1、2019 年山东省郓城县初中数学学业水平考试模拟试题二一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1我市 2018 年的最高气温为 39，最低气温为零下 7，则计算 2018 年温差列式正确的（ ）A （+39）（7） B （+39）+（+7） C （+39）+（7） D （+39）（+7）2目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是 5 纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16 纳米，已知 1 纳米10 9 米，用科学记数法将 16 纳米表示为（ ）A1.610 9 米 B1.610 7 米 C1.610 8 米 D1610 7 米3如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（
2、 ）A BC D4在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班 5 名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A众数是 98 B平均数是 90 C中位数是 91 D方差是 565如图， O 为坐标原点， OAB 是等腰直角三角形， OAB90，点 B 的坐标为（0，2） ，将该三角形沿 x 轴向右平移得到 Rt O A B ，此时点 B的坐标为（2 ，2） ，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为（ ）A4 B3 C2 D16如图，已知 O 的半径是 2，点 A、 B、 C 在 O 上，若四边形 OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
3、A 2 B C 2 D 7如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点， AE BD，垂足为 F，则 tan BDE 的值是（ ）A B C D8已知二次函数 y x2+x+6 及一次函数 y x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示） ，当直线y x+m 与新图象有 4 个交点时， m 的取值范围是（ ）A m3 B m2 C2 m3 D6 m2二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）9分解因式： a32 a2b+ab2 10已知 x2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（ k22） x+2k+40 的一个
4、根，则 k 的值为 11已知边长为 5 的菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 6，点 E 在对角线 BD 上且tan EAC ，则 BE 的长为 12如图，圆锥的母线长为 10cm，高为 8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm （结果用 表示）13如图，正比例函数 y kx 与反比例函数 y 的图象有一个交点 A（2， m） ， AB x 轴于点 B平移直线 y kx，使其经过点 B，得到直线 l，则直线 l 对应的函数表达式是 14如图，已知等边 OA1B1，顶点 A1在双曲线 y （ x0）上，点 B1的坐标为（2，0） 过 B1作 B1A2 OA1交双曲线于点 A2，过
5、A2作 A2B2 A1B1交 x 轴于点 B2，得到第二个等边 B1A2B2；过 B2作 B2A3 B1A2交双曲线于点 A3，过 A3作 A3B3 A2B2交 x 轴于点 B3，得到第三个等边 B2A3B3；以此类推，则点 B6的坐标为 三、解答题15 （6 分）计算：（3.14） 0+（ ） 2 | |+4cos3016 （6 分）先化简，再求值： ，其中 a1+ 17 （6 分）如图， AB CD， E 是 CD 上一点， BE 交 AD 于点 F， EF BF求证： AF DF18 （6 分）如图，两座建筑物 AB 与 CD，其地面距离 BD 为 60 米， E 为 BD 的中点，从
6、E 点测得 A 的仰角为 30，从 C 处测得 E 的俯角为 60，现准备在点 A 与点 C 之间拉一条绳子挂上小 彩旗（不计绳子弯曲） ，求绳子 AC 的长度 （结果保留一位小数，1.41， 1.73）19 （7 分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元经市场调研，当该纪念品每件的销售价为 50 元时，每天可销售 200 件；当每件的销售价每增加 1 元，每天的销售数量将减少 10 件（1）当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为 件；（2）当每件的销售价 x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y 最大？并求出最大利润20 （7 分）如图，在平面直角坐标系 x
7、Oy 中，反比例函数 的图象与一次函数 y x+2的图象的一个交点为 A（ m，1） （1）求反比例函数的解析式；（2）设一次函数 y x+2 的图象与 y 轴交于点 B，若 P 是 y 轴上一点，且满足 PAB 的面积是 3，直接写出点 P 的坐标21 （10 分）为迎接河南省第 30 届青少年科技创新大赛，某中学向七年级学生征集科幻画作品，李老师从七年级 12 个班中随机抽取了 A、 B、 C、 D 四个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图（如图）（1）李老师所调查的 4 个班征集到作品共 件，其中 B 班征集到作品 ，请把图补充完整；（2）李老师所调查的四个班
8、平均每个班征集到作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生现在要抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法求出恰好抽中一男一女的概率22 （10 分）如图， ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF AC 于点 F（1）试说明 DF 是 O 的切线；（2）若 AC3 AE，求 tanC2 3 （10 分）在数学兴 趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 2 的正方形ABCD 与边长为 2 的正方形 AEFG
9、按图 1 位置放置， AD 与 AE 在同一直线上， AB 与 AG在同一直线上（1）小明发现 DG BE，请你帮他说明理由（2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他求出此时 BE 的长（3）如图 3，小明将正方形 ABCD 绕点 A 继续逆时针旋转，线段 DG 与线段 BE 将相交，交点为 H，写出 GHE 与 BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由24 （10 分）如图，已知一条直线过点（0，4） ，且与抛物线 y x2交于 A， B 两点，其中点 A 的横坐标是2（1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标（2）在 x 轴
10、上是否存在点 C，使得 ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理由（3）过线段 AB 上一点 P，作 PM x 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限，点N（0，1） ，当点 M 的横坐标为何值时， MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？参考答案一、选择题1我市 2018 年的最高气温为 39，最低气温为零下 7，则计算 2018 年温差列式正确的（ ）A （+39）（7） B （+39）+（+7） C （+39）+（7） D （+39）（+7）【分析】根据题意列出算式即可解：根据题意得：（+39）（7） ，故选： A【点评】此题考查了有理 数的加减混合运算，熟
11、练掌握运算法则是解本题的关键2目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是 5 纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16 纳米，已知 1 纳米10 9 米，用科学记数法将 16 纳米表示为（ ）A1.610 9 米 B1.610 7 米 C1.610 8 米 D1610 7 米【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定解：1 纳米10 9 米，16 纳米表示为：1610 9 米1.610 8 米故选： C【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为
12、 a10 n，其中1| a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（ ）A BC D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，故选： D【点评】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图4在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班 5 名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A众数是 98 B平均数是 90 C中位数是 91 D方差是 56【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、
13、方差的计算公式计算解：98 出现的次数最多，这组数据的众数是 98， A 说法正确； （80+98+98+83+91）90， B 说法正确；这组数据的中位数是 91， C 说法正确；S2 （8090） 2+（9890） 2+（9890） 2+（8390） 2+（9190） 2 27855.6， D 说法错误；故选： D【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式 s12 （ x1 ） 2+（ x2 ） 2+（ xn ） 2是解题的关键5如图， O 为坐标原点， OAB 是等腰直角三角形， OAB90，点 B 的坐标为（0，2） ，将该三角形沿 x 轴向右平移得
14、到 Rt O A B ，此时点 B的坐标为（2 ，2） ，则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为（ ）A4 B3 C2 D1【分析】利用平移的性质得出 AA的长，根据等腰直角三角形的性质得到 AA对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可解：点 B 的坐标为（0，2 ） ，将该三角形沿 x 轴向右平移得到 Rt O A B，此时点 B的坐标为（2 ，2 ） ， AA BB2 ， OAB 是等腰直角三角形， A（ ， ） ， AA对应的高 ，线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 2 4故选： A【点评】此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质 以及平行四边面积求法，利用平移规
15、律得出对应点坐标是解题关键6如图，已知 O 的半径是 2，点 A、 B、 C 在 O 上，若四边形 OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）A 2 B C 2 D 【分析】连接 OB 和 AC 交于点 D，根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及 AOC的度数，然后求出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积，则由 S 扇形 AOC S 菱形 ABCO可得答案解：连接 OB 和 AC 交于点 D，如图所示：圆的半径为 2， OB OA OC2，又四边形 OABC 是菱形， OB AC， OD OB1，在 Rt COD 中利用勾股定理可知： CD ， AC2 CD2 ，sin COD ，
16、 COD60， AOC2 COD120， S 菱形 ABCO OBAC 22 2 ，S 扇形 AOC ，则图中阴影部分面积为 S 扇形 AOC S 菱形 ABCO 2 ，故选： C【点评】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积 ab（ a、 b 是两条对角线的长度） ；扇形的面积 ，有一定的难度7如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点， AE BD，垂足为 F，则 tan BDE 的值是（ ）A B C D【分析】证明 BEF DAF，得出 EF AF， EF AE，由矩形的对称性得： AE DE，得出 EF DE，设 EF x，则 DE3 x，由勾股
17、定理求出 DF 2 x，再由三角函数定义即可得出答案解：四边形 ABCD 是矩形， AD BC， AD BC，点 E 是边 BC 的中点， BE BC AD， BEF DAF， ， EF AF， EF AE，点 E 是边 BC 的中点，由矩形的对称性得： AE DE， EF DE，设 EF x，则 DE3 x， DF 2 x，tan BDE ；故选： A【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键8已知二次函数 y x2+x+6 及一次函数 y x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿x 轴翻折到 x 轴下方，图象的
18、其余部分不变，得到一个新函数（如图所示） ，当直线y x+m 与新图象有 4 个交点时， m 的取值范围是（ ）A m3 B m 2 C2 m3 D6 m2【分析】如图，解方程 x2+x+60 得 A（2，0） ， B（3，0） ，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为 y（ x+2） （ x3） ，即 y x2 x6（2 x3） ，然后求出直线y x+m 经过点 A（2，0）时 m 的值和当直线 y x+m 与抛物线y x2 x6（2 x3）有唯一公共点时 m 的值，从而得到当直线 y x+m 与新图象有 4 个交点时， m 的取值范围解：如图，当 y0 时， x2+x+60，解得 x12，
19、 x23，则 A （2，0） ，B（3，0） ，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的解析式为y（ x+2） （ x3） ，即 y x2 x6（2 x3） ，当直线 y x+m 经过点 A（2，0）时，2+ m0，解得 m2；当直线 y x+m 与抛物线 y x2 x6（2 x3）有唯一公共点时，方程x2 x6 x+m 有相等的实数解，解得 m6，所以当直线 y x+m 与新图象有 4 个交点时， m 的取值范围为6 m2故选： D【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y ax2+bx+c（ a， b， c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐
20、标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数图象与几何变换二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9分解因式： a32 a2b+ab2 a（ a b） 2 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可解：原式 a（ a22 ab+b2） a（ a b） 2，故答案为： a（ a b） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键10已知 x2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（ k22） x+2k+40 的一个根 ，则 k 的值为 3 【分析】把 x2 代入 kx2+
21、（ k22） x+2k+40 得 4k+2k24+2 k+40，再解关于 k 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定 k 的值解：把 x2 代入 kx2+（ k22） x+2k+40 得 4k+2k24+2 k+40，整理得 k2+3k0，解得 k10， k23，因为 k0，所以 k 的值为3故答案为3【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解11已知边长为 5 的菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 6，点 E 在对角线 BD 上且tan EAC ，则 BE 的长为 3 或 5 【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可解：当点 E
22、在对角线交点左侧时，如图 1 所示：菱形 ABCD 中，边长为 5，对角线 AC 长为 6， AC BD， BO ，tan EAC ，解得： OE1， BE BO OE413，当点 E 在对角线交点左侧时，如图 2 所示：菱形 ABCD 中，边长为 5，对角线 AC 长为 6， AC BD， BO ，tan EAC ，解得： OE1， BE BO OE4+15，故答案为：3 或 5；【点评】此题考查菱形的性 质，关键是根据菱形的性质和三角函数解答12如图，圆锥的母线长为 10cm，高为 8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12 cm （结果用 表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结
23、合圆周长公式的求解解：设底面圆的半径为 rcm，由勾股定理得： r 6，2 r2612，故答案为：12【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般13如图，正比例函数 y kx 与反比例函数 y 的图象有一个交点 A（2， m） ， AB x 轴于点 B平移直线 y kx，使其经过点 B，得到直线 l，则直线 l 对应的函数表达式是 y x3 【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出 A 点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案解：正比例函数 y kx 与反比例函数 y 的图象有一个交点 A（2， m） ，2
24、 m6，解得： m3，故 A（2，3） ，则 32 k，解得： k ，故正比例函数解析式为： y x， AB x 轴于点 B，平移直线 y kx，使其经过点 B， B（2，0） ，设平移后的解析式为： y x+b，则 03+ b，解得： b3，故直线 l 对应的函数表达式是： y x3故答案为： y x3【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出 A， B 点坐标是解题关键14如图，已知等边 OA1B1，顶点 A1在双曲线 y （ x0）上，点 B1的坐标为（2，0） 过 B1作 B1A2 OA1交双曲线于点 A2，过 A2作 A2B2 A1B1交 x 轴于点 B2，得到第
25、二个等边 B1A2B2；过 B2作 B2A3 B1A2交双曲线于点 A3，过 A3作 A3B3 A2B2交 x 轴于点 B3，得到第三个等边 B2A3B3；以此类推，则点 B6的坐标为 （2 ，0） 【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、 B3、 B4的坐标，得出规律，进而求出点 B6的坐标解：如图，作 A2C x 轴于点 C，设 B1C a，则 A2C a，OC OB1+B1C2+ a， A2（2+ a， a） 点 A2在双曲线 y （ x0）上，（2+ a） a ，解得 a 1，或 a 1（舍去） ， OB2 OB1+2B1C2+2 22 ，点 B2的坐
26、标为（2 ，0） ；作 A3D x 轴于点 D，设 B2D b，则 A3D b，OD OB2+B2D2 +b， A2（2 +b， b） 点 A3在双曲线 y （ x0）上，（2 +b） b ，解得 b + ，或 b （舍去） ， OB3 OB2+2B2D2 2 +2 2 ，点 B3的坐标为（2 ，0） ；同理可得点 B4的坐标为（2 ，0）即（4，0） ；以此类推，点 Bn的坐标为（2 ，0） ，点 B6的坐标为（2 ，0） 故答案为（2 ，0） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、 B3、 B4的坐标进而得出点 Bn的规律是解题的关键三、解答题（本
27、题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）15 （6 分）计算：（3.14） 0+（ ） 2 | |+4cos30【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值可以解答本题解：（3.14） 0+（ ） 2 | |+4cos301+9 +41+92 +210【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法16 （6 分）先化简，再求值： ，其中 a1+ 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值解：原式 ，当 a
28、1+ ， b1 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17 （6 分）如图， AB CD， E 是 CD 上一点， BE 交 AD 于点 F， EF BF求证： AF DF【分析】欲证明 AF DF 只要证明 ABF DEF 即可解决问题证明： AB CD， B FED，在 ABF 和 DEF 中， ABF DEF， AF DF【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型18 （6 分）如图，两座建筑物 AB 与 CD，其地面距离 BD 为 60 米，
29、E 为 BD 的中点，从 E 点测得 A 的仰角为 30，从 C 处测得 E 的俯角为 60，现准备在点 A 与点 C 之间拉一条绳子挂上小彩旗（不计绳子弯曲） ，求绳子 AC 的长度 （结果保留一位小数，1.41， 1.73）【分析】根据 60、30角的余弦值可求得 AE 和 CE，然后由勾股定理来求 AC 的长度即可解：如图，连接 AC在直角 ABE 中， BE30 米， AEB30，则 AE 20 （米） 在直角 CDE 中， EE30 米， CED60，则 CE 60（米） 又 AEC180306090，由勾股定理得到： AC 40 69.2（米） 答： AC 的长度约为 69.2 米
30、【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题要求 学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形19 （7 分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元经市场调研，当该纪念品每件的销售价为 50 元时，每天可销售 200 件；当每件的销售价每增加 1 元，每天的销售数量将减少 10 件（1）当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为 180 件；（2）当每件的销售价 x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y 最大？并求出最大利润【分析】 （1）根据“当每件的销售价每增加 1 元，每天的销售数量将减少 10 件” ，即可解答；（2）根据等量关系“利润（售价进价）销量”列
31、出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答解：（1）由题意得：20010（5250）20020180（件） ，故答案为：180；（2）由题意得：y（ x40）20010（ x50）10 x2+1100x2800010（ x55） 2+2250每件销售价为 55 元时，获得最大利润；最大利润为 2250 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握20 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 的图象与一次函数 y x+2的图象的一个交点为 A（ m，1） （1）求反比例函数的解析式；（2）设一次函数 y x+2 的图象与
32、y 轴交于点 B，若 P 是 y 轴上一点，且满足 PAB 的面积是 3，直接写出点 P 的坐标【分析】 （1）将 A（ m，1）代入一次函数 y x+2 解析式，即可得出 A 点坐标，进而求出反比例函数解析式；（2）利用三角形面积公式得出底边长进而得出 P 点坐标解：（1）点 A（ m，1）在一次函数 y x+2 的图象上， m3 A 点的坐标为（3，1） 点 A （3，1）在反比例函数 y 的图象上， k3反比例函数的解析式为： y （2）一次函数 y x+2 的图象与 y 轴交于点 B，满足 PAB 的面积是 3， A 点的坐标为（3，1） ， ABP 的高为 3，底边长为：2，点 P
33、的坐标为（0，0）或（0，4） 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及三角形面积公式等知识，根据已知得出 A 点坐标以及注意不要漏解是解题关键，21 （10 分）为迎接河南省第 30 届青少年科技创新大赛，某中学向七年级学生征集科幻画作品，李老师从七年级 12 个班中随机抽取了 A、 B、 C、 D 四个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图（如图）（1）李老师所调查的 4 个班征集到作品共 12 件，其中 B 班征集到作品 3 ，请把图补充完整；（2）李老师所调查的四个班平均每个班征集到作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展
34、作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生现在要抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法求出恰好抽中一男一女的概率【分析】 （1）根据 C 在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据 C 的人数是 5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去 A、 C、 D 的件数即为 B 的件数；（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数 14，计算即可得解；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案解：（1）根据题意得：调查的 4 个班征集到作品数为：5 12（件） ，B 班作品的件数为：1225
35、23（件） ，补图如下：故答案为：12；3；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品是：1243（件） ，全校共征集到的作品：31236（件） ；（3）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，恰好抽中一男一女的有 12 种情况，恰好抽中一男一女的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键22 （10 分）如图， ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF AC 于点 F（1）
36、试说明 DF 是 O 的切线；（2）若 AC3 AE，求 tanC【分析】 （1）连接 OD，求出 OD AC，求出 DF OD，根据切线的判定得出即可；（2）由 AC3 AE 可得 AB AC3 AE， EC4 AE；连结 BE，由 AB 是直径可知 AEB90，根据勾股定理求出 BE，解直角三角形求出即可解：（1）连接 OD， OB OD， B ODB， AB AC， B C， ODB C， OD AC， DF AC， OD DF，点 D 在 O 上， DF 是 O 的切线；（2）连接 BE， AB 是直径， AEB90， AB AC， AC3 AE， AB3 AE， CE4 AE， BE
37、 2 AE，在 Rt BEC 中，tan C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质等，是一道综合题，难度中等23 （10 分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 2 的正方形 ABCD与边长为 2 的正方形 AEFG 按图 1 位置放置， AD 与 AE 在同一直线上， AB 与 AG 在同一直线上（1）小明发现 DG BE，请你帮他说明理由（2）如图 2，小明将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，请你帮他求出此时 BE 的长（3）如图 3，小明将正方形 ABCD
38、绕点 A 继续逆时针旋转，线段 DG 与线段 BE 将相交，交点为 H，写出 GHE 与 BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由【分析】 （1）由四边形 ABCD 与四边形 AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用 SAS 得到三角形 ADG 与三角形 ABE 全等，利用全等三角形对应角相等得 AGD AEB，如图 1 所示，延长 EB 交 DG 于点 H，利用等角的余角相等得到 DHE90，利用垂直的定义即可得 DG BE；（2）由四边形 ABCD 与四边形 AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用 SAS 得到三角形 ADG 与三角
39、形 ABE 全等，利用全等三角形对应边相等得到 DG BE，如图 2，过点 A 作 AM DG 交 DG 于点 M， AMD AMG90，在直角三角形 AMD 中，求出 AM 的长，即为 DM 的长，根据勾股定理求出 GM 的长，进而确定出 DG 的长，即为 BE 的长；（3） GHE 和 BHD 面积之和的最大值为 6，理由为：对于 EGH，点 H 在以 EG 为直径的圆上，即当点 H 与点 A 重合时， EGH 的高最大；对于 BDH，点 H 在以 BD 为直径的圆上，即当点 H 与点 A 重合时， BDH 的高最大，即可确定出面积的最大值解：（1）四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都
40、为正方形， AD AB， DAG BAE90， AG AE，在 ADG 和 ABE 中， ADG ABE（ SAS） ， AGD AEB，如图 1 所示，延长 EB 交 DG 于点 H，在 ADG 中， AGD+ ADG90， AEB+ ADG90，在 EDH 中， AEB+ ADG+ DHE180， DHE90，则 DG BE；（2）四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都为正方形， AD AB， DAB GAE90， AG AE， DAB+ BAG GAE+ BAG，即 DAG BAE，在 ADG 和 ABE 中， ADG ABE（ SAS） ， DG BE，如图 2，过点 A 作 AM
41、DG 交 DG 于点 M， AMD AMG90， BD 为正方形 ABCD 的对角线， MDA45，在 Rt AMD 中， MDA45，cos45 ， AD2， DM AM ，在 Rt AMG 中，根据勾股定理得： GM ， DG DM+GM + ， BE DG + ；（3） GHE 和 BHD 面积之和的最大值为 6，理由为：对于 EGH，点 H 在以 EG 为直径的圆上，当点 H 与点 A 重合时， EGH 的高最大；对于 BDH，点 H 在以 BD 为直径的圆上，当点 H 与点 A 重合时， BDH 的高最大，则 GHE 和 BHD 面积之和的最大值为 2+46【点评】此题属于几何变换综
42、合题，涉及的知识有：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键24 （10 分）如图，已知一条直线过点（0，4） ，且与抛物线 y x2交于 A， B 两点，其中点 A 的横坐标是2（1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标（2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在，请说明理由（3）过线段 AB 上一点 P，作 PM x 轴，交抛物线于点 M，点 M 在第一象限，点N（0，1） ，当点 M 的横坐标为何值时， MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？【分
43、析】 （1）首先求得点 A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；（2）如图 1，过点 B 作 BG x 轴，过点 A 作 AG y 轴，交点为 G，然后分若 BAC90，则 AB2+AC2 BC2；若 ACB90，则 AB2 AC2+BC2；若 ABC90，则 AB2+BC2 AC2三种情况求得 m 的值，从而确定点 C 的坐标；（3）设 M（ a， a2） ，如图 2，设 MP 与 y 轴交于点 Q，首先在 Rt MQN 中，由勾股定理得 MN a2+1，然后根据点 P 与点 M 纵坐标相同得到 x ，从而得到MN+3PM a2+3a+9，确定二次函数
44、的最值即可解：（1）点 A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为2， y （2） 21， A 点的坐标为（2，1） ，设直线的函数关系式为 y kx+b，将（0，4） ， （2，1）代入得 ，解得 ，直线 y x +4，直线与抛物线相交， x+4 x2，解得： x2 或 x8，当 x8 时， y16，点 B 的坐标为 （8，16） ；（2）如图 1，连接 AC， BC，由 A（2，1） ， B（8，16）可求得 AB2325设点 C（ m，0） ，同理可得 AC2（ m+2） 2+12 m2+4m+5，BC2（ m8） 2+162 m216 m+320，若 BAC90，则 AB2+AC2 BC2，
45、即 325+m2+4m+5 m216 m+320，解得： m ；若 ACB90，则 AB2 AC2+BC2，即 325 m2+4m+5+m216 m+320，解得： m0 或 m6；若 ABC90，则 AB2+BC2 AC2，即 m2+4m+5 m216 m+320+325，解得： m32；点 C 的坐标为（ ，0） ， （0，0） ， （6，0） ， （32，0）（3）设 M（ a， a2） ，如图 2，设 MP 与 y 轴交于点 Q，在 Rt MQN 中，由勾股定理得 MN a2+1，又点 P 与点 M 纵坐标相同， +4 a2， x ，点 P 的横坐标为 ， MP a ， MN+3PM +1+3（ a ） a2+3a+9，当 a 6，又268，取到最大值 18，当 M 的横坐标为 6 时， MN+3PM 的长度的最大值是 18【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果
