1、第 1 页，共 17 页2019 年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1. 已知集合 A=x|x1，B =x|x（x-2）0，则 AB=（ ）A. B. |0 |10 12. 复数 i（1+i）的虚部为（ ）A. B. 1 C. 0 D. 2 13. 在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率 进行了估算根据德国数学家莱布尼茨在 1674 年给出的求 的方法绘制的程序框图如图所示执行该程序框图，输出 s 的值为（ ）A. 4B. 83C. 5215D. 3041054. 在ABC 中， ，c =4， ，则 b=（ ）=6 =53A. B.
2、3 C. D. 3332 435. 已知等差数列a n首项为 a1，公差 d0则“a 1，a 3， a9 成等比数列”是“a 1=d”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知函数 f（x ）= ，若函数 f（x）存在零点，则实数 a 的取值范围是（ 2,）A. B. C. D. (,0) (,1) (1,+) (0,+)7. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为线段 CD 和 A1B1 上的动点，且满足 CE=A1F，则四边形D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的
3、三个面上的正投影的面积之和（ ）第 2 页，共 17 页A. 有最小值 B. 有最大值 C. 为定值 3 D. 为定值 232 528. 在同一平面内，已知 A 为动点，B，C 为定点，且 BAC= ， ，BC=1，P3 2为 BC 中点过点 P 作 PQBC 交 AC 所在直线于 Q，则 在 方向上投影的最大 值是（ ）A. B. C. D. 13 12 33 23二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9. 已知 a=log3e，b=ln3，c=log 32，则 a，b，c 中最小的是_10. 已知点 M（1，2）在抛物线 C：y 2=2px（p0）上，则点 M 到抛物线 C 焦
4、点的距离是_11. 圆 （ 为参数）上的点 P 到直线 （t 为参数）的距： =,=1+ ： =1+2,=1+离最小值是_12. 已知实数 x，y 满足 能说明“若 z=x+y 的最大值为 4，则 x=1，y=3”为1，+4.假命题的一组（x，y ）值是_13. 由数字 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，偶数共有_个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有_个14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O（0，0），M（-4 ，0），N （4，0），P（0，-2 ），Q （0，2），H（4，2）线段 OM 上的动点 A 满足；线段 HN 上的动点 B 满足 直线 PA 与直
5、线 QB 交=(0， 1) =于点 L，设直线 PA 的斜率记为 k，直线 QB 的斜率记为 k，则 kk的值为_；当 变化时，动点 L 一定在_（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15. 已知函数 ()=2+2323（）求函数 f（x ）的最小正周期；（）当 时，求证： 3， 12 ()3第 3 页，共 17 页16. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播比赛现场有 5 名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外
6、有数万名观众参与评分，将评分按照7，8），8 ，9），9，10分组，绘成频率分布直方图如图：专家 A B C D E评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7（）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于 9 的概率；（）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y ）的值；（）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数 作为该选手的最终得分方案二：分别计算专家评分的平均数 和观众评分的平均数 ，用 作为该选1 2
7、1+22手最终得分请直接写出 与 的大小关系 1+2217. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形，侧棱 AA1底面 ABCD，E 分别是边 BC，AC 的中点，线段 BC1 与 B1C 交于点 G，且 AB=4， 1=22（）求证：EG 平面 AB1D；（）求证：BC 1平面 AB1D；（）求二面角 A-B1C-B 的余弦值第 4 页，共 17 页18. 已知函数 f（x ）=（2ax 2+4x）ln x-ax2-4x（a R，且 a0）（）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数 f（x ）的极小值为 ，试求 a 的值119. 已知椭圆 C：
8、（a1）的离心率为 22+2=1 63（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 过点 M（1，0）且与椭圆 C 相交于 A，B 两点过点 A 作直线 x=3的垂线，垂足为 D证明直线 BD 过 x 轴上的定点20. 对于由有限个自然数组成的集合 A，定义集合 S（A）=a+b|a A，bA，记集合S（A）的元素个数为 d（S（A）定义变换 T，变换 T 将集合 A 变换为集合T（A ） =AS（ A）（）若 A=0，1，2，求 S（A），T （A ）；（）若集合 A 有 n 个元素，证明：“d（S（A）=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为 0 的等差数列”；（）若 A1，
9、2，3，4，5，6，7，8且1 ，2，3，25，26T（T（A），求元素个数最少的集合 A第 5 页，共 17 页答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据不等式的解法，易得 B=x|0x2，又有 A=x|x1， 则 AB=x|x0故选：A根据不等式的解法，B=x|0x2，然后根据并集的定义“ 由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题2.【答案】B【解析】解：i（ 1+i）=-1+i， i（1+i）的虚部为 1 故选：B 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，
10、是基础题3.【答案】C【解析】解：第一次，s=4，k=1，k3 否，第二次，s=4- = ，k=2，k3 否，第三次，s= + = ，k=3，k3 是，程序终止，输出 s= ，故选：C 根据程序框图进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键比较基础4.【答案】B【解析】第 6 页，共 17 页解： ，c=4， ，sinC= = ，由正弦定理 ，可得： ，解得： b=3故选：B 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值，根据正弦定理即可计算得解 b 的值本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属
11、于基础题5.【答案】C【解析】解：根据题意，设数列a n的公差为 d， 若 a1，a3，a9 成等比数列， 则（a 3）2=a1a9，即（a 1+2d）2=a1（a1+8d），变形可得：a1=d， 则“a 1，a3，a9 成等比数列”是“a 1=d”的充分条件； 若 a1=d，则 a3=a1+2d=3d，a9=a1+8d=9d，则有（a 3）2=a1a9，则“a 1，a3，a9 成等比数列”是“a 1=d”的必要条件； 综合可得：“a 1，a3，a9 成等比数列” 是“a 1=d”的充要条件； 故选：C 根据题意，设数列a n的公差为 d，从充分性与必要性的角度分析“a 1，a3，a9成等比数
12、列” 和“a 1=d”的关系，综合即可得答案本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题6.【答案】D【解析】第 7 页，共 17 页解：函数 f（x）= ，函数的图象如图：函数 f（x）存在零点，则实数 a 的取值范围是：（0，+）故选：D画出函数的图象，利用数形结合推出 a 的范围即可本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力7.【答案】D【解析】第 8 页，共 17 页解：依题意，设四边形 D1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D，F，B，E，则四边形 D1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图所以在后面的投影的面
13、积为 S 后 =11=1，在上面的投影面积 S 上 =DE1=DE1=DE，在左面的投影面积 S 左 =BE1=CE1=CE，所以四边形 D1FBE 所围成的 图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后 +S 上 +S 左 =1+DE+CE=1+CD=2故选：D分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力属于中档题8.【答案】C【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（- ，0），C（ ，0），P（0，0），设 A（x，y），则 x0，设直线 AB，AC 的斜率分 别为 k1，k
14、2，由到角公式得：第 9 页，共 17 页=tan ，化简得：x 2+（y- ）= ，则 x2 ，则- x0，由 在 方向上投影的几何意义可得：在 方向上投影为|DP|=|x|，则 在 方向上投影的最大值是 ，故选：C 先建系，再由到角公式得： =tan ，化简得：x 2+（y- ）= ，则 x2，则- x0，再由 在 方向上投影的几何意 义可得解本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题9.【答案】c【解析】解：b=ln3 1 ， 又 2e3， 所以 log32log 3e1， 即 cab， 故 a，b，c 中最小的是 c 故答案为：c由对数值大小的比较得：b=ln31，又 2e3，
15、所以 log32log 3e1，即cab，得解本题考查了对数值大小的比较，属简单题10.【答案】2【解析】解：由点 M（1，2）在抛物线 C：y2=2px（p0）上，可得 4=2p，p=2， 抛物线 C：y2=4x，焦点坐 标 F（1，0）， 第 10 页，共 17 页则点 M 到抛物线 C 焦点的距离是： 2， 故答案为：2由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出 p=2，求得焦点 F（1，0），利用直线的两点式，即可求点 M 到抛物线 C 焦点的距离本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线的两点式方程，考查计算能力，属于基础题11.【答案】 -15【解析】解：由 得 x2+（y-1）2
16、=1，由， 得 x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线 x+2y+1=0 的距离 d= = ，所以所求距离的最小值为 -1故答案为： -1化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题12.【答案】（2，2）【解析】解：实数 x，y 满足 的可行域以及 x+y=4 的直线方程如图：能说明“若 z=x+y 的最大值为 4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x， y）值是（2，2）故答案为：（2，2）画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键13.【答案】60 36【解析】第 11 页，共
17、17 页解：根据题意， 对于第一空：分 2 步分析： 要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是 2、4 或 6，有 3 种情况， 在剩下的 5 个数字中任 选 2 个，安排在前 2 个数位，有 A52=20 种情况， 则有 320=60 个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分 3 种情况讨论： ，当其个位为 2 时，十位数字只能是 1，百位数字有 4 种情况，此时有 4 个符合题意的三位数； ，当其个位为 4 时，十位数字可以是 1、2、3，百位数字有 4 种情况，此时有 34=12 个符合题意的三位数； ，当其个位为 6 时，十位数字可以是 1、2、3、4、5，百位数字有 4 种情况，此时有
18、54=20 个符合题意的三位数； 则有 4+12+20=36 个符合 题意的三位数； 故答案为：60，36对于第一空：分 2 步分析：分析可得要求三位偶数的个位有 3 种情况， 在剩下的 5 个数字中任选 2 个，安排在前 2 个数位，由分步计数原理计算可得答案； 对于第二空：按个位数字分 3 种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分 类计数原理的 应用，属于基础题14.【答案】 双曲线14【解析】解： ；A（-4，0），又 P（0，-2），k= =- ； B（4，2-2），k= =- ，kk= ，设 L（x，y），则 k= ，
19、k= ，kk= = ，第 12 页，共 17 页 = ，即 - =1故答案为： ， - =1根据向量关系得到 A，B 的坐标，再根据斜率公式可得 kk= ；设 P（x，y），根据斜率公式可得 P 点轨迹方程本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，属中档题15.【答案】解：（） ，()=2+2323= ，2+32=2(2+3)所以 f（x）的最小正周期 =2=证明：（II）因为 ，3， 12即 ，2+33， 2所以 f（x）在 上单调递增3， 12当 时，2+3=3即 时，=3()=3所以当 时，3， 12()3【解析】（）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的
20、最小正周期 （）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16.【答案】解：（）由图知 a=0.3，某场外观众评分不小于 9 的概率是 （3 分）12第 13 页，共 17 页（）X 的可能取值为 2，3P（X=2）= ；P（X=3）= 241135=35 3435=25所以 X 的分布列为X 2 3P 35 25所以 E（X ）=2 35+325=125由题意可知， ，所以 E（Y）=np= （10 分） (3，12) 32（） （ 13 分） 1+22【解析】（）由图知
21、 a=0.3，某场外观众评分不小于 9 的概率是（）计算概率可得分布列和期望（）小于本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题17.【答案】（本小题满分 14 分）（I）证明：因为 E 为 AC 中点，G 为 B1C 中点所以EGAB1又因为 EG平面 AB1D，AB 1平面 AB1D，所以 EG平面 AB1D （4 分）（） 证明：取 B1C1 的中点 D1，连接 DD1显然 DA，DC，DD 1 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 D（0，0，0）， ，B（0，-2 ，0）， ，(23， 0， 0) 1(0， 2， 22)， ，C（0，2，0）1(0， 2， 22)
22、 (3， 1， 0)所以 ， ， 1=(0， 2， 22) =(23， 0， 0) 1=(0， 4， 22)又因为 ，1=230+04+022=0，1 1=00+(2)4+2222=0所以 BC1DA，BC 1DB1又因为 DADB1=D，所以 BC1平面 AB1D（9 分）（）解：显然平面 B1CB 的一个法向量为 =（1，0，0 ）1设平面 AB1C 的一个法向量为： =（x，y ，z ），2又 ， ，=(23， 2， 0) 1=(0， 4， 22)第 14 页，共 17 页由 得2=0，2 1=0， 23+2=0，422=0 设 x=1，则 ， ，则 =3 =62=(1， 3， 6)所以
23、 1， 2 =12|1|2|=110=1010设二面角 A-B1C-B 的平面角为 ，由图可知此二面角为锐二面角，所以 （14 分）=1010【解析】（I）证明 EGAB1然后利用直 线与平面平行的判定定理 证明 EG平面AB1D （）取 B1C1 的中点 D1，连接 DD1建立空间直角坐标系 D-xyz，通过向量的数量积证明 BC1DA，BC1DB1然后证明 BC1平面 AB1D （）求出平面 B1CB 的一个法向量，平面 AB1C 的一个法向量，设二面角 A-B1C-B 的平面角 为 ，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可本题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，二面角的平
24、面角的求法，考查计算能力18.【答案】（本小题满分 13 分）解：（）函数 f（x ）=（2ax 2+4x）ln x-ax2-4x（a R，且 a0）由题意可知 f（x ）=4（ax +1）ln x，x （0，+）f（1）=0，f（ 1）=-a-4，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y=-a-4（3 分）（）当 a-1 时，x 变化时 f（x），f （x）变化情况如下表：x (0， 1) 1 (1， 1) 1 （1，+ ）f（x） - 0 + 0 -f（x） 极小值 极大值 此时 ，解得 ，故不成立(1)=3+2()=1 =1 1当 a=-1 时，f（x ）0 在（0，+ ）
25、上恒成立，所以 f（x）在（0，+ ）单调递减此时 f（x）无极小值，故不成立当-1a0 时，x 变化时 f（x），f （x）变化情况如下表：x （0，1） 1 (1， 1) 1 (1， +)第 15 页，共 17 页f（x） - 0 + 0 -f（x） 极小值 极大值 此时极小值 f（1）=-a-4，由题意可得 ，4=1解得 或 =2+3 =23因为-1a0，所以 =32当 a0 时，x 变化时 f（x），f（x ）变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+ ）f（x） - 0 +f（x） 极小值 此时极小值 f（1）=-a-4，由题意可得 ，4=1解得 或 ，故不成立=2+3 =23综上
26、所述 （13 分）=2+3【解析】（）由题意可知 f（x）=4（ax+1）lnx，x（0，+）f（1）=0，f（1）=-a-4，由此能求出曲线 y=f（x）在点（1，f （1）处的切线方程（）当 a-1 时，求出 ，解得 ，不成立；当 a=-1 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立， f（x）在（ 0，+）单调递减f（x）无极小值；当-1 a 0 时，极小值 f（1）=-a-4，由题意可得 ，求出；当 a0 时，极小值 f（1）=-a-4由此能求出 a 的值本题考查切线方程的求法，考查实数值的求法，考 查导数性质、函数的 单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考 查化归 与转化思想，是中档
27、题19.【答案】（）解：由题意可得 解得 a= ，b=1，=1=632=2+2 3所以椭圆 C 的方程为 +y2=123（）直线 BD 恒过 x 轴上的定点 N（2，0）证明如下（1）当直线 l 斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=1，不妨设 A（1， ），B（1， - ），D（3， ）63 63 63此时，直线 BD 的方程为：y= （x-2），所以直线 BD 过点（ 2，0）63（2）当直线 l 的斜率存在时，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），直线 AB 为 y=k（x-1），D（3，y 1）第 16 页，共 17 页由 得：（1+3k 2）x 2-6k2x+3k2-3=0
28、=(1)2+32=3所以 x1+x2= ，x 1x2= 6232+1 32332+1直线 BD：y- y1= （x -3），令 y=0，得 x-3=- ，2123 1(23)21所以 x= = = =323112+3121 321221 4231221 4212232+121由于 x1= -x2，所以 x= =26232+1 4212232+1226232+1故直线 BD 过点（2，0）综上所述，直线 BD 恒过 x 轴上的定点（2，0）【解析】（）由题意列关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b，c 的值， 则椭圆方程可求；（）当直线 AB 的斜率不存在时，直 线 BD 过点（2 ，0）
29、当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 为 y=k（x-1），联立方程组，消去 y 整理得：（1+3k 2）x2-6k2x+3k2-3=0利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线 BD 过 x 轴上的定点本题考查椭圆方程求法，考查考查两直线的交点是否为定点的判断与求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题20.【答案】解：（）若集合 A=0，1，2，则 S（A） =T（A）=0，1，2，3，4（3 分）（）令 A=x1，x 2，x n不妨设 x1x 2x n充分性：设x k是公差为 d（
30、d0）的等差数列则 xi+xj=x1+（i-1）d+x 1+（j-1）d=2x 1+（i+j -2）d（1i ，jn）且 2i+j2n所以 xi+xj共有 2n-1 个不同的值即 d（S（A）=2n-1 必要性：若 d（S（A）=2n-1因为 2xix i+xi+12x i+1，（i=1，2，n-1 ）所以 S（A）中有 2n-1 个不同的元素： 2x1，2x 2，2x n，x 1+x2，x 2+x3，x n-1+xn任意 xi+xj（1i，jn） 的值都与上述某一项相等又 xi+xi+1x i+xi+2x i+1+xi+2，且 xi+xi+12x i+1x i+1+xi+2，i=1，2，n-
31、2所以 xi+xi+2=2xi+1，所以x k是等差数列，且公差不为 0 （8 分）（）首先证明：1A假设 1A，A 中的元素均大于 1，从而 1S（A），因此 1T（A ），1S（T （A），故 1T（T（A），与1 ，2，3，25，26T（T（ A）矛盾，因此 1A第 17 页，共 17 页设 A 的元素个数为 n，S（A）的元素个数至多为 C +n，从而 T（A），的元素个数至2多为 C +n+n= 2 (+3)2若 n=2，则 T（A）元素个数至多为 5，从而 T（T（A）的元素个数至多为 =20，582而 T（T（A）中元素至少为 26，因此 n3假设 A 有三个元素，设 A=1，a
32、 2，a 3，且 1a 2a 38，则1，2，a 2，a 2+1，a 3，a 3+1，2a 2，a 2+a3，2a 3T（A），从而 1，2，3，4T（T（A）若 a25，T（T（A）中比 4 大的最小数为 a2，则5T（T（A ），与题意矛盾，故 a25集合 T（T（A）中最大数为 4a3，由于 26T（T（A），故 4a326，从而 a37，（i）若 A=1，a 2，7，且 a25此时 1，2，a 2，a 2+1，7，8，2a 2，7+a 2，14T （A ），则有 8+14=22，214=28 T（T （A），在 22 与 28 之间可能的数为 14+2a2，21+a 2此时 23，24
33、，25，26 不能全在 T（T（A）中，不满足题意（ii）若 A=1，a 2，8，且 a25此时1，2，a 2，a 2+1，8，9，2a 2，8+a 2，16 T（A），则有 16+9=25T（T（A），若 26T（T（A），则 16+2a2=26 或 16+（8+ a2）=26，解得 a2=5 或 a2=2当 A=1，2，8时，15，21， 23T（T（A），不满足题意当 A=1，2，8时，T（T（A）=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32，满足题意故元素个数最少的集合 A 为1，5，8 （13 分）【解析】（）根据定义直接进行计算即可 （）根据充分条件和必要条件的一结合等差数列的性质进行证明 （）首先证明：1A，然后根据条件分别判断 A 中元素情况即可得到结论本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大不太好理解
