1、高三数学练习卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上 1已知集合 |0 2, | 1A x x B x x ，则A B 2设i是虚数单位，复数 i2iaz 的模为1，则正数a的值为 3为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 4执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 5设 1,1, 2,2x y ，记“以( , )x y 为坐标的点落在不等式2 2 1x y 所表示的平面区域内”为事件A
2、，则事件A发生的概率为 6已知 ABC 的三边 , , a b c所对的角分别为 , , A B C，若a b且sin cosA Ca b ，则A 7已知等比数列 na 满足 1 12a ，且 2 4 34( 1),aa a 则 5a 8已知函数 2 2, 1,( ) log ( 1), 1,xaxf xx x 若 (0) 2f f ，则实数a的值是 9如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm 10在平面直角坐标系xOy中，已知点 , A F 分别为椭圆2 22 2: 1( 0)x yC
3、 a ba b 的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于 , P Q两点，线段AP的中点为M，若 , , Q F M三点共线，则椭圆C的离心率为 开始 输出k 结束 S10 S3 YNk （第4题）2k1（第3题）（第9题） 11设函数 ( ) sin(2 )3f x x ，若 1 2 0xx ，且 1 2( ) ) 0(f x f x ，则 2 1| |x x 的取值范围是 12已知圆 2 2:( 1) ( 4) 10C x y 上存在两点 ,AB，P为直线 5x 上的一个动点，且满足AP BP ，则点P的纵坐标取值范围是 13如图，已知P是半径为2，圆心角为3的一段圆弧AB上一点，
4、2AB BC ，则PC PA 的最小值为 14已知实数 , ,abc满足 2 1e e 2 1a c b c a b （e为自然对数的底数），则 2 2a b的最小值是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分14分） 已知向量 (sin ,cos 2sin ) a ， (1,2)b （1）若a b，求 2sin cos1 3cos 的值； （2）若| | | |a b，0 ，求的值 16（本小题满分14分） 如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD平面ABCD， PB PD ，PAPC
5、，CDPC，, O M分别是 , BD PC的中点，连结OM 求证：（1）OM平面PAD； （2）OM平面PCD PBC（第13题）MOADBCP（第16题） 17（本小题满分14分） 已知椭圆 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b 的左、右焦点分别为 1 2, F F，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且 1 2PFF 面积的最大值为 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设斜率不为零的直线 2PF与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点 (0, )18T ，求直线PQ的斜率 18（本小题满分16分） 如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现
6、对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设 BDE （1）当 60 时，求绿化面积； （2）试求地块的绿化面积 ( )S 的取值范围 EBADC（第18题）19（本小题满分16分） 数列 na 的前n项和记为 nA，且 12 nn n a aA ，数列 nb 是公比为q的等比数列，它的前n项和记为 nB 若 1 1 0a b ，且存在不小于3的正整数 , k m，使k ma b （1）若 1 31, 5a a ，求 2a ； （2）证明：数列 na 为等差数列； （3）若 2q
7、，是否存在整数 , m k，使 86k mA B ，若存在，求出 , m k的值；若不存在，说明理由 20（本小题满分16分） 若函数 ( ) ( )f x g x 和 ( ) ( )f x g x 同时在x t 处取得极小值，则称 ( )f x 和 ( )g x 为一对“ ( )Pt 函数” （1）试判断 ( )f x x 与 2( )g x x ax b 是否是一对“ (1)P 函数”； （2）若 ( ) exf x 与 2( ) 1g x x ax 是一对“ ( )Pt 函数” 求a和t的值； 若 0a ，若对于任意 1, )x ，恒有 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x m
8、f x g x ，求实数m的取值范围 高三数学练习卷 附加题 21【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答若多做，则按作答的 前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修42：矩阵与变换 变换1T是逆时针旋转2的旋转变换，对应的变换矩阵是 1M；变换 2T对应用的变换矩阵是 2 1 10 1M 求曲线 2 2 1x y 的图象依次在1T，2T变换的作用下所得曲线的方程 B选修44：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 (sin 3cos ) 4 3 ，设点P是曲线 22: 19yC
9、x 上的动点，求P到直线l距离的最大值 C选修45：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2|, ( ) | 1|f x x g x x x 若存在实数x，使不等式( ) ( ) ( )m g x f x x m R 成立，求实数m的最小值 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分10分） 在四棱锥P ABCD 中， /AB CD , 2 2 2 4AB CD BC AD , 60DAB ,AE BE , PAD 为正三角形，且平面PAD平面ABCD. （1）求二面角P EC D 的余弦值； （2）线段PC上是否存在一点M，使得
10、异面直线DM和PE所成的角的余弦值为 68 ？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由 23（本小题满分10分） 已知非空集合M满足 *0, 1, 2, , ( 2, )M n n n N 若存在非负整数 ( )k k n ，使得当a M 时，均有2k a M ，则称集合M具有性质P记具有性质P的集合M的个数为 ( )f n （1）求 (2)f 的值； （2）求 ( )f n 的表达式 AD CBE（第2题） 高三数学练习卷参考答案 一、填空题 1(1,2) 2 3 348 47 51 8 62 78 82 94 1013 113 122,6 135 2 13 1415 解答与提示： 1
11、, (0,2) (1,+ )A B ，所以 (1,2)A B 2 2 2i | i| 1+| | | | 1 32i |2i| 2a a az a ，因为 0a ，所以 3a 3 31 (0.0125+0.0375) 5=4 ， 12 483 24 1+2+3 4执行第一次循环后 3, 3S k ；执行第二次循环后 9, 5S k ； 执行第三次循环后 45, 7S k ；终止循环 5 2 4 12 4 8P 6在 ABC 中，由正弦定理，sin cos sin cos cos 1sin sin sinA C A C Ca b A B B ， cos 0C ，又a b A B ，所以 (0,
12、)2B , sin( )2 1 ( )sin 2C A B CB 7由 2 4 34( 1)aa a ，得 323 4( 1)a a ，得 3 2a ，所以 23518aa a 8 (0) 3f ， (0) (3) log 2 2af f f ，所以 2a 9设圆柱底面的半径为r，则 32 246 3 83rV r r r ，即 3 22 8r r ，解得 4r 10法一：设 ( , ), ( , )p m n Qmn ，又 ( ,0), ( ,0), ( , )2 2a m nAa F c M ， 1( , ) ( , ) ( ) ( )2 2 2 2 3a m n n a m cFQ FM
13、 m c n c m c n c ea 法二：连结AQ，则F是 APQ 的重心，下略 11不妨设1 20x x ，则 2 1 2 1| |x x x x ，由图可知 2 1 0 ( )3 3x x 12如图 1，设(5, )P t ，弦AB的中点为D，圆心C到的距离为d，可知 22 10AB d ； 则由PC PD CD 得到 2 2 210 2( 10 ) 202ABPC CD d d d d ， 即 2 24 ( 4) 20t ，解得 2,6t 法二：过点 (5, )P t 作圆的两条切线，若满足 =APB ，则 90 时适合题意，由直线定理可知： 10sin90sin2PC ，即10 2
14、0sin2PC ，有 2 24 ( 4) 20t ，解得 2,6t 13以圆心为原点，AB垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则 ( 1, 3), (2, 3)A C ，设 2(2cos ,2sin )( )3 3P ， (2 2cos , 3 2sin ) ( 1 2cos , 3 2sin ) 5 2cos 4 3sinPC PA ， 5 2 3sin( ) ，其中 3 30 tan 6 3 ， 所以0 6 ，当 2 时，PC PA 的最小值为5 2 13 14设 ( ) e ( 1)xu x x ，则 ( ) e 1xu x ，可知 ( ) (0) 0u x u ，即e 1x
15、 x ； 可知 2 1e e 1 2 2 1a c b c a c b c a b ，当且仅当 2 1 0a c b c 时，取等； 即 2 1e e 2 1a c b c a b ， 2 1 0a c b c ， 解得 22 2 2 2( 1) 5 1 1=4 4 2 4 5c ca b c c ，当且仅当 15c 时，取等号 二、解答题 15解：（1）因为a b，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ； 3分 当cos 0 时，sin =0 ，与 2 2sin cos 1 矛盾，所以cos 0 ， 故 1tan 4 ， 5分 所以 2 2 2 2sin cos sin c
16、os tan 41 3cos sin 4cos tan 4 65 7分 （2）由| | | |a b 知， 2 2sin (cos 2sin ) 5 ， 即 21 4sin cos 4sin 5 ， 9分 从而 2sin2 2(1 cos2 ) 4 ，即sin2 cos2 1 ， 于是 2sin(2 )4 2 12分 又由0 知， 924 4 4 ， 所以 52 4 4 或 72 4 4 ，因此 2 或 34 14分 16证：（1）连结AC 在平行四边形ABCD中，因为O是BD中点，所以O是AC中点 又M为PC中点，所以OMPA 3分 又OM平面PAD，PA平面PAD，所以OM平面PAD 6分
17、 （2）连结PO，因为PB PD 且O是BD中点，所以PO BD 又因为平面PBD平面ABCD BD ，平面PBD平面ABCD，PO平面PBD， 所以PO平面ABCD 9分 又因为CD平面ABCD，所以CD PO 又CD PC ，PO PC P ，PO平面PAC，PC平面PAC， 所以CD平面PAC 11分 又OM平面PAC，所以OM CD 在平面PAC中，由（1）得OMPA， 又PA PC ，所以OM PC 又CD PC C ，PC平面PCD，CD平面PCD， 所以OM平面PCD 14分 17解：（1）因为椭圆离心率为12，当P为C的短轴顶点时， 1 2PFF 的面积有最大值 3 所以 2
18、2 21,21 2 3,2,caa b cc b 所以2,3,1,abc故椭圆C的方程为： 2 2 14 3x y 4分 （2）设直线PQ的方程为 ( 1)y k x ， 当 0k 时， ( 1)y k x 代入 2 2 14 3x y ， 得： 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k 6分 设 1 1( ),P x y ， 2 2( ),Q x y ，线段PQ的中点为 0 0( ),N x y ， 21 20242 3 4x x kxk ， 1 20 0 23( 1)2 3 4y y ky k xk ， 即 2 2 24 3( , )3 4 3 4k kN k k 8
19、分 因为TN PQ ，则 1TN PQk k ，所以 2 223 14 3 8 144 3kk kkk ， 10分 化简得 24 8 3 0k k ，解得 12k 或 32k ， 即直线PQ的斜率为12或32 14分 18解：（1）当 60 时， /DE AC， /DF AB，四边形AEDF是平行四边形， BDE和 CDF 均为边长为1km的等边三角形，面积都是 34 km2， 所以绿化面积为 23 3 32 24 4 2 km2 4分 （2）由题意知，30 90 ，在 BDE 中， 120BED ， 由正弦定理得 1sin sin(120 )BE ，所以 sinsin(120 )BE ， 在
20、 CDF 中， 120CDF ， CFD ， 由正弦定理得 1sin sin(120 )CF ，所以 sin(120 )sinCF ， 8分 所以 2 2sin(120 ) sin sin (120 ) sinsin sin(120 ) sin sin(120 )BE CF 2 2 2 223 1 5 3 3( cos sin ) sin sin sin cos cos2 2 4 2 43 1 3 1sin ( cos sin ) sin cos sin2 2 2 2 2 223 3(sin cos )4 41 13 1 3 1sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4
21、 3 1112 sin(2 30)2 ， 11分 所以 3( ) 3 ( )4ABC BDE CDFS S S S BE CF 3 3 3 13 (30 90)14 8 sin(2 30)2 ， 当30 90 时，30 2 30 150 ， 1 sin(2 30) 12 ，1 31 sin(2 30)2 2 ， 2 1 113 sin(2 30)2 ，所以3 3 3( )8 2S ， 答：地块的绿化面积 ( )S 的取值范围是3 3 3( , 8 2 14分 19解：（1）当 3n 时， 1 33 1 2 3 3( )2a aA a a a ， 因为1 31, 5a a ，所以 2 3a 3分
22、 （2）由 12 nn n a aA ，得 1 11 ( 1) 2 nn n a aA ， 两式相减，得 1 11 ( 1)2 n nn a n a naa ，即 1 1( 1) 0n nn a na a ， 所以 2 1 1( 1) 0n nna n a a ， 两式相减，得 1 22 n n na a a ，所以数列 na 为等差数列 8分 （3）依题意： 11 2mk ma b a ，由 86k mA B 得： 1 1862 1k ma a a qak q ， 即 11 1 1 12 2862 1 2m ma a a ak ， 12 862 24 86m k ， 所以 1516344 2
23、 1mk 10分 因为 92 512 ，且 3m ，所以2 1 9m ， 又因为516 4 129 4 3 43 ，且 12 1m 为奇数， 12分 所以 12 1 129m 时， 15162 1m 是整数，此时 1 7m ， 所以 8m , 340k 16分 20解：令1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )h x f x g x h x f x g x （1）则 21 2( ) 2 1, ( ) 3 2h x x a h x x ax b ， 因为 ( )f x x 与 2( )g x x ax b 是一对“ (1)P 函数”， 所以 12(1) 3 0,(1) 2 3 0,
24、h ah a b 所以 3,3.ab 此时，因 2 22 ( ) 3 6 3 3( 1) 0h x x x x ， 2( )h x 无极小值， 故 ( )f x x 与 2( )g x x ax b 不是一对“ (1)P 函数” 4分 （2） 21( ) e 1xh x x ax ， 22( ) e ( 1)xh x x ax ， 1( ) e 2xh x x a ， 22 ( ) e ( 2) 1 e ( 1)( 1)x xh x x a x a x x a ， 若 ( ) exf x 与 2( ) 1g x x ax 是一对“ ()Pt 函数”， 由 2 ( ) e ( 1)( 1) 0x
25、h x x x a ，得1 21, 1x x a ， 6分 1 若 0a ，则有 x ( , 1)a 1a ( 1, 1)a -1 ( 1, ) 2( )h x + 0 - 0 + 2( )h x 极大值 极小值 因为 2( )h x 在x t 处取得极小值，所以 1t ， 从而 11 1( 1) e 2 0, 2 eh a a 经验证知 21 1( ) e 2 ) 1exh x x x （ 在 1x 处取得极小值，所以12 ,e1.at 2 0a当 时，则有 x ( , 1) 1 ( 1, 1)a 1a ( 1, ) 2( )h x + 0 - 0 + 2( )h x 极大值 极小值 因为
26、2( )h x 在x t 处取得极小值，所以 1t a ； 从而 11( 1) e 2 0ah a a ， 令 1( ) e 2, 0aa a a ， ( )a 在( ,0) 是减函数，且 ( 1) 0 ，所以 1a ，从而 1,0.at 经验证知 21( ) e 1xh x x x 在 0x 处取得极小值，所以 1,0.at 3当 0a 时， 22 ( ) e ( 1) 0xh x x ，2( )h x 是增函数，无极小值，与题设不符 综上所述：12e1at 或 10at 12分 因为 0a ,由之结论知， ( ) exf x ， 2( ) 1g x x x ， 易见 ( ) 0f x (
27、) 0g x ， 故不等式 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x m f x g x 等价于： 1 1( ) ( ) mf x g x ， 令 1 1( ) ( ) ( )H x f x g x ， 则 max( )H x m 因为 1x，所以 ( )H x 单调递减， 所以 max 1( ) (1) 1eH x H ，从而 1 1em 16分 高三数学练习卷附加题参考答案 21-A解：旋转变换矩阵 1 0 11 0M ， 3分 记 2 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0M MM ， 6分 设 xy 是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是 00xy ， 则 00x
28、xMy y ，也就是0 00,x x yy x ，即00,x yy y x ， 代入 2 20 0 1x y ，得 2 2( ) 1y y x ， 所以所求曲线的方程是 2 22 2 1x xy y 10分 21-B解：直线: 3 4 3l x y ， 3分 设点 (cos ,sin )P ， |3sin 3cos 4 3|2d 5分 |2 3sin( + ) 4 3|6=2 | 2 3 4 3|=3 32 ， 8分 当且仅当 + =26 2k ，即 22 3k 时取“=”， P到直线l距离的最大值为3 3 10分 21-C解：由不等式 ( ) ( ) ( )m g x f x x m R 可
29、得 min2 1, 2 1m x x m x ， 3分 2 1 2 1 3, 3x x x x m ， 8分 故实数m的最小值是3 10分 22解：设O是AD中点， PAD 为正三角形，则PO AD ，平面PAD平面ABCD， PO ABCD面 ， 又 2AD AE ，60DAB ，所以 ADE 为正三角形，OE AD ，建立如图所示空间直角坐标系O xyz ，则 (0,0, 3), (0, 3,0)P E ， ( 2, 3,0), ( 1,0,0)C D ， 于是 ( 2, 3, 3)PC ， (0, 3, 3)PE ， (1,0, 3)DP ， 1分 （1）设平面PEC的法向量为1 ( ,
30、 , )n x y z ， 由 1 20, 0PC n PE n 得一个法向量为1 (0,1,1)n ， 平面EDC的一个法向量为 2 (0,0,1)n ， 3分 设二面角P EC D 的平面角为，则 1 21 2|cos | |cos , |22n n ， 由图知为锐角，所以，二面角P EC D 的余弦值为 22 5分 （2）设 (0 1)PM PC ，则 ( 2 , 3 , 3 )PM ， (1 2 , 3 , 3 3 )DM DP PM ， (0, 3, 3)PE ， 所以 2|6 3| 6|cos , | | | 8| | | 6 10 10 4DM PEDM PE DM PE ， 8
31、分 解得 13 或23，所以存在点M为线段PC的三等分点 10分 23解：（1）当 2n 时， 0,1,2,0,2,0,1,2M 具有性质P， 对应的k分别为0,1,2,1,1，故 (2) 5f 3分 A D C B PE Oxyz （2）设当n t 时，具有性质P的集合M的个数为 ()f t ， 则当 1n t 时， ( 1) () ( 1)f t f t g t ， 其中 ( 1)g t 表示 1t M 时也具有性质P的集合M的个数， 下面计算 ( 1)g t 关于t的表达式， 此时应有2 1k t ，即 12tk ，故对n t 分奇偶讨论， 当t为偶数时， 1t 为奇数，故应该有 22t
32、k ， 则对每一个k， 1t 和2 1k t 必然属于集合M，且t和2k t ， k和k共有 1t k 组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M， 故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为 0 1 1 11 1 1 2t k t kt k t k t kC C C ， 所以 2 12 2 2( 1) 2 2 2 1 2 2 1t t tg t ， 当t为奇数时， 1t 为偶数，故应该有 12tk ， 同理 1 1 12 2 2( 1) 2 2 2 1 2 2 2 1t t tg t ， 综上，可得 22() 2 2 1,( 1)() 2 2 2 1,ttf t tf tf t t 为偶数，为奇数， 7分 又 (2) 5f ，由累加法解得 2126 2 5,()4 2 5,ttt tf tt t 为偶数，为奇数，即 2 126 2 5,( )4 2 5,nnn nf nn n 为偶数，为奇数. 10分
