1、2019 年湖南省娄底市娄星区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 12 小题，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1（3 分）2019 的倒数是（ ）A2019 B C D20192（3 分）下列各式计算正确的是（ ）A2+ b2b B C（2a 2） 38a 5 Da 6a4a 23（3 分）长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约 6 700 000 米，将 6 700 000 用科学记数法表示应为（ ）A6.710 6 B6.710 6 C6.710 5 D0.6710 7
2、4（3 分）如图，ABCD，点 E 在 CB 的延长线上，若ABE60，则ECD 的度数为（ ）A120 B100 C60 D205（3 分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）A三棱柱 B圆锥 C四棱柱 D圆柱6（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A BC D7（3 分）我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温（） 25 26 27 28天 数 1 1 2 3则这组数据的中位数与众数分别是（ ）A27，28 B27.5，28 C28，27 D26.5，278（3 分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）A BC D9（3 分）下列判断错误的是（ ）A两组对边
3、分别相等的四边形是平行四边形B四个内角都相等的四边形是矩形C四条边都相等的四边形是菱形D两条对角线垂直且平分的四边形是正方形10（3 分）如图，从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，如果APB60，PA8，那么弦 AB 的长是（ ）A4 B4 C8 D811（3 分）函数 ykx+1 与函数 y 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A BC D12（3 分）定义a，b，c为函数 yax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为2m，1 m ， 1m 的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（ ）B当 m0 时，函数图象截 x
4、轴所得的线段长度大于C当 m0 时，函数图象经过同一个点D当 m0 时，函数在 x 时，y 随 x 的增大而减小二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）若 有意义，则 x 的取值范围是 14（3 分）分式方程 的解是 15（3 分）一个底面直径是 80cm，母线长为 90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 16（3 分）在一个暗箱里放有 a 个除颜色外完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3个每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%那么估计 a 大约有 个17（3 分）如图，AB
5、CD 的顶点 A、B 的坐标分别是 A（1，0），B（0，3），顶点C、D 在双曲线 y 上，边 AD 交 y 轴于点 E，且ABCD 的面积是ABE 面积的 8 倍，则 k 18（3 分）农夫将苹果树种在正方形的果园内为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当 n 为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则 n 为 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分）19（6 分）计算：（ ） 06tan30+（ ） 2 +|1 |20（6 分）先化简： ，再从3、2、3 中选择一个合适的
6、数作为 a 的值代入求值四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）21（8 分）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；请补全条形统计图；（2）若该校共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人
7、数；（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率22（8 分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时，测得该岛位于正北方向 20（1+ ）海里的 C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我 A 处的渔监船前往 C 处护航，已知 C 位于 A 处的北偏东45方向上，A 位于 B 的北偏西 30的方向上，求 A、C 之间的距离五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分
8、 18 分）23（9 分）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元（1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由24（9 分）如图，ABC 为等边三角形，D、F 分别为 BC、AB 上的点，且 CDBF（1）求证：ACDCBF；（2）以 AD 为边作等边三角形 ADE，点 D 在线段 BC 上的何处时，四边形 CDEF
9、 是平行四边形六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）25（10 分）如图，已知 AB 为 O 的直径，AB8，点 C 和点 D 是O 上关于直线 AB对称的两个点，连接 OC、AC ，且BOC90，直线 BC 和直线 AD 相交于点 E，过点 C 作直线 CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F，与直线 AD 相交于点 G，且GAFGCE（1）求证：直线 CG 为 O 的切线；（2）若点 H 为线段 OB 上一点，连接 CH，满足 CBCH，CBH OBC；求 OH+HC 的最大值26（10 分）如图，已知抛物线 yax 2+3ax4a 与 x 轴负半轴相交于点 A
10、，与 y 轴正半轴相交于点 B，OBOA ，直线 l 过 A、B 两点，点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作CDx 轴于点 C，交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与 x 轴正半轴交于点 F，设点 D 的横坐标为 x，四边形 FAEB 的面积为S，请写出 S 与 x 的函数关系式，并判断 S 是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由（3）连接 BE，是否存在点 D，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由2019 年湖南省娄底市娄星区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题
11、共 12 小题，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1（3 分）2019 的倒数是（ ）A2019 B C D2019【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案【解答】解：2019 的倒数是： 故选：C【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键2（3 分）下列各式计算正确的是（ ）A2+ b2b B C（2a 2） 38a 5 Da 6a4a 2【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法，即可解答【解答】解：A、2 与 b 不是同类项，不能合并，故错误；B、 与 不是同类二次根式，不能合并，故错误；
12、C、（2a 2） 38a 6，故错误；D、正确故选：D【点评】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的除法法则3（3 分）长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约 6 700 000 米，将 6 700 000 用科学记数法表示应为（ ）A6.710 6 B6.710 6 C6.710 5 D0.6710 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【
13、解答】解：6 700 0006.710 6，故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（3 分）如图，ABCD，点 E 在 CB 的延长线上，若ABE60，则ECD 的度数为（ ）A120 B100 C60 D20【分析】利用平行线的性质和邻补角互补作答【解答】解：依题意得ABE+ABC 180，ABC120，ABCD，ECDABC120故选：A【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，即由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的5（3 分）如图是某
14、个几何体的展开图，该几何体是（ ）A三棱柱 B圆锥 C四棱柱 D圆柱【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱故选：A【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解6（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选：C
15、【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合7（3 分）我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温（） 25 26 27 28天 数 1 1 2 3则这组数据的中位数与众数分别是（ ）A27，28 B27.5，28 C28，27 D26.5，27【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个【解答】解：处于这组数据中间位置的那个数是 27，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是
16、 27众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中 28 是出现次数最多的，故众数是 28故选：A【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数8（3 分）不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）A BC D【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：不等式 得： x1，解不等式 得： x2，不等式组的解集为 1x2，在数轴上表示为： ，故选：A【
17、点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键9（3 分）下列判断错误的是（ ）A两组对边分别相等的四边形是平行四边形B四个内角都相等的四边形是矩形C四条边都相等的四边形是菱形D两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误
18、，应该是菱形，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键10（3 分）如图，从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，如果APB60，PA8，那么弦 AB 的长是（ ）A4 B4 C8 D8【分析】先利用切线长定理得到 PAPB，再利用APB60可判断APB 为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解【解答】解：PA，PB 为O 的切线，PAPB，APB 60，APB 为等边三角形，ABPA8故选：C【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了切线长定理11（3
19、 分）函数 ykx+1 与函数 y 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A BC D【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k0，所以分 k0 和 k0 两种情况讨论当两函数系数 k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案【解答】解：分两种情况讨论：当 k0 时，ykx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限， y 的图象在第一、三象限；当 k0 时，ykx+1 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限， y 的图象在第二、四象限故选：A【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由 k 的取值确定函数所在的象限12（3 分）定义a，b，c为函
20、数 yax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为2m，1 m ， 1m 的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A当 m3 时，函数图象的顶点坐标是（ ）B当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于C当 m0 时，函数图象经过同一个点D当 m0 时，函数在 x 时，y 随 x 的增大而减小【分析】A、把 m3 代入 2m，1m，1m ，求得a，b，c，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为 0，求得与 x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出 x 的值，进一步验证即可解答【解答】解：因为函
21、数 yax 2+bx+c 的特征数为2 m，1m，1m ；A、当 m3 时，y6x 2+4x+26（x ） 2+ ，顶点坐标是（ ， ）；此结论正确；B、当 m0 时，令 y0，有 2mx2+（1m）x+（1m）0，解得：x 11，x 2 ，|x2 x1| + ，所以当 m0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 ，此结论正确；C、当 x1 时， y2mx 2+（1m ）x+（1m）2m+（1m）+（1m）0 即对任意 m，函数图象都经过点（ 1，0）那么同样的：当 m0 时，函数图象都经过同一个点（1，0），当 m0 时，函数图象经过同一个点（ 1，0），故当 m0 时，函数图象经过 x
22、 轴上一个定点此结论正确D、当 m0 时，y 2mx 2+（1m）x +（1m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线 x ，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小因为当 m0 时， ，即对称轴在 x 右边，因此函数在 x 右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，都是正确的， 是错误的故选：D【点评】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）若 有意义，则 x 的取值范围是 x 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解【解答】解
23、：要是 有意义，则 2x10，解得 x 故答案为：x 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义14（3 分）分式方程 的解是 x2 【分析】观察可得最简公分母是 x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：方程的两边同乘 x（x+3），得2（x+3）5x，解得 x2检验：把 x2 代入 x（x +3） 100，即 x2 是原分式方程的解故原方程的解为：x2故答案为：x2【点评】此题考查了分式方程的求解方法注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根15
24、（3 分）一个底面直径是 80cm，母线长为 90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 160 【分析】根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可【解答】解：圆锥的底面直径是 80cm，圆锥的侧面展开扇形的弧长为：d80 ，母线长 90cm，圆锥的侧面展开扇形的面积为： lr 80903600， 3600 ，解得：n160故答案为：160【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系16（3 分）在一个暗箱里放有 a 个除颜色外完全
25、相同的球，这 a 个球中红球只有 3个每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%那么估计 a 大约有 12 个【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解【解答】解：由题意可得， 100%25%，解得，a12 个估计 a 大约有 12 个故答案为：12【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系17（3 分）如图，ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别是 A（1，0），B（0，3），顶点C、D 在双曲线 y 上，
26、边 AD 交 y 轴于点 E，且ABCD 的面积是ABE 面积的 8 倍，则 k 36 【分析】过 D 点作 x 轴的垂线，垂足为 G，过 C 点作 y 轴的垂线，垂足为 F，交 DG于 H 点，先证CDHABO，则 CHAO1，DHOB3，根据 S 四边形ABCD8S ABE 得出 SABD 4SABE ，证得 AD4AE ，即可证得 AG4OA，设D（3，m），则点 C（4，m3），根据 kxy 即可求得【解答】解：如图，过 D 点作 x 轴的垂线，垂足为 G，过 C 点作 y 轴的垂线，垂足为F，交 DG 于 H 点，连接 BD，ABCD 是平行四边形，ABCADC，BODG ，OBCG
27、DE，HDCABO ，CDHABO （AAS），CHAO1，DHOB3，ABCD 的面积是ABE 面积的 8 倍，S ABD 4S ABE，AD4AE，AG4OA ，A（1，0），B（0，3），设 D（3，m），则点 C（4，m 3），点 C 和点 D 均在双曲线上，则有：3m4（m 3），解得 m12，k3m36【点评】本题考查了反比例函数的综合运用关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，根据面积关系，列方程求解18（3 分）农夫将苹果树种在正方形的果园内为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当
28、 n 为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则 n 为 8 【分析】观察图形不难发现，苹果树的棵树为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，并找出规律写出第 n 个图形中的棵树的表达式，然后列出方程求解即可【解答】解：第 1 个图形中苹果树的棵树是 1，针叶树的棵树是 8，第 2 个图形中苹果树的棵树是 42 2，针叶树的棵树是 1682，第 3 个图形中苹果树的棵树是 93 2，针叶树的棵树是 2483，第 4 个图形中苹果树的棵树是 164 2，针叶树的棵树是 3284，所以，第 n 个图形中苹果树的棵树是 n2，针叶树的棵树是 8n，苹果树的棵数与针叶树的棵数相等，n 28n
29、，解得 n10（舍去），n 28故答案为：8【点评】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，写出苹果树与针叶树的棵树的变化规律并写出第 n 个图形中的表达式是解题的关键三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分）19（6 分）计算：（ ） 06tan30+（ ） 2 +|1 |【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果【解答】解：原式12 +4+ 14 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（6 分）先化简： ，再从3、2、3 中选择一个合适的数作为 a 的值代入求
30、值【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在3、2、3 中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：a+2，当 a3 时，原式3+21【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）21（8 分）据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有
31、60 名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 ；请补全条形统计图；（2）若该校共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率【分析】（1）由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以 360 得到结果，补全条形统计图即可；（2）求
32、出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以 900 即可得到结果；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）根据题意得：3050%60（名），“了解”人数为60（15+30+10）5（名），“基本了解”占的百分比为 100%25%，占的角度为 25%36090，补全条形统计图如图所示：（2）根据题意得：900 300（人），则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 300 人；（3）列表如下：剪 石 布剪 （剪，剪） （石，剪） （布，剪）石 （剪，石） （石，石） （布，石）布 （
33、剪，布） （石，布） （布，布）所有等可能的情况有 9 种，其中两人打平的情况有 3 种，则 P 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键22（8 分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 B 处时，测得该岛位于正北方向 20（1+ ）海里的 C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我 A 处的渔监船前往 C 处护航，已知 C 位于 A 处的北偏东45方向上，A 位于 B 的北偏西 30的方向上，求 A、C 之间的距离【分析】作 ADBC，垂足为 D，设 CDx，利用解直角三角形的知识，可得出 AD，继而
34、可得出 BD，结合题意 BCCD+BD 可得出方程，解出 x 的值后即可得出答案【解答】解：如图，作 AD BC，垂足为 D，由题意得，ACD45，ABD30设 CDx，在 RtACD 中，可得 ADx，在 Rt ABD 中，可得 BD x，又BC20（1+ ），CD+BD BC，即 x+ x20（1+ ），解得：x20，AC x20 （海里）答：A、C 之间的距离为 20 海里【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）23（9 分）某班为参加学校的大课
35、间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元（1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由【分析】（1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元，根据：“2根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元”列方程组求解即可；（2）首先根据“A 型跳绳的数量不多
36、于 B 型跳绳数量的 3 倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和 A 型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可【解答】解：（1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元，根据题意，得：，解得： ，答：一根 A 型跳绳售价是 10 元，一根 B 型跳绳的售价是 36 元；（2）设购进 A 型跳绳 m 根，总费用为 W 元，根据题意，得：W10m+36（50m ）26m+1800，260，W 随 m 的增大而减小，又m3（50m），解得：m37.5，而 m 为正整数，当 m37 时，W 最小 2637+1800838，此时 503713，答：当购买 A
37、型跳绳 37 只，B 型跳绳 13 只时，最省钱【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键24（9 分）如图，ABC 为等边三角形，D、F 分别为 BC、AB 上的点，且 CDBF（1）求证：ACDCBF；（2）以 AD 为边作等边三角形 ADE，点 D 在线段 BC 上的何处时，四边形 CDEF 是平行四边形【分析】（1）直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出BCFDAC，AD CF，求出 DECF，求出BDEBCF，推出 DECF，根据平行四边形的判定推出即可【解答】（1）证明
38、：ABC 为等边三角形，BACD60，ACBC ，在ACD 和CBF 中，ACDCBF（SAS）；（2）解：D 点在任意位置，四边形 CDEF 是平行四边形，ACDCBF，BCFDAC，ADCF，ADDE ，DECF，ACDADE60，ADBADE +BDEACD+DAC，60+DAC60+ BDE，DACBDE，BCFDAC，BDEBCF，DECF，DECF，四边形 CDEF 的形状是平行四边形【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）25（10
39、 分）如图，已知 AB 为 O 的直径，AB8，点 C 和点 D 是O 上关于直线 AB对称的两个点，连接 OC、AC ，且BOC90，直线 BC 和直线 AD 相交于点 E，过点 C 作直线 CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F，与直线 AD 相交于点 G，且GAFGCE （1）求证：直线 CG 为 O 的切线；（2）若点 H 为线段 OB 上一点，连接 CH，满足 CBCH，CBH OBC；求 OH+HC 的最大值【分析】（1）由题意可知：CABGAF，由圆的性质可知：CABOCA，所以OCAGCE，从而可证明直线 CG 是O 的切线；（2） 由于 CBCH，所以CBHCHB，易证CB
40、HOCB，从而可证明CBHOBC；由 CBH OBC 可知： ，所以 HB ，由于 BCHC，所以OH+HC4 +BC，利用二次函数的性质即可求出 OH+HC 的最大值【解答】解：（1）由题意可知：CABGAF，AB 是O 的直径，ACB90OAOC，CABOCA，OCA+OCB90，GAFGCE，GCE+OCBOCA+ OCB90，OC 是O 的半径，直线 CG 是 O 的切线；（2） CBCH，CBHCHB，OBOC，CBHOCB，CBHOBC由 CBH OBC 可知：AB8，BC 2HBOC4HB，HB ，OHOB HB 4CBCH，OH+ HC4 +BC，当BOC90，此时 BC4BO
41、C90，0BC4 ，令 BCxOH+ HC （x2） 2+5当 x2 时，OH+ HC 可取得最大值，最大值为 5【点评】本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识26（10 分）如图，已知抛物线 yax 2+3ax4a 与 x 轴负半轴相交于点 A，与 y 轴正半轴相交于点 B，OBOA ，直线 l 过 A、B 两点，点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作CDx 轴于点 C，交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与 x 轴正半轴交于点 F，设点 D 的横坐标为 x，四边形 FAEB 的面积为S
42、，请写出 S 与 x 的函数关系式，并判断 S 是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由（3）连接 BE，是否存在点 D，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 A、B 的坐标，结合 OAOB即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由点 A、B 的坐标可得出直线 AB 的解析式（待定系数法），由点 D 的横坐标可得出点 D、E 的坐标，进而可得出 DE 的长度，利用三角形的面积公式结合 SS ABE+SABF 即可得出 S 关于 x 的函数
43、关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）由ADCBDE、ACD90，利用相似三角形的判定定理可得出：若要DBE 和DAC 相似，只需DEB90或DBE 90，设点 D 的坐标为（m，m+4），则点 E 的坐标为（m，m 23m+4 ），进而可得出 DE、BD 的长度当DBE90时，利用等腰直角三角形的性质可得出 DE BD，进而可得出关于 m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；当BED90时，由点 B 的纵坐标可得出点 E 的纵坐标为 4，结合点 E 的坐标即可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论综上即可得出结论【解答】解：（1）当 y0 时，有 ax2
44、+3ax4a0，解得：x 14，x 21，点 A 的坐标为（4，0）当 x0 时，yax 2+3ax4a4a，点 B 的坐标为（0，4a）OAOB ，4a4，解得：a1，抛物线的解析式为 yx 23x +4（2）点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（0，4），直线 AB 的解析式为 yx +4点 D 的横坐标为 x，则点 D 的坐标为（x ，x+4），点 E 的坐标为（x，x 23x+4），DEx 23x+4（x+4）x 24x（如图 1）点 F 的坐标为（1，0），点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（0，4），AF5，OA 4，OB4，SS ABE +SABF OADE+
45、AFOB2x 28x+102（x+2） 2+1820，当 x2 时，S 取最大值，最大值为 18，此时点 E 的坐标为（2，6），S 与 x 的函数关系式为 S2x 28x +10（4x0），S 存在最大值，最大值为18，此时点 E 的坐标为（2，6）（3）ADCBDE，ACD90，若要DBE 和DAC 相似，只需DEB90或DBE90（如图 2）设点 D 的坐标为（m，m+4），则点 E 的坐标为（m，m 23m+4），DEm 23m+4（m+4）m 24m ，BD m当 DBE90时，OA OB，OAB45，BDEADC45，BDE 为等腰直角三角形DE BD，即m 24m2m，解得：m 10（舍去），m 22，点 D 的坐标为（2，2）；当 BED90时，点 E 的纵坐标为 4，m 23m+44，解得：m 33，m 40（舍去），点 D 的坐标为（3，1）综上所述：存在点 D，使得 DBE 和DAC 相似，此时点 D 的坐标为（2，2）或（3，1）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、相似三角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B 的
