1、2019 年重庆市万州区初中数学提优试卷一、选择题（共 5 小题，每小题 2 分，满分 10 分）1下列各式计算正确的是（ ）A2a 2+a33a 5 B （3xy） 2（xy ）3xyC （2b 2） 38b 5 D2x3x 56x 62某几何体的三种视图如图所示，则该几何体可能是（ ）A圆锥体 B球体 C长方体 D圆柱体3下列命题为真命题的是（ ）A三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分B对角线相等且相互平分的四边形是正方形C关于某直线对称的两个三角形是全等三角形D一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形4如图，把图 1 中的ABC 经过一定的变换得到图 2 中的ABC，如
2、果图 1 中ABC 上点 P 的坐标为（ a，b ） ，那么这个点在图 2 中的对应点 P的坐标为（ ）A （a2，b3） B （a3，b2） C （a+3，b+2） D （a+2，b+3）5如图，已知：正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G 、H 分别为各边上的点，且AE BFCGDH，设小正方形 EFGH 的面积为 s，AE 为 x，则 s 关于 x 的函数图象大致是（ ）A BC D二、填空题（共 9 小题，满分 30 分）6计算：2 0+21 7化简 8如图 CD 是 O 的直径，弦 ABCD 于 E，如果 CD 10，AB 8，那么 CE 的长为 9 为了帮助地震灾区重建家园，某学
3、校号召师生自愿捐款第一次捐款总额为 20 000 元，第二次捐款总额为 56 000 元，已知第二次捐款人数是第一次的 2 倍，而且人均捐款额比第一次多 20 元求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为 x，则根据题意可列方程为 10如图，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，如此作下去，若 OAOB1，则第 n 个等腰直角三角形的面积 Sn 三、解答题（共 10 小题，满分 60 分）11先化简，再求值： ，其中 a（tan30） 2，b 12已知矩形的周长
4、为 30 厘米，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？13已知矩形 PMON 的边 OM、ON 分别在 x、y 轴上，O 为坐标原点，且点 P 的坐标为（2，3） 将矩形 PMON 沿 x 轴正方向平移 4 个单位，得到矩形 P1M1O1N1 再将矩形P1M1O1N1 绕着点 O1 旋转 90得到矩形 P2M2O2N2在坐标系中画出矩形 P2M2O2N2，并求出直线 P1P2 的解析式14在学校开展的“献爱心”活动中，小东同学打算在暑假期间帮助一家社会福利书店推销 A、B 、C 、D 四种书刊为了了解四种书刊的销售情况，小
5、东对五月份这四种书刊的销售量进行了统计，小东通过采集数据，绘制了两幅不完整的统计图表（如图） ，请你根据所给出的信息解答以下问题：书刊种类 频数 频率A 0.25B 1000 0.20C 750 0.15D 2000 （1）填充频率分布表中的空格及补全频数分布直方图；（2）若该书店计划定购此四种书刊 6000 册，请你计算 B 种书刊应采购多少册较合适？（3）针对调查结果，请你帮助小东同学给该书店提一条合理化的建议15如图，Rt ABC 中，ACB90，AC4，BC 2，以 AB 上的一点 O 为圆心分别与均 AC，BC 相切于点 D、E求O 的半径；求 sinBOC 的值16 （1）已知AB
6、C 中，A90，B67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形 （请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC 中，C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC 与C 之间的关系17在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若干个，它们只有颜色不同，其中有白球 2 个、黑球 1 个已知从中任意摸出 1 个球得白球的概率为 （1）求口袋里有多少个红球；（2）求从袋中一次摸出 2 个球，得一红一白的概率要求画出树状图18帆船比赛现在也是中国比较受欢迎的比赛
7、。观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600 元/张，B 种船票 120 元/ 张某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过 5000 元的情况下，购买 A，B 两种船票共 15 张，要求 A 种船票的数量不少于 B 种船票数量的一半若设购买 A 种船票 x 张，请你解答下列问题：（1）共有几种符合题意的购票方案写出解答过程；（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？19根据所给的基本材料，请你进行适当的处理，编写一道综合题编写要求：提出具有综合性、连续性的三个问题；给出正确的解答过程； 写出编写意图和学生答题情况的预测材料 ：如图，先把一矩形纸片 ABCD 对折，得到折痕 MN，然后
8、把 B 点叠在折痕线上，得到ABE ，再过点 B 把矩形 ABCD 第三次折叠，使点 D 落在直线 AD 上，得到折痕PQ当沿着 BE 第四次将该纸片折叠后，点 A 就会落在 EC 上材料 ：已知 AC 是MAN 的平分线（1）在图 1 中，若MAN120，ABCADC90，求证：AB+ADAC；（2）在图 2 中，若MAN120，ABC+ ADC180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图 3 中：若MAN （0180） ，ABC+ADC180，则 AB+AD AC（用含 的三角函数表示） 材料 ：已知：如图甲，在 RtACB 中，C90，AC4
9、cm， BC3cm，点 P 由 B 出发沿线段 BA 向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿线段 AC 向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ，设运动的时间为 t（s） （0t 2） 编写试题选取的材料是 （填写材料的序号）编写的试题是：（1）设AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式（2）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 t 的值（3）如图（2） ，连接 PC，并把 PQC 沿 QC 翻折得到四边形 PQPC是否存在某一时刻 t，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求
10、出此时菱形的边长试题解答（写出主要步骤即可）：（1）过点 Q 作 QDAP 于点 D，证AQDABC，利用相似性质及面积解答；（2）分别求得 RtACB 的周长和面积，由周长求出 t，代入函数解析式验证；（3）利用余弦定理得出 PC、 PQ，联立方程，求得 t，再代入 PC 解得答案参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 2 分，满分 10 分）1 【解答】解：A、2a 2 与 a3 不是同类项不能合并，故本选项错误；B、应为（3xy） 2（xy）9x 2y2xy9xy，故本选项错误；C、应为（2b 2） 32 3（b 2） 38b 6，故本选项错误；D、2x3x 56x 6，正确故选：D2
11、 【解答】解：本题中，圆锥体的主视图和俯视图不可能是矩形，球体的三视图中不可能由矩形，长方体的俯视图不可能是圆，故选：D3 【解答】解：A、根据三角形中位线的定义，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，故不正确；B、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故不正确；C、根据对称的定义，故正确；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，也可能是平行四边形，故不正确故选：C4 【解答】解：根据题意：A 点坐标为（3，2） ，平移后，A的坐标为（0，0） ；故中ABC 上点 P 的坐标为（ a，b） ，那么这个点在图 中的对应点 P的坐标为（a+3，b+2 ） 故选：C5 【解答】
12、解：根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且 AEBFCGDH ，可证AEHBFECGFDHG设 AE 为 x，则 AH1x ，根据勾股定理，得EH2AE 2+AH2x 2+（1x ） 2即 sx 2+（1x） 2s2x 2 2x+1，所求函数是一个开口向上，对称轴是直线 x 自变量的取值范围是大于 0 小于 1故选：B二、填空题（共 9 小题，满分 30 分）6 【解答】解：原式1+ 故答案为 7 【解答】解： x+38 【解答】解：连接 OB，在直角三角形 OEC 中，根据勾股定理得：OE 2+BE2OB 2，而据垂径定理得 BE AB4，OB5，OE 3，CEOCOE532故答案为：29
13、 【解答】解：第二次人均捐款数为： ，第一次人均捐款数为： 所列方程为： 10 【解答】解：根据直角三角形的面积公式，得 S1 2 1 ；根据勾股定理，得：AB ，则 S212 0；A1B2，则 S32 1，依此类推，发现：S n2 n2 三、解答题（共 10 小题，满分 60 分）11 【解答】解： ， （ ） ， ， ，当 a（tan30） 2 ，b 时，原式 512 【解答】解：设矩形的一边是 acm，则另一条边是（ 15a）cm 则圆柱的侧面积2a（15 a）2 a2+30a，则 a7.5 时，圆柱的侧面积最大，即 112.5故矩形的长和宽都是 7.5cm 时，所形成的圆柱的侧面积最大
14、，即为 112.5cm213 【解答】解：如图：当将矩形 P1M1O1N1 绕着点 O1 顺时针旋转 90得到矩形 P2M2O2N2点 P 的坐标为（2，3） 将矩形 PMON 沿 x 轴正方向平移 4 个单位，得到矩形P1M1O1N1，P 1 的坐标为（2，3） ，将矩形 P1M1O1N1 绕着点 O1 顺时针旋转 90得到矩形 P2M2O2N2P 2 的坐标为（7，2） ，设 P1P2 的解析式为：y kx+b，把 P1（2，3） ，P 2（7，2 ）代入得，2k+b3 ，7 k+b2 ，解由组成的方程组得，k ，b 所以直线 P1P2 的解析式为 y x+ ；当将矩形 P1M1O1N1
15、绕着点 O1 逆时针旋转 90得到矩形 P2M2O2N2如图，P 2 的坐标为（1，2） ，设 P1P2 的解析式为：y kx+b，把 P1（2，3） ，P 2（1， 2）代入得，2k+b3 ，k+ b2 ，解由组成的方程组得，k 5，b7所以直线 P1P2 的解析式为 y5x 7；14 【解答】解：（1）完成表格和直方图如下图：书刊种类 频数 频率A 1250 0.25B 1000 0.20C 750 0.15D 2000 0.4（2）60000.21200（册） ；答：B 种书刊应采购 1200 册较合适；（3）在购书时应该多购买 D 类书刊15 【解答】解：（1）连接 OD，OE，设 O
16、DrAC，BC 切O 于 D，EODCOEC90，OD OES AOC +SBOC S ABC ACOD+ BCOE ACBC即 4r+ 2r 42，r （2）过点 C 作 CFAB，垂足为 F，连接 OC，在 Rt ABC 与 RtOEC 中AB ，OC ACBC ABCFCFsinBOC即 sinBOC 16 【解答】解：（1）如图（共有 2 种不同的分割法） （2）设ABCy，C x ，过点 B 的直线交边 AC 于 D在DBC 中，若 C 是顶角，如图 1，则CBDCDB90 x，A180xy而ADB90，此时只能有AABD ，即 180x y y（90 x）即 3x+4y540 ，即
17、ABC135 C；若 C 是底角，第一种情况：如图 2，当 DBDC 时，则DBCx， ABD 中，ADB2x，ABD yx由 ABAD ，得 2xy x ，此时有 y3x，即ABC3C 由 ABBD ，得 180xy2x ，此时 3x+y180，即ABC1803C 由 ADBD ，得 180x yyx，此时 y90，即ABC90，C 为小于等于45的任意锐角第二种情况，如图 3，当 BDBC 时，BDCx，ADB180x90，此时只能有 ADBD ，从而AABD C C，这与题设C 是最小角矛盾当C 是底角时，BDBC 不成立综上，ABC 与C 之间的关系是：ABC135 C 或ABC180
18、3C 或ABC3C 或ABC90 ，C 是小于 45的任意角17 【解答】解：（1）设袋中有 x 个红球，据题意得 ，解得x1 （或 ）袋中有红球 1 个（2）画树状图如下：P（摸得一红一白） 18 【解答】解：（1）设 A 种票 x 张，则 B 种票（15x）张根据题意得解得 5x满足条件的 x 为 5 或 6共有两种购买方案方案一：A 种票 5 张，B 种票 10 张方案二：A 种票 6 张，B 种票 9 张（2）方案一购票费用：6005+120104200（元）方案二购票费用：6006+12094680（元）4200 元4680 元，方案一更省钱19 【解答】解：（1）过点 Q 作 QD
19、AP 于点 D，则易证AQDABC，AQ：QD AB：BC，2t：DQ5：3，DQ t，S APQ APQD （5t） t，y 与 t 之间的函数关系式为：y t2+3t；（2）Rt ACB 的周长3+4+512，RtACB 的面积 346，PQ 恰好把 RtACB 的周长平分即有 AP+AQ1226，即 2t+5t6 得 t1，PQ 恰好把 RtACB 的面积平分，即有 SAPQ 63；即 y t2+3t3，显然，代入 t1 等式不成立，所以不存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分；（3）由题意可以知道，四边形 PQPC 为菱形，那么 PCPQ，因为 PC2PB 2+CB22PBCB cosB，（由图知道 cosB0.6）t 2+322t30.6，PQ2AP 2+AQ22AP AQcosA，（由图知道 cosA0.8）（ 5t） 2+（2t） 22（5t）2t0.8，PCPQ，即 t2+322t30.6（5t） 2+（2t ） 22（5t）2t 0.8） ，解得 t12（因为 0t2 舍去） ，t 2 ，把 t 代入，PC 2t 2+322t 30.6，解得 PC ；因此菱形的边长为 cm
