 x160 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 【分析数据】 平均数 中位数 众数 80 m n 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：a 5 ；b 4 ；m 81 ；n 81 （2）如果每周用于
22、课外阅读的时间不少于 80min达标，该校现有学生 1000 人，估计达标的学生有 600 人 （3）假设平均阅读一本课外书的时间为 260min，请你估计该校学生每人一年（按 52 周计算）平均阅读 多少本课外书？ 解：（1）将原始数据进行统计可得，阅读时间在 120 x160 的有 4 人，即b4，阅读时间在 40 x 80 的有 5 人，即a5， 将 20 位学生的阅读时间从小到大排列，处在中间位置的两个数都是 81，因此中位数是 81，即m81， 出现次数最多的是 81，因此众数是 81，即n81， 故答案为：5，4，81，81； （2）1000600（人）， 故答案为：600； （3
23、）805226016（本）， 答：该校学生每人一年（按 52 周计算）平均阅读 16 本课外书 21 （8 分） 甲、 乙两人在净月大街上同起点、 同终点、 同方向匀速步行 2400 米， 先到终点的人原地休息 已 知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关 系如图中折线OAABBCCD所示 （1）甲的速度为 60 米/分，乙的速度为 80 米/分 （2）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围 （3）求乙比甲早几分钟到达终点？ 解：（1）由线段OA可知：甲的速度为：60（米/分）， 乙的步行速度为：80（米/分）， 故答案为：60；8
24、0 （2）根据题意得： 设线段AB的表达式为：ykx+b （4x16）， 把（4，240），（16，0）代入得： ，解得， 即线段AB的表达式为：y20 x+320 （4x16） （3）在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+（164）60960（米）， 与终点的距离为：24009601440（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：24（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：18（分）， 24186（分）， 答：乙比甲早 6 分钟到达终点 22（9 分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容 定理证明：请根据教材内容，结合图，写出证明过程 定理应用： 在矩形AB
25、CD中，AB2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE3BE （1）如图，点F在边CB上，连结EF若，则EF与AC的关系为 EFAC，EFAC （2）如图，将线段AE绕点A旋转一定的角度 （0360），得到线段AE，连结CE，点 H为CE的中点，连结BH设BH的长度为m，若AB4，则m的取值范围为 BH+ 解：定理证明：如图中，延长DE到F，使FEDE，连接CF， 在ADE和CFE中， ， ADECFE（SAS）， AECF，ADCF， CFAB， 又ADBD， CFBD， 四边形BCFD是平行四边形， DFBC，DFBC， DEBC，DEBC 定理应用：（1）如图中，取AB，
26、BC的中点M，N，连接MN AE3BE，BF：CF1：3， AMBM，CNBN，MEEB，FNFB， MNAC，MNAC，EFMN，EFMN， EFAC，EFAC 故答案为：EFAC，EFAC （2）如图中，延长CB到T，连接AT，TE CHHE，CBBT， BHTE， 四边形ABCD是矩形， ABCABT90， AB4，BCADBT2， AT2， AE3BE，AB4， AEAE3， 23TE2+3， BH+ 故答案为：BH+ 23（10 分）如图，抛物线yax 2+bx+6 经过 A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛 物线上一动点，设点D的横坐标为m（1m4），连结AC、
27、BC、DB、DC （1）求抛物线的函数表达式 （2）当BCD的面积等于AOC的面积的时，求m的值 （3）当m2 时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得 以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明 理由 解：（1）由抛物线交点式表达式得：ya（x+2）（x4）a（x 22x8）ax22ax8a， 即8a6，解得：a， 故抛物线的表达式为：yx 2+ x+6； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，6）， 由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：yx+6， 如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H， 设
28、点D（m，m 2+ m+6），则点H（m，m+6）， 则SBDCHDOB2（m 2+ m+6+m6）2（m 2+3m）， SACO62， 即：2（m 2+3m） ， 解得：m1 或 3（舍去 1）， 故m3； （3）当m2 时，点D（2，6）， 设点M（x，0），点N（t，n），则nt 2+ t+6， 当BD是边时， 点B向左平移 1 个单位向上平移 6 个单位得到点D，同样点M（N）向左平移 1 个单位向上平移 6 个单位 得到点N（M）， 故或， 联立并解得：（不合题意的值已舍去）； 故点M的坐标为（3，0）或（，0）或（，0）； 当BD是对角线时， 由中点公式得：， 联立并解得， 故点M
29、的坐标为（4，0）； 综上，点M的坐标为（3，0）或（，0）或（，0）或（4，0） 24（12 分）在 RtABC中，ACB90，BC3，AC4，点Q在边AC上，CQ1，动点P从点A出发， 沿射线AC运动，速度为每秒 1 个单位长度，当点P不与点Q重合时，以PQ为边构造 RtPQM，使PMQ A，QPM90，且M与点B在直线AC的同侧，设点P运动时间为t秒 （1）AB的长为 5 （2）点M落在AB边上时，求t的值； （3）当点P在线段AC上时，设PQM与ABC重合部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式 （4）当点M与ABC的一个顶点（点C除外）连线所在的直线平分ABC面积时，直接写出t的
30、值 解：（1）ACB90，BC3，AC4， AB5， 故答案为：5 （2）如图 1 中， APMQPM90， A+AMP90， PMQA， AMP+PMQ90， AMQACB90， AA， AMQACB， ， ， AM，MQ， PMBC， APMACB， ， ， AP， t （3）如图 2 中，当 0t时，重叠部分是四边形PKJQ 由题意PAt，PKt，AKt， PQ3tKJt， 四边形PKJQ的周长PK+KJ+QJ+PQt+t+3tt+ 如图 3 中，当t3 时，重叠部分是PQM，周长3t+（3t）+（3t）124t 如图 4 中，当 3t4 时，重叠部分是PQM，周长t3+（t3）+（t3）4t12 综上所述，l （4）如图 5 中，当直线AM经过BC的中点R时， 由PMCR，可得，即， 解得t 如图 6 中，当直线BM经过AC的中点W时，过点W作WTAB于T 由WTMJ，可得， ， 解得，t 如图 7 中，当AM经过BC的中点时， 由PMCR，可得，即， 解得t， 综上所述，满足条件的t的值为或或
