1、2019 年江西省南昌市中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）1（3 分）下列四个数，表示无理数的是（ ）Asin30 B C1 D2（3 分）下列运算结果，正确的是（ ）Ax+2x2x 2 B（x1） 2x 21C（x 2） 3 x 5 D12x 34x23x3（3 分）据九章算术中记载：“鸡免同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有 100只，几多鸡儿几多兔？”，若设鸡 x 只，兔 y 只，则所列方程组是（ ）A BC D4（3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A B C D5（3 分）如图，点 A、
2、B、C 在O 上，ACOB，BAO 25，则BOC 的度数为（ ）A25 B50 C60 D806（3 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD，AC 与 EB 分别相交于点M，N 下列结论错误的是（ ）A四边形 EDCN 是菱形 B四边形 MNCD 是等腰梯形CAEM 与 CBN 相似 DAEN 与EDM 全等二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7（3 分）分解因式：x 24x 8（3 分）据市财政局对外公布的数据显示，2018 年南昌市完成财政总收入 938.6 亿元，则数据 938.6 亿用科学记数法表示是 9（3 分）若一组数据 1，2，x，3，4
3、的众数为 4，则这组数据的中位数是 10（3 分）如图，在三角板 ABC 中，ACB 90，A30，AC 6，将三角板ABC 绕点 C 逆时针旋转，当起始位置时的点 B 恰好落在边 A1B1 上时，A 1B 的长为 11（3 分）若 m，n 为方程 x22x10 的两个实数根，则 m+n 的值是 12（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD2AB2，E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，过点 D 作 DFAE 于 F，连接 CF，当CDF 为等腰三角形时，则 BE 的长是 三、（本大题共 5 小题.每小题 6 分，共 30 分）13（6 分）（1）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来
4、（2）先化简，再求值： ，其中 x314（6 分）如图，C 是线段 AB 的中点，CD 平分ACE ，CE 平分BCD，且 CDCE（1）求证：ACDBCE：（2）若A70，求E 的度数15（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，在 AB 边上求作一点 N，连接 CN，使 CNAM；（2）在图（2）中，在 AD 边上求作一点 Q，连接 CQ，使 CQAM 16（6 分）为弘扬中华传统文化、某校举办了学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A唐诗； B宋词
5、； C元曲； D论语，比赛形式分为“单人组”和“双人组”（1）小明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，则抽到“唐诗”的是 事件，其概率是 （2）若小亮和小丽组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小亮和小丽都没有抽到“元曲”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明17（6 分）如图 1 是广场健身的三联漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕辅旋转，漫步机踏板静止时，其侧面示意图可以抽象为如图2，其中，AB AC120cm，BC80cm，AE90cm（1）求点 A 到地面 BC 的高度
6、：（2）如图 3，当踏板从点 E 旋转到 E处时，测得EAE37，求此时点 E离地面 BC 的高度（结果精确到 1cm）（参考数据：sin37 0.60，cos370.80，tan370.75， 1.41）四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18（8 分）希望学校就社会上“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取了该校部分学生进行问卷调查，图 1、图 2 是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求本次随机抽查的学生人数；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中 A 部分所对的圆心角的度数；（3）估计希望学校 4000 名学生中，选择
7、B 部分的学生大约有多少人？19（8 分）某商店以 8 元/个的价格收购 1600 个文具盒进行销售，为了得到日销售量y（个）与销售价格 x（元/ 个）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格 x（元/个） 18 16 14 12 10日销售量 y（个） 30 40 50 60 70（1）请你根据表中的数据，用所学知识确定 y 与 x 之间的函数表达式（2）该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，判断一个月能否销售完这批文具盒，并说明理由20（8 分）如图，在矩形 OABC 中，OA3，AB4，反比例函数 （k0）的
8、图象与矩形两边 AB、BC 分别交于点 D、点 E，且 BD2AD（1）求点 D 的坐标和 k 的值：（2）求证：BE2CE；（3）若点 P 是线段 OC 上的一个动点，是否存在点 P，使APE90？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21（9 分）如图，已知O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦AB 与 CD 交于点 M，将沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 APOA，连接 PC（1）求 CD 的长；（2）求证：PC 是O 的切线；（3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点
9、Q，连接 QG 交 AB 于点 E交 于点 F（F 与 B、 C 不重合）问 GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由22（9 分）定义：有两条边长的比值为 的直角三角形叫做“半生三角形”如图，在ABC 中， B 90，D 是 AB 的中点，E 是 CD 的中点，DFAE 交 BC 于点 F（1）当ACB60时，ABC 是半生三角形吗？请判断： （填“是”或“否“）；（2）当AEDDCB 时，求证：BDF 是“半生三角形”；（3）当BDF 是“半生三角形”，且 BF1 时，求线段 AC 的长六、(本大题共 1 小题，共 12 分)23（12 分）如图 1，抛物线 C：y
10、x 2 经过变换可得到抛物线 C1：y 1a 1x（xb 1），C 1与 x 轴的正半轴交于点 A，且其对称轴分别交抛物线 C、C 1 于点 B1、D 1此时四边形OB1A1D1 恰为正方形：按上述类似方法，如图 2，抛物线 C1：y 1a 1x（xb 1）经过变换可得到抛物线 C2：y 2a 2x（xb 2），C 2 与 x 轴的正半轴交于点 A2，且其对称轴分别交抛物线 C1、C 2 于点 B2、 D2此时四边形 OB2A2D2 也恰为正方形：按上述类似方法，如图 3，可得到抛物线 C3：y 3a 3x（xb 3）与正方形 OB3A3D3，请探究以下问题：（1）填空：a 1 ，b 1 ；（
11、2）求出 C2 与 C3 的解析式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线 n：y na nx（xb n）与正方形 OBnAnDn（n1）请用含 n 的代数式直接表示出 n 的解析式；当 x 取任意不为 0 的实数时，试比较 y2018 与 y2019 的函数值的大小关系，并说明理由2019 年江西省南昌市中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）1（3 分）下列四个数，表示无理数的是（ ）Asin30 B C1 D【分析】无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义逐个排除即可【解答】解：A、sin30 ，不
12、是无理数，故本选项不符合题意；B、 4，不是无理数，故本选项不符合题意；C、1，是无限不循环小数，是无理数，符合题意；D 2，不是无理数，故本选项不符合题意；故选：C【点评】本题考查了无理数，正确理解无理数的意义是解题的关键2（3 分）下列运算结果，正确的是（ ）Ax+2x2x 2 B（x1） 2x 21C（x 2） 3 x 5 D12x 34x23x【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式3x ，不符合题意；B、原式x 2 2x+1，不符合题意；C、原式x 6，不符合题意；D、原式3x，符合题意，故选：D【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键3（3
13、 分）据九章算术中记载：“鸡免同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有 100只，几多鸡儿几多兔？”，若设鸡 x 只，兔 y 只，则所列方程组是（ ）A BC D【分析】设鸡 x 只，兔 y 只，由这些鸡和兔有 36 个头 100 只脚，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设鸡 x 只，兔 y 只，依题意，得： 故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键4（3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A B C D【分析】结合三视图确定小正方体的位置后即可确定正确的选项【解答】解：结合三个视图发现，应
14、该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选：B【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定小正方体的位置，难度不大5（3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，ACOB，BAO 25，则BOC 的度数为（ ）A25 B50 C60 D80【分析】先根据 OAOB，BAO25得出B 25，再由平行线的性质得出BCAB 25，根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：OAOB，BAO25，B25ACOB，BCAB25，BOC2CAB50（同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍）故选：B【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等
15、弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键6（3 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD，AC 与 EB 分别相交于点M，N 下列结论错误的是（ ）A四边形 EDCN 是菱形 B四边形 MNCD 是等腰梯形CAEM 与 CBN 相似 DAEN 与EDM 全等【分析】首先由正五边形的性质可得ABBCCDDEAE ，BECD ，ADBC ，ACDE，ACADBE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得 A 正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得 B 正确，利用 SSS 即可判定 D 正确，利用排除法即可求得答案【解答】解：在正五边形 ABCDE 中，ABBC
16、CDDEAE ，BE CD ，ADBC ，ACDE，四边形 EDCN 是平行四边形，EDCN 是菱形；故 A 正确；同理：四边形 BCDM 是菱形，CNDE ，DMBC，CNDM，四边形 MNCD 是等腰梯形，故 B 正确；ENEDDM AECNBMCD，ANACCN，EM BE BM，BEAC，AENEDM （SSS），故 D 正确故选：C【点评】此题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识此题综合性很强，注意数形结合思想的应用二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7（3 分）分解因式：x 24x x （x4） 【分析】直
17、接提取公因式 x 进而分解因式得出即可【解答】解：x 24x x （x4）故答案为：x（x 4）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键8（3 分）据市财政局对外公布的数据显示，2018 年南昌市完成财政总收入 938.6 亿元，则数据 938.6 亿用科学记数法表示是 9.38610 10 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：938.6 亿93860
18、0000009.38610 10，故答案是：9.38610 10【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值9（3 分）若一组数据 1，2，x，3，4 的众数为 4，则这组数据的中位数是 3 【分析】先根据众数定义求出 x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数【解答】解：数据 1，2，x，3，4 的众数为 4，x4，则数据为 1，2，3，4，4，这组数据的中位数为 3，故答案为：3【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数
19、据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数10（3 分）如图，在三角板 ABC 中，ACB 90，A30，AC 6，将三角板ABC 绕点 C 逆时针旋转，当起始位置时的点 B 恰好落在边 A1B1 上时，A 1B 的长为 2【分析】先依据特殊锐角三角函数值可求得 BC、AB 的长，然后由旋转的性质和等边三角形的判定定理可得到BCB 1 是等边三角形，从而得到 BB1 的长度，最后依据BA1A 1B1B 1B 求解即可【解答】解：ACB90，A30，AC 6，B60，B
20、C AC2 ，AB4 由旋转的性质可知：B 1B60，B 1CBC ，A 1B1AB4 ，BCB 1 是等边三角形BB 1BC2 BA 1A 1B1B 1B4 2 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、特殊锐角三角函数值的应用，得到BCB 1 是等边三角形是解题的关键11（3 分）若 m，n 为方程 x22x10 的两个实数根，则 m+n 的值是 2 【分析】直接根据 x1+x2 计算可得【解答】解：m，n 为方程 x22x10 的两个实数根，m+ n 2，故答案为：2【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住 x1，x 2 是一元二次方程ax2+bx+c0（ a0）的两根
21、时，x 1+x2 ，x 1x2 12（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD2AB2，E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，过点 D 作 DFAE 于 F，连接 CF，当CDF 为等腰三角形时，则 BE 的长是 1 或 3或 2 【分析】过点 C 作 CMDF，垂足为点 M，判断CDF 是等腰三角形，要分类讨论，CF CD；DF DC ；FD FC ，根据相似三角形的性质进行求解【解答】解：CFCD 时，过点 C 作 CMDF，垂足为点 M，则 CMAE，DMMF，延长 CM 交 AD 于点 G，AGGD 1 ，AGEC，AE CG ，四边形 AECG 是平行四边形，CEAG1，当 BE
22、1 时，CDF 是等腰三角形DFDC 时，则 DCDF 1，DFAE，AD2，DAE30，AEB 30则 BE当 BE 时，CDF 是等腰三角形；FDFC 时，则点 F 在 CD 的垂直平分线上，故 F 为 AE 中点AB1，BEx ，AE ，AF ，ADFEAB， ， ，x24x+10，解得：x2 或 2+ （舍弃），当 BE2 时，CDF 是等腰三角形综上，当 BE1、3 、2 时，CDF 是等腰三角形故答案为：1 或 或 2 【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型三、（本大题共 5
23、小题.每小题 6 分，共 30 分）13（6 分）（1）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来（2）先化简，再求值： ，其中 x3【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：（1） ，由得： x1，由得： x2，不等式组的解集为1x2，（2）原式 2（x2）2x4【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键14（6 分）如图，C 是线段 AB 的中点，CD 平分ACE ，CE 平分BCD，且 CDCE（1）
24、求证：ACDBCE：（2）若A70，求E 的度数【分析】（1）已知 C 是线段 AB 的中点，所以有 ACBC，又因为 CD 平分ACE，CE平分BCD，所以ACDBCE，故可根据 SAS 判定两三角形全等（2）由ACDBCE，得到AB，根据平角的定义得到1+2+3180由123，得到12360，求得A1803D70【解答】（1）证明：C 是线段 AB 的中点ACBCCD 平分ACE，CE 平分BCD，ACDECD，BCEECD，ACDBCE，在ACD 和BCE 中，ACDBCE（SAS）（2）解：ACDBCE，AB 70，1+2+3180，123，12360，A1803D 70【点评】本题考
25、查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型15（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，在 AB 边上求作一点 N，连接 CN，使 CNAM；（2）在图（2）中，在 AD 边上求作一点 Q，连接 CQ，使 CQAM 【分析】（1）连接 BD，BD 与 AM 交于点 O，连接 CO 并延长交于 AB，则 CO 与 AB的交点为点 N可先证明AODCOD，再证明MOB NOB，从而可得 N
26、BMB；（2）连接 MO 并延长与 AE 交于点 Q，连接 QC，则 CQAM理由如下：由正方形的性质以及对顶角相等可证BMODQO，所以 QOMO，由于QOCMOA，COAO，所以COQAOM，则QCOMAO，从而可得CQAM 【解答】解：（1）连接 BD， BD 与 AM 交于点 O，连接 CO 并延长交于 AB，则 CO 与AB 的交点为点 N，如图 1，（2）延长 MO 交 ADE 于 Q，连结 CQ，则 CQ 为所作，如图 2【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结
27、合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作16（6 分）为弘扬中华传统文化、某校举办了学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A唐诗； B宋词； C元曲； D论语，比赛形式分为“单人组”和“双人组”（1）小明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，则抽到“唐诗”的是 随机 事件，其概率是 （2）若小亮和小丽组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小亮和小丽都没有抽到“元曲”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明【分析】（1）根据随机事件的定义和概率公式求解；（2）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出
28、小亮和小丽都没有抽到“元曲”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）小明参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，则抽到“唐诗”的是随机事件，其概率是 ；故答案为 ；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中小亮和小丽都没有抽到“元曲”的结果数为 6，所以小亮和小丽都没有抽到“元曲”的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率17（6 分）如图 1 是广场健身的三联漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕辅
29、旋转，漫步机踏板静止时，其侧面示意图可以抽象为如图2，其中，AB AC120cm，BC80cm，AE90cm（1）求点 A 到地面 BC 的高度：（2）如图 3，当踏板从点 E 旋转到 E处时，测得EAE37，求此时点 E离地面 BC 的高度（结果精确到 1cm）（参考数据：sin37 0.60，cos370.80，tan370.75， 1.41）【分析】（1）延长 AE 交 BC 于 H解直角三角形求出 AH 即可（2）作 EF AH 于 F，在 RtAEF 中，求出 AF 即可解决问题【解答】解：（1）延长 AE 交 BC 于 HABAC120 cm，AHBC ，BHCH40cm ，AH
30、113（ cm）答：点 A 到地面 BC 的高度是 113cm（2）作 EF AH 于 F在 Rt AEF 中，AF AEcos3772（cm ）FHAH AF11372 41（cm），答：此时点 E离地面 BC 的高度为 41cm【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会探究出辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）18（8 分）希望学校就社会上“遇见路人摔倒后如何处理”的问题，随机抽取了该校部分学生进行问卷调查，图 1、图 2 是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求本次随
31、机抽查的学生人数；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中 A 部分所对的圆心角的度数；（3）估计希望学校 4000 名学生中，选择 B 部分的学生大约有多少人？【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次抽查的学生数；（2）根据统计图中的数据和（1）中的答案可以求得选择 C 的学生数，从而可以将条形统计图补充完整，进而求得扇形统计图中 A 部分所对的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出选择 B 部分的学生大约有多少人【解答】解：（1）本次抽查的学生为：2412%200（人）；（2）选择 C 部分的学生有： 200161202440（人），补全的条形统计图如右图所示，扇形统计图中 A
32、 部分所对的圆心角为：360 28.8；（3）4000 2400（人），答：选择 B 部分的学生大约有 2400 人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答19（8 分）某商店以 8 元/个的价格收购 1600 个文具盒进行销售，为了得到日销售量y（个）与销售价格 x（元/ 个）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格 x（元/个） 18 16 14 12 10日销售量 y（个） 30 40 50 60 70（1）请你根据表中的数据，用所学知识确定 y 与 x 之间的函数表达式（2）该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格
33、，才能使日销售利润最大？（3）根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，判断一个月能否销售完这批文具盒，并说明理由【分析】（1）首先根据表中的数据，利用待定系数法求解可得；（2）根据题意列出日销售利润 w 与销售价格 x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；（3）从（2）中求得售价代入（1）中，即可求销售完的天数进行判断【解答】解：（1）设函数关系式为 ykx+b，则 ，解得：k5，b120，y5x+120 ，所求的函数关系式为 y5x+120；（2）设利润为 W，依题意得，W（x 8）（5x+120）5x 2+160+132，整理得 W5（x16） 2+620，当售价为 16
34、元时，可使日销售利润最大为：620 元（3）一个月不能销售完这批文具盒，理由如下，由（2）得最大利润进，售价为 16 元，则由（1）知日销量为 40 盒，得16004040 天，故一个月不能销售完这批文具盒【点评】此题主要考查二次函数的应用，要熟练用配方法求解二次函数的顶点式，要掌握的思想，二次函数求最值问题，实质就求二次函数顶点式的过程，但要注意自变量的取值范围对于一次函数，要灵活运用待定系数进行求解20（8 分）如图，在矩形 OABC 中，OA3，AB4，反比例函数 （k0）的图象与矩形两边 AB、BC 分别交于点 D、点 E，且 BD2AD（1）求点 D 的坐标和 k 的值：（2）求证：
35、BE2CE；（3）若点 P 是线段 OC 上的一个动点，是否存在点 P，使APE90？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由矩形 OABC 中，AB4，BD2AD，可得 3AD4，即可求得 AD 的长，然后求得点 D 的坐标，即可求得 k 的值；（2）求得点 E 的坐标，进而得出 BE，CE 的长度解答即可（3）首先假设存在要求的点 P 坐标为（m ，0），OP m，CP4m，由APE90，易证得AOPPCE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 m 的值，继而求得此时点 P 的坐标【解答】解：（1）AB4，BD2AD ，ABAD +BDAD +2AD3AD4，
36、AD ，又OA3，D（ ，3），点 D 在双曲线 y 上，k 34；（2）四边形 OABC 为矩形，ABOC4，点 E 的横坐标为 4把 x4 代入 y 中，得 y1，E（4，1）；B（4，3），C（3，0），BE2，CE 1，BE2CE；（2）假设存在要求的点 P 坐标为（m ，0），OP m，CP4mAPE 90，APO+EPC90，又APO+OAP 90，EPCOAP，又AOPPCE 90，AOPPCE， ， ，解得：m1 或 m3，存在要求的点 P，坐标为（1，0）或（3，0）【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质注意求
37、得点 D 的坐标与证得AOPPCE 是解此题的关键五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21（9 分）如图，已知O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦AB 与 CD 交于点 M，将沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 APOA，连接 PC（1）求 CD 的长；（2）求证：PC 是O 的切线；（3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E交 于点 F（F 与 B、 C 不重合）问 GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）连接 OC，根据翻折的性质求出 OM，CD OA
38、 ，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出 PC，然后利用勾股定理逆定理求出PCO90，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接 GA、AF 、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得BAGAFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出AGE 和FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ，从而得到 GEGFAG 2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可【解答】（1）解：如图，连接 OC， 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，OM OA 21，CDOA ，OC2，CD2CM2 2 2 ；（2）证明：PAOA 2，AMOM1，CM CD ，CMPOMC90，PC 2 ，OC2，P
39、O2+2 4，PC 2+OC2（2 ） 2+2216PO 2，PCO90，PC 是O 的切线；（3）解：GEGF 是定值，证明如下，连接 GO 并延长，交O 于点 H，连接 HF点 G 为 的中点GOE 90 ，HFG 90 ，且OGE FGHOGE FGH GEGFOGGH 24 8【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形22（9 分）定义：有两条边长的比值为 的直角三角形叫做“半生三角形”如图，在ABC 中， B 90，D 是 AB 的中点，E 是 CD 的中点，
40、DFAE 交 BC 于点 F（1）当ACB60时，ABC 是半生三角形吗？请判断： 是 （填“是”或“否“）；（2）当AEDDCB 时，求证：BDF 是“半生三角形”；（3）当BDF 是“半生三角形”，且 BF1 时，求线段 AC 的长【分析】（1）根据直角三角形 30 度角的性质可得：ABC 是“半生三角形”；（2）延长 AE 交 BC 于 G，由平行线的性质得出AEDCDF，BFGF ，再由已知得出CDFDCB，证出 DFCF，由平行线得出 CGGF，得出 BFGF CG，因此 DFCF2GF2BF ，得出 ，即可得出结论；（3）分四种情况：当 时，当 时，当 时， 当 时，求出 BC3，
41、分别求出 AB 的长，由勾股定理求出 AC 即可【解答】（1）解：RtACB 中，ACB60，ABC90，CAB30，BC AC，即 ，ABC 是半生三角形；故答案为：是；（2）证明：延长 AE 交 BC 于 G，如图所示：DFAE，D 是 AB 的中点，AEDCDF，BF GF，AEDDCB，CDFDCB，DFCF，DFAE，E 是 CD 的中点，CGGF，BFGF CG，DFCF2GF2BF ， ，又B90，BDF 是“半生三角形”；（3）解：延长 AE 交 BC 于 G，如图所示分四种情况：当 时，BF1，GFCGBF1，BD 2 ，AB2BD 4，BC3，AC 5；当 时，DF2BF2
42、，BD ，AB2BD 2 ，BC3，B90，AC ；当 时，BDBF ，AB2BD 1，BC3，B90，AC ；当 时，设 BDx，则 DF2x ，由勾股定理得：（2x） 2x 21 2，解得：x ，AB2BD ，BC3，B90，AC ；综上所述：若BDF 是“半生三角形”，且 BF1，线段 AC 的长为 5 或 或 或【点评】本题是三角形综合题目，考查了“半生三角形”的性质与判定、勾股定理、三角形中位线定理、平行线的性质、分类讨论思想的应用等知识；本题综合性强，有一定难度六、(本大题共 1 小题，共 12 分)23（12 分）如图 1，抛物线 C：y x 2 经过变换可得到抛物线 C1：y
43、1a 1x（xb 1），C 1与 x 轴的正半轴交于点 A，且其对称轴分别交抛物线 C、C 1 于点 B1、D 1此时四边形OB1A1D1 恰为正方形：按上述类似方法，如图 2，抛物线 C1：y 1a 1x（xb 1）经过变换可得到抛物线 C2：y 2a 2x（xb 2），C 2 与 x 轴的正半轴交于点 A2，且其对称轴分别交抛物线 C1、C 2 于点 B2、 D2此时四边形 OB2A2D2 也恰为正方形：按上述类似方法，如图 3，可得到抛物线 C3：y 3a 3x（xb 3）与正方形 OB3A3D3，请探究以下问题：（1）填空：a 1 1 ，b 1 2 ；（2）求出 C2 与 C3 的解析
44、式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线 n：y na nx（xb n）与正方形 OBnAnDn（n1）请用含 n 的代数式直接表示出 n 的解析式；当 x 取任意不为 0 的实数时，试比较 y2018 与 y2019 的函数值的大小关系，并说明理由【分析】（1）求与 x 轴交点 A1 坐标，根据正方形对角线性质表示出 B1 的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的 b1 的值，写出 D1 的坐标，代入 y1 的解析式中可求得 a1的值；（2）求与 x 轴交点 A2 坐标，根据正方形对角线性质表示出 B2 的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的 b2 的值，写出 D2 的坐标，代入 y2 的解析式
45、中可求得 a2 的值，写出抛物线 C2 的解析式；再利用相同的方法求抛物线 C3 的解析式；（3） 根据图形变换后二次项系数不变得出 ana 11，由 B1 坐标（1，1）、B 2 坐标（3，3）、B 3 坐标（7，7）得 Bn 坐标（2 n1，2 n1），则 bn2（2 n1）2 n+12（n1），写出抛物线 n 解析式先求抛物线 C2018 和抛物线 C2019 的交点为（0，0），在交点的两侧观察图形得出y2018 与 y2019 的函数值的大小【解答】解：（1）y 10 时，a 1x（x b 1）0，x10，x 2b 1，A 1（b 1，0），由正方形 OB1A1D1 得：OA 1B 1D1b 1，B 1（ ， ），D 1（ ， ），B 1 在抛物线 c 上，则 （ ） 2，b1（b 12）0，b10（不符合题意），b 12，D 1（1，1），把 D1（1，1）代入 y1a 1x（xb 1）中得：1a 1，a 11，故答案为：1，
