1、2019 年安徽省铜陵市义安区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的.1（4 分）在实数|3| 、0、5 中，最小的是（ ）A|3| B5 C0 D2（4 分）下列计算结果等于 x3 的是（ ）Ax 6x2 Bx 4x Cx+x 2 Dx 2x3（4 分）若一个角为 75，则它的补角的度数为（ ）A35 B45 C105 D1154（4 分）已知 （a0，b0），下列变形错误的是（ ）A B2a3b C D3a2b5（4 分）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2
2、，1，0，1卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）A B C D6（4 分）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷 10次，他们成绩的平均数 与方差 s2 如下表：甲 乙 丙 丁平均数（米）11.1 11.1 10.9 10.9方差 s2 1.1 1.2 1.3 1.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁7（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak4 Bk4 Ck4 Dk 48（4 分）2018 年 5 月 3 日
3、，中国科学院在上海发布了中国首款人工智能芯片：寒武纪（MLU100），该芯片在平衡模式下的等效理论峰值速度达每秒 128 000 000 000 000 次定点运算，将数 128 000 000 000 000 用科学记数法表示为（ ）A1.2810 14 B1.2810 14 C12810 12 D0.12810 119（4 分）如图，A 过点 O（0，0），C（ ，0），D（0，1），点 B 是 x 轴下方A上的一点，连接 BO，BD，则OBD 的度数是（ ）A15 B30 C45 D6010（4 分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（ ，1），（3，1），（3，0）
4、，点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 ABAC 交y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动设点 B 的坐标为（0，b），则b 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11（5 分）计算：2sin30 + 12（5 分）使得代数式 有意义的 x 的取值范围是 13（5 分）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 14（5 分）将从 1 开始的连续自然数按如图规律排列：
5、规定位于第 a 行，第 b 列的自然数记为（a，b），如自然数 10 记为（3，2），自然数 15 记为（4，2），按此规律，自然数 2019 记为 列行第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列第 1 行 1 2 3 4第 2 行 8 7 6 5第 3 行 9 10 11 12第 4 行 16 15 14 13 第 n 行 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15（8 分）计算： （ 1）16（8 分）在 53 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上（1）在图 1 中画出线段 BD，使 BDAC ，其中 D 是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BEAC，
6、其中 E 是格点四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17（8 分）已知二次函数 y x2+bx+c 的图象经过 A（0，3），B（4， ）两点（1）求 b，c 的值（2）二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况18（8 分）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程已知：CAB30，CBA 45 ，AC
7、 640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： 1.7，1.4）五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）19（10 分）如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y （k 为常数且 k0）的图象交于 A（1，a），B 两点，与 x 轴交于点 C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点 P 在 x 轴上，且 SACP SBOC ，求点 P 的坐标20（10 分）如图，已知 A、B、C 、D、E 是 O 上五点，O 的直径BE 2 ，BCD120 ，A 为 的中点，延长 BA 到点 P，使 BAAP，连接 PE（1）求线段
8、 BD 的长；（2）求证：直线 PE 是O 的切线六、（本题满分 12 分）21（12 分）“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按 A，B ，C ，D 四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图（说明：A 级：8 分10 分，B 级：7 分7.9 分，C 级：6 分6.9 分，D 级：1 分5.9 分）根据所给信息，解答以下问题：（1）在扇形统计图中，C 对应的扇形的圆心角是 度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级；（4）该校九年级有 300 名学生
9、，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多少人？七、（本题满分 12 分）22（12 分）某商场计划购进 A，B 两种型号的手机，已知每部 A 型号手机的进价比每部B 型号手机进价多 500 元，每部 A 型号手机的售价是 2500 元，每部 B 型号手机的售价是 2100 元商场用 50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部（1）求 A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过 7.5 万元采购 A、B 两种型号的手机共 40部，且 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍该商场有哪几种进货方式？该商场选择哪种进
10、货方式，获得的利润最大？八、（本题满分 14 分）23（14 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知ABC 是比例三角形，AB2，BC 3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BACADC求证：ABC 是比例三角形（3）如图 2，在（2）的条件下，当ADC90时，求 的值2019 年安徽省铜陵市义安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的.1（4
11、分）在实数|3| 、0、5 中，最小的是（ ）A|3| B5 C0 D【分析】根据 0 大于一切负数；正数大于 0 解答即可【解答】解：50| 3|，最小的数是5，故选：B【点评】考查实数的比较；用到的知识点为：0 大于一切负数；正数大于 0；注意应熟记常见无理数的约值2（4 分）下列计算结果等于 x3 的是（ ）Ax 6x2 Bx 4x Cx+x 2 Dx 2x【分析】根据同底数幂的除法、乘法及同类项的定义逐一计算即可得【解答】解：A、x 6x2x 4，不符合题意；B、x 4 x 不能再计算，不符合题意；C、x+x 2 不能再计算，不符合题意；D、x 2xx 3，符合题意；故选：D【点评】本
12、题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法及同类项的定义3（4 分）若一个角为 75，则它的补角的度数为（ ）A35 B45 C105 D115【分析】两个角互补，则它们度数之和为 180，计算即可得出【解答】解：18075105则其补角为 105故选：C【点评】本题考查补角的定义，要理解两个角互补，则它们的度数之和为 1804（4 分）已知 （a0，b0），下列变形错误的是（ ）A B2a3b C D3a2b【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解【解答】解：由 得，3a2b，A、由等式性质可得：3a2b，正确；B、由等式性质可得 2a3b，错误；C、由等
13、式性质可得：3a2b ，正确；D、由等式性质可得：3a2 b，正确；故选：B【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积5（4 分）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，1卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）A B C D【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4 种，所以抽取的两张卡片上数字之积为负
14、数的概率为 ，故选：B【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率6（4 分）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷 10次，他们成绩的平均数 与方差 s2 如下表：甲 乙 丙 丁平均数（米）11.1 11.1 10.9 10.9方差 s2 1.1 1.2 1.3 1.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】根据平均数和方差的意义解答【解答】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，从方差看甲、
15、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，故选：A【点评】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键7（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak4 Bk4 Ck4 Dk 4【分析】根据判别式的意义得4 24k0，然后解不等式即可【解答】解：根据题意得4 24k0，解得 k4故选：C【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根8（4 分）2018 年 5 月 3 日，中国科学院在上海发布了中国
16、首款人工智能芯片：寒武纪（MLU100），该芯片在平衡模式下的等效理论峰值速度达每秒 128 000 000 000 000 次定点运算，将数 128 000 000 000 000 用科学记数法表示为（ ）A1.2810 14 B1.2810 14 C12810 12 D0.12810 11【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 128 000 000 000 000 用科学记
17、数法表示为：1.2810 14故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值9（4 分）如图，A 过点 O（0，0），C（ ，0），D（0，1），点 B 是 x 轴下方A上的一点，连接 BO，BD，则OBD 的度数是（ ）A15 B30 C45 D60【分析】连接 DC，利用三角函数得出DCO30，进而利用圆周角定理得出DBO 30即可【解答】解：连接 DC，C（ ，0），D（0，1），DOC90，OD1，OC ，DCO30，OBD 30 ，故选：B【点评】此题考查圆周角定理
18、，关键是利用三角函数得出DCO3010（4 分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（ ，1），（3，1），（3，0），点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 ABAC 交y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动设点 B 的坐标为（0，b），则b 的取值范围是（ ）A B C D【分析】延长 NM 交 y 轴于 P 点，则 MNy 轴连接 CN证明PABNCA ，得出 ，设 PAx，则 NAPN PA3x，设 PBy，代入整理得到y3xx 2 （x ） 2+ ，根据二次函数的性质以及 x3，求出 y 的最大与最小值，进而求出 b
19、 的取值范围【解答】解：如图，延长 NM 交 y 轴于 P 点，则 MNy 轴连接 CN在PAB 与NCA 中，PAB NCA， ，设 PAx，则 NAPNPA3x，设 PBy， ，y3xx 2 （x ） 2+ ，10， x3，x 时，y 有最大值 ，此时 b1 ，x3 时，y 有最小值 0，此时 b1，b 的取值范围是 b1故选：B【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出 y 与 x 之间的函数解析式是解题的关键二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11（5 分）计算：2sin30 + 2 【分析】2sin30 ，1 的奇数次方等于1， 2，计
20、算即可求得【解答】解：原式2 122故答案为：2【点评】本题考查实数及简单三角函数的运算，要记清简单角的三角函数值，1 幂的特征及理解一个数的1 次方就是求该数的倒数12（5 分）使得代数式 有意义的 x 的取值范围是 x3 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数【解答】解：代数式 有意义，x30，x3，x 的取值范围是 x3，故答案为：x3【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零13（5 分）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲
21、边三角形称为勒洛三角形若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 a 【分析】首先根据等边三角形的性质得出ABC60，ABBCCA a，再利用弧长公式求出 的长 的长 的长 ，那么勒洛三角形的周长为 3a【解答】解：如图ABC 是等边三角形，AB C60，ABBC CA a， 的长 的长 的长 ，勒洛三角形的周长为 3a故答案为 a【点评】本题考查了弧长公式：l （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），也考查了等边三角形的性质14（5 分）将从 1 开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第 a 行，第 b 列的自然数记为（a，b），如自然数 10 记为（3，2），自然数 15 记
22、为（4，2），按此规律，自然数 2019 记为 （505，3） 列行第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列第 1 行 1 2 3 4第 2 行 8 7 6 5第 3 行 9 10 11 12第 4 行 16 15 14 13 第 n 行 【分析】根据表格可知，每一行有 4 个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列用 2019 除以 4，根据除数与余数确定 2018 所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可【解答】解：由题意可得，每一行有 4 个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列201945043，
23、504+1505，2019 在第 505 行，奇数行的数字从左往右是由小到大排列，自然数 2019 记为（505，3）故答案为：（505，3）【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15（8 分）计算： （ 1）【分析】先计算括号内分式的减法，再计算除法即可得【解答】解：原式 （ ） 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则16（8 分）在 53 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上（1）在图 1 中画出线段 BD，使 BDAC ，其中 D 是格点
24、；（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BEAC，其中 E 是格点【分析】（1）将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位，即可得到线段 BD；（2）利用 23 的长方形的对角线，即可得到线段 BEAC【解答】解：（1）如图所示，线段 BD 即为所求；（2）如图所示，线段 BE 即为所求【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17（8 分）已知二次函数 y x2+bx+c 的图象经过 A（0，3），B（4， ）两点（1）求 b，c 的值（2
25、）二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况【分析】（1）把点 A、B 的坐标分别代入函数解析式求得 b、c 的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与 x 轴有交点，由题意得到方程 x2+ x+30，通过解该方程求得 x 的值即为抛物线与 x 轴交点横坐标【解答】解：（1）把 A（0，3），B（4， ）分别代入 y x2+bx+c，得，解得 ；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y x2+ x+3（ ） 24（ ）3 0，所以二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点 x2+ x+30 的解为：x 12，x 28
26、公共点的坐标是（2，0）或（8，0）【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系18（8 分）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程已知：CAB30，CBA 45 ，AC 640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： 1.7，1.4）【分析】过点 C 作 CDAB 于
27、点 D，利用锐角三角函数的定义求出 CD 及 AD 的长，进而可得出结论【解答】解：过点 C 作 CD AB 于点 D，在 Rt ADC 和 RtBCD 中，CAB30，CBA45，AC 640，CD320，AD320 ，BDCD320，BC320 ，AC+BC640+320 1088 ，ABAD +BD320 +320864，1088864224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义五、（本大题共 2 小题，每小题
28、 10 分，满分 20 分）19（10 分）如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y （k 为常数且 k0）的图象交于 A（1，a），B 两点，与 x 轴交于点 C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点 P 在 x 轴上，且 SACP SBOC ，求点 P 的坐标【分析】（1）利用点 A 在 yx +4 上求 a，进而代入反比例函数 y 求 k（2）联立方程求出交点，设出点 P 坐标表示三角形面积，求出 P 点坐标【解答】解：（1）把点 A（1，a）代入 yx +4，得 a3，A（1，3）把 A（1，3）代入反比例函数 yk3，反比例函数的表达式为 y（2）联立两个函数的表达式得解得
29、或点 B 的坐标为 B（3，1）当 yx+40 时，得 x4点 C（4，0）设点 P 的坐标为（x ，0）S ACP SBOC解得 x16，x 22点 P（6，0）或（2，0）【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达20（10 分）如图，已知 A、B、C 、D、E 是 O 上五点，O 的直径BE 2 ，BCD120 ，A 为 的中点，延长 BA 到点 P，使 BAAP，连接 PE（1）求线段 BD 的长；（2）求证：直线 PE 是O 的切线【分析】（1）连接 DE，如图，利用圆内接四边形的性质得DEB60，再根
30、据圆周角定理得到BDE90，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算 BD 的长；（2）连接 EA，如图，根据圆周角定理得到BAE90，而 A 为 的中点，则ABE 45，再根据等腰三角形的判定方法，利用 BAAP 得到BEP 为等腰直角三角形，所以PEB90，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】（1）解：连接 DE，如图，BCD+DEB180，DEB18012060，BE 为直径，BDE90，在 Rt BDE 中，DE BE 2 ，BD DE 3；（2）证明：连接 EA，如图，BE 为直径，BAE 90，A 为 的中点，ABE 45，BAAP，而 EABA，BEP 为等腰直角三角形，
31、PEB 90，PEBE，直线 PE 是O 的切线【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理六、（本题满分 12 分）21（12 分）“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按 A，B ，C ，D 四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图（说明：A 级：8 分10 分，B 级：7 分7.9 分，C 级：6 分6.9 分，D 级：1 分5.9 分）根据所给信息，解答以下问题：（1）在扇形统计图中，C 对应的
32、扇形的圆心角是 117 度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级；（4）该校九年级有 300 名学生，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多少人？【分析】（1）先根据 B 等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得 C 等级人数，继而用 360乘以 C 等级人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例可得【解答】解：（1）总人数为 1845%40 人，C 等级人数为 40（4+18+5）13 人，则 C 对应的扇形的圆心角是 360 117，故
33、答案为：117；（2）补全条形图如下：（3）因为共有 40 个数据，其中位数是第 20、21 个数据的平均数，而第 20、21 个数据均落在 B 等级，所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级，故答案为：B（4）估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有 300 30 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小七、（本题满分 12 分）22（12 分）某商场计划购进 A，B 两种型号的手机，已知每部 A 型号手机的进价比每部B 型
34、号手机进价多 500 元，每部 A 型号手机的售价是 2500 元，每部 B 型号手机的售价是 2100 元商场用 50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部（1）求 A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过 7.5 万元采购 A、B 两种型号的手机共 40部，且 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍该商场有哪几种进货方式？该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【分析】（1）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据每部 A 型号手机的进价比每部 B 型号手机进价多 500 元以及商场用 5
35、0000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2） 设 A 种型号的手机购进 a 部，则 B 种型号的手机购进（40a）部，根据花费的钱数不超过 7.5 万元以及 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；设 A 种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元列出 w 关于 a 的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解【解答】解：（1）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据题意得： ，解得： 答：A、B 两种型号的手机每部进价各是 20
36、00 元、1500 元；（2） 设 A 种型号的手机购进 a 部，则 B 种型号的手机购进（40a）部，根据题意得： ，解得： a30，a 为解集内的正整数，a27，28，29，30，有 4 种购机方案：方案一：A 种型号的手机购进 27 部，则 B 种型号的手机购进 13 部；方案二：A 种型号的手机购进 28 部，则 B 种型号的手机购进 12 部；方案三：A 种型号的手机购进 29 部，则 B 种型号的手机购进 11 部；方案四：A 种型号的手机购进 30 部，则 B 种型号的手机购进 10 部；设 A 种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元根据题意，得 w500a+600（4
37、0a）100a+24000，1000，w 随 a 的增大而减小，当 a27 时，能获得最大利润此时 w10027+24000 21300（元）因此，购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时，获利最大答：购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时获利最大【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键八、（本题满分 14 分）23（14 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知ABC 是比例三角形，AB2，BC 3，请
38、直接写出所有满足条件的 AC 的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BACADC求证：ABC 是比例三角形（3）如图 2，在（2）的条件下，当ADC90时，求 的值【分析】（1）根据比例三角形的定义分 AB2BCAC 、BC 2ABAC、AC 2ABBC 三种情况分别代入计算可得；（2）先证ABCDCA 得 CA2BC AD，再由ADBCBDABD 知 ABAD即可得；（3）作 AHBD，由 ABAD 知 BH BD，再证ABHDBC 得ABBC BHDB，即 ABBC BD2，结合 ABBCAC 2 知 BD2AC 2，据此可得答案【解答】解：（1
39、）ABC 是比例三角形，且 AB2、BC3，当 AB2BC AC 时，得：43AC，解得：AC ；当 BC2ABAC 时，得：92AC，解得：AC ；当 AC2ABBC 时，得：AC 26，解得：AC （负值舍去）；所以当 AC 或 或 时，ABC 是比例三角形；（2）ADBC，ACBCAD，又BACADC，ABCDCA， ，即 CA2BCAD，ADBC，ADBCBD，BD 平分ABC，ABDCBD，ADBABD，ABAD ，CA 2BCAB，ABC 是比例三角形；（3）如图，过点 A 作 AH BD 于点 H，ABAD ，BH BD，ADBC，ADC90，BCD90，BHABCD90，又ABHDBC，ABHDBC， ，即 ABBCBHDB ，ABBC BD2，又ABBCAC 2， BD2AC 2， 【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质
