1、数学 试卷 第 1 页（共 6 页） N （第 5 题 ） 开始 z x+y x 1 ， y 2 z 6 Y 输出 y 结束 x y y z 2019 届 数学 参考公式： 柱 体的体积公式 V Sh柱 体 ，其中 S 为柱 体的 底面积， h 为高 锥 体的体积公式 13V Sh锥 体 ，其中 S 为锥 体的 底面积， h 为高 一、填空题 ： 本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 计 70 分把答案 填写在 答题卡相应位置 1 已知集合 A=1， 2 m， B= 1， 2，且 A B= 1，则实数 m 的值为 2 在复平面内， 复数 2i1 + iz （ i 为虚数单位）对应点
2、的坐标 为 3 某 市有大型停车场 100 家，中型停车场 200 家，小型停车场 700 家 为了解全市停车状况，现按分层抽样的方法抽取一个 容量为 50 的样本，则应抽取中型停车场 家 4 右图是一 个 算法流程图， 则 输出的 y 的值 为 5 甲、乙两人下象棋，若甲获胜的概率为 0.6 ，甲不输的概率 为 0.9 ，则甲、乙和棋的概率为 6 在 平面直角坐标系 xOy 中， 已知 等轴 双曲线 过点 21， ， 则该双曲线的 标准 方程为 7 已知 函数 ( ) 2sin 3f x x （ 0 ） 图象的相邻两条对称轴的距离为 2 ，则 函数 ()fx 在区间 0 2， 上的值域为 注
3、 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页， 包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题）， 满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 。 考试结束后，请将答题 卡 交回 。 2 答题前，请您务必 将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡 上 。 3 作答 试题 必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题 卡 上的指定位置，在其它位置作答一律无效 。 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑 、 加粗，描写清楚 。 基地学校五月大联考数学 试卷 第 2 页（共 6 页） A F D C B E （第 1
4、0 题 ） 8 已知 棱长均为 2的正四棱锥与底面边长为 2 的正四棱柱的体积相等，则正四棱柱的 高为 9 已知 等比数列 na 的 公比大于 1 若 1418aa， 2312aa，则 1a 的值 为 10 如图，在 ABC 中， 4AB ， 2AC ， 60BAC 已知 点 E， F 分别 是 边 AB， AC 的中点， 点 D 在边 BC 上 若 134DE DF， 则线段 BD的长 为 11 若函数 32()f x x mx nx 为 R 上的 奇函数，其图象的一条切线方程为 2yx， 则 ( 1)f 的值为 12 在 平面直角 坐标系 xOy 中 ， 过椭圆2222: 1( 0)yxC
5、 a bab 的左焦点 F 作斜率为 1 的直线与圆 2 2 2:C x y b 交于 AB， 两点 若 90AOB ，则 椭圆 C 的 离心率 的 取值范围是 13 已知函数 22 0 1( )=2 ( 2) 1 0.x x m xfxx m x m x ， ， 若在区间 11 ， 上方程 ( ) 1fx 恰 有 3 个解，则实数 m 的取值范围是 14 在锐角三角形 ABC 中， AD 是边 BC 上的中线，且 AD AB ，则 1 1 1tan tan tanA B C 的最小值 二、解答题：本大题共 6 小题，共 计 90 分 请在 答题卡指定区域 内作答 解答时应写出文字说明、证明过
6、程或演算步骤 15 (本小题满分 14 分 ) 已知 0 2 ， ， 2 ， ， tan 22 ， 7sin 9 （ 1）求 sin 的值； （ 2）求 cos的值 数学 试卷 第 3 页（共 页） 16 (本小题满分 14 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， PA AB ， E 为 PB 的中点 （ 1）设过 ， ，C D E 的平面交 PA 于点 F，求证： /CD EF ； （ 2）若平面 PAB 平面 PBC ，求证： 平 面BC PAB 17 (本小题满分 14 分 ) 某市 度假村 有一 特色星空酒店 ，该酒店 由 多座 帐篷 构成 每一座 帐篷 的体
7、积为 354 m ，且分 上下 两层， 其中上层是半径 为 r m（ 1r ） 的半球体 ，下层是半径为 r m， 高为 h m的圆柱体 （如图 2） 经测算， 上 层 半球 体 部分每平方米建造费用为 2千元， 下方 圆柱体的侧面 、 隔层 和 地 面 三个 部分平均每平方米建造费用为 3千元 设 每一座 帐篷 的总建造费用为 y 千元 （ 1）求 y 关于的 r 函数解析式，并指出该函数的定义域； （ 2）当半径 r 为何值时，一 座 帐篷 的总建造费用最小， 并求出最小值 （ 图 1） （ 图 2） P D C A B F E (第 16 题 ) 6数学 试卷 第 4 页（共 页） 18
8、 (本小题满分 16 分 ) 在 平面直角 坐标系 xOy 中 ， 已知圆 2 21 +3 4O x y： 与圆 2 222 0O x a y r r ： 外切于点 A，且圆 2O 被 y 轴截得的弦长为 2 （ 1）求圆 2O 的方程； （ 2）过点 A的直线分别 与 圆 1O ， 2O 交于 MN， 两点，点 P 为圆 2O 上异 于 AN， 的 一点 若 AM AP ，且 2AM AP ，求直线 MP的斜率； 求 PMN 面积的最大值 19 (本小题满分 16 分 ) 已知函数 ( )= 1 exf x x k （其中 e为自然对数的底数 ） （ 1）当 1k 时， 求 函 数 ()fx
9、的 极值 ； （ 2）若 函 数 2( ) ( ) eg x f x在 0+x， 有 唯一 零点，求 实数 k 的取值范围； （ 3）若不等式 ( ) 3f x x 对任意的 xR恒成立，求 整数 k 的 最大值 20 (本小题满分 16 分 ) 若 数列 na 的 各项均为整数 ， 且 满足 ：当 nm 时， na 是 公差为 2 的等差 数列， 当 1nm 时， na 是 公比为 3 的等比数列，则 定义 数列 na 为 “ m 连体 数列” （ 3m ， m *N ） 设 nS 为 数列 na 的 前 n项和 （ 1）若 数列 na 为 “ 7 连体 数列” 求数列 na 的 通项公式
10、； 集合 | nnn a S n *N， 中的元素有且仅有 2 个，求实数 的取值范围； （ 2）已知 数列 na 为 “ m 连体 数列” ，且 1 17a ，是否存在正整数 k r k r， ， 使得 krSS ？若存在，求出所有的 kr， 值；若不存在，请说明理由 6数学 试卷 第 5 页（共 页） 2019 届 数学 （附加题） 21 【选做题】 本题包括 A、 B、 C 三 小题 ， 请 选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4-2： 矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 若点 12，P 在矩阵 1
11、1abA 对应的变换作用下得到点 54P ， ，求矩阵 A和 矩阵 A的特征值 B 选修 4-4： 坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 已知曲线 C ： 2cossinxy ， （ 为参数 ） ， 曲线 C：2xtyt ， （ t 为参数 ） 若 点 A是 两曲线的交点 ，求点 A的直角坐标 C 选修 4-5：不等 式选讲 （本小题满分 10 分） 已知 1x ， 2x ， 3x 为正实数，若 1 2 3 1x x x，求证：2223211 2 31xxxx x x 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页， 均为非选择题（第 2123 题）
12、。 本卷 满分为 40 分，考试时间为 30 分钟 。 考试结束后，请将答题 卡 交回 。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题 卡 上 ，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答 试题 必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题 卡 上的指定位置，在其它位置 作答一律无效 。 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑 、 加粗，描写清楚 。 基地学校五月大联考6数学 试卷 第 6 页（共 页） 【必做题】第 22、 23 题，每小题 10 分，共计 20 分 请在 答题卡指定区域 内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演
13、算步骤 22 （本小题满分 10 分） 已知甲是一颗正四面体骰子，各个面上分别标有点数 1， 2， 3， 4，乙是一颗正方体骰 子，各个面上分别标有点数 1， 2， 3， 4， 5， 6. 先后抛掷 甲 ， 乙 两 颗骰子 ，所得点数 分别为 ab， . （ 1） 求当 2ba 时的概率 ； （ 2） 设立 一种 抛掷 甲 ， 乙 两 颗骰子 各一次的 游戏，规则如下： 抛掷 甲骰子 ，所得点数 按每点奖励 2 元，抛掷 乙骰子 ，所得点数按每点惩罚 1 元 设玩一次游戏的最终 收益为 元，规定：当 0 时， 0X ；当 13 时， 1X ；当 46 时， 4X ；当 7 时， 7X ，求 X
14、 的概率分布和数学期望 ()EX . 23 （本小题满分 10 分） 设正整数 3n ，集合 1 2 3Pn ， ， ， ， ， A B C， ， 是 P 的 3 个非空子集，记 na 为所有满足： A B ， BC，且 A B C P 的有序集合对 A B C， ， 的个数 （ 1）求 3a ； （ 2）求 na 6数学 试卷 第 1 页（共 11 页） A B C D h H 数学参考答案与评分建议 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 3 2 11， 3 10 4 5 5 0.3 6 22133yx 7 32， 8 23 9 2 10 32 11 1 1
15、2 6223， 13 2 2 2 1 ， 14 132 参考解析： 14 【 解 】 不妨设 1BD DC， BC 上的高为 h 则 2tan 2 tan 3tB t C， ， 从而 tan tan 2tan tan( ) tan tan 1 34BCA B CBC tt 所以 131 1 1 13 132tan tan tan 2 8 2 8 2ttA B C t t （ 当且仅当 1328t t ， 即 132t 时，取“ =”） 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 计 90 分 15 【 解 】（ 1）由2 2 22sin cos 2tan2 2 2sin 2sin cos22sin
16、cos tan 12 2 2 ， 3 分 因为 tan 22 ， 所以 22 2 2 2sin 3( 2) 1 6 分 （ 2）因为 2 ， ， 22sin 3 ， 所以 2222 1cos 1 sin 1 ( )33 8 分 因为 0 2 ， ， 2 ， ， 所以 322 ， ， 数学 试卷 第 2 页（共 页） 因为 7sin 9， 所以 22427cos 1 sin 1 ( )99 10 分 所以 cos cos ( ) cos( )cos sin( )sin 4 2 2 217( ) ( )9 3 9 3 223 14 分 16 【证】 （ 1） 因为底面 ABCD是矩形，所以 AB
17、CD 又 平 面AB PAB ， 平 面CD PAB ， 所以 平 面CD PAB 3 分 又 平 面CD CDEF ， 平 面 平 面CDEF PAB EF ， 所以 CD EF 6 分 （ 2）连结 AE 因为 PA AB ， E 为 PB 的中点， 所以 AE PB 又 平 面AE PAB ，平面 PAB 平面 PBC ，平面 PAB 平面 PBC PB ， 所以 平 面AE PBC 9 分 又 平 面BC PBC ，所以 AE BC 因为 ABCD是矩形，所以 AB BC 11 分 又 AE AB A ， ， 平 面AB AE PAB ， 所以 平 面BC PAB 14 分 17 【解
18、】 （ 1）由题意 ， 322 543 r r h ， 2 分 P D C A B F E 11数学 试卷 第 3 页（共 页） 所以 254 23hrr 所以 222 2 2 3 2 3y r r rh 2254 210 63r r rr ， 化简可得， 2 546+yrr 5 分 又因为 0h ， 1r ， 解 254 2 03 rr ， 得 31 3 3r 即函数的定义域为 3|1 3 3rr 7 分 （ 2）设 2 54( ) +g r r r ， 31 3 3r ， 则2222( 3)( 3 9)54( ) 2 r r rg r rrr ， 9 分 令 ( ) 0gr ， 得 3r
19、列表如下： 所以当 3r 时 ， ()gr取得 最 小值 ， 且最小值为 18 所以原函数 当 3r 时 ，取得 最小值为 162 13 分 答： 半径 r 为 3 m时，一座帐篷的总建造费用最小，且最小值为 162千元 14 分 18 【解】 （ 1） 因为两圆外切，所以 | 3| 2ar 又圆 2O 被 y 轴截得的弦长为 2，则有 2 2 2 1y r a 2 分 因为 0r ，联立 ，可得 0a ， 1r ， 所以圆 2O 的方程为 221xy 4 分 （ 2） 由（ 1）知，点 A的坐标为 10， x 13， 3 33 3 3， ()gr 0 ()gr 单调减 极小值 单调增 M O
20、 x A O1 N y P 11数学 试卷 第 4 页（共 页） 设直线 MN 的方程为 ( 1)y k x， 则有 1O 到直线 MN 的距离为2| 3 |1kkk， 所以 22244241 1kAMk k 要使 AM AP ，必须 0k ， 所以则 直线 AP 的方程为 1 ( 1)yxk ，即 10x ky ， 所以 222 | |1211 1kAPk k 因为 2AM AP ， 所以224 | |411kkk，即 1k 7 分 当 1k 时， 32M ， ， 1P ， ，所以直线 MP的斜率为 13 ； 当 1k 时， 32M ， ， 1P ， ，所以直线 MP的斜率为 13 综上，
21、直线 MP的斜率为 13 或 13 9 分 当直线 MN 的方程为 ( 1)y k x，则有221ANk 由 知， 2AM AN ， 所以 PMN 的面积是 PA N 面积的 3 倍 11 分 因为点 P 在 圆 O： 221xy上， 取 AN 的中点 Q， 所以当点 P 在连结 QO 并延长与 圆 O 的交点处时 ， PA N 的面积最大 ， 此时 点 P 到直线 AN 的距离为2| 11kk， 所以 PAN 的面积为22| 1111kSkk 因为 2222| 1( ) ( ) 111kkk， 设2| cos1kk， 0 2 ， 11数学 试卷 第 5 页（共 页） 则有21 sin1k，
22、所以 cos 1 sinS ， 0 2 13 分 由 ( sin )sin cos 1 cosS 2cos2 cos 2cos cos 1 (2cos 1)(cos 1) ， 令 0S ，得 3 ， 且当 0 3 时， 0S ，所以函数 ()S 在 0 3， 上单调递增； 当 32 时， 0S ，所以函数 ()S 在 32， 上单调递减， 所以当 3 时， PAN 的 面积 S 取最大值 3334S ，此时 33k 所以 PMN 面积的最大值为 934 16 分 说明： 中 2AM AN ， 2AM AP ，则有 AN AP ， 又因为 AN AP ，所以易得 1k 下同 转化为求 PAN 面
23、积的最大值时， 即求圆 O： 221xy的内接三角形面积的最大值 而半径为 1 的圆的内接正三角形面积最大，最大值为 334 19 【解】 （ 1） 当 1k 时， ( ) exf x x ， 所以 ( ) 1 exf x x 令 ( ) 0fx ，得 1x 2 分 当 1x ， 时， ( ) 0fx ， ()fx是 1 ， 上的 减函数； 当 1x ， 时， ( ) 0fx ， ()fx是 1 ， 上的 增函数 所以 ()fx在 1x 时取得极小值 1( 1)= ef ，无极大值 4 分 （ 2） 因为 2( ) 1 e exg x x k ，所以 ( ) exg x x k ， 令 ( )
24、 0gx ，得 xk 11数学 试卷 第 6 页（共 页） 当 xk ， 时， ( ) 0gx ， ()gx是 k， 上的 减函数； 当 xk ， 时， ( ) 0gx ， ()gx是 k ， 上的 增函数 当 0k 时， ()gx在 0 ， 上是的 增函数 ， 要使得 ()gx在 0 ， 有唯一零点， 所以 (0) 0g ，解得 2e1k （舍去）； 6 分 当 0k 时， 则有 ()gx是 0 k， 上的 减函数 ， 是 k ， 上的 增函数 ， 要使得 ()gx在 0 ， 有唯一零点，则有 1）当 ( ) 0gk ，即 2k 时符合； 2）当 ( ) 0gk ，即 2k 时， 由于 2(
25、 +1) e 0gk ，所以 ( ) ( +1) 0g k g k， 所以 ()gx在 1kk， 有唯一零点； 此时须有 (0) 0g ，即 2e1k 从而当 2e1k 时符合 综上，当 2k 或 2e1k 时， 函数 ()gx在区间 0 ， 有唯一零点 10 分 （ 3） 若不等式 ( ) 3f x x 对任意的 xR恒成立， 即 31 exxkx 对于任意 xR恒 成立 设 3( ) 1 exxxx ，则 e 3 3() ex xxx 再设 ( ) e 3 3xxx ，则 ( ) e 3 0xx 在 xR恒 成立， 所以 ()x 在 xR上单调递增 因为 1 02u ， 1 04u ， 所
26、以方程 ( ) 0x 存在唯一的解 0 1142x ， ， 12 分 11数学 试卷 第 7 页（共 页） 即 000( ) e 3 3 0xxx 当 0xx ， 时， ( ) 0x ，即 ()x 在 0x， 上单调递减； 当 0xx ， 时， ( ) 0x ，即 ()x 在 0x ， 上单调递增， 所以00min 0 03( ) ( ) 1exxx x x 又 0 0e 3 3 0x x ，所以 min 001( ) 1 11xx x ， 因为 0 1142x ， ，所以 min 3 13() 2 12x ， ， 所以 整 数 k 的最大值为 2 16 分 20 【解】 （ 1） 因为 数列
27、 na 为 “ 7 连体 数列”， 所以 数列 na 前 7 项成等差数列，从第 6 项起是等比数列， 所以 6 1 7 110 12a a a a ， ，且 763aa ， 解得 1 9a 2 分 所以 62 11 5= 36n nn n na nn ， ， ， ， .NN 4 分 （或写成 62 11 6= 37n nn n na nn ， ， ， ， .NN 或 62 11 7=38n nn n nann ， ， ， ， .NN ） （ 2）由（ 1）知， 当 5n 时， 0na ， 当 6n 时， 0na ， 当 8n 时， 0nS ， 当 9n 时， 0nS ， 所以 当且仅当 6
28、7 8n ， ， 时， 0nnaS 6 分 而 6 6 7 7 8 8= 24 = 63 = 108a S a S a S ， ， ， 要使 集合 | nnn a S n *N， 中的元素有且仅有 2 个， 所以 实数 的取值范围是 63 24， 8 分 11数学 试卷 第 8 页（共 页） （ 3）由题意知， 1 17a ， 所以 1 2 21 2 19mma m a m ， ， 且13mmaa ， 解得 11m 所以 102 19 11= 3 12n nn n na nn ， ， ， ， .NN 所以2918 11= 3 163122nnn n n nSnn ， ， ， ， .NN 11
29、分 当 11kr ，且 kr ， N 时， 由 krSS ，得 2218 18k k r r ，所以 + 18kr ， 解得 711kr ， 或810kr，. 当 12 kr ，且 kr ， N 时， 由 krSS ，得 993 163 3 16322 ，解得 kr （不合，舍去）； 13 分 当 11k 且 12r ，且 kr ， N 时， 由 krSS ，得 92 3 16318 2rkk ，即 292 36 +163 3rkk 因为 11k ，所以 22 36 +163 129kk ， 所以 93 129r ， 又 12r ，所以 12r 或 13， 经检验， =12r 或 13 时，
30、k 无整数解 综上，满足条件的解为 711kr ， 或810kr，. 16 分 数学（附加题） 11数学 试卷 第 9 页（共 页） 21A 【解】 因为 1 1 51 2 4ab ，得 1 2 524ab ， 解得 22ab ，所以 1221A 5 分 令矩阵 A的特征多项式 1221f 21 4 0 ， 得 1231， 所以 1221A ，矩阵 A的特征值为 31， - 10 分 21B 【解】 将曲线 C ： 2cossinxy ， （ 为参数）化为直角坐标方程， 得 2 2 14x y 3 分 将曲线 C：2xtyt ， （ t 为参数 ）化为直角坐标方程， 得 2yx （ 0x ）
31、6 分 由2 2 142 ( 0)x yy x x ， ，解得23223xy ，即点 A的直角坐标为 22233， 10 分 21C 【证】 因为 1x ， 2x ， 3x 为正实数，且 1 2 3 1x x x， 所以2223211 2 31 2 3xxxx x xx x x 2 2 22 3 12 2 2x x x 5 分 1 2 32( )x x x 2 （当且仅当 1 2 3 13x x x 时取“ ”）， 所以2223211 2 31xxxx x x 10 分 11数学 试卷 第 10 页（共 页） 22 【解】 （ 1） 事件“ 2ba ” 包括：“ 12ab， ”或“ 24ab，
32、 ” 或“ 36ab， ” 三种情形，且每种情形发生的概率均相同 由于先后抛掷 甲 ， 乙 两 颗骰子 ，所以两次抛掷是独立的， 从而 概率 1 1 1( 2 ) 34 6 8P b a . 3 分 （ 2） 抛掷 甲 ， 乙 两 颗骰子 各一次的 游戏，共有 24 种等可能基本事件 . 依题意，玩一次游戏的最终收益为 2ab ，且 的所有可能取值为 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，则 9( 0) ( 0) 24P X P ， 3 3 3 9( 1) (1 3) 24 24P X P ， 2 2 1 5( 4) (4 6) 24 24P X P ，
33、 1( 7) ( 7) ( 7) 24P X P P ， 7 分 所以 X 的概率分布表为： 所以 数 学 期 望9 9 5 1 3( ) 0 1 4 724 24 24 24 2EX . 10 分 23 【解】 （ 1）当 3n 时，集合 1 2 3P ， ， ， 因为 A B C， ， 是 P 的 3 个非空子集， A B ， BC，且 A B C P ， 所以当 1A 时， 12B ， ， 3C 或 13B ， ， 2C ； 当 2A 时， 23B ， ， 1C 或 21B ， ， 3C ； X 0 1 4 7 P 924 924 524 124 11数学 试卷 第 11 页（共 页）
34、当 3A 时， 13B ， ， 1C 或 23B ， ， 1C ， 所以 3 6a 3 分 （ 2）当 A 中的元素个数为 *(1 2 )k k n kN， 时，集合 A 共有 Ckn 种不同情形， 集合 B 共有 22nk 种不同情形，集合 C 随集合 B 确定而唯一确定， 所以有 序集合对 A B C， ， 的个数为 C 2 2k n kn 6 分 所以 21C 2 2nk n knnka 0 1 1 00C 2 2 C 2 2 C 2 2 C 2 2nk n k n n nn n n nk 00C 2 2 C 2 3nnk n k k nkk (1 2) 2 2 2 3n n n 3 3 2 3nn 10 分 11
