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江苏省南通市2019届基地学校高三五月大联考数学试题含答案(PDF版)

1、数学 试卷 第 1 页(共 6 页) N (第 5 题 ) 开始 z x+y x 1 , y 2 z 6 Y 输出 y 结束 x y y z 2019 届 数学 参考公式: 柱 体的体积公式 V Sh柱 体 ,其中 S 为柱 体的 底面积, h 为高 锥 体的体积公式 13V Sh锥 体 ,其中 S 为锥 体的 底面积, h 为高 一、填空题 : 本大题共 14 小题 , 每小题 5 分 , 共 计 70 分把答案 填写在 答题卡相应位置 1 已知集合 A=1, 2 m, B= 1, 2,且 A B= 1,则实数 m 的值为 2 在复平面内, 复数 2i1 + iz ( i 为虚数单位)对应点

2、的坐标 为 3 某 市有大型停车场 100 家,中型停车场 200 家,小型停车场 700 家 为了解全市停车状况,现按分层抽样的方法抽取一个 容量为 50 的样本,则应抽取中型停车场 家 4 右图是一 个 算法流程图, 则 输出的 y 的值 为 5 甲、乙两人下象棋,若甲获胜的概率为 0.6 ,甲不输的概率 为 0.9 ,则甲、乙和棋的概率为 6 在 平面直角坐标系 xOy 中, 已知 等轴 双曲线 过点 21, , 则该双曲线的 标准 方程为 7 已知 函数 ( ) 2sin 3f x x ( 0 ) 图象的相邻两条对称轴的距离为 2 ,则 函数 ()fx 在区间 0 2, 上的值域为 注

3、 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页, 包含填空题(共 14 题)、解答题(共 6 题), 满分为 160 分,考试时间为 120 分钟 。 考试结束后,请将答题 卡 交回 。 2 答题前,请您务必 将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡 上 。 3 作答 试题 必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题 卡 上的指定位置,在其它位置作答一律无效 。 如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑 、 加粗,描写清楚 。 基地学校五月大联考数学 试卷 第 2 页(共 6 页) A F D C B E (第 1

4、0 题 ) 8 已知 棱长均为 2的正四棱锥与底面边长为 2 的正四棱柱的体积相等,则正四棱柱的 高为 9 已知 等比数列 na 的 公比大于 1 若 1418aa, 2312aa,则 1a 的值 为 10 如图,在 ABC 中, 4AB , 2AC , 60BAC 已知 点 E, F 分别 是 边 AB, AC 的中点, 点 D 在边 BC 上 若 134DE DF, 则线段 BD的长 为 11 若函数 32()f x x mx nx 为 R 上的 奇函数,其图象的一条切线方程为 2yx, 则 ( 1)f 的值为 12 在 平面直角 坐标系 xOy 中 , 过椭圆2222: 1( 0)yxC

5、 a bab 的左焦点 F 作斜率为 1 的直线与圆 2 2 2:C x y b 交于 AB, 两点 若 90AOB ,则 椭圆 C 的 离心率 的 取值范围是 13 已知函数 22 0 1( )=2 ( 2) 1 0.x x m xfxx m x m x , , 若在区间 11 , 上方程 ( ) 1fx 恰 有 3 个解,则实数 m 的取值范围是 14 在锐角三角形 ABC 中, AD 是边 BC 上的中线,且 AD AB ,则 1 1 1tan tan tanA B C 的最小值 二、解答题:本大题共 6 小题,共 计 90 分 请在 答题卡指定区域 内作答 解答时应写出文字说明、证明过

6、程或演算步骤 15 (本小题满分 14 分 ) 已知 0 2 , , 2 , , tan 22 , 7sin 9 ( 1)求 sin 的值; ( 2)求 cos的值 数学 试卷 第 3 页(共 页) 16 (本小题满分 14 分 ) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD是矩形, PA AB , E 为 PB 的中点 ( 1)设过 , ,C D E 的平面交 PA 于点 F,求证: /CD EF ; ( 2)若平面 PAB 平面 PBC ,求证: 平 面BC PAB 17 (本小题满分 14 分 ) 某市 度假村 有一 特色星空酒店 ,该酒店 由 多座 帐篷 构成 每一座 帐篷 的体

7、积为 354 m ,且分 上下 两层, 其中上层是半径 为 r m( 1r ) 的半球体 ,下层是半径为 r m, 高为 h m的圆柱体 (如图 2) 经测算, 上 层 半球 体 部分每平方米建造费用为 2千元, 下方 圆柱体的侧面 、 隔层 和 地 面 三个 部分平均每平方米建造费用为 3千元 设 每一座 帐篷 的总建造费用为 y 千元 ( 1)求 y 关于的 r 函数解析式,并指出该函数的定义域; ( 2)当半径 r 为何值时,一 座 帐篷 的总建造费用最小, 并求出最小值 ( 图 1) ( 图 2) P D C A B F E (第 16 题 ) 6数学 试卷 第 4 页(共 页) 18

8、 (本小题满分 16 分 ) 在 平面直角 坐标系 xOy 中 , 已知圆 2 21 +3 4O x y: 与圆 2 222 0O x a y r r : 外切于点 A,且圆 2O 被 y 轴截得的弦长为 2 ( 1)求圆 2O 的方程; ( 2)过点 A的直线分别 与 圆 1O , 2O 交于 MN, 两点,点 P 为圆 2O 上异 于 AN, 的 一点 若 AM AP ,且 2AM AP ,求直线 MP的斜率; 求 PMN 面积的最大值 19 (本小题满分 16 分 ) 已知函数 ( )= 1 exf x x k (其中 e为自然对数的底数 ) ( 1)当 1k 时, 求 函 数 ()fx

9、的 极值 ; ( 2)若 函 数 2( ) ( ) eg x f x在 0+x, 有 唯一 零点,求 实数 k 的取值范围; ( 3)若不等式 ( ) 3f x x 对任意的 xR恒成立,求 整数 k 的 最大值 20 (本小题满分 16 分 ) 若 数列 na 的 各项均为整数 , 且 满足 :当 nm 时, na 是 公差为 2 的等差 数列, 当 1nm 时, na 是 公比为 3 的等比数列,则 定义 数列 na 为 “ m 连体 数列” ( 3m , m *N ) 设 nS 为 数列 na 的 前 n项和 ( 1)若 数列 na 为 “ 7 连体 数列” 求数列 na 的 通项公式

10、; 集合 | nnn a S n *N, 中的元素有且仅有 2 个,求实数 的取值范围; ( 2)已知 数列 na 为 “ m 连体 数列” ,且 1 17a ,是否存在正整数 k r k r, , 使得 krSS ?若存在,求出所有的 kr, 值;若不存在,请说明理由 6数学 试卷 第 5 页(共 页) 2019 届 数学 (附加题) 21 【选做题】 本题包括 A、 B、 C 三 小题 , 请 选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 若多做,则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4-2: 矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 若点 12,P 在矩阵 1

11、1abA 对应的变换作用下得到点 54P , ,求矩阵 A和 矩阵 A的特征值 B 选修 4-4: 坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 已知曲线 C : 2cossinxy , ( 为参数 ) , 曲线 C:2xtyt , ( t 为参数 ) 若 点 A是 两曲线的交点 ,求点 A的直角坐标 C 选修 4-5:不等 式选讲 (本小题满分 10 分) 已知 1x , 2x , 3x 为正实数,若 1 2 3 1x x x,求证:2223211 2 31xxxx x x 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 2 页, 均为非选择题(第 2123 题)

12、。 本卷 满分为 40 分,考试时间为 30 分钟 。 考试结束后,请将答题 卡 交回 。 2 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题 卡 上 ,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答 试题 必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题 卡 上的指定位置,在其它位置 作答一律无效 。 如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑 、 加粗,描写清楚 。 基地学校五月大联考6数学 试卷 第 6 页(共 页) 【必做题】第 22、 23 题,每小题 10 分,共计 20 分 请在 答题卡指定区域 内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演

13、算步骤 22 (本小题满分 10 分) 已知甲是一颗正四面体骰子,各个面上分别标有点数 1, 2, 3, 4,乙是一颗正方体骰 子,各个面上分别标有点数 1, 2, 3, 4, 5, 6. 先后抛掷 甲 , 乙 两 颗骰子 ,所得点数 分别为 ab, . ( 1) 求当 2ba 时的概率 ; ( 2) 设立 一种 抛掷 甲 , 乙 两 颗骰子 各一次的 游戏,规则如下: 抛掷 甲骰子 ,所得点数 按每点奖励 2 元,抛掷 乙骰子 ,所得点数按每点惩罚 1 元 设玩一次游戏的最终 收益为 元,规定:当 0 时, 0X ;当 13 时, 1X ;当 46 时, 4X ;当 7 时, 7X ,求 X

14、 的概率分布和数学期望 ()EX . 23 (本小题满分 10 分) 设正整数 3n ,集合 1 2 3Pn , , , , , A B C, , 是 P 的 3 个非空子集,记 na 为所有满足: A B , BC,且 A B C P 的有序集合对 A B C, , 的个数 ( 1)求 3a ; ( 2)求 na 6数学 试卷 第 1 页(共 11 页) A B C D h H 数学参考答案与评分建议 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分 1 3 2 11, 3 10 4 5 5 0.3 6 22133yx 7 32, 8 23 9 2 10 32 11 1 1

15、2 6223, 13 2 2 2 1 , 14 132 参考解析: 14 【 解 】 不妨设 1BD DC, BC 上的高为 h 则 2tan 2 tan 3tB t C, , 从而 tan tan 2tan tan( ) tan tan 1 34BCA B CBC tt 所以 131 1 1 13 132tan tan tan 2 8 2 8 2ttA B C t t ( 当且仅当 1328t t , 即 132t 时,取“ =”) 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 计 90 分 15 【 解 】( 1)由2 2 22sin cos 2tan2 2 2sin 2sin cos22sin

16、cos tan 12 2 2 , 3 分 因为 tan 22 , 所以 22 2 2 2sin 3( 2) 1 6 分 ( 2)因为 2 , , 22sin 3 , 所以 2222 1cos 1 sin 1 ( )33 8 分 因为 0 2 , , 2 , , 所以 322 , , 数学 试卷 第 2 页(共 页) 因为 7sin 9, 所以 22427cos 1 sin 1 ( )99 10 分 所以 cos cos ( ) cos( )cos sin( )sin 4 2 2 217( ) ( )9 3 9 3 223 14 分 16 【证】 ( 1) 因为底面 ABCD是矩形,所以 AB

17、CD 又 平 面AB PAB , 平 面CD PAB , 所以 平 面CD PAB 3 分 又 平 面CD CDEF , 平 面 平 面CDEF PAB EF , 所以 CD EF 6 分 ( 2)连结 AE 因为 PA AB , E 为 PB 的中点, 所以 AE PB 又 平 面AE PAB ,平面 PAB 平面 PBC ,平面 PAB 平面 PBC PB , 所以 平 面AE PBC 9 分 又 平 面BC PBC ,所以 AE BC 因为 ABCD是矩形,所以 AB BC 11 分 又 AE AB A , , 平 面AB AE PAB , 所以 平 面BC PAB 14 分 17 【解

18、】 ( 1)由题意 , 322 543 r r h , 2 分 P D C A B F E 11数学 试卷 第 3 页(共 页) 所以 254 23hrr 所以 222 2 2 3 2 3y r r rh 2254 210 63r r rr , 化简可得, 2 546+yrr 5 分 又因为 0h , 1r , 解 254 2 03 rr , 得 31 3 3r 即函数的定义域为 3|1 3 3rr 7 分 ( 2)设 2 54( ) +g r r r , 31 3 3r , 则2222( 3)( 3 9)54( ) 2 r r rg r rrr , 9 分 令 ( ) 0gr , 得 3r

19、列表如下: 所以当 3r 时 , ()gr取得 最 小值 , 且最小值为 18 所以原函数 当 3r 时 ,取得 最小值为 162 13 分 答: 半径 r 为 3 m时,一座帐篷的总建造费用最小,且最小值为 162千元 14 分 18 【解】 ( 1) 因为两圆外切,所以 | 3| 2ar 又圆 2O 被 y 轴截得的弦长为 2,则有 2 2 2 1y r a 2 分 因为 0r ,联立 ,可得 0a , 1r , 所以圆 2O 的方程为 221xy 4 分 ( 2) 由( 1)知,点 A的坐标为 10, x 13, 3 33 3 3, ()gr 0 ()gr 单调减 极小值 单调增 M O

20、 x A O1 N y P 11数学 试卷 第 4 页(共 页) 设直线 MN 的方程为 ( 1)y k x, 则有 1O 到直线 MN 的距离为2| 3 |1kkk, 所以 22244241 1kAMk k 要使 AM AP ,必须 0k , 所以则 直线 AP 的方程为 1 ( 1)yxk ,即 10x ky , 所以 222 | |1211 1kAPk k 因为 2AM AP , 所以224 | |411kkk,即 1k 7 分 当 1k 时, 32M , , 1P , ,所以直线 MP的斜率为 13 ; 当 1k 时, 32M , , 1P , ,所以直线 MP的斜率为 13 综上,

21、直线 MP的斜率为 13 或 13 9 分 当直线 MN 的方程为 ( 1)y k x,则有221ANk 由 知, 2AM AN , 所以 PMN 的面积是 PA N 面积的 3 倍 11 分 因为点 P 在 圆 O: 221xy上, 取 AN 的中点 Q, 所以当点 P 在连结 QO 并延长与 圆 O 的交点处时 , PA N 的面积最大 , 此时 点 P 到直线 AN 的距离为2| 11kk, 所以 PAN 的面积为22| 1111kSkk 因为 2222| 1( ) ( ) 111kkk, 设2| cos1kk, 0 2 , 11数学 试卷 第 5 页(共 页) 则有21 sin1k,

22、所以 cos 1 sinS , 0 2 13 分 由 ( sin )sin cos 1 cosS 2cos2 cos 2cos cos 1 (2cos 1)(cos 1) , 令 0S ,得 3 , 且当 0 3 时, 0S ,所以函数 ()S 在 0 3, 上单调递增; 当 32 时, 0S ,所以函数 ()S 在 32, 上单调递减, 所以当 3 时, PAN 的 面积 S 取最大值 3334S ,此时 33k 所以 PMN 面积的最大值为 934 16 分 说明: 中 2AM AN , 2AM AP ,则有 AN AP , 又因为 AN AP ,所以易得 1k 下同 转化为求 PAN 面

23、积的最大值时, 即求圆 O: 221xy的内接三角形面积的最大值 而半径为 1 的圆的内接正三角形面积最大,最大值为 334 19 【解】 ( 1) 当 1k 时, ( ) exf x x , 所以 ( ) 1 exf x x 令 ( ) 0fx ,得 1x 2 分 当 1x , 时, ( ) 0fx , ()fx是 1 , 上的 减函数; 当 1x , 时, ( ) 0fx , ()fx是 1 , 上的 增函数 所以 ()fx在 1x 时取得极小值 1( 1)= ef ,无极大值 4 分 ( 2) 因为 2( ) 1 e exg x x k ,所以 ( ) exg x x k , 令 ( )

24、 0gx ,得 xk 11数学 试卷 第 6 页(共 页) 当 xk , 时, ( ) 0gx , ()gx是 k, 上的 减函数; 当 xk , 时, ( ) 0gx , ()gx是 k , 上的 增函数 当 0k 时, ()gx在 0 , 上是的 增函数 , 要使得 ()gx在 0 , 有唯一零点, 所以 (0) 0g ,解得 2e1k (舍去); 6 分 当 0k 时, 则有 ()gx是 0 k, 上的 减函数 , 是 k , 上的 增函数 , 要使得 ()gx在 0 , 有唯一零点,则有 1)当 ( ) 0gk ,即 2k 时符合; 2)当 ( ) 0gk ,即 2k 时, 由于 2(

25、 +1) e 0gk ,所以 ( ) ( +1) 0g k g k, 所以 ()gx在 1kk, 有唯一零点; 此时须有 (0) 0g ,即 2e1k 从而当 2e1k 时符合 综上,当 2k 或 2e1k 时, 函数 ()gx在区间 0 , 有唯一零点 10 分 ( 3) 若不等式 ( ) 3f x x 对任意的 xR恒成立, 即 31 exxkx 对于任意 xR恒 成立 设 3( ) 1 exxxx ,则 e 3 3() ex xxx 再设 ( ) e 3 3xxx ,则 ( ) e 3 0xx 在 xR恒 成立, 所以 ()x 在 xR上单调递增 因为 1 02u , 1 04u , 所

26、以方程 ( ) 0x 存在唯一的解 0 1142x , , 12 分 11数学 试卷 第 7 页(共 页) 即 000( ) e 3 3 0xxx 当 0xx , 时, ( ) 0x ,即 ()x 在 0x, 上单调递减; 当 0xx , 时, ( ) 0x ,即 ()x 在 0x , 上单调递增, 所以00min 0 03( ) ( ) 1exxx x x 又 0 0e 3 3 0x x ,所以 min 001( ) 1 11xx x , 因为 0 1142x , ,所以 min 3 13() 2 12x , , 所以 整 数 k 的最大值为 2 16 分 20 【解】 ( 1) 因为 数列

27、 na 为 “ 7 连体 数列”, 所以 数列 na 前 7 项成等差数列,从第 6 项起是等比数列, 所以 6 1 7 110 12a a a a , ,且 763aa , 解得 1 9a 2 分 所以 62 11 5= 36n nn n na nn , , , , .NN 4 分 (或写成 62 11 6= 37n nn n na nn , , , , .NN 或 62 11 7=38n nn n nann , , , , .NN ) ( 2)由( 1)知, 当 5n 时, 0na , 当 6n 时, 0na , 当 8n 时, 0nS , 当 9n 时, 0nS , 所以 当且仅当 6

28、7 8n , , 时, 0nnaS 6 分 而 6 6 7 7 8 8= 24 = 63 = 108a S a S a S , , , 要使 集合 | nnn a S n *N, 中的元素有且仅有 2 个, 所以 实数 的取值范围是 63 24, 8 分 11数学 试卷 第 8 页(共 页) ( 3)由题意知, 1 17a , 所以 1 2 21 2 19mma m a m , , 且13mmaa , 解得 11m 所以 102 19 11= 3 12n nn n na nn , , , , .NN 所以2918 11= 3 163122nnn n n nSnn , , , , .NN 11

29、分 当 11kr ,且 kr , N 时, 由 krSS ,得 2218 18k k r r ,所以 + 18kr , 解得 711kr , 或810kr,. 当 12 kr ,且 kr , N 时, 由 krSS ,得 993 163 3 16322 ,解得 kr (不合,舍去); 13 分 当 11k 且 12r ,且 kr , N 时, 由 krSS ,得 92 3 16318 2rkk ,即 292 36 +163 3rkk 因为 11k ,所以 22 36 +163 129kk , 所以 93 129r , 又 12r ,所以 12r 或 13, 经检验, =12r 或 13 时,

30、k 无整数解 综上,满足条件的解为 711kr , 或810kr,. 16 分 数学(附加题) 11数学 试卷 第 9 页(共 页) 21A 【解】 因为 1 1 51 2 4ab ,得 1 2 524ab , 解得 22ab ,所以 1221A 5 分 令矩阵 A的特征多项式 1221f 21 4 0 , 得 1231, 所以 1221A ,矩阵 A的特征值为 31, - 10 分 21B 【解】 将曲线 C : 2cossinxy , ( 为参数)化为直角坐标方程, 得 2 2 14x y 3 分 将曲线 C:2xtyt , ( t 为参数 )化为直角坐标方程, 得 2yx ( 0x )

31、6 分 由2 2 142 ( 0)x yy x x , ,解得23223xy ,即点 A的直角坐标为 22233, 10 分 21C 【证】 因为 1x , 2x , 3x 为正实数,且 1 2 3 1x x x, 所以2223211 2 31 2 3xxxx x xx x x 2 2 22 3 12 2 2x x x 5 分 1 2 32( )x x x 2 (当且仅当 1 2 3 13x x x 时取“ ”), 所以2223211 2 31xxxx x x 10 分 11数学 试卷 第 10 页(共 页) 22 【解】 ( 1) 事件“ 2ba ” 包括:“ 12ab, ”或“ 24ab,

32、 ” 或“ 36ab, ” 三种情形,且每种情形发生的概率均相同 由于先后抛掷 甲 , 乙 两 颗骰子 ,所以两次抛掷是独立的, 从而 概率 1 1 1( 2 ) 34 6 8P b a . 3 分 ( 2) 抛掷 甲 , 乙 两 颗骰子 各一次的 游戏,共有 24 种等可能基本事件 . 依题意,玩一次游戏的最终收益为 2ab ,且 的所有可能取值为 4 , 3 , 2 , 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,则 9( 0) ( 0) 24P X P , 3 3 3 9( 1) (1 3) 24 24P X P , 2 2 1 5( 4) (4 6) 24 24P X P ,

33、 1( 7) ( 7) ( 7) 24P X P P , 7 分 所以 X 的概率分布表为: 所以 数 学 期 望9 9 5 1 3( ) 0 1 4 724 24 24 24 2EX . 10 分 23 【解】 ( 1)当 3n 时,集合 1 2 3P , , , 因为 A B C, , 是 P 的 3 个非空子集, A B , BC,且 A B C P , 所以当 1A 时, 12B , , 3C 或 13B , , 2C ; 当 2A 时, 23B , , 1C 或 21B , , 3C ; X 0 1 4 7 P 924 924 524 124 11数学 试卷 第 11 页(共 页)

34、当 3A 时, 13B , , 1C 或 23B , , 1C , 所以 3 6a 3 分 ( 2)当 A 中的元素个数为 *(1 2 )k k n kN, 时,集合 A 共有 Ckn 种不同情形, 集合 B 共有 22nk 种不同情形,集合 C 随集合 B 确定而唯一确定, 所以有 序集合对 A B C, , 的个数为 C 2 2k n kn 6 分 所以 21C 2 2nk n knnka 0 1 1 00C 2 2 C 2 2 C 2 2 C 2 2nk n k n n nn n n nk 00C 2 2 C 2 3nnk n k k nkk (1 2) 2 2 2 3n n n 3 3 2 3nn 10 分 11