1、2019 年内蒙古鄂托克旗中考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）1实数2019 的绝对值是（ ）A B2019 C2019 D20192近年来，国家重视精准扶贫，收效显著据统计约有 65 000 000 人脱贫，把 65 000 000 用科学记数法表示，正确的是（ ）A0.6510 8 B6.510 7 C6.510 8 D6510 63下列运算正确的是（ ）Aa 2+2a3a 3 B（2a 3） 24a 5C（a+2）（a1）a 2+a2 D（a+b） 2a 2+b24受央视朗读者节目的启发的影响，某校七年级 2 班近期准备组织一次朗诵活动，语文
2、老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ）每天阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2人数 8 9 10 3A2，1 B1，1.5 C1，2 D1，15等式 成立的 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）A BC D6如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，以 AB 长为半径作弧，两弧的交点为 C；（2）以 C 为圆心，仍以 AB 长为半径作弧交 AC 的延长线于点 D；（3）连接 BD，BC下列说法不正确的是（ ）ACBD30 BS BDC A
3、B2C点 C 是ABD 的外心 Dsin 2A+cos2D17下列说法中，正确的有（ ）估计 的值在 7 和 8 之间；六边形的内角和是外角和的 2 倍；2 的相反数是2；若 a b，则 ab0它的逆命题是真命题；一个角是 12643，则它的补角是 5317；A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8如图，以直角三角形 a、b、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 S1+S2S 3 图形个数有（ ）A1 B2 C3 D49如图，一次函数 yk 1x+b 的图象与反比例函数 y 的图象相交于 A（2，3），B（6，1）两点，当 k1x+b 时，x 的
4、取值范围为（ ）Ax2 B2x6 Cx6 D0x 2 或 x610如图，直线 l1，l 2 都与直线 l 垂直，垂足分别为 M，N ，MN1正方形 ABCD 的边长为 ，对角线 AC 在直线 l 上，且点 C 位于点 M 处将正方形 ABCD 沿 l 向右平移，直到点 A 与点 N重合为止记点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD 的边位于 l1，l 2 之间部分的长度和为 y，则 y关于 x 的函数图象大致为（ ）A BC D二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分）11定义运算“”，规定 xyax 2+by，其中 a，b 为常数，且 125，216，则 23 12如图，一
5、种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形 ABCD，其中BAD150，B40，则BCD 的度数是 13已知一元二次方程 x2+mx+m10 有两个相等的实数根，则 m 14如图，在菱形 ABCD 中，AB4cm，ADC120，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿AB、 CB 方向向点 B 匀速移动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1cm/s，点 F 的速度为 2cm/s，经过 t 秒DEF 为等边三角形，则 t 的值为 15如图，点 D 为ABC 的 AB 边上的中点，点 E 为 AD 的中点，ADC 为正三角形，给出下列结论， CB 2CE， tanB ，ECDDCB ， 若 AC2
6、，点 P 是 AB 上一动点，点 P 到 AC、BC 边的距离分别为 d1，d 2，则 d12+d22 的最小值是 3其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）16如图，给正五边形的顶点依次编号为 1，2，3，4，5若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”如：一小球在编号为 3 的顶点上时，那么它应走 3 个边长，即从 3451 为第一次“移位”，这时它到达编号为 1 的顶点；然后从 12 为第二次“移位”若这个小球从编号为 2 的顶点开始，第 2019 次“移位”后，则它所处顶点的编号是 三、解答题（本大题共 8 题，72 分
7、，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）17（8 分）（1）计算：（2）先化简，再求值： ，其中 18（9 分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为 度（3）若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？19（7 分）阅读材料
8、：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， ，利用上述结论可以求解如下题目：在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为 a，b，c若 A45，B30，a6，求b解：在ABC 中， b 3 理解应用：如图，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1 处，且乙船从 B1 处按北偏东 15方向匀速直线航行，当甲船航行 20 分钟到达 A2 时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2 处，此时两船相距 10 海里（1）判断A 1A2B2 的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？20（8 分）如图，分别以 RtABC
9、 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边ACD 及等边ABE，已知：BAC30，EF AB，垂足为 F，连接 DF（1）试说明 ACEF；（2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形21（9 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，C 是 O 上的点，点 D 在 AB 的延长线上，BCDBAC（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若D30，BD2，求图中阴影部分的面积22（8 分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 450 吨，如果运出甲仓库所存原料的 60%，乙仓库所存原料的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？（2）现公司需将 30
10、0 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/吨和 100元/吨经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元/ 吨（ 10a30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运 m 吨原料到工厂，请求出总运费 W 关于 m 的函数解析式（不要求写出 m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着 m 的增大，W 的变化情况23（11 分）如图，已知抛物线 yax 2+bx+c 的图象经过点 A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线 l：x 2 ，过点 A 作 ACx 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P是抛物线上的一个动点，设其
11、横坐标为 m（1）求抛物线的解析式；（2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图 ， F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF 成为以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由24（12 分）问题提出（1）如图 ， ABC 是等边三角形，AB12，若点 O 是ABC 的内心，则 OA 的长为 ；问题探究（2）如图 ，在矩形 ABCD 中，AB12，AD18，如果点 P 是 AD 边上一点，且 AP3，那么 BC 边
12、上是否存在一点 Q，使得线段 PQ 将矩形 ABCD 的面积平分？若存在，求出 PQ 的长；若不存在，请说明理由问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由ABM 草地和弦 AB 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图所示管理员王师傅在 M 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由 MA 转到 MB，然后再转回，这样往复喷灌）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了如图 ，已测出 AB24m，MB 10m ，AMB 的面积为 96m2
13、；过弦 AB 的中点 D 作 DEAB交 于点 E，又测得 DE8m请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到 0.01 米）2019 年内蒙古鄂托克旗中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）1【分析】当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a【解答】解：实数2019 的绝对值|2019| 2019，故选：D【点评】本题主要考查了绝对值，解题时注意：一个负数的绝对值是它的相反数2【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定
14、 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：65 000 0006.510 7故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3【分析】根据多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则一一判断即可；【解答】解：A、错误不是同类项不能合并；B、错误应该是（2a 3） 24a 6；C、正确；D、错误应该是（a+b） 2a 2+2
15、ab+b2；故选：C【点评】本题考查多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4【分析】根据表格中的数据可知七年级 2 班有 30 人，从而可以得到全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数，本题得以解决【解答】解：由表格可得，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是 1、1.5，故选：B【点评】本题考查众数、加权平均数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数5【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出 x 的范围【解答】解：由题意可知：解得：x3故选：B【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键
16、是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型6【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；【解答】解：由作图可知：AC AB BC ，ABC 是等边三角形，由作图可知：CBCACD，点 C 是ABD 的外心，ABD90，BD AB，S ABD AB2，ACCD，S BDC AB2，故 A、B、C 正确，故选：D【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7【分析】分别用多边形的知识、实数及余、补角的定义分别判断后即可确定正确的选
17、项【解答】解：8 9，即 在 8 到 9 之间，故错误；六边形的内角和是外角和的 2 倍，正确；2 的相反数是2，正确；若 a b，则 ab0它的逆命题是真命题，正确；一个角是 12643，则它的补角是 5317，正确，正确的有 4 个，故选：D【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是多边形的知识、实数及余、补角的定义，难度不大8【分析】根据直角三角形 a、b、c 为边，应用勾股定理，可得 a2+b2c 2（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出 3 个三角形的面积；然后根据a2+b2c 2，可得 S1+S2S 3（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出 3
18、 个半圆的面积；然后根据a2+b2c 2，可得 S1+S2S 3（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出 3 个等腰直角三角形的面积；然后根据 a2+b2c 2，可得 S1+S2S 3（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出 3 个正方形的面积；然后根据a2+b2c 2，可得 S1+S2S 3【解答】解：（1）S 1 a2，S 2 b2，S 3 c2，a 2+b2c 2， a2+ b2 c2，S 1+S2S 3（2）S 1 a2，S 2 b2，S 3 c2，a 2+b2c 2， a2+ b2 c2，S 1+S2S 3（3）S 1 a2，S 2 b2，S 3
19、c2，a 2+b2c 2， a2+ b2 c2，S 1+S2S 3（4）S 1a 2，S 2b 2，S 3c 2，a 2+b2c 2，S 1+S2S 3综上，可得面积关系满足 S1+S2S 3 图形有 4 个故选：D【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握9【分析】根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求【解答】解：由图象可知，当 k1x+b 时，x 的取值范围为 0x2 或 x6故选
20、：D【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用10【分析】当 0x1 时，y2 x，当 1x2 时，y2 ，当 2x 3 时，y2 x+6，由此即可判断；【解答】解：当 0x1 时，y2 x，当 1x2 时，y 2 ，当 2x3 时，y 2 x+6 ，函数图象是 A，故选：A【点评】本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，共 18 分）11【分析】已知等式利用新定义化简求出 a 与 b 的值，原式计算即可得
21、到结果【解答】解：根据题意得： ，解得： ，则 234+610故答案为：10【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键12【分析】根据题意滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形 ABCD，得出D40，再利用四边形内角和定理求出BCD3601504040，即可得出答案【解答】解：一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形 ABCD，其中BAD150，B40，D40，BCD3601504040130故答案为：130【点评】此题主要考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理，根据题意得出D40，再利用四边形内角和定理是解决问题的关键13【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出
22、 m 的值即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2mx+m10 有两个相等的实数根，b 24acm 241（m 1）m 24m+4（m2） 20，m2，故答案为：2【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根14【分析】延长 AB 至 M，使 BMAE，连接 FM，证出 DAEEMF，得到BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为 4 求出时间 t 的值【解答】解：延长 AB 至 M，使 BMAE，连接 FM，四边形 ABCD 是菱形，ADC120ABAD ，A60，BMAE，AD
23、ME，DEF 为等边三角形，DAEDFE60，DEEFFD，MEF +DEA120，ADE +DEA 180A 120，MEF ADE，在DAE 和EMF 中，DAEEMF（SAS），AEMF，MA60，又BMAE，BMF 是等边三角形，BFAE，AEt，CF2t，BCCF+BF2t+t3t ，BC4，3t4，t故答案为： 或连接 BD根据 SAS 证明 ADEBDF，得到 AEBF，列出方程即可【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出BMF 是等边三角形15【分析】由题意可得BCE 是含有 30的直角三角形，根据含有 3
24、0的直角三角形的性质可判断，易证四边形 PMCN 是矩形，可得 d12+d22MN 2CP 2，根据垂线段最短，可得CP 的值即可求 d12+d22 的最小值，即可判断【解答】解：D 是 AB 中点ADBDACD 是等边三角形，E 是 AD 中点ADCD，ADC60 ACD，CEAB，DCE30CDBDBDCB30，且DCE30，CEABECDDCB，BC2CE，tanB故正确， 错误DCB30，ACD60ACB90若 AC2，点 P 是 AB 上一动点，点 P 到 AC、BC 边的距离分别为 d1，d 2，四边形 PMCN 是矩形MNCPd 12+d22MN 2CP 2当 CP 为最小值，d
25、 12+d22 的值最小根据垂线段最短，则当 CPAB 时，d 12+d22 的值最小此时：CAB60，AC2，CP ABCPd 12+d22MN 2CP 23即 d12+d22 的最小值为 3故正确故答案为【点评】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求 d12+d22 的最小值是本题的关键16【分析】根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后解答即可【解答】解：根据题意，小球从编号为 2 的顶点开始，第 1 次移位到点 4，第 2 次移位到达点 3，第 3 次移位到达点 1，第 4 次移位到达点 2，依此类推，4 次移位后回到出发点，2019450
26、43，第 2019 次“移位“后，它所处顶点的编号与第 3 次移位到的编号相同，为 1，故答案为：1【点评】本题对图形变化规律的考查，根据“移位”的定义，找出每 4 次移位为一个循环组进行循环是解题的关键三、解答题（本大题共 8 题，72 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）17【分析】（1）根据负指数幂的性质、0 指数幂的性质以及特殊角的锐角三角函数值进行计算；（2）首先根据分式的四则混合运算顺序进行计算化简，然后代值计算【解答】解：（1）原式41+1+2 3；（2）原式 ，当 x +1 时，原式 【点评】此题综合考查了幂运算的性质、特殊角的锐角三角函数值、分式的混合运算在求分
27、式的值时，要把分式化到最简，然后代值计算18【分析】（1）根据 B 的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择 A 和 D 的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名【解答】解：（1）5628%200，即本次一共调查了 200 名购买者；（2）D 方式支付的有：200 20%40（人），A 方式支付的有：20056444060（人），补全的条形统计图如右图所示，在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为：360
28、108，故答案为：108；（3）1600 928（名），答：使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有 928 名【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答19【分析】（1）先根据路程速度时间求出 A1A230 10 ，又A2B210 ，A 1A2B260，根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形即可得出 A1A2B2 是等边三角形；（2）先由平行线的性质及方向角的定义求出A 1B1B2751560，由等边三角形的性质得出A 2A1B260，A 1B2A 1A210 ，那么B 1A1B21056045然后在B1A1B2 中，根据
29、阅读材料可知， ，求出 B1B2 的距离，再由时间求出乙船航行的速度【解答】解：（1）A 1A2B2 是等边三角形，理由如下：连结 A1B2甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，航行 20 分钟到达 A2，A 1A230 10 ，又A 2B210 ，A 1A2B260，A 1A2B2 是等边三角形；（2）过点 B 作 B1NA 1A2，如图，B 1NA 1A2，A 1B1N180B 1A1A218010575，A 1B1B275 1560A 1A2B2 是等边三角形，A 2A1B260 ，A 1B2A 1A210 ，B 1A1B2105 6045在B 1A1B2 中，A 1B210 ，
30、B 1A1B2 45，A 1B1B260，由阅读材料可知， ，解得 B1B2 ，所以乙船每小时航行： 20 海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等边三角形的判定与性质，方向角的定义，锐角三角函数的定义，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力正确理解阅读材料是解题的关键20【分析】（1）首先由 RtABC 中，由BAC30可以得到 AB2BC，又由ABE 是等边三角形，EF AB，由此得到 AE2AF，并且 AB2AF，然后证得AFE BCA，继而证得结论；（2）根据（1）知道 EFAC，而ACD 是等边三角形，所以 EFACAD，并且 ADAB，而EFAB，由此得到 EFAD，再
31、根据平行四边形的判定定理即可证明四边形 ADFE 是平行四边形【解答】证明：（1）Rt ABC 中，BAC30，AB2BC，又ABE 是等边三角形，EFAB，AB2AFAFBC，在 Rt AFE 和 RtBCA 中，RtAFERtBCA（HL），ACEF；（2）ACD 是等边三角形，DAC60，ACAD，DABDAC+BAC90又EFAB，EFAD ，ACEF，ACAD ，EFAD ，四边形 ADFE 是平行四边形【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质注意证得 RtAFERtBCA 是关键21【分析】（1）连接 OC，易证BCDOCA，由于 AB 是直径
32、，所以ACB90，所以OCA+ OCBBCD+ OCB 90，CD 是O 的切线（2）设O 的半径为 r，AB2r，由于D 30，OCD90，所以可求出r2，AOC120，BC 2，由勾股定理可知：AC 2 ，分别计算OAC 的面积以及扇形OAC 的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接 OC，OAOC，BACOCA，BCDBAC，BCDOCA，AB 是直径，ACB90，OCA+OCBBCD+ OCB90OCD90OC 是半径，CD 是O 的切线（2）设O 的半径为 r，AB2r ，D30，OCD90，OD2r，COB60r+22r ，r2，AOC120BC2，由勾股定理可知：AC2易
33、求 SAOC 2 1S 扇形 OAC 阴影部分面积为 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含 30 度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识22【分析】（1）根据甲乙两仓库原料间的关系，可得方程组；（2）根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式；（3）根据一次函数的性质，要分类讨论，可得答案【解答】解：（1）设甲仓库存放原料 x 吨，乙仓库存放原料 y 吨，由题意，得，解得 ，甲仓库存放原料 240 吨，乙仓库存放原料 210 吨；（2）由题意，从甲仓库运 m 吨原料到工厂，则从乙仓库云原料（300m ）吨到工厂，总运费 W（120a）m+10
34、0（300m ）（20a）m+30000；（3） 当 10 a20 时，20a0，由一次函数的性质，得 W 随 m 的增大而增大，当 a 20 是， 20a0，W 随 m 的增大没变化；当 20a30 时，则 20a0，W 随 m 的增大而减小【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的性质，解（1）的关键是利用等量关系列出二元一次方程组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式；解（3）的关键是利用一次函数的性质，要分类讨论23【分析】（1）利用对称性可得点 D 的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设 P（m，m 24m+3），根据 OE 的解析式表示点 G 的坐标，表示 PG
35、 的长，根据面积和可得四边形 AOPE 的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图 3，作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF，根据|OM| PN|，列方程可得点 P的坐标；同理可得其他图形中点 P 的坐标【解答】解：（1）如图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：ya（x1）（x 3），把 A（0，3）代入得：33a，a1，抛物线的解析式；yx 24x +3；（2）如图 2，AOE 的面积是定值，所以当OEP 面积最大时，四边形 AOPE 面积最大，设 P（m，m 24m+3），OE 平分AOB，AOB90，AOE45，A
36、OE 是等腰直角三角形，AEOA 3，E（3，3），易得 OE 的解析式为：yx，过 P 作 PGy 轴，交 OE 于点 G，G（m，m），PGm（m 24m+3）m 2+5m3，S 四边形 AOPES AOE +SPOE ， 33+ PGAE， + 3（m 2+5m3）， + ， （m ） 2+ ， 0，当 m 时， S 有最大值是 ；（3）分四种情况：当 P 在对称轴的左边，且在 x 轴下方时，如图 3，过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 l 于N，OPF 是等腰直角三角形，且 OPPF，易得OMPPNF，OM PN，P（m，m 24m+3），则m 2+4m32m，解得：m （舍
37、）或 ，P 的坐标为（ ， ）；当 P 在对称轴的左边，且在 x 轴上方时，如图 3，同理得：2mm 24m+3，解得：m 1 （舍）或 m2 ，当 P 在对称轴的右边，且在 x 轴下方时，如图 4，过 P 作 MNx 轴于 N，过 F 作 FMMN 于 M，同理得ONPPMF，PNFM，则m 2+4m3m2，解得：x 或 （舍）；P 的坐标为（ ， ）；当 P 在对称轴的右边，且在 x 轴上方时，同理得 m24m+3m2，解得：m 或 （舍）P 的坐标为：（ ， ）；综上所述，点 P 的坐标是：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的
38、综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题24【分析】（1）构建 Rt AOD 中，利用 cosOAD cos30 ，可得 OA 的长；（2）经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出 PQ，利用勾股定理进行计算即可；（3）如图 3，作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：在 Rt AOD 中，r 212 2+（r8） 2，解得：r13 根据三角形面积计算高 MN 的长，证明ADCANM，列比例式求 DC 的长，确定点 O 在AMB 内部，利用勾股定理计算 OM，则最大距离
39、 FM 的长可利用相加得出结论【解答】解：（1）如图 1，过 O 作 ODAC 于 D，则 AD AC 126，O 是内心，ABC 是等边三角形，OAD BAC 6030，在 Rt AOD 中，cosOAD cos30 ，OA6 4 ，故答案为：4 ；（2）存在，如图 2，连接 AC、BD 交于点 O，连接 PO 并延长交 BC 于 Q，则线段 PQ 将矩形ABCD 的面积平分，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，CQAP 3，过 P 作 PMBC 于点 M，则 PMAB12，MQ183312，由勾股定理得：PQ 12 ；（3）如图 3，作射线 ED 交 AM 于点 CADDB ，EDAB，
40、 是劣弧， 所在圆的圆心在射线 DC 上，假设圆心为 O，半径为 r，连接 OA，则 OAr，ODr 8，AD AB12，在 Rt AOD 中，r 212 2+（r8） 2，解得：r13，OD5，过点 M 作 MNAB ，垂足为 N，S ABM 96，AB 24， ABMN96，24MN96，MN8，NB6，AN18，CDMN，ADCANM， ， ，DC ，ODCD，点 O 在AMB 内部，连接 MO 并延长交 于点 F，则 MF 为草坪上的点到 M 点的最大距离，在 上任取一点异于点 F 的点 G，连接 GO，GM，MFOM+OFOM+OGMG ，即 MFMG，过 O 作 OHMN，垂足为 H，则 OHDN6，MH3，OM 3 ，MFOM+r 3 +1319.71（米），答：喷灌龙头的射程至少为 19.71 米【点评】本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、勾股定理、等边三角形的性质及内心的定义、特殊的三角函数值、矩形的性质等知识，明确在特殊的四边形中将面积平分的直线一定过对角线的交点，本题的第三问比较复杂，辅助线的作出是关键，根据三角形的三角关系确定其最大射程为 MF
