1、绝密启用前绝密启用前 2020 年重庆市长寿区二校联考中考数学模拟试卷年重庆市长寿区二校联考中考数学模拟试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 是 3 的（ ） A倒数 B相反数 C绝对值 D平方根 2下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 3为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是（ ） A企业男员工 B企业年满 50 岁以上的员工 C企业新进员工 D从企业
2、员工名册中随机抽取三分之一的员工 4如图，图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个，第（2）个图形中面积为 1 的正方形有 5 个，第（3）个图形中面积为 1 的正方形有 9 个，按此规律，则第（8）个图形中面积为 1 的正方形的个数为（ ） A20 B36 C44 D45 5如图，ABCADE，且 BC2DE，则的值为（ ） A B C D 6下列四个命题中，真命题有（ ） 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 如果1 和2 是对顶角，那么12 三角形的一个外角大于任何一个内角 如果 x20，那么 x0 A1 个 B2 个 C3 个
3、 D4 个 7若 x4，则 x 的取值范围是（ ） A2x3 B3x4 C4x5 D5x6 8按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为 7 的是（ ） Ax2，y3 Bx2，y3 Cx8，y3 Dx8，y3 9如图，AB 是O 直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D，若A25， 则C 的度数是（ ） A40 B50 C65 D25 10位千重庆市汇北区的照母山森林公园乘承“近自然”生态理念营造森林风景，“虽由人 作，宛自天开“，凸显自然风骨与原生野趣山中最为瞩目的经典当属揽星塔登临塔 顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰新区，领略附近楼宇的壮美；亦可远眺两江胜景登临 此塔，让你
4、有飘然若仙的联想又有登高远眺，“一览众山小“的震撼，我校某数学兴趣 小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，己知揽星塔 AB 位于坡度 l ： 1 的斜坡 BC 上， 测量员从斜坡底端 C 处往前沿水平方向走了 120m 达到地面 D 处， 此时测得揽星塔 AB 顶端 A 的仰角为 37， 揽星塔底端 B 的仰角为 30， 已知 A、 B、 C、 D 在同一平面内，则该塔 AB 的高度为（ ）米，（结果保留整数，参考数据；sin37 0.60，cos370.80，tan370.75，1.73） A31 B40 C60 D136 11 如图， 点 A 是反比例函数（x0） 的图象上的
5、一点， 过点 A 作平行四边形 ABCD， 使 B、C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则平行四边形 ABCD 的面积为（ ） A1 B3 C6 D12 12 在2， 1， 0， 1， 2， 3这六个数中任取一个数记为m， 使得关于x的不等式组 有解，同时关于 x 的方程：2 有正数解，则所有满足条件的 m 的值的和是 （ ） A5 B2 C0 D1 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13计算：|1|+（3.14）0+ 14如图所示，边长为 3 厘米与 5 厘米的两个正方形并排放在一起在大正方形中画一段以 它的一个顶点为圆心，边长
6、为半径的圆弧则阴影部分的面积是 平方厘米（ 取 3） 15如图，ABC 中，C90，AC3，AB5，点 D 是边 BC 上一点若沿 AD 将 ACD 翻折，点 C 刚好落在 AB 边上点 E 处，则 BD 16从下列 4 个函数：y3x2；y（x0）；y（x0）；yx2（x 0）中任取一个，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大的概率是 17甲骑自行车、乙骑摩托沿相同路线由 A 地到 B 地，行驶过程中路程与时间的函数关系 的图象如图所示根据图象可知： 先出发的是 （填“甲”或“乙”） 甲的行驶速度是 （公里/分） 乙的行驶速度是 （公里/分） 18一渔船在河中逆流而上，于某桥下遗失救生圈，被
7、水冲走渔船继续向前行驶了 15min 发现救生圈遗失，立即返回，在距该桥 2km 处追到救生圈由此可知水流速度为 km/h 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 10 分）分） 19（10 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DE AD若BAD55，B50，求DEC 的度数 20（10 分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情 况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有 12 个班， 每班 48 名学生，请按要求回答下列问题： 收集数据 （1）若要从全
8、年级学生中抽取一个 48 人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的 有 （只要填写序号即可） 随机抽取一个班级的 48 名学生；在全年级学生中随机抽取 48 名学生；在全年级 12 个班中分别各抽取 4 名学生；从全年级学生中随机抽取 48 名男生 整理数据 （2）将抽取的 48 名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不 完整）如下请根据图表中数据填空： C 类和 D 类部分的圆心角度数分别为 、 ； 估计全年级 A、B 类学生大约一共有 名 成绩（单位：分） 频数 频率 A 类（80100） B 类（6079） C 类（4059） 8 D 类（039） 4 （3）学校为了
9、解其他学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对 比，得下表： 学校 平均数（分） 极差（分） 方差 A、B 类的频率和 第一中学 71 52 432 0.75 第二中学 71 80 497 0.82 你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个解释来支持你的观点 21（10 分）化简： （1）（2x+1）（2x1）（x+1）（3x2） （2）（x2） 22（10 分）已知函数 y1的部分图象如图所示， （1）请在图中补全 y 的函数图象； （2）已知函数 y2的图象与函数 y1的图象关于 y 轴对称，请在图中画出函数 y2的图象； （3） 若直线 y3x+a 与函数 y
10、1、 y2的图象有且只有一个交点， 则 a 的取值范围是 23（10 分）重百商场于本周末进行年底大促销活动，某品牌专卖店抓住机遇，利用该活 动对其畅销的 A 款取暖器进行促销每台 A 款取暖器的成本价是 800 元，标价是 1200 元 （1）A 款取暖器每台最多降价多少元，才能使利润率不低于 20%？ （2） 该店上周共售出 A 款取暖器 100 台 本周末 A 款取暖器每台在标价的基础上降价 m%， 结果这个周末卖出的A款取暖器的数量比上周卖出的A款取暖器的数量增加了m%， 这周周末的利润达到了 40000 元，求 m 的值 24（10 分）在平行四边形 ABCD 中，ABE45，点 E
11、 在对角线 AC 上，BE 的延长线 交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 G，过点 C 作 CHAB 于点 H，交 BF 于点 M （1）若 BE3，AE，求ABE 的面积； （2）若ABC3EBCCACB，求证：CMFG 25（10 分）乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请 你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？ 股票名称 每股净赚 （元） 股数 天河 22 500 北斗 +1.5 1000 白马 4 1000 海湖 （2） 500 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 8 分，每小题分，每小题 8 分）分） 26（8 分
12、）如图，抛物线 yax2+bx2a 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴将于点 C（0，） （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D（2，n）是抛物线上的一点，在 y 轴左侧的抛物线上存在点 T，使TAD 的 面积等于TBD 的面积，求出所有满足条件的点 T 的坐标； （3）直线 ykxk+2，与抛物线交于两点 P、Q，其中在点 P 在第一象限，点 Q 在第二 象限，PA 交 y 轴于点 M，QA 交 y 轴于点 N，连接 BM、BN，试判断BMN 的形状并证 明你的结论 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小
13、题分，每小题 4 分）分） 1【分析】根据相反数的意义，可得答案 【解答】解：3 是 3 的相反数， 故选：B 【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 2【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后 与原图重合 3【分析】直接利用抽样调查的可靠性，应随机抽取 【解答】解：为调查某大型企业员工对企业的满意程度，样本最具代表性的
14、是：用企业 人员名册，随机抽取三分之一的员工 故选：D 【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性，注意抽样必须具有代表性以及随机性 4【分析】第（1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个，第（2）个图形中面积为 1 的图象 有 2+35 个，第（3）个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+49 个，按此规律，第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+n+1，进一步求得第（8）个图形中 面积为 1 的正方形的个数即可 【解答】解：第（1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个， 第（2）个图形中面积为 1 的图象有 2+35 个， 第（3）个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+49
15、个， ， 按此规律， 第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+（n+1）个， 则第（8）个图形中面积为 1 的正方形的个数为44 个， 故选：C 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问 题 5【分析】根据相似三角形的性质解答即可 【解答】解：ABCADE，且 BC2DE， ， ， 故选：B 【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的 平方解答 6【分析】根据平行线的性质对进行判断； 根据对顶角的性质对进行判断； 根据三角形外角性质对进行判断； 根据非负数的性质对进行判断 【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截
16、，内错角相等，所以错误； 如果1 和2 是对顶角，那么12，所以正确； 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以错误； 如果 x20，那么 x0，所以错误 故选：A 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题 设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以 写成“如果那么”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定 理 7【分析】由于 363749，则有 67，即可得到 x 的取值范围 【解答】解：363749， 67， 243， 故 x 的取值范围是 2x3 故选：A 【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完
17、全平方数和算术平方根对无理数的大小 进行估算 8【分析】把 x 与 y 的值代入程序中计算，判断即可 【解答】解：A、当 x2，y3 时，原式4+95，不符合题意； B、当 x2，y3 时，原式4+95，不符合题意； C、当 x8，y3 时，原式1697，符合题意； D、当 x8，y3 时，原式16+97，不符合题意， 故选：C 【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题 的关键 9 【分析】 由 OAOD 可得AODA25， 根据三角形外角性质可得COD50， 由切线的性质可得COD90，即可求C 的度数 【解答】解：连接 OD， AOOD， AODA25，
18、 CODA+ADO， COD50， CD 与O 相切于点 D， ODC90， C+COD90， C40， 故选：A 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半 径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系 10【分析】如图，设 ABDC 于 E，设 BEx，CEx，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：如图，设 ABDC 于 E， 设 BEx，CEx， 在 RtBDE 中，BDE30， DE3x， DCDECE3xx120， x60， BE60，DE180， 在 RtADE 中，AEDEtan371800.75135， ABAEBE135603
19、1 米， 答：该塔 AB 的高度为 31 米， 故选：A 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 11【分析】作 AHOB 于 H，根据平行四边形的性质得 ADOB，则 S 平行四边形ABCDS矩 形AHOD，再根据反比例函数 y （k0）系数 k 的几何意义得到 S 矩形AHOD6，所以有 S 平行四边形ABCD6 【解答】解：作 AHOB 于 H，如图， 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD， ADOB， S 平行四边形ABCDS矩形AHOD， 点 A 是反比例函数（x0）的图象上的
20、一点， S 矩形AHOD|6|6， S 平行四边形ABCD6 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数 y（k0）系数 k 的几何意义：从反比例函数 ykx （k0）图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k| 12 【分析】表示出不等式组的解集，确定出 m 的值，代入分式方程表示出分式方程的解， 根据解为正数求出满足题意 m 的值即可 【解答】解：解不等式，得：x， 解不等式 2x12m，得：x， 不等式组有解， ， 解得：m2； 解方程2，得：x， 方程有正数解， 0，且2 解得：m2 且 m1； 所以2m2 且 m1， 所以所有满足条件的 m 的值的和1+
21、01， 故选：D 【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟 练掌握运算法则是解本题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、算术平方根的性质分别化简得出 答案 【解答】解：原式1+1+2 3 故答案为：3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 14【分析】如图，根据图形有 S 阴影部分S扇形CEG+S梯形ABCESABG，然后根据扇形、梯形 和三角形的面积公式进行计算即可 【解答】解：如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，正
22、方形 EFGC 的边长为 5cm， 根据题意有，S 阴影部分S扇形CEG+S梯形ABCESABG， S 扇形CEG ； S 梯形ABCE （3+5）312； SABG3812 S 阴影部分 +121218.75（cm2） 故答案为 18.75 【点评】本题考查了扇形的面积公式：S，其中 n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径），或 SlR，l 为扇形的弧长，R 为半径也考查了梯形和三角形的面积 公式以及不规则几何图形面积的求法 15【分析】由勾股定理可知 BC4由折叠的性质得：AEAC3，DEDC，AED C90， 设 DEDCx， 则 BD4x， 在 RtBED 中依据勾股定理列方程求解即
23、可 【解答】解：在 RtACB 中，由勾股定理可知 AC2+BC2AB2， BC4 由折叠的性质得：AEAC3，DEDC，AEDC90 设 DEDCx，则 BD4x，BEABAE2 在 RtBED 中，BE2+DE2BD2 22+x2（4x）2 x1.5， 即 BD4x41.52.5 故答案为：2.5 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应 边相等，对应角相等，利用勾股定理列出关于 x 的方程是解题的关键 16【分析】利用一次、二次函数，以及反比例函数的性质判断即可 【解答】解：y3x2，y 随着 x 的增大而增大；y（x0），y 随着 x 的增 大而增大
24、；y（x0），y 随着 x 的增大而减小；yx2（x0），y 随着 x 的 增大而增大， 则函数值 y 随自变量 x 的增大而增大的概率是， 故答案为： 【点评】此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的性质，熟练 掌握函数的增减性是解本题的关键 17【分析】（1）观察函数图象得到甲比乙早出发 10 分钟； （2）观察函数图象得到甲前 20 分钟行驶了 4 公里，然后根据速度公式可计算出甲的速 度； （3） 观察函数图象得到乙 10 分钟行驶了 4 公里， 然后根据速度公式可计算出乙的速度 【解答】解：（1）甲先出发，10 分钟后乙出发； （2）甲 20 分钟行驶了 4 公里，
25、则甲的速度0.2（公里/分）； （3）乙 10 分钟行驶了 4 公里，则甲的速度0.4（公里/分） 故答案为甲；0.2；0.4 【点评】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取有关信息 18【分析】如果设该河水流的速度是每小时 x 千米，游泳者在静水中每小时游 a 千米那 么游泳者自桥下逆流游了（ax）千米，他再返回追到救生圈用了小时， 这个时间比救生圈在遗失后漂流时间小时少小时由此列出方程，求得问题的解 【解答】解：设该河水流的速度是每小时 x 千米，游泳者在静水中每小时游 a 千米由 题意，得 解得：x4 经检验，x4 是原方程的解 答：这条河的水流速度为 4 千米/小时 【点
26、评】 本题考查分式方程的应用 分析题意， 找到合适的等量关系是解决问题的关键 本 题需注意顺流速度与逆流速度的表示方法另外，本题求解时设的未知数 a，在解方程的 过程中抵消这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 10 分）分） 19【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到C50，进而得到BAC 80，由BAD55，得到DAE25，由 DEAD，进而求出结论 【解答】解：ABAC， BC， B50， C50， BAC180505080， BAD55， DAE25， DEAD， ADE90，
27、 DECDAE+ADE115 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应 用等腰三角形的性质是解题的关键 20【分析】（1）根据抽取得学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随 机抽样或随机分层抽样，据此即可得出正确答案； （2）利用抽取的学生数及 C、D 类的频数即可得出 C、D 类部分的频率，乘以 360 度 可得答案；用全年级总人数乘以样本中 A、B 类频率和即可得； （3）此题答案不唯一，理由正确即可 【解答】解：（1）根据题意得：抽取得学生和更具有代表性，更能反映全年级学 生的情况； 故答案为：、； （2）、C 类部分的频率为，圆心角度数为
28、36060， D 类部分的频率为，圆心角度数为36030， 、估计全年级 A、B 类学生大约一共有 1248（+）432（名）， 故答案为：60、30、432，、； （3）本题答案不唯一，以下两个答案仅供参考： 答案一：东海中学成绩较好，极差、方差小于南山中学，说明东海中学学生两极分化较 小，学生之间的差距较南山中学小 答案二：南山中学成绩较好，A、B 类的频率和大于东海中学，说明南山中学学生及格率 较东海中学学生好 【点评】此题考查了频数（率）分布表和扇形统计图的综合应用，解题的关键是根据统 计图表所给的数据和频率频数总数进行解答 21【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法
29、则计算，去括号合并即 可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分后两项计算即可得到结果 【解答】解：（1）原式4x213x2+2x3x+2x2x+1； （2）原式 【点评】此题考查了分式的混合运算，多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握 公式及法则是解本题的关键 22【分析】（1）依据函数解析式即可得到 y1的图象； （2）依据轴对称的性质，即可得到函数 y2的图象； （3）当 a1 或当 a1 时，直线 y3x+a 与函数 y1、y2的图象有无数个交点；当 a 1 时，直线 y3x+a 与函数 y1、y2的图象无交点，据此可得出 a
30、 的取值范围 【解答】解：（1）函数 y1的图象如图所示， （2）函数 y2的图象如图所示； （3）直线 y3x+a 与函数 y1、y2的图象有且只有一个交点， a 的取值范围为：a1 或1a1 故答案为：a1 或1a1 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数 ykx+b，（k0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（，0）；与 y 轴的交点坐标是 （0，b） 23【分析】（1）设 A 款取暖器每台降价 x 元，根据利润销售收入成本结合利润率不 低于 20%，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论； （2）根据总利润每台利润销售数量
31、，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其正 值即可得出结论 【解答】解：（1）设 A 款取暖器每台降价 x 元， 依题意，得：1200x80080020%， 解得：x240 答：A 款取暖器每台最多降价 240 元，才能使利润率不低于 20% （2）依题意，得：1200（1m%）800100（1+m%）40000， 整理，得：m260m0， 解得：m10（不合题意，舍去），m260 答：m 的值为 60 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列 出一元二次方程 24【分析】（
32、1）过 E 作 ENAB 于 N，推出BEN 是等腰直角三角形，解直角三角形得 到 AN1，求得 AB4，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据已知条件得到ABC67.5，求得CEM112.5，根据平行四边形的性质 得到 CDAB，推出 CMBM，得到 BECD，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解：（1）过 E 作 ENAB 于 N， ABE45， BEN 是等腰直角三角形， BNENBE3， AE， AN1， AB4， ABE 的面积436； （2）ABE45，ABC3EBC， ABC67.5， CACB，CHAB， CABCBA67.5，BCHACH22.5， CMEBM
33、HMBH45， CEM112.5， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB， FDGBAD112.5，GFDEBA45， GFDCME，FDGMEC， BCMCBM22.5， CMBM， BEAEAB67.5， BEAB， BECD， 在等腰直角三角形 CMF 中， CMFAFM45， CMCF， BMCF， EMDF， 在MEC 与FDG 中， MECFDG（ASA）， CMFG 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的 判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 25 【分析】根据题意列出算式22500+1.5100041000（2）500，计
34、算可得 【解答】解：22500+1.5100041000（2）500 2000+15004000+1000 3500， 答：乐乐的爸爸赔了，赔了 3500 元 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式并熟练掌握 有理数混合运算顺序及其法则 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 8 分，每小题分，每小题 8 分）分） 26【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线的解析式 （2）TAD 与TBD 有公共底边 TD，面积相等即点 A、点 B 到直线 TD 距离相等根 据 T 的位置关系分类讨论： 在点 A 左侧时， 根据 “平行线间距离处处相等” 可得 ABT
35、D， 易得点 T 的纵坐标，代入解析式即求出横坐标；在点 A 右侧时，分别过 A、B 作 TD 的垂 线段，构造全等三角形，证得 TD 与 x 轴交点为 AB 中点，求出 TD 解析式，再与抛物线 解析式联立方程组求出 T （3）联立直线 ykxk+2 与抛物线解析式，整理得关于 x 的一元二次方程，根据韦达 定理得到 P、Q 横坐标和和与积的式子（用 k 表示）设 M（0，m）、N（0，n），求出 直线 AP、AQ 的解析式（分别用 m、n 表示）分别联立直线 AP、AQ 与抛物线方程， 求得 P、Q 的横坐标（分别用 m、n 表示），即得到关于 m、n、k 关系的式子，整理得 mn1，即
36、OMON1，易证BOMNOB，进而求出MBN90 【解答】解：（1）抛物线 yax2+bx2a 经过点 B（1，0）、C（0，） 解得： 抛物线的解析式为：yx2+x （2）当 x2 时，n22+2 D（2，） 当点 T 在点 A 左侧时，如图 1， STADSTBD，且TAD 与TBD 有公共底边为 TD ABTD，即 TDx 轴 yTyD x2+x 解得：x13，x22（即点 D 横坐标，舍去） T（3，） 当点 T 在点 A 右侧时，如图 2，设 DT 与 x 轴交点为 P，过 A 作 AEDT 于 E，过 B 作 BFDT 于 F STADSTBD，且TAD 与TBD 有公共底边为 T
37、D AEBF 在AEP 与BFP 中， AEPBFP（AAS） APBP 即 P 为 AB 中点 由x2+x0 解得：x12，x21 A（2，0） P（，0） 设直线 DP：ykx+c 解得： 直线 DT：y 解得：（即点 D，舍去） T（，） 综上所述，满足条件的点 T 的坐标为（3，）与（，） （3）BMN 是直角三角形，证明如下： 设 x1为点 P 横坐标，x2为点 Q 的横坐标 整理得：x2+（18k）x+8k180 x1+x28k1，x1x28k18 设 M（0，m），N（0，n）则 OMm，ONn 直线 AM 解析式：y，直线 AN 解析式：y 解得： P（1+4m，3m+） 同理可得：Q（1+4n，3n+） 整理得：mn1 m|n|1 即 OMON1 又 OB1，即 OMONOB2 BOMNOB OBMONB MBNOBM+OBNONB+OBN90 BMN 是直角三角形 【点评】 本题考查了待定系数法求函数解析式， 三角形面积， 全等三角形的判定和性质， 一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定和性质考查了分类讨论、数形结合 思想，综合计算能力第（2）题要结合图形找出 T 的特殊位置；第（3）题先判断MBN 90，大胆设用多个未知量，利用联立直线和抛物线方程求交点坐标，再通过计算整 理发型其中的规律
