1、2019 年广东省汕头市潮南区司马浦镇中考数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）3 的相反数是（ ）A3 B3 C D2（3 分）下列图形中的五边形 ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3（3 分）函数 y 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax4 Bx4 Cx4 Dx 44（3 分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）A B C D5（3 分）如图，直线 ABEF，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一点，若BCD95，CDE25，则D
2、EF 的度数是（ ）A120 B110 C100 D706（3 分）如图，在 RtABC 中，A30，BC 2，点 D，E 分别是直角边 BC，AC的中点，则 DE 的长为（ ）A2+ B4 C D27（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k +3）x+k0 的根的情况是（ ）A有两不相等实数根 B有两相等实数根C无实数根 D不能确定8（3 分）已知一次函数 y0.5x+2，当 1x 4 时， y 的最大值是（ ）A1.5 B2 C2.5 D69（3 分）如图，PA、PB 与 O 相切，切点分别为 A、B，PA3，BPA60，若 BC为O 的直径，则图中阴影部分的面积为（ ）A3 B C2
3、 D10（3 分）已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A BC D二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）8 的立方根是 12（4 分）若3x my3 与 2x2yn 是同类项，则| mn| 的值是 13（4 分）如图，BC 是O 的直径，A 是 O 上的一点， OAC32，则B 的度数是 14（4 分）已知 x，y 满足方程组 ，则 x24y 2 的值为 15（4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形
4、OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴上，并且 OA5，OC3若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 恰好落在 BC边上的 A1 处，则点 C 的对应点 C1 的坐标为 16（4 分）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出 a+b+c 三、解答题（一）（每小题 6 分，共 18 分）17（6 分）计算：|4| cos60+（ ） 0（3） 218（6 分）先化简，再求值：2b 2+（a+b）（ab）（ab） 2，其中 a3，b 19（6 分）作图题：（不要求写作法）如图，在 1010 的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点
5、上）（1）在给出的方格纸中，画出四边形 ABCD 向下平移 5 格后的四边形 A1B1C1D1；（2）在给出的方格纸中，画出四边形 ABCD 关于直线 l 对称的四边形 A2B2C2D2四、解答题（二）（每小题 7 分，共 21 分）20（7 分）为了解某校九年级男生 200 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D、C、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a ，b ，c ；（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 200 米
6、跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率21（7 分）如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且OAOC，OBOD，过 O 点作 EFBD ，分别交 AD、BC 于点 E、F（1）求证：AOECOF；（2）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由22（7 分）已知反比例函数 的图象经过点 A（2，1）点 M（m，n）（0m2）是该函数图象上的一动点，过点 M 作直线 MBx 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线ACy 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB 于点 D（1）求反比例函数的函数解析式；（2）当四边形 OADM 的面积为 2 时，请判
7、断 BM 与 DM 是否相等，并说明理由五、解答题（三）（每小题 9 分，共 27 分）23（9 分）一水果店是 A 酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了 2600kg 的这种水果已知水果店每售出 1kg 该水果可获利润 10 元，未售出的部分每 1kg 将亏损 6 元，以 x（单位：kg，2000x3000）表示 A 酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润（1）求 y 关于 x 的函数表达式；（2）问：当 A 酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于 22000 元？24（9 分）如
8、图，AB 为 O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BEAB，OEAD 交 BE 于 E 点，连接AE、 DE、AE 交 CD 于 F 点（1）求证：DE 为O 切线；（2）若O 的半径为 3，sinADP ，求 AD；（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明25（9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴正半轴于点 B（4，0），与过 A 点的直线相交于另一点 D（ 3， ），过点 D 作 DCx 轴，垂足为 C（1）求抛物线的表达式；（2）点
9、P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合），过 P 作 PNx 轴，交直线 AD 于 M，交抛物线于点 N，连接 CM，求 PCM 面积的最大值；（3）若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t，是否存在 t，使以点M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由2019 年广东省汕头市潮南区司马浦镇中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）3 的相反数是（ ）A3 B3 C D【分析】依据相反数的定义求解即可【解答】解：3 的相反数是 3故选：B【点评】本题主要考查的是相反数的定
10、义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键2（3 分）下列图形中的五边形 ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案【解答】解：如图所示：直线 l 即为各图形的对称轴，故选：D【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键3（3 分）函数 y 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax4 Bx4 Cx4 Dx 4【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：由题意得，4x0，解得 x4故选：B【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式
11、时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负4（3 分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）A B C D【分析】先利用列表法展示所以 6 种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占 2 种，然后根据概率定义求解【解答】解：列表如下：，共有 6 种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占 2 种，所以小亮恰好站在中间的概率为 ，故选：C【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求
12、出概率5（3 分）如图，直线 ABEF，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一点，若BCD95，CDE25，则DEF 的度数是（ ）A120 B110 C100 D70【分析】直接延长 FE 交 DC 于点 N，利用平行线的性质得出BCDDNF95，再利用三角形外角的性质得出答案【解答】解：延长 FE 交 DC 于点 N，直线 ABEF，BCDDNF95，CDE25，DEF95+25120故选：A【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键6（3 分）如图，在 RtABC 中，A30，BC 2，点 D，E 分别是直角边 BC，AC的中点，
13、则 DE 的长为（ ）A2+ B4 C D2【分析】根据直角三角形的性质求出 AB，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：在 RtABC 中，A30，AB2BC4 ，D，E 分别是直角边 BC，AC 的中点，DE AB2，故选：D【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半7（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k +3）x+k0 的根的情况是（ ）A有两不相等实数根 B有两相等实数根C无实数根 D不能确定【分析】先计算判别式得到（k+3） 24k（k +1） 2+8，再利用非负数的性质得到0，然后可判断方程根的情况【解答】解：（
14、k+3） 24kk 2+2k+9（k +1） 2+8，（k+1） 20，（k+1） 2+80，即0，所以方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根8（3 分）已知一次函数 y0.5x+2，当 1x 4 时， y 的最大值是（ ）A1.5 B2 C2.5 D6【分析】根据一次函数的系数 k0.50，可得出 y 随 x 值的增大而减小，将 x1 代入一次函数解析式中求出 y 值即可【解答】解：在一次函数 y0.5x+
15、2 中 k0.50，y 随 x 值的增大而减小，当 x1 时，y 取最大值，最大值为0.51+21.5故选：A【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k0，y 随 x 的增大而减小”是解题的关键9（3 分）如图，PA、PB 与 O 相切，切点分别为 A、B，PA3，BPA60，若 BC为O 的直径，则图中阴影部分的面积为（ ）A3 B C2 D【分析】根据三角形面积求法得出 SAOB S OAC ，进而得出答案阴影部分的面积扇形 OAB 的面积，即可得出答案【解答】解：PA、PB 与O 相切，PAPB，PAO PBO90P60，PAB 为等边三角形，AOB120，ABPA3，OCA60，AB
16、为O 的直径，BAC90BC2 OBOC，S AOB S OAC ，S 阴影 S 扇形 OAB ，故选：B【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及扇形面积求法，利用阴影部分的面积整理为一个规则图形的面积是解题关键10（3 分）已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，表示 y 与 x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A BC D【分析】先观察图象得到 y 与 x 的函数图象分三个部分，则可对有 4 边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P 点在圆上运动时，开始 y 随 x 的
17、增大而增大，然后 y 随 x 的减小而减小，则可对 D 进行判断，从而得到正确选项【解答】解：y 与 x 的函数图象分三个部分，而 B 选项和 C 选项中的封闭图形都有 4 条线段，其图象要分四个部分，所以 B、C 选项不正确；D 选项中的封闭图形为圆，开始y 随 x 的增大而增大，然后 y 随 x 的减小而减小，所以 D 选项不正确；A 选项为三角形，M 点在三边上运动对应三段图象，且 M 点在 P 点的对边上运动时， PM 的长有最小值故选：A【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题
18、、解决问题的能力用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）8 的立方根是 2 【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果【解答】解：8 的立方根为 2，故答案为：2【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键12（4 分）若3x my3 与 2x2yn 是同类项，则| mn| 的值是 1 【分析】由同类项的概念得，两项含相同字母 x 与 y，且相同字母的次数相同，构建两个方程求出 m，n 的值，用代入法代入 |mn| 中去绝值求值【解答】解：3x my3 与 2x2yn 是同类项，m2，n3；|m n |23|1，故答案为
19、1【点评】本题考查了同类项的概念，解方程和去绝对值相关知识点，是一道基础题13（4 分）如图，BC 是O 的直径，A 是 O 上的一点， OAC32，则B 的度数是 58 【分析】根据半径相等，得出 OCOA，进而得出C32，利用直径和圆周角定理解答即可【解答】解：OAOC，COAC32，BC 是直径，B903258，故答案为：58【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用14（4 分）已知 x，y 满足方程组 ，则 x24y 2 的值为 15 【分析】根据平方差公式即可求出答案【解答】解：原式（x+2y ）（x 2y）3515故答案为：1
20、5【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型15（4 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴上，并且 OA5，OC3若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 恰好落在 BC边上的 A1 处，则点 C 的对应点 C1 的坐标为 （ ， ） 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ONC 1 三边关系，再利用勾股定理得出答案【解答】解：过点 C1 作 C1Nx 轴于点 N，过点 A1 作 A1Mx 轴于点 M，由题意可得：C 1NOA 1MO90，123，则A 1OMOC 1N，OA5，OC3，OA
21、15，A 1M3，OM 4，设 NO3x，则 NC14x ，OC 13，则（3x） 2+（4x ） 29，解得：x （负数舍去），则 NO ，NC 1 ，故点 C 的对应点 C1 的坐标为：（ ， ）故答案为：（ ， ）【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出A 1OMOC 1N是解题关键16（4 分）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出 a+b+c 110 【分析】观察不难发现，左上角+4左下角，左上角+3右上角，右下角的数为左下和右上的积加上 1 的和，根据此规律列式进行计算即可得解【解答】解：根据左上角+4左下角，左上角+3右上角，右下角的数为左
22、下和右上的积加上 1 的和，可得 6+4a，6+3 c，ac+1b，可得：a10，c9，b91，所以 a+b+c10+9+91110，故答案为：110【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键三、解答题（一）（每小题 6 分，共 18 分）17（6 分）计算：|4| cos60+（ ） 0（3） 2【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式4 +194 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18（6 分）先化简，再求值：2b 2+（a+b）（ab）（ab） 2，其中 a3，b
23、 【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a3，b 代入进行计算即可【解答】解：原式2b 2+a2b 2（a 2+b22ab）2b 2+a2b 2a 2b 2+2ab2ab，当 a3，b 时，原式2（3） 3【点评】本题考查的是整式的化简求出，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键19（6 分）作图题：（不要求写作法）如图，在 1010 的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）（1）在给出的方格纸中，画出四边形 ABCD 向下平移 5 格后的四边形 A1B1C1D1；（2）在给出的方格纸中，画出四边形 ABCD 关于直线 l 对称的四边形 A2B2C2D2
24、【分析】在平移时要注意平移的方向和平移的距离确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，利用此性质找对应点，顺次连接即可【解答】解：作图如图：画出对应点的位置，连接即可【点评】本题考查的是平移变换与轴对称变换作图作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即
25、为平移后的图形作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点四、解答题（二）（每小题 7 分，共 21 分）20（7 分）为了解某校九年级男生 200 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D、C、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a 2 ，b 45 ，c 20 ；（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度；（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 200 米跑比赛，请用列表法
26、或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率【分析】（1）根据 A 等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 D 等次百分比可得a 的值，再用 B、C 等次人数除以总人数可得 b、c 的值；（2）用 360乘以 C 等次百分比可得；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案【解答】解：（1）本次调查的总人数为 1230%40 人，a405%2，b 10045，c 10020，故答案为：2、45、20；（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 36020%72，故答案为：72；（3）画树状图，如图所示：共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个，故 P
27、（选中的两名同学恰好是甲、乙） 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率注意此题是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（7 分）如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且OAOC，OBOD，过 O 点作 EFBD ，分别交 AD、BC 于点 E、F（1）求证：AOECOF；（2）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由【分析】（1）首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，再利用 ASA 证明AOECOF；（2）结论：四边形 BEDF 是菱形根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：OA OC，OB OD，四边形 ABCD 是平行
28、四边形，ADBC，EAOFCO，在AOE 和COF 中，AOECOF（2）解：结论：四边形 BEDF 是菱形，AOECOF，AECF，ADBC，DEBF，DEBF，四边形 BEDF 是平行四边形，OBOD ，EFBD，EBED ，四边形 BEDF 是菱形【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型22（7 分）已知反比例函数 的图象经过点 A（2，1）点 M（m，n）（0m2）是该函数图象上的一动点，过点 M 作直线 MBx 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线ACy 轴交 x 轴于点 C，交直线
29、MB 于点 D（1）求反比例函数的函数解析式；（2）当四边形 OADM 的面积为 2 时，请判断 BM 与 DM 是否相等，并说明理由【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据反比例函数系数 k 的几何意义求得OMB 和OAC 的面积，然后根据 S 矩形OBDCS 四边形 OADM+SOMB +SOAC 求得矩形的面积为 4，从而求得 n2，然后根据OMB 的面积1，即可求得 m，从而证得 MBMD 1【解答】解：（1）将 A（2，1）分别代入 中，得 ，k2，反比例函数的解析式为 ；（2）BMDM，理由：S 矩形 OBDCS 四边形 OADM+SOMB +SOAC 1+1+24，即 O
30、COB4，OC2，OB2，即 n2， ，MB1，MD211，MBMD【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键五、解答题（三）（每小题 9 分，共 27 分）23（9 分）一水果店是 A 酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了 2600kg 的这种水果已知水果店每售出 1kg 该水果可获利润 10 元，未售出的部分每 1kg 将亏损 6 元，以 x（单位：kg，2000x3000）表示 A 酒店本月对这种水果的
31、需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润（1）求 y 关于 x 的函数表达式；（2）问：当 A 酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于 22000 元？【分析】（1）列函数解析式时注意在获得的利润里减去未出售的亏损部分；（2）由（1）y22000 即可【解答】解：（1）由题意：当 2 000x2 600 时，y 10x 6（2600x）16x15600；当 2 600x3 000 时，y 26001026000（2）由题意得：当当 2 000x2 600 时，16x1560022000解得：x2350，当 2 600x3 000 时，利润为 26000
32、 也满足条件，当 A 酒店本月对这种水果的需求量小于等于 3000，不少于 2350kg 时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于 22000 元【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注意理解题意24（9 分）如图，AB 为 O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BEAB，OEAD 交 BE 于 E 点，连接AE、 DE、AE 交 CD 于 F 点（1）求证：DE 为O 切线；（2）若O 的半径为 3，sinADP ，求 AD；（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明
33、【分析】（1）如图 1，连接 OD、BD，根据圆周角定理得：ADB90，则ADBD，OE BD，由垂径定理得：BM DM ，证明BOEDOE，则ODE OBE90，可得结论；（2）设 APa，根据三角函数得：AD3a，由勾股定理得：PD 2 a，在直角OPD 中，根据勾股定理列方程可得：3 2（3a） 2+（2 a） 2，解出 a 的值可得 AD的值；（3）先证明APFABE ，得 ，由ADP OEB，得 ，可得PD2PF，可得结论【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD、BD，BD 交 OE 于 M，AB 是O 的直径，ADB90，AD BD，OEAD ，OEBD ，BMDM，OBOD ，B
34、OMDOM，OEOE ，BOEDOE（SAS），ODE OBE90，DE 为 O 切线；（2）设 APa，sinADP ，AD3a，PD 2 a，OP3a，OD 2OP 2+PD2，3 2（3a） 2+（2 a） 2，996a+a 2+8a2，a1 ，a 20（舍），当 a 时，AD3a2，AD2；（3）PFFD ，理由是：APDABE90，PAFBAE，APF ABE， ，PF ，OEAD ，BOEPAD，OBEAPD90，ADPOEB， ，PD ，AB2OB ，PD2PF，PFFD 【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适
35、中，连接 BD 构造直角三角形是解题的关键25（9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴正半轴于点 B（4，0），与过 A 点的直线相交于另一点 D（ 3， ），过点 D 作 DCx 轴，垂足为 C（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合），过 P 作 PNx 轴，交直线 AD 于 M，交抛物线于点 N，连接 CM，求 PCM 面积的最大值；（3）若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t，是否存在 t，使以点M、C、D、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说
36、明理由【分析】（1）把 B（4，0），点 D（3， ）代入 yax 2+bx+1 即可得出抛物线的解析式；（2）先用含 t 的代数式表示 P、M 坐标，再根据三角形的面积公式求出PCM 的面积与 t 的函数关系式，然后运用配方法可求出 PCM 面积的最大值；（3）若四边形 DCMN 为平行四边形，则有 MNDC，故可得出关于 t 的二元一次方程，解方程即可得到结论【解答】解：（1）把点 B（4，0），点 D（3， ），代入 yax 2+bx+1 中得，解得： ，抛物线的表达式为 y x2+ x+1；（2）设直线 AD 的解析式为 ykx+b，A（0，1），D（3， ）， ， ，直线 AD 的解
37、析式为 y x+1，设 P（t，0），M（t， t+1），PM t+1，CDx 轴，PC3t，S PCM PCPM （3t）（ t+1），S PCM t2+ t+ （t ） 2+ ，PCM 面积的最大值是 ；（3）OPt，点 M，N 的横坐标为 t，设 M（t， t+1），N（t， t2+ t+1），|MN | | t2+ t+1 t1| | t2+ t|，CD ，如图 1，如果以点 M、C、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形，MNCD，即 t2+ t ，整理得：3t 29t+100，39，方程 t2+ t 无实数根，不存在 t，如图 2，如果以点 M、C、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形，MNCD，即 t2 t ，t ，（负值舍去），当 t 时，以点 M、C、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用
