1、2019 年湖北省随州市广水市中考数学模拟试卷（二）一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A B C D2（3 分）如图，这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（ ）A BC D3（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2aa 2 Ba 6a2a 3Ca 2b2ba 2a 2b D（ ） 34（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D5（3 分）为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团 15 名同学积极捐款
2、，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（ ）捐款数额 10 20 30 50 100人数 2 4 5 3 1A众数是 100 B中位数是 30 C极差是 20 D平均数是 306（3 分）某学校学生进行急行军训练，预计行 60 千米的路程在下午 5 时到达，后来由于把速度加快 20%，结果于下午 4 时到达，求原计划行军的速度设原计划行军的速度为 xkm/h，则可列方程（ ）A BC D7（3 分）如图，在同一坐标系下，一次函数 yax+b 与二次函数 yax 2+bx+4 的图象大致可能是（ ）A BC D8（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC6，将ABC 沿 AC 折叠，使
3、点 B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于（ ）A B C D9（3 分）如图，在 RtAOB 中，OA OB3 ，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则线段 PQ 的最小值为（ ）A 1 B2 C2 D310（3 分）如图：二次函数 yax 2+bx+c 的图象所示，下列结论中：abc0；2a+b0；当 m1 时，a+ bam 2+bm；ab+c0；若ax12+bx1ax 22+bx2，且 x1x 2，则 x1+x22，正确的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（每小题 3 分，
4、共计 18 分）11（3 分）分解因式：x 34xy 2 12（3 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框架内，设立 300 亿元人民币等值专项贷款，将 300 亿元用科学记数法表示为 元13（3 分）计算： tan30+（3.14） 0+ +（ ） 1 的结果为 14（3 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D，点 E 在 上（不与点 B，C 重合），连接 BE， CE若D 40，则BEC 度15（3 分）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点
5、 E，与 AC 相交于点 F，3AE 2EB，连接 DF若 SAEF 1，则 SADF 的值为 16（3 分）如图，在ABC 中，ABAC 10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合），ADE B，DE 交 AC 于点 E，且 cos 下列结论：ADEACD；当 BD6 时， ABD 与DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 ；0CE 6.4其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）三、解答题（一共 9 个小题，共计 72 分）17（6 分）先化简，再求值：（2 ） ，其中 x318（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（m +1）x+m 210（
6、1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1，x 2，且满足（x 1x 2） 216x 1x2，求实数 m 的值19（8 分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A器乐，B舞蹈，C朗诵，D唱歌每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有 1200 名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随
7、机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率20（8 分）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF MN，小聪在河岸 MN 上点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向，然后沿河岸走了 30 米，到达 B 处，测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30方向，此时，其他同学测得 CD10 米请根据这些数据求出河的宽度（精确到 0.1）（参考数据：1.414， 1.732）21（10 分）如图，在ABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，O 是 AB 上一点，经过 A，E 两点的O 交 AB 于点 D，连接 DE，作
8、DEA 的平分线 EF 交 O 于点 F，连接 AF（1）求证：BC 是O 的切线（2）若 sinEFA ，AF5 ，求线段 AC 的长22（10 分）服装厂批发某种服装，每件成本为 65 元，规定不低于 10 件可以批发，其批发价 y（元/件）与批发数量 x（件）（x 为正整数）之间所满足的函数关系如图所示（1）求 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）设服装厂所获利润为 w（元），若 10x 50（x 为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？23（12 分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的
9、平方，如 3+2 （ 1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设a+b （m+n ） 2（其中 a，b，m，n 均为整数），则有a+b m2+2n2+2mn ，am 2+2n2，b2mn 这样小明就找到了一种把类似 a+b的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法解决下列问题：（1）当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a+b （m+ n ） 2，用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a ，b ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m ，n 填空：+ （ + ） 2；（3）若 a+4 （m+n ） 2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值（4）试化简 24（12 分）如图，已
10、知二次函数 yax 2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A（1，0），B（3，0），交 y 轴于点 C（1）求这个二次函数的表达式；（2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求BCP 面积的最大值；（3）直线 xm 分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N，当BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值2019 年湖北省随州市广水市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概
11、念求解【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合2（3 分）如图，这是由 5 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（ ）A BC D【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可【解答】解：左视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 2，1故选：A【点评
12、】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置3（3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2aa 2 Ba 6a2a 3Ca 2b2ba 2a 2b D（ ） 3【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式a 3，不符合题意；B、原式a 4，不符合题意；C、原式a 2b，符合题意；D、原式 ，不符合题意，故选：C【点评】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键4（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可【解答】解：解不等式得：x1，解不等式 得： x1，
13、不等式组的解集为1x1，在数轴上表示为： ，故选：A【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键5（3 分）为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团 15 名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（ ）捐款数额 10 20 30 50 100人数 2 4 5 3 1A众数是 100 B中位数是 30 C极差是 20 D平均数是 30【分析】根据中位数、众数和极差的概念及平均数的计算公式，分别求出这组数据的中位数、平均数、众数和极差，得到正确结论【解答】解：该组数据中出现次数最多的数是 30，故
14、众数是 30 不是 100，所以选项 A不正确；该组共有 15 个数据，其中第 8 个数据是 30，故中位数是 30，所以选项 B 正确；该组数据的极差是 1001090，故极差是 90 不是 20，所以选项 C 不正确；该组数据的平均数是 不是 30，所以选项 D不正确故选：B【点评】本题考查了中位数、平均数、众数和极差的概念题目难度不大，注意勿混淆概念6（3 分）某学校学生进行急行军训练，预计行 60 千米的路程在下午 5 时到达，后来由于把速度加快 20%，结果于下午 4 时到达，求原计划行军的速度设原计划行军的速度为 xkm/h，则可列方程（ ）A BC D【分析】关键描述语是：“于下
15、午 4 时到达”等量关系为：原计划用的时间实际用的时间+54【解答】解：原计划用的时间60x，实际用的时间为60（1+20%x），则可列方程为： ，故选：C【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键本题的难点是得到实际用的时间，易错点是得到原计划用的时间与时间时间的差7（3 分）如图，在同一坐标系下，一次函数 yax+b 与二次函数 yax 2+bx+4 的图象大致可能是（ ）A BC D【分析】可先由一次函数 yax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数yax 2+bx+c 的图象相比较看是否一致【解答】解：A、由抛物线可知，a0，由直线
16、可知，a0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a0，x 0，得 b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a0，x 0，得 b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a0，由直线可知， a0，故本选项错误故选：C【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法8（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC6，将ABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于（ ）A B C D【分析】根据折叠的性质得到 AEAB，EB 90，易证 RtAEFRtCDF，即可得到结论 EF
17、DF ；易得 FCFA，设 FAx，则 FCx，FD 6x，在 RtCDF中利用勾股定理得到关于 x 的方程 x24 2+（6x ） 2，解方程求出 x【解答】解：矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使ABC 落在ACE 的位置，AEAB，EB90 ，又四边形 ABCD 为矩形，ABCD，AEDC，而AFE DFC，在AEF 与CDF 中，AEF CDF（AAS），EFDF ；四边形 ABCD 为矩形，ADBC6，CDAB4，RtAEFRtCDF，FCFA，设 FAx，则 FCx，FD 6x，在 Rt CDF 中， CF2CD 2+DF2，即 x24 2+（6x） 2，解得 x ，则 FD6
18、x 故选：B【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理9（3 分）如图，在 RtAOB 中，OA OB3 ，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则线段 PQ 的最小值为（ ）A 1 B2 C2 D3【分析】首先连接 OP、OQ，根据勾股定理知 PQ2OP 2OQ 2，可得当 OPAB 时，即线段 PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案【解答】解：连接 OP、OQPQ 是 O 的切线，OQPQ ；根据勾股定理知 PQ2OP 2OQ 2，当 POAB
19、 时，线段 PQ 最短，在 RtAOB 中，OAOB 3 ，AB OA6，OP 3，PQ 2 故选：C【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当 POAB 时，线段 PQ 最短是关键10（3 分）如图：二次函数 yax 2+bx+c 的图象所示，下列结论中：abc0；2a+b0；当 m1 时，a+ bam 2+bm；ab+c0；若ax12+bx1ax 22+bx2，且 x1x 2，则 x1+x22，正确的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，以及抛物线与坐标轴的交点，
20、结合图象即可作出判断【解答】解：由题意得：a0，c0， 10，b0，即 abc0，选项错误；b2a，即 2a+b0，选项 正确；当 x1 时，ya+b+ c 为最大值，则当 m1 时，a+b+ cam 2+bm+c，即当 m1 时，a+bam 2+bm，选项正确；由图象知，当 x1 时，ax 2+bx+cab+ c0，选项错误；ax 12+bx1ax 22+bx2，ax 12ax 22+bx1bx 20，（x 1x 2）a（x 1+x2）+b0 ，而 x1x 2，a（x 1+x2）+b0，x 1+x2 2，所以正确所以正确，共 3 项，故选：C【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，解本题
21、的关键二次函数yax 2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即ab0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由决定，b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac0 时，抛物线与 x轴没有交点二、填空题（每小题 3 分，共计
22、 18 分）11（3 分）分解因式：x 34xy 2 x（x +2y）（x2y） 【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式x（x 24y 2）x（x+2y）（x2y ），故答案为：x（x +2y）（x2y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12（3 分）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框架内，设立 300 亿元人民币等值专项贷款，将 300 亿元用科学记数法表示为 310 10 元【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，n 为整数，据
23、此判断即可【解答】解：300 亿元310 10 元故答案为：310 10【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键13（3 分）计算： tan30+（3.14） 0+ +（ ） 1 的结果为 2 【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解： tan30+（3.14） 0+ +（ ） 1 +1+331+12故答案为：2【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘
24、除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用14（3 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D，点 E 在 上（不与点 B，C 重合），连接 BE， CE若D 40，则BEC 115 度【分析】连接 OC，根据切线的性质求出DCO，求出COB，即可求出答案【解答】解：连接 OC，DC 切O 于 C，DCO90，D40，COBD+DCO 130 ， 的度数是 130， 的度数是 360130230，BEC 115，故答案为：115【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，
25、能根据切线的性质求出DCO 的度数是解此题的关键15（3 分）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE 2EB，连接 DF若 SAEF 1，则 SADF 的值为 【分析】由 3AE2EB 可设 AE2a、BE3a，根据 EFBC 得 （ ） 2，结合 SAEF 1 知 SADC S ABC ，再由 知 ，继而根据 SADF SADC 可得答案【解答】解：3AE2EB ，可设 AE2a、BE 3a，EFBC，AEF ABC， （ ） 2（ ） 2 ，S AEF 1，S ABC ，四边形 ABCD 是平行四边形，S ADC
26、 S ABC ，EFBC， ， ，S ADF SADC ，故答案为： 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质16（3 分）如图，在ABC 中，ABAC 10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合），ADE B，DE 交 AC 于点 E，且 cos 下列结论：ADEACD；当 BD6 时， ABD 与DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 ；0CE 6.4其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）【分析】 根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明由 BD6，则 DC10，然后
27、根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得依据相似三角形对应边成比例即可求得【解答】解：AB AC，BC，又ADEBADEC，ADEACD；故正确，作 AGBC 于 G，ABAC10 ，ADEB，cos ，BGABcosB，BC2BG2AB cosB210 16，BD6，DC10，ABDC，在ABD 与DCE 中，ABDDCE（ASA ）故正确，当 AED90时，由可知：ADEACD，ADCAED，AED90，ADC90，即 ADBC，ABAC，BDCD，ADEB 且 cos ，AB10，BD8当CDE90时，易CDEBAD，CDE90，BAD
28、90，B 且 cos AB 10，cosB ，BD 故正确易证得 CDE BAD，由可知 BC16，设 BDy，CE x ， ， ，整理得：y 216y +646410x ，即（y8） 26410x ，0x6.4故正确故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等三、解答题（一共 9 个小题，共计 72 分）17（6 分）先化简，再求值：（2 ） ，其中 x3【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将 x 的值代入求解可得【解答】解：（2 ） ，当 x3 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则
29、是解题的关键18（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（m +1）x+m 210（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1，x 2，且满足（x 1x 2） 216x 1x2，求实数 m 的值【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式b 24ac0，建立关于m 的不等式，求出 m 的取值范围；（2）由 x1+x2 2（m+1 ）， x1x2m 21；代入（x 1x 2） 216x 1x2，建立关于 m的方程，据此即可求得 m 的值【解答】解：（1）由题意有2（m +1） 24（m 21）0，整理得 8m+8 0，解得 m1，实数 m 的取值
30、范围是 m1；（2）由两根关系，得 x1+x22（m +1），x 1x2m 21，（x 1x 2） 216x 1x2（x 1+x2） 23x 1x2160，2（m+1 ） 23（m 21）160，m 2+8m90，解得 m9 或 m1m1m1【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足0 的条件19（8 分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A器乐，B舞蹈，C朗诵，D唱歌每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学
31、生共有 100 人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有 1200 名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率【分析】（1）根据 A 项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去 A、C、D 项目的人数，求出 B 项目的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【
32、解答】解：（1）本次调查的学生共有：3030%100（人）；故答案为：100；（2）喜欢 B 类项目的人数有：10030104020（人），补图如下：（3）选择“唱歌”的学生有：1200 480（人）；（4）根据题意画树形图：共有 12 种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有 2 种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图20（8 分）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF MN，小聪在
33、河岸 MN 上点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向，然后沿河岸走了 30 米，到达 B 处，测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30方向，此时，其他同学测得 CD10 米请根据这些数据求出河的宽度（精确到 0.1）（参考数据：1.414， 1.732）【分析】如图作 BHEF ，CKMN，垂足分别为 H、K，则四边形 BHCK 是矩形，设CKHB x，根据 tan30 列出方程即可解决问题【解答】解：如图作 BHEF，CKMN，垂足分别为 H、K，则四边形 BHCK 是矩形，设 CKHB x，CKA 90 ，CAK 45 ，CAK ACK45，AKCKx，BKHCAKABx30，H
34、Dx30+10x 20，在 Rt BHD 中，BHD 90，HBD 30，tan30 ， ，解得 x30+10 47.3河的宽度为 47.3 米【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型21（10 分）如图，在ABC 中，C90，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，O 是 AB 上一点，经过 A，E 两点的O 交 AB 于点 D，连接 DE，作DEA 的平分线 EF 交 O 于点 F，连接 AF（1）求证：BC 是O 的切线（2）若 sinEFA ，AF5 ，求线段 AC 的长【
35、分析】（1）连接 OE，根据同圆的半径相等和角平分线可得：OE AC ，则BEOC 90，解决问题；（2）过 A 作 AHEF 于 H，根据三角函数先计算 AH4 ，证明AEH 是等腰直角三角形，则 AE AH8，证明AEDACE ，可解决问题【解答】证明：（1）连接 OE，OEOA ，OEAOAE，AE 平分BAC，OAECAE，CAEOEA，OEAC，BEOC90，BC 是O 的切线；（2）过 A 作 AHEF 于 H，RtAHF 中，sinEFA ，AF5 ，AH4 ，AD 是 O 的直径，AED90，EF 平分AED，AEF 45，AEH 是等腰直角三角形，AE AH8，sinEFA
36、sinADE ，AD10，DAEEAC，DEAECA90，AEDACE， ， ，AC6.4【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键22（10 分）服装厂批发某种服装，每件成本为 65 元，规定不低于 10 件可以批发，其批发价 y（元/件）与批发数量 x（件）（x 为正整数）之间所满足的函数关系如图所示（1）求 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）设服装厂所获利润为 w（元），若 10x 50（x 为正整数），求批发该种服装多少件时，服装
37、厂获得利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据题意和函数图象可以写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）根据题意可以得到 w 与 x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题【解答】解：（1）当 10x50 时，设 y 与 x 的函数关系式为 ykx +b，得 ，当 10x50 时，y 与 x 的函数关系式为 y0.5x+105 ，当 x50 时，y80，即 y 与 x 的函数关系式为：y ；（2）由题意可得，w（0.5x+10565）x 0.5x 2+40x0.5（x40） 2+800，当 x40 时，w 取得最大值，此时 w800，y0.540
38、+10585，答：批发该种服装 40 件时，服装厂获得利润最大，最大利润是 800 元【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答23（12 分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2 （ 1+ ） 2善于思考的小明进行了以下探索：设a+b （m+n ） 2（其中 a，b，m，n 均为整数），则有a+b m2+2n2+2mn ，am 2+2n2，b2mn 这样小明就找到了一种把类似 a+b的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法解决下列问题：（1）当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a+b （m+ n ）
39、2，用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a m 2+3n2 ，b 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m ，n 填空：4 + 2 （ 1 + 1 ） 2；（3）若 a+4 （m+n ） 2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值（4）试化简 【分析】（1）由 a+b ，展开比较系数可得答案；（2）取 m1，n1，可得 a 和 b 的值，可得答案；（3）由题意得 m 和 n 的方程，解方程可得 m 和 n，可得 a 值（4）根据（1）即可解答【解答】解：（1）a+b ，a+bm 2+3n2+2mn，am 2+3n2， b2mn故答案为 m2+3n2；2mn（2）设 m
40、1，n1，am 2+3n2 4，b2mn2故答案为 4、2、1、1；（3）由题意得 am 2+3n2，b2mn42mn，且 m、n 为正整数，m2，n1 或者 m1，n2，a2 2+3127，或 a1 2+32213（4） 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式24（12 分）如图，已知二次函数 yax 2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A（1，0），B（3，0），交 y 轴于点 C（1）求这个二次函数的表达式；（2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求BCP 面积的最大值；（3）直线 xm 分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N，当
41、BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 PE 的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于 m 的方程，根据解方程，可得答案【解答】解：（1）将 A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得 ，这个二次函数的表达式是 yx 24x +3；（2）当 x0 时，y 3，即点 C（0，3），设 BC 的表达式为 ykx+b，将点 B（3，0）点 C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得直线 BC 的解析是
42、为 yx+3，过点 P 作 PE y 轴，交直线 BC 于点 E（t，t+3），PEt+3（ t4t+3）t 2+3t，S BCP S BPE +SCPE （t 2+3t）3 （t ） 2+ ， 0，当 t 时，S BCP 最大 （3）M（m，m+3），N（m ，m 24m+3）MN|m 23m|，BM |m 3|，当 MNBM 时， m23m （m3），解得 m ，m2 3m （m3），解得 m当 BNMN 时，NBMBMN45，m24m+30，解得 m1 或 m3（舍）当 BMBN 时， BMN BNM45，（m 24m+3）m+3 ，解得 m2 或 m3（舍），当BMN 是等腰三角形时，m 的值为 ， ，1，2【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于 m 的方程，要分类讨论，以防遗漏
