1、广州市南沙区博海学校 2019 年中考数学模拟试卷（5 月份）一选择题（满分 30 分，每小题 3 分）1 （ ）A4 B8 C8 D42下列计算正确的是（ ）A a2a3 a6 B3 a2 a22 C a6a2 a3 D （2 a） 24 a23由 7 个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则以下结论：主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形；俯视图是中心对称图形左视图不是中心对称图形 俯视图和左视图都不是轴对称图形其中正确结论是（ ）A B C D4已知直线 l1 l2，一块含 30角的直角三角板如图所示放置，135，则2 等于（ ）A25 B35 C40 D455在刚刚结束的中考英语听力
2、、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A中位数是 9 B众数为 16C平均分为 7.78 D方差为 26已知 a， b 为两个连续整数，且 a b，则 a+b 的值为（ ）A9 B8 C7 D67如图， AB， BC 是 O 的两条弦， AO BC，垂足为 D，若 O 的半径为 5， BC8，则 AB的长为（ ）A8 B10 C D8为积极响应“传统文化进校园”的号召，郑州市某中学举行书法比赛，为奖励获奖学生，学校购买了一些钢笔和毛笔，钢笔单价是毛笔单价的 1.5 倍，购买钢笔用了 1200 元，购买毛 笔用 1500 元，购买的钢笔支数比毛笔少 20 支，钢笔，毛
3、笔的单价分别是多少元？如果设毛笔的单价为 x 元/支，那么下面所列方程正确的是（ ）A 20 B20C D209一次函数 y ax+c 的图象如图所示，则二次函数 y ax2+x+c 的图象可能大致是（ ）A B C D10已知 ABC DEF，其中 AB6， BC8， AC12， DE3，那么 DEF 的周长为（ ）A B C13 D26二填空题（满分 18 分，每小题 3 分）11如图所示是某个不等式组的解集在数轴上的表示，它是下列四个不等式组 ； ； ； 中的 （只填写序号）12二次函数 y x2 bx+c 的图象上有两点 A（3，8） ， B（5，8） ，则此抛物线的对称轴是直线 x
4、13如图，在 ABC 中，tan A2，以 BC 为直径的 O 分别交 AB、 AC 于点 D、点 E，若 D是 AB 的中点， OD5，则 AE 14如图，在平行四边形 ABCD 中， AD BC， AD6， AD 与 BC 的距离 4，阴影部分公共点应为平行四边形的中心，则阴影部分的面积为 15如果实数 a， b 满足 a+b6， ab8，那么 a2+b2 16如图，菱形 ABCD 中，点 M、 N 分别在 AD， BC 上，且 AM CN， MN 与 AC 交于点 O，连接DO，若 BAC28，则 ODC 三解答题（共 9 小题，满分 102 分）17 （9 分）解方程（1） 1（2）
5、x （3 x5）2（5+ x）18 （9 分）如图， EF BC， DF AC， DA EB求证： F C19 （10 分）先化简，再求值：（2 ） ，其中 x220 （10 分）爸爸想送小明一个书包和一辆自行车作为新年礼物，在甲、乙两商场都发现同款的 自行车单价相同，书包单价也相同，自行车和书包单价之和为 452 元，且自行车的单价比书包的单价 4 倍少 8 元（1）求自行车和书包单价各为多少元；（2）新年来临赶上商家促销 ，乙商场所有商品打八五折（即 8.5 折）销售，甲全场购物毎满 100 元返购物券 30 元（即不足 100 元不返券，满 100 元送 30 元购物券，满 200元送
6、60 元购物券） ，并可当场用于购物，购物券全场通用但爸爸只带了 400 元钱，如果他只在同一家商场购买看中的两样物品，在哪一家买更省钱？21 （12 分）2018 年 9 月，振华中学举行了迎国庆中华传统文化节活动本次文化节 共有五个活动： A书法比赛； B国画竞技； C诗歌朗诵； D汉字大赛； E古典乐器演奏活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项） ，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次催记抽取的初三学生共 人， m ，并补全条形统计图；（2）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决
7、赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少22 （12 分）如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 y x+b 的图象交于点A（1，4） ，点 B（4， n） （1）求 n 和 b 的值；（2）求 OAB 的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围23 （12 分）如图，已知 AB 是圆 O 的直径， F 是圆 O 上一点， BAF 的平分线交 O 于点E，交 O 的切线 BC 于点 C，过点 E 作 ED AF，交 AF 的延长线于点 D（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）若 DE3， CE2，求
8、的值；若点 G 为 AE 上一点，求 OG+ EG 最小值24 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B（0，1） ，抛物线 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为C（4， n） （1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0 t4） DE y 轴交直线 l 于点 E，点F 在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2） 若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3） M 是平面内一点，将 AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后，
9、得到 A1O1B1，点A、 O、 B 的对应点分别是点 A1、 O1、 B1若 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的横坐标25 （14 分）四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” （1）如图 1，在四边形 ABCD 中， ABC100， ADC130， BD BC，对角线 BD 平分 ABC求证： BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ；（2）如图 2，已知格点 ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形 ABCD，使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形；
10、（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）（3）如图 3，四边形 AOBC 中，点 A 在射线 OP： y x（ x0）上，点 B 在 x 轴正半轴上，对角线 OC 平分 AOB，连接 AB若 OC 是四边形 AOBC 的“相似对角线” ， SAOB6 ，求点 C 的坐标参考答案一选择1解： 4故选： A2解： A、 a2a3 a5，故此选项错误；B、3 a2 a22 a2，故此选项错误；C、 a6a2 a4，故此选项错误；D、 （2 a） 24 a2，正确故选： D3解：主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，此结论正确；俯视图不是中心对称图形，此结论错误；左视图不是中心对称图形，此
11、结论正确；俯视图不是轴对称图形，左视图是轴对称图形，此结论错误；故选： A4解：3 是 ADG 的外角，3 A+130+3565， l1 l2，3465，4+ EFC90， EFC906525，225故选： A5解：观察图象可知，共有 50 个学生，从低到高排列后，中位数是 25 位与 26 位的平均数，即为 9故选： A6解：91316，3 4，即 a3， b4，则 a+b7，故选： C7解：连接 O B， AO BC， AO 过 O， BC8， BD CD4， BDO90，由勾股定理得： OD 3， AD OA+OD5+38，在 Rt ADB 中，由勾股定理得： AB 4 ，故选： D8解
12、：设毛笔单价 x 元/支，由题意得：20故选： B9解：一次函数 y ax+c 的图象经过一三四象限， a0， c0，故二次函数 y ax2+x+c 的图象开口向上，对称轴在 y 轴左边，交 y 轴于负半轴，故选： C10解： ABC DEF， ，即 ， DEF 的周长为 13，故选： C二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11解： ，即3 x2，则不等式组 的解集在数轴上表示即为所示，故答案为：12解：函数 y x2 bx+c 的图象上有两点 A（3，8） ， B（5，8） ，且两点的纵坐标相等， A、 B 是关于抛物线的对称轴对称，对称轴为： x 1，故答案为：113解
13、：连接 CD， BE， BC 为 O 的直径， CD AB， BE AC， D 是 AB 的中点， CD 垂直平分 AB， AC BC， OD5， AC BC10，tan A2， CD2 AD，在 Rt ADC 中， AD2+CD2 AC2，即 AD2+（2 AD） 210 2， AD2 ， AB2 AD4 ，在 Rt AEB 中，tan A2， BE2 AE， AE2+BE2 AB2， AE4，故答案为：414解：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，根据对称性可知： OEF OHG， OAM OCN， S 阴 S ABD S 平行四边形 ABCD 6412，故答案为 1215解： a+b6
14、， ab8， a2+b2（ a+b） 22 ab361620，故答案为：2016解：连接 OD，四边形 ABCD 是菱形， AB CD， OAM OCN，在 AOM 和 CON 中， AOM CON（ AAS） ， OA OC， BD 与 AC 相交于点 O， ACD BAC28， ODC90 ACD62故答案为 62三解答题（共 9 小题，满分 102 分）17解：（1）去分母得：2（2 x+1）（2 x1）6，去括号得：4 x+22 x+16，移项得：4 x2 x621，合并同类项得：2 x3，系数化为 1 得： x ，（2）去分母得：2 x（3 x5）4（5+ x） ，去括号得：2 x3
15、 x+520+4 x，移项得：2 x3 x4 x205，合并同类项得：5 x15，系数化为 1 得： x318证明： DA BE， DE AB，在 ABC 和 DEF 中， ABC DEF（ SSS） ， C F19解：（2 ） ，当 x2 时，原式 20解：（1）设自行车的单价为 x 元/辆，书包的单价为 y 元/个，根据题意得： ，解得： 答：自行车的单价为 360 元/辆，书包的单价为 92 元/个（2）在甲商店购买所需费用为：360+92303362（元） ，在乙商店购买所需费用为：4520.85384.2（元） 362 384.2，在甲商店购买更省钱21解：（1）调查的总人数为 25
16、25%100（人） ，所以 m% 10%，即 m10，B 选项的人数为 1002530201015（人） ，补全条形统计图为：故答案为 100，10；（2）画树状图为：共有 20 种等可能的结果数，其中选出的两名选手正好是一男一女的结果数为 12，所以选出的两名选手正好是一男一女的概率 22解：（1）把 A 点（1，4）分别代入反比例函数 y ，一次函数 y x+b，得 k14，1+ b4，解得 k4， b3，点 B（4， n）也在反比例函数 y 的图象上， n 1；（2）如图，设直 线 y x+3 与 y 轴的交点为 C，当 x0 时， y3， C（0，3） ， S AOB S AOC+S
17、BOC 31+ 347 .5；（3） B（4，1） ， A（1，4） ，根据图象可知：当 x1 或4 x0 时，一次函数值大于反比例函数值23 （1）证明：连接 OE OA OE O AE OEA AE 平分 BAF OAE EAF OEA EAF OE AD ED AF D90 OED180 D90 OE DE DE 是 O 的切线（2）解：连接 BE AB 是 O 直径 AEB90 BED D90， BAE+ ABE90 BC 是 O 的切线 ABC ABE+ CBE90 BAE CBE DAE BAE DAE CBE ADE BEC DE3， CE2过点 E 作 EH AB 于 H，过点
18、 G 作 GP AB 交 EH 于 P，过点 P 作 PQ OG 交 AB 于 Q EP PG，四边形 OGPQ 是平行四边形 EPG90， PQ OG设 BC2 x， AE3 x AC AE+CE3 x+2 BEC ABC90， C C BEC ABC BC2 ACCE 即（2 x） 22（3 x+2）解得： x12， x2 （舍去） BC4， AE6， AC8sin BAC ， BAC30 EGP BAC30 PE EG OG+ EG PQ+PE当 E、 P、 Q 在同一直线上（即 H、 Q 重合）时， PQ+PE EH 最短 EH AE3 OG+ EG 的最小值为 324解：（1）直线
19、l： y x+m 经过点 B（0 ，1） ， m1，直线 l 的解析式为 y x1，直线 l： y x1 经过点 C（4， n） ， n 412，抛物线 y x2+bx+c 经过点 C（4，2）和点 B（0，1） ， ，解得 ，抛物线的解析式为 y x2 x1；（2）令 y0，则 x10，解得 x ，点 A 的坐标为（ ，0） ， OA ，在 Rt OAB 中， OB1， AB ， DE y 轴， ABO DEF，在矩形 DFEG 中， EF DEcos DEF DE DE，DF DEsin DEF DE DE， p2（ DF+EF）2（ + ） DE DE，点 D 的横坐标为 t（0 t4）
20、 ， D（ t， t2 t1） ， E（ t， t1） ， DE（ t1）（ t2 t1） t2+2t， p （ t2+2t） t2+ t， p （ t2） 2+ ，且 0，当 t2 时， p 有最大值 ；（3） AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90， A1O1 y 轴时， B1O1 x 轴， 设点 A1的横坐标为 x，如图 1，点 O1、 B1在抛物线上时，点 O1的横坐标为 x，点 B1的横坐标为 x+1， x2 x1 （ x+1） 2 （ x+1）1，解得 x ，如图 2，点 A1、 B1在抛物线上时，点 B1的横坐标为 x+1，点 A1的纵坐标比点 B1的纵坐标大 ， x2 x1
21、（ x+1） 2 （ x+1）1+ ，解得 x ，综上所述，点 A1的横坐标为 或 25解：（1）如图 1，对角线 BD 平分 ABC，则 ABD DBC50， ADB180 ABD A130 A， BDC ADC ADB130（130 A） A，又 ABD DBC50， ABD DBC，即 BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ；（2）如下图所示： ABC ACD190， ， ABC ACD1，故：以 AC 为“相似对角线”的四边形有： ABCD1，同理可得：以 AC 为“相似对角线”的四边形还有： ABCD2、 ABCD3、 ABCD4；故：以 AC 为“相似对角线”的四边形有： ABCD1、 ABCD2、 ABCD3、 ABCD4；（3） OAC OBC， AOC COB，则： OAOB OC2， S AOB OByA OBOAsin60 OAOB6 ，即： OAOB24，即： OC2 ，yC OCsin30 ，同理可得： xC3 ，即点 C 的坐标为（3 ， ）
