1、2020-2021 学年吉林省长春市南关区学年吉林省长春市南关区二校联考二校联考八年级上期中数学试卷八年级上期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1（3 分）化简的结果是（ ） A2 B4 C4 D8 2（3 分）下列计算中，正确的是（ ） A3a+2b5ab Ba a4a4 Ca6a2a3 D（a3b）2a6b2 3（3 分）计算（a+3）（a+1）的结果是（ ） Aa22a+3 Ba2+4a+3 Ca2+4a3 Da22a3 4（3 分）如图已知 OC 平分AOB，P 是距离是 OC 上一点，PHOB 于点 H，若 PH5，则点 P 到射 线 OA 的距离是（ ）
2、 A6 B5 C4 D3 5（3 分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A直角三角形的两个锐角互余 B有两边相等的三角形是等腰三角形 C相等的两个角是对顶角 D如果 a0，b0，那么 a+b0 6（3 分）若b3，则（ ） Ab3 Bb3 Cb3 Db3 7（3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD 若 CDAC，A50，则ACB 的度数为（ ） A90 B95 C100 D105 8（3 分）若规定，f（x）表示最接近 x 的整数（xn+0.5，n 整数）例
3、如：f（0.7）1，f（2.3）2，f （5）5，则 f（1）+f（）+f（）+f（）的值（ ） A16 B17 C18 D19 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）如果 x25，那么 x 10（3 分）比较大小： 11（3 分）已知 x2+14x+m（m 为常数）是完全平方公式，则 m 12（3 分）高兴同学在学习了全等三角形的相关知识后发现：只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出 一个角的平分线如图，一把直尺压住射线 OB 且与射线 OA 交于点 M，另一把直尺压住射线 OA 且与第 一把直尺交于点 P，则 OP 平分AOB若BOP32，则AMP 13（3 分）对于任意
4、实数，若规定adbc，则当 x22x50 时， 14（3 分）如图，在ABC 中，直线 l 垂直平分 BC，射线 m 平分ABC，且 l 与 m 相交于点 P，若A 60，ACP24，则ABP 三、解答题（78 分） 15（8 分）计算： （1）|1|+； （2）； （3）（2x+1）（x3）； （4）（4x36x2+2x）（2x） 16（6 分）利用乘法公式进行简算： （1）2019202120202； （2）972+697+9 17（6 分）因式分解： （1）4x2y4xy+y； （2）9a24（a+b）2 18（6 分）如图，在 88 的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶
5、点称为格点，RtABC 的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图 （1）画ABC 的角平分线 CD 交 AB 于点 D； （2）画 AB 边的垂直平分线 l 交直线 CD 于点 P 19（6 分）先化简，再求值：（x2）24x（x1）+（2x+1）（2x1），其中 x 20（7 分）如图，在ABC 中，AD 垂直平分 BC，E 是 AB 边上一点，连接 ED，F 是 ED 延长线上一点， 连接 CF，若 BC 平分ACF，求证：BECF 21（8 分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 例如由图可以得到两数和的平方公式：（a+
6、b）2a2+2ab+b2 请解答下列问题： （1）写出由图可以得到的数学等式 ； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若 a+b+c6，a2+b2+c214，求 ab+bc+ac 的值； （3）可爱同学用图中 x 个边长为 a 的正方形，y 个宽为 a，长为 b 的长方形，z 个边长为 b 的正方形， 拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则 x+y+z 22（9 分）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第 94 页的部分内容 2线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴如图，直线 MN 是线段 AB 的垂 直平分线，P 是 MN 上任一
7、点，连结 PA、PB将线段 AB 沿直线 MN 对折，我们发现 PA 与 PB 完全重 合由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 已知：如图，MNAB，垂足为点 C，ACBC，点 P 是直线 MN 上的任意一点求证：PAPB 分析：图中有两个直角三角形 APC 和 BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PAPB （1）请根据教材中的分析，结合图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程； （2）如图，在ABC 中，直线 l，m，n 分别是边 AB，BC，AC 的垂直平分线 求证：直线 l、m、n 交于一点；（请将下面的证明过程补充完整） 证明
8、：设直线 l，m 相交于点 O （3）如图，在ABC 中，ABBC，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，边 BC 的垂直平分线交 AC 于 点 E，若ABC120，AC15，则 DE 的长为 23（10 分）好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x6）的结果是 一个多项式，并且最高次项为：x 2x 3x3x3，常数项为：45（6）120，那么一次项是多 少呢？ 根据尝试和总结她发现：一次项就是：x5（6）+2x4（6）+3x453x 请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法 法则的理解，解决以下问题： （
9、1）计算（x+2）（3x+1）（5x3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ； （2）若计算（x+1）（3x+m）（2x1）（m 为常数）所得的多项式不含一次项，求 m 的值； （3）若（x+1）2021a0 x2021+a1x2020+a2x2019+a2020 x+a2021，则 a2020 24（12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABBCD90，ABDC4，ADBC8延长 BC 到 E，使 CE3，连接 DE，由直角三角形的性质可知 DE5动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的 速度沿 BCCDDA 向终点 A 运动，设点 P 运动的时间为 t 秒（t0） （1）当 t3
10、时，BP ； （2）当 t 时，点 P 运动到B 的角平分线上； （3）请用含 t 的代数式表示ABP 的面积 S； （4）当 0t6 时，直接写出点 P 到四边形 ABED 相邻两边距离相等时 t 的值 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1（3 分）化简的结果是（ ） A2 B4 C4 D8 【分析】根据二次根式的乘法法则求解 解：4 故选：B 2（3 分）下列计算中，正确的是（ ） A3a+2b5ab Ba a4a4 Ca6a2a3 D（a3b）2a6b2 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于 把积的每一个因
11、式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解 解：A、3a 与 2b 不是同类项不能合并，故本选项错误； B、应为 a a4a1+4，故本选项错误； C、应为 a6a2a62a4，故本选项错误； D、（a3b）2a6b2，正确 故选：D 3（3 分）计算（a+3）（a+1）的结果是（ ） Aa22a+3 Ba2+4a+3 Ca2+4a3 Da22a3 【分析】运用多项式乘以多项式法则，直接计算即可 解：（a+3）（a+1） a23a+a+3 a22a+3 故选：A 4（3 分）如图已知 OC 平分AOB，P 是距离是 OC 上一点，PHOB 于点 H，若 PH5，则点 P 到
12、射线 OA 的距离是（ ） A6 B5 C4 D3 【分析】作 PQOA 于 Q，如图，利用角平分线的性质得到 PQPH5 解：作 PQOA 于 Q，如图， OC 为AOB 的平分线，PHOB，PQOA， PQPH5， 即点 P 到射线 OA 的距离为 5 故选：B 5（3 分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A直角三角形的两个锐角互余 B有两边相等的三角形是等腰三角形 C相等的两个角是对顶角 D如果 a0，b0，那么 a+b0 【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据直角三角形的概念、等腰三角形的性质、对顶角的概念、有 理数的加法法则判断即可 解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个
13、角互余的三角形是直角三角形，是真命题； B、有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形有两边相等，是真命题； C、相等的两个角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题； D、如果 a0，b0，那么 a+b0 的逆命题是如果 a+b0，那么 a0，b0，是假命题； 故选：D 6（3 分）若b3，则（ ） Ab3 Bb3 Cb3 Db3 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案 解：由于b30， b3， 故选：C 7（3 分）如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD 若
14、 CDAC，A50，则ACB 的度数为（ ） A90 B95 C100 D105 【分析】由 CDAC，A50，根据等腰三角形的性质，可求得ADC 的度数，又由题意可得：MN 是 BC 的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质可得： CDBD， 则可求得B 的度数， 继而求得答案 解：CDAC，A50， ADCA50， 根据题意得：MN 是 BC 的垂直平分线， CDBD， BCDB， BADC25， ACB180AB105 故选：D 8（3 分）若规定，f（x）表示最接近 x 的整数（xn+0.5，n 整数）例如：f（0.7）1，f（2.3）2，f （5）5，则 f（1）+f（）+f（）+f
15、（）的值（ ） A16 B17 C18 D19 【分析】根据 f（x）表示的意义，分别求出 f（1），f（），f（），f（）的值，再计算结果 即可 解：f（x）表示的意义可得，f（1）1，f（）1，f（）2，f（）2， f（）2，f（ ）2，f（）3，f（）3，f（）3， f（1）+f（）+f（）+f（）1+1+2+2+2+2+3+3+319， 故选：D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9（3 分）如果 x25，那么 x 【分析】根据平方根的定义进行填空即可 解：x25， x， 故答案为 10（3 分）比较大小： 【分析】把根号外的因式移入根号内，再比较即可 解：2 ，3， 23
16、， 故答案为： 11（3 分）已知 x2+14x+m（m 为常数）是完全平方公式，则 m 49 【分析】根据乘积二倍项和已知平方项确定出这两个数为 x 和 7，再利用完全平方式求解即可 解：x2+14x+m（m 为常数）是完全平方公式， x2+14x+m（x+7）2， m49， 故答案为：49 12（3 分）高兴同学在学习了全等三角形的相关知识后发现：只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出 一个角的平分线如图，一把直尺压住射线 OB 且与射线 OA 交于点 M，另一把直尺压住射线 OA 且与第 一把直尺交于点 P，则 OP 平分AOB若BOP32，则AMP 64 【分析】由长方形直尺可得 MP
17、OB，再根据作图过程可知 OP 平分AOB，进而可得AMP 的度数 解：OP 平分AOB， MOB2BOP64， 由长方形直尺可知： MPOB， AMPMOB64， 故答案为：64 13（3 分）对于任意实数，若规定adbc，则当 x22x50 时， 9 【分析】原式利用题中的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值 解：x22x50， x22x5， 则原式（x+1）（x1）x（4x） x214x+x2 2x24x1 2（x22x）1 101 9 故答案为：9 14（3 分）如图，在ABC 中，直线 l 垂直平分 BC，射线 m 平分ABC，且 l 与 m 相交于点 P，若A 60，AC
18、P24，则ABP 32 【分析】根据角平分线定义求出ABPCBP，根据线段的垂直平分线性质得出 BPCP，根据等腰三 角形的性质得到CBPBCP，根据三角形内角和定理得出方程 3ABP+24+60180，解方程 得到答案 解：BP 平分ABC， ABPCBP， 直线 l 是线段 BC 的垂直平分线， BPCP， CBPBCP， ABPCBPBCP， A+ACB+ABC180，A60，ACP24， 3ABP+24+60180， 解得：ABP32， 故答案为：32 三、解答题（78 分） 15（8 分）计算： （1）|1|+； （2）； （3）（2x+1）（x3）； （4）（4x36x2+2x）（
19、2x） 【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （3）直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案； （4）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 解：（1）|1|+ 1+23 2； （2） ； （3）（2x+1）（x3） 2x26x+x3 2x25x3； （4）（4x36x2+2x）（2x） 4x3（2x）6x2（2x）+2x（2x） 2x2+3x1 16（6 分）利用乘法公式进行简算： （1）2019202120202； （2）972+697+9 【分析】 （1） 利用平方差公式将 20192021 转化
20、为 （20201） （2020+1） ， 进而得到 20202120202， 求出答案； （2）利用完全平方公式将 972+697+9 转化为（97+3）2即可 解：（1）2019202120202 （20201）（2020+1）20202 20202120202 1； （2）972+697+9 972+2397+32 （97+3）2 1002 10000 17（6 分）因式分解： （1）4x2y4xy+y； （2）9a24（a+b）2 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式； （2）先利用平方差公式，再化简即可 解：（1）4x2y4xy+yy（4x24x+1）y（2x1）2； （2）9
21、a24（a+b）23a+2（a+b）3a2（a+b）（5a+2b）（a2b） 18（6 分）如图，在 88 的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点，RtABC 的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图 （1）画ABC 的角平分线 CD 交 AB 于点 D； （2）画 AB 边的垂直平分线 l 交直线 CD 于点 P 【分析】（1）取格点 T，连接 CT 交 AB 于点 D，线段 CD 即为所求 （2）取格点 G，R，作直线 GR 交直线 CT 于点 P，点 P 即为所求 解：（1）如图，线段 CD 即为所求 （2）如图，直线 l 即为
22、所求 19（6 分）先化简，再求值：（x2）24x（x1）+（2x+1）（2x1），其中 x 【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算，进而把 x 的值代入得出答案 解：原式x24x+44x2+4x+4x21 x2+3， 当 x时， 原式2+3 5 20（7 分）如图，在ABC 中，AD 垂直平分 BC，E 是 AB 边上一点，连接 ED，F 是 ED 延长线上一点， 连接 CF，若 BC 平分ACF，求证：BECF 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ABAC，证明BDECDF，根据全等三角形的性质得到 BECF 【解答】证明：AD 垂直平分 BC， ABAC，BDDC， ABC
23、ACB， BC 平分ACF， FCBACB， ABCFCB， 在BDE 和CDF 中， ， BDECDF（ASA） BECF 21（8 分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 例如由图可以得到两数和的平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2 请解答下列问题： （1）写出由图可以得到的数学等式 （a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若 a+b+c6，a2+b2+c214，求 ab+bc+ac 的值； （3）可爱同学用图中 x 个边长为 a 的正方形，y 个宽为 a，长为 b 的长方形，z 个边长为
24、 b 的正方形， 拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则 x+y+z 15 【分析】（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于 3 个小正方形的面积加 上 6 个长方形的面积，由此可得出等式； （2）将 a+b+c6，a2+b2+c214 代入（1）中所得的等式，计算即可； （3）由题意得： （2a+b） （a+4b）xa2+yab+zb2，将等式左边展开，再比较系数即可得出 x，y，z 的值， 然后求和即可 解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于 3 个小正方形的面积加上 6 个长方形的面积， （a+b+c）2a2+b2
25、+c2+2ab+2ac+2bc 故答案为：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （2）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c6，a2+b2+c214， 6214+2（ab+ac+bc）， ab+ac+bc（3614）211 （3）由题意得：（2a+b）（a+4b）xa2+yab+zb2， 2a2+8ab+ab+4b2xa2+yab+zb2， 2a2+9ab+4b2xa2+yab+zb2， x2，y9，z4， x+y+z2+9+415 故答案为：15 22（9 分）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第 94 页的部分内容 2线段垂直平分线
26、我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴如图，直线 MN 是线段 AB 的垂 直平分线，P 是 MN 上任一点，连结 PA、PB将线段 AB 沿直线 MN 对折，我们发现 PA 与 PB 完全重 合由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 已知：如图，MNAB，垂足为点 C，ACBC，点 P 是直线 MN 上的任意一点求证：PAPB 分析：图中有两个直角三角形 APC 和 BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PAPB （1）请根据教材中的分析，结合图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程； （2）如图，在ABC 中，直
27、线 l，m，n 分别是边 AB，BC，AC 的垂直平分线 求证：直线 l、m、n 交于一点；（请将下面的证明过程补充完整） 证明：设直线 l，m 相交于点 O （3）如图，在ABC 中，ABBC，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，边 BC 的垂直平分线交 AC 于 点 E，若ABC120，AC15，则 DE 的长为 5 【分析】（1）证明PACPBC 即可解决问题 （2）如图中，设直线 l、m 交于点 O，连结 AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质解决 问题即可 （3）连接 BD，BE，证明BDE 是等边三角形即可 【解答】证明：（1）如图中， MNAB， PCAPCB90
28、 在PAC 和PBC 中， ， PACPBC（SAS）， PAPB （2）如图中，设直线 l、m 交于点 O，连结 AO、BO、CO 直线 l 是边 AB 的垂直平分线， OAOB， 又直线 m 是边 BC 的垂直平分线， OBOC， OAOC， 点 O 在边 AC 的垂直平分线 n 上， 直线 l、m、n 交于点 O （3）解：如图中，连接 BD，BE BABC，ABC120， AC30， 边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，边 BC 的垂直平分线交 AC 于点 E， DADB，EBEC， ADBA30，CEBC30， BDEA+DBA60，BEDC+EBC60， BDE 是等边三角形
29、， ADBDDEBEEC， AC15， DEAC5 故答案为 5 23（10 分）好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x6）的结果是 一个多项式，并且最高次项为：x 2x 3x3x3，常数项为：45（6）120，那么一次项是多 少呢？ 根据尝试和总结她发现：一次项就是：x5（6）+2x4（6）+3x453x 请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法 法则的理解，解决以下问题： （1）计算（x+2）（3x+1）（5x3）所得多项式的最高次项为 15x3 ，一次项为 11x ； （2）若计算（x+1）（3x+m）
30、（2x1）（m 为常数）所得的多项式不含一次项，求 m 的值； （3）若（x+1）2021a0 x2021+a1x2020+a2x2019+a2020 x+a2021，则 a2020 2021 【分析】（1）求多项式的最高次项，把每个因式的多项式最高次项相乘即可；求一次项，含有一次项的 有 x，3x，5x，这三个中依次选出其中一个再与另外两项中的常数相乘最终积相加，或者展开所有的式子 得出一次项即可 （2）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用 m 表示，列出等式，求出 m； （3）根据前两问的规律可以计算出第（3）问的值 解：（1）由题意得： （x+2）（3x+1）（5x3）所得多项式的
31、最高次项为 x3x5x15x3，一次项为：11（3）x+2 3（3）x+215x11x； （2）依题意有：1m（1）+1（3）（1）+1m20， 解得 m3； （3）通过题干以及前两问知：a2020202112021 故答案为：15x3，11x；2021 24（12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABBCD90，ABDC4，ADBC8延长 BC 到 E，使 CE3，连接 DE，由直角三角形的性质可知 DE5动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的 速度沿 BCCDDA 向终点 A 运动，设点 P 运动的时间为 t 秒（t0） （1）当 t3 时，BP 6 ； （2）当 t 8 时，点
32、 P 运动到B 的角平分线上； （3）请用含 t 的代数式表示ABP 的面积 S； （4）当 0t6 时，直接写出点 P 到四边形 ABED 相邻两边距离相等时 t 的值 【分析】（1）根据题意可得 BP2t，进而可得结果； （2）根据ABBCD90，可得四边形 ABCD 是矩形，根据角平分线定义可得 AFAB4， 得 DF4，进而可得 t 的值； （3）根据题意分 3 种情况讨论：当点 P 在 BC 上运动时，当点 P 在 CD 上运动时，当点 P 在 AD 上运动时，分别用含 t 的代数式表示ABP 的面积 S 即可； （4）当 0t6 时，点 P 在 BC、CD 边上运动，根据题意分情况
33、讨论：当点 P 在 BC 上，点 P 到 AD 边的距离为 4，点 P 到 AB 边的距离也为 4，当点 P 在 BC 上，点 P 到 AD 边的距离为 4，点 P 到 DE 边的距离也为 4，当点 P 在 CD 上，点 P 到 AB 边的距离为 8，但点 P 到 AB、BC 边的距离都小于 8， 进而可得当 t2s 或 t3s 时，点 P 到四边形 ABED 相邻两边距离相等 解：（1）BP2t236， 故答案为：6； （2）作B 的角平分线交 AD 于 F， ABFFBC， AABCBCD90， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFBFBC， ABFAFB， AFAB4， DFAD
34、AF844， BC+CD+DF8+4+416， 2t16，解得 t8 当 t8 时，点 P 运动到ABC 的角平分线上； 故答案为：8； （3）根据题意分 3 种情况讨论： 当点 P 在 BC 上运动时， SABPBPAB2t44t；（0t4）； 当点 P 在 CD 上运动时， SABPABBC4816；（4t6）； 当点 P 在 AD 上运动时， SABPABAP4（202t）4t+40；（6t10）； （4）当 0t6 时，点 P 在 BC、CD 边上运动， 根据题意分情况讨论： 当点 P 在 BC 上，点 P 到四边形 ABED 相邻两边距离相等， 点 P 到 AD 边的距离为 4， 点 P 到 AB 边的距离也为 4， 即 BP4， 2t4，解得 t2s； 当点 P 在 BC 上，点 P 到 AD 边的距离为 4， 点 P 到 DE 边的距离也为 4， PEDE5， PCPECE2， 82t2，解得 t3s； 当点 P 在 CD 上，如图，过点 P 作 PHDE 于点 H， 点 P 到 DE、BE 边的距离相等， 即 PCPH， PC2t8， PDDCPC122t， ， 解得 t 综上所述：t2s 或 t3s 或 ts 时，点 P 到四边形 ABED 相邻两边距离相等
