1、2019 年浙江省温州市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1（4 分）给出四个实数 ，2，0，1，其中最小的是（ ）A B2 C0 D12（4 分）小明的生日礼盒如图所示，它的主视图是（ ）A BC D3（4 分）计算 a6a2 的结果是（ ）Aa 3 Ba 4 Ca 8 Da 124（4 分）在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的 5 个小球，其中红球 3 个，白球 2 个搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是白球的概率为（ ）A B C D5（4 分）不等式组 的解是（ ）Ax2 Bx3 C2
2、x3 D2x 66（4 分）在 RtABC 中，ACB90，AB2，AC1，则 cosA 的值是（ ）A B C D7（4 分）如图，在ABC 中，ABAC ，在边 AB 上取点 D，使得 BDBC，连结 CD，若A 36，则BDC 等于（ ）A36 B54 C72 D1268（4 分）如图，正ABC 内接于O，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 20得到DEF，若O 半径为 3，则 的长为（ ）A B2 C D 9（4 分）如图，点 A 在反比例函数 y （x0）图象上，点 B 在反比例函数y （k 0，x0）的图象上， ABx 轴，BC y 轴交 x 轴于点 C，连结 AC，交反比例函数 y
3、（x0）图象于点 D，若 D 为 AC 的中点，则 k 的值是（ ）A2 B3 C4 D510（4 分）如图，B 是线段 AP 的中点，以 AB 为边构造菱形 ABCD，连接 PD若tan BDP ， AB13，则 BD 的长为（ ）A B C D4二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5，共 30 分）11（5 分）因式分解：2x 24x 12（5 分）若分式 的值为零，则 a 的值是 13（5 分）一组数据 3，5，7，8，m 的平均数为 5，则这组数据的中位数是 14（5 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0），与 y 轴相交于点（0，3），则关于 x 的方程
4、 kxb 的解是 15（5 分）如图，圆内接四边形 ABCD 中，BCD90，ABAD，点 E 在 CD 的延长线上，且 DEBC，连结 AE，若 AE4，则四边形 ABCD 的面积为 16（5 分）如图，两个完全相同的直角三角板放置在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在x 轴、y 轴上，点 C 在边 AB 上，延长 DC 交 y 轴于点 E若点 D 的横坐标为5，OBA 30 ，二次函数 yax 2+bx+c 的图象经过点 A，D ，E，则 a 的值为 三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分）17（10 分）（1）计算： +（1） 20194sin60（2）化简：（2a+1）（2a1）a
5、（a1）18（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，CDAB，BEAC，垂足分别为点 D，E（1）求证：BDCE；（2）当 AB5，CE2 时，求 BC 的长19（8 分）某校九年（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查，调查项目分别为球类、棋类、电脑、艺术，要求每生必选且只能选其中一类，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图如下：学生所选项目人数的统计表项目 男生人数 女生人数电脑 a 8球类 8 b棋类 4 c艺术 2 3根据以上信息解决下列问题：（1）a ，b ，c （2）该班要从参加“艺术”课外活动的学生中选 2 名参加学校艺术节活动，其中有 2位女生因有事而弃权
6、，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1名男生、1 名女生的概率20（8 分）每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形在 66 的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为 1）（1）在图甲中画出一个以 AB 为对角线的四边形 APBQ，且 PAQPBQ 90；（2）在图乙中画出一个以 AB 为边的四边形 ABCD，且ABCADC90，BAD4521（10 分）如图，在ABC 中，点 O 在 BC 边上，以 OC 为半径作O，与 AB 切于点D，与边 BC，AC 分别交于点 E，F，且弧 DE弧 DF（1）求证：ABC 是直角三角形（2）连结 CD 交
7、OF 于点 P，当 cosB 时，求 的值22（10 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上，点B 的坐标为（ 4，m）（5m 7），反比例函数 y （x0）的图象交边 AB 于点D（1）用 m 的代数式表示 BD 的长；（2）设点 P 在该函数图象上，且它的横坐标为 m，连结 PB，PD记矩形 OABC 面积与PBD 面积之差为 S，求当 m 为何值时，S 取到最大值；将点 D 绕点 P 逆时针旋转 90得到点 E，当点 E 恰好落在 x 轴上时，求 m 的值23（12 分）某超市为了销售一种新型“吸水拖把”，对销售情况作了调查，结果发现每月销
8、售量 y（只）与销售单价 x（元）满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：（已知每只进价为 10 元，销售单价为整数，每只利润销售单价进价） 销售单价 x（元） 20 22 25 月销售额 y（只） 300 280 250 （1）求出 y 与 x 之间的函数表达式（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为 w（元），求 w 关于 x 的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大，厂家又进行了改装，此时超市老板发现进价提高了 m 元，当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系，随着销量的增大，最大利润能减少 1750 元，求 m 的值
9、24（14 分）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，动点 P 在线段 BC上，点 Q 在线段 AB 上，且 PQBQ，延长 QP 交射线 AC 于点 D（1）求证：QAQD；（2）设BAP，当 2tan是正整数时，求 PC 的长；（3）作点 Q 关于 AC 的对称点 Q，连结 QQ，AQ ，DQ，延长 BC 交线段DQ于点 E，连结 AE，QQ分别与 AP，AE 交于点 M，N （如图 2 所示）若存在常数 k，满足 kMNPEQQ，求 k 的值2019 年浙江省温州市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每
10、小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1（4 分）给出四个实数 ，2，0，1，其中最小的是（ ）A B2 C0 D1【分析】先比较数的大小，再得出答案即可【解答】解：1 ，四个实数 ，2，0，1 中最小的是1，故选：D【点评】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键2（4 分）小明的生日礼盒如图所示，它的主视图是（ ）A BC D【分析】细心观察图中生日礼盒摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图形判定则可【解答】解：生日礼盒从正面看，它的正视图应该是两个大小不一的矩形从四个选项中看，只有 A 选项符合这个条件故选：A【点评】本题考
11、查了三种视图中的主视图，生日礼盒大家经常见，比较容易想象它的主视图3（4 分）计算 a6a2 的结果是（ ）Aa 3 Ba 4 Ca 8 Da 12【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可【解答】解：a 6a2a 62 a 4故选：B【点评】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键4（4 分）在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的 5 个小球，其中红球 3 个，白球 2 个搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是白球的概率为（ ）A B C D【分析】用白球的个数除以所有球的个数即可求得抽到白球的概率【解答】解：共有 5 个球，其中白球有 2 个，P （摸
12、到白球） ，故选：C【点评】此题主要考查概率的意义及求法用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比5（4 分）不等式组 的解是（ ）Ax2 Bx3 C2x3 D2x 6【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可【解答】解：由得： x2，由得： x3，原不等式组的解集为 2x3，故选：C【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到6（4 分）在 RtABC 中，ACB90，AB2，AC1，则 cosA 的值是（ ）A B C D【分析】根据锐角三角函数的定义求出答案即可【解答】解：在 RtABC 中
13、，ACB90，AB2，AC1，cosA ，故选：A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在 RtACB 中，C90，则sinA ，cosA ，tanA ，cotA 7（4 分）如图，在ABC 中，ABAC ，在边 AB 上取点 D，使得 BDBC，连结 CD，若A 36，则BDC 等于（ ）A36 B54 C72 D126【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：ABAC，A36，B 72，BDBC，BDCBCD 54，故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键8（4 分）如图，正ABC 内接于
14、O，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 20得到DEF，若O 半径为 3，则 的长为（ ）A B2 C D 【分析】连接 OD、OA、OB，求出AOB 和DOA，求出DOB，再根据弧长公式求出即可【解答】解：连接 OD、OA、OB ，正ABC 内接于O，OABOBA 6030，AOB1803030120，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 20得到DEF，DOA 20 ，DOB 140 ， 的长是 ，故选：C【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆，弧长公式等知识点，能求出DOB 的度数是解此题的关键9（4 分）如图，点 A 在反比例函数 y （x0）图象上，点 B 在反比例函数y （k 0
15、，x0）的图象上， ABx 轴，BC y 轴交 x 轴于点 C，连结 AC，交反比例函数 y （x0）图象于点 D，若 D 为 AC 的中点，则 k 的值是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数 a 的代数式表示出来 b，并找出点 C坐标，根据 D 为 AC 的中点得出 d 的坐标，即可得出关于 k 的一元一次方程，解方程即可得出结论；【解答】解：设 A（a，b），A 在反比例函数 y （x 0）的图象上，b ，ABx 轴，且点 B 在反比例函数 y （k0，x0）的图象上，B（ak ， ）BCy 轴，C（ak ，0），又D 为 AC 的中点，D（ ， ），反
16、比例函数 y （x 0）图象于点 D， 1，解得 k3，故选：B【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、根据线段间的关系找出关于 k 的一元一次方程是解题的关键10（4 分）如图，B 是线段 AP 的中点，以 AB 为边构造菱形 ABCD，连接 PD若tan BDP ， AB13，则 BD 的长为（ ）A B C D4【分析】证明CEDAEP，根据相似三角形对应边成比例得： ，设CEx，得 AE2x，由三角函数得 tanBDP tanODE ，得 ODxOB，由勾股定理列方程可得结论【解答】解：如图，四边形 ABCD 是菱形，CDAP ，ACBD，CDAB，CEDAEP， ，设 CEx
17、，B 是 AP 的中点，AP2AB2CD， ，AE2x，AC3x，AOOC x，OE xx x，ACBD，DOE 90 ，tanBDPtanODE ，ODxOB，RtAOB 中，由勾股定理得：AB 2AO 2+OB2，132x 2+（ x） 2，x2 ，BD4 故选：D【点评】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5，共 30 分）11（5 分）因式分解：2x 24x 2x （x2） 【分析】直接提取公因式 2x，进而分解因式即可【解答】解：2x 24x 2x （ x2）故答案为：2x（x
18、2）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键12（5 分）若分式 的值为零，则 a 的值是 【分析】先根据分式的值为 0 的条件列出关于 a 的不等式组，求出 a 的值即可【解答】解：分式 的值为零， ，解得 a 故答案是： 【点评】本题考查的是分式的值为 0 的条件，即分式的分子为 0，分母不为 013（5 分）一组数据 3，5，7，8，m 的平均数为 5，则这组数据的中位数是 5 【分析】先根据平均数的定义求出 m 的值，然后根据中位数的定义求解即可【解答】解：由题意可知，（3+5+7+8+m ）55，解得：m2，这组数据从小到大排列 2，3，5，7，8，则中位
19、数是 5故答案为：5【点评】本题考查平均数与中位数的意义平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数14（5 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0），与 y 轴相交于点（0，3），则关于 x 的方程 kxb 的解是 x2 【分析】依据待定系数法即可得到 k 和 b 的值，进而得出关于 x 的方程 kxb 的解【解答】解：一次函数 ykx+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0），与 y 轴相交于点（0，3）， ，解得 ，关于 x 的方程 kxb 即为
20、： x3，解得 x2，故答案为：x2【点评】本题主要考查了待定系数法的应用，任何一元一次方程都可以转化为 ax+b0 （a，b 为常数，a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值从图象上看，相当于已知直线 yax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值15（5 分）如图，圆内接四边形 ABCD 中，BCD90，ABAD，点 E 在 CD 的延长线上，且 DEBC，连结 AE，若 AE4，则四边形 ABCD 的面积为 8 【分析】如图，连接 AC，BD由ABCADE（SAS），推出BACDAE，ACAE4，S ABC S ADE ，推出 S 四边
21、形 ABCDS ACE ，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接 AC，BDBCD90，BD 是 O 的直径，BAD90，ADE+ADC18，ABC+ ADC180，ABCADE，ABAD ，BC DE，ABCADE（SAS），BACDAE，ACAE4，S ABC S ADE ，CAEBAD90，S 四边形 ABCDS ACE 448故答案为 8【点评】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型16（5 分）如图，两个完全相同的直角三角板放置在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在x 轴、y 轴上
22、，点 C 在边 AB 上，延长 DC 交 y 轴于点 E若点 D 的横坐标为5，OBA 30 ，二次函数 yax 2+bx+c 的图象经过点 A，D ，E，则 a 的值为 【分析】设 A（m，0），根据含有 30角的直角三角板的特点，能够得到 EC 是ABO的中位线，进而分别求出 A，D ，E 三点的坐标，再将三点代入函数解析式，利用待定系数法求得 a 的值【解答】解：设 A（m，0），在 Rt ABO 中，OBA30，OB m，AB2m，又ACD 是与ABO 相同的三角板，ADC30，ACm，CD2m，C 是 AB 的中点，又BEC90，EC m，ED m，又ED5，m2，A（2，0），E（
23、0， ），D（5， ）， ，a ，故答案为【点评】本题考查含有 30角的直角三角形中边角关系；待定系数法求得 a 的值利用三角形的全等，边角关系求解三角形是解题关键三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分）17（10 分）（1）计算： +（1） 20194sin60（2）化简：（2a+1）（2a1）a（a1）【分析】（1）化简二次根式、计算乘方、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）先利用平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得【解答】解：（1）原式2 142 121；（2）原式4a 21a 2+a3a 2+a1【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握实数
24、与整式的混合运算顺序和运算法则18（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，CDAB，BEAC，垂足分别为点 D，E（1）求证：BDCE；（2）当 AB5，CE2 时，求 BC 的长【分析】（1）由“AAS”可证BDCCEB，可得 BDCE；（2）由题意可得 AE3，由勾股定理可求 BE，CB 的长【解答】证明：（1）ABACABCACB，且 BC BC，BDCBECBDCCEB（AAS）BDCE，（2）ABAC 5，CE2AE3BE 4BC 2【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用勾股定理求 BE 的长是本题的关键19（8 分）某校九年（1）班针对“你最喜爱的课外活动项
25、目”对全班学生进行调查，调查项目分别为球类、棋类、电脑、艺术，要求每生必选且只能选其中一类，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图如下：学生所选项目人数的统计表项目 男生人数 女生人数电脑 a 8球类 8 b棋类 4 c艺术 2 3根据以上信息解决下列问题：（1）a 12 ，b 7 ，c 6 （2）该班要从参加“艺术”课外活动的学生中选 2 名参加学校艺术节活动，其中有 2位女生因有事而弃权，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1名男生、1 名女生的概率【分析】（1）根据艺术的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出 a，b，c；（2）根据
26、题意画出树状图得出所有等情况数和恰好有 1 名男生、1 名女生的学生数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）抽查的总学生数是：（2+3）10% 50（人），a5040%812，b5030%87，c5020% 46，故答案为：12，7，6；（2）根据题意画图如下：共有 6 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1 名男生、1 名女生”有 4种可能，所以 P（ 1 名男生、1 名女生） 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知
27、识点为：概率所求情况数与总情况数之比20（8 分）每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形在 66 的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为 1）（1）在图甲中画出一个以 AB 为对角线的四边形 APBQ，且 PAQPBQ 90；（2）在图乙中画出一个以 AB 为边的四边形 ABCD，且ABCADC90，BAD45【分析】（1）根据矩形的性质画出图形即可；（2）根据四边形的性质画出图形解答即可【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示【点评】本题主要考查了矩形的判定、性质及四边形的性质，熟练掌握这些判定、性质及定理并灵活运用是解题的关键21（10 分）如图，在ABC 中，点
28、 O 在 BC 边上，以 OC 为半径作O，与 AB 切于点D，与边 BC，AC 分别交于点 E，F，且弧 DE弧 DF（1）求证：ABC 是直角三角形（2）连结 CD 交 OF 于点 P，当 cosB 时，求 的值【分析】（1）连接 OD，根据圆周角定理得出ACD BCD，由等腰三角形的性质得出OCDODC，即可得到ODCACD，得出 ODCA，根据平行线的性质即可得出结论；（2）连接 EF，根据圆周角定理得出EFC90，进而证得 ABEF，平行线的性质得出CEFB，得出 cosCEFcos B ，设 OCOD OEa，则 EF a，即可求得 CF a，由PDOPCF，即可证得 【解答】（1
29、）证明：如图，连接 OD， O 与 AB 切于点 D，ODAB，BDO 90 ，弧 DE弧 DFACDBCD，OCOD，OCDODC，ODCACD，ODCA，BACBDO90，ABC 是直角三角形；（2）解：连接 EF，CE 是直径，EFC90，BACEFC，ABEF，CEFB，cosCEF cos B ，设 OCODOEa，则 EF a，CF a，ODCF，PDO PCF ， 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键22（10 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 在 y 轴正半
30、轴上，点B 的坐标为（ 4，m）（5m 7），反比例函数 y （x0）的图象交边 AB 于点D（1）用 m 的代数式表示 BD 的长；（2）设点 P 在该函数图象上，且它的横坐标为 m，连结 PB，PD记矩形 OABC 面积与PBD 面积之差为 S，求当 m 为何值时，S 取到最大值；将点 D 绕点 P 逆时针旋转 90得到点 E，当点 E 恰好落在 x 轴上时，求 m 的值【分析】（1）先确定出点 D 横坐标为 4，代入反比例函数解析式中求出点 D 横坐标，即可得出结论；（2） 先求出矩形 OABC 的面积和三角形 PBD 的面积得出 S （m 8） 2+24，即可得出结论；利用一线三直角判
31、断出 DGPF，进而求出点 P 的坐标，即可得出结论【解答】解：（1）四边形 OABC 是矩形，ABx 轴上，点 B（4，m），点 D 的横坐标为 4，点 D 在反比例函数 y 上，D（4，4），BDm4；（2） 如图 1，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（4，m），S 矩形 OABC4m，由（1）知，D（4，4），S PBD （m4）（m 4） （m 4） 2，SS 矩形 OABCS PBD 4m （m 4） 2 （m8） 2+24，抛物线的对称轴为 m8，a0，5m7，m7 时，S 取到最大值；如图 2，过点 P 作 PFx 轴于 F，过点 D 作 DGFP 交 FP 的延长线于 G，
32、DGP PFE90，DPG +PDG90，由旋转知，PDPE ，DPE90，DPG +EPF90，PDG EPF，PDG EPF（AAS ），DGPF，DGAFm 4，P（m，m4），点 P 在反比例函数 y ，m（m4）16，m2+2 或 m22 （舍）【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键23（12 分）某超市为了销售一种新型“吸水拖把”，对销售情况作了调查，结果发现每月销售量 y（只）与销售单价 x（元）满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：（已知每只进价为 10 元，销售单价为整数，每只利润
33、销售单价进价） 销售单价 x（元） 20 22 25 月销售额 y（只） 300 280 250 （1）求出 y 与 x 之间的函数表达式（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为 w（元），求 w 关于 x 的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大，厂家又进行了改装，此时超市老板发现进价提高了 m 元，当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系，随着销量的增大，最大利润能减少 1750 元，求 m 的值【分析】（1）待定系数法求函数解析式（2）总利润单件利润总销售量，先表示出 w，再根据二次函数求最值问题进行配方即可（3）含参
34、的二次函数问题，先表示出 w，根据最大利润列式即可求出 m【解答】解：（1）设 ykx+b（k0），根据题意代入点（20，300），（25，250），解得 ，y10x+500 （2）依题意得，w（x 10）（10x+500）10x 2+600x500010（x30）2+4000，a100，当 x30 时，w 有最大值 4000，即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元（3）最新利润可表示为10 2+600x5000m （10x+500）10x 2+（600+10m）x5000500m，此时最大利润为 40001750，解得 m110，m 270，当 m70 时，销量为负数
35、舍去m10【点评】此题考查了一次函数的实际应用，以及二次函数的实际应用，利用最大利润列式求解为解题关键24（14 分）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，动点 P 在线段 BC上，点 Q 在线段 AB 上，且 PQBQ，延长 QP 交射线 AC 于点 D（1）求证：QAQD；（2）设BAP，当 2tan是正整数时，求 PC 的长；（3）作点 Q 关于 AC 的对称点 Q，连结 QQ，AQ ，DQ，延长 BC 交线段DQ于点 E，连结 AE，QQ分别与 AP，AE 交于点 M，N （如图 2 所示）若存在常数 k，满足 kMNPEQQ，求 k 的值【分析】（1）由等腰三角形
36、的性质得出BBPQCPD，由直角三角形的性质得出BACD，即可得出结论；（2）过点 P 作 PHAB 于 H，设 PH3x，BH4x，BP5x，由题意知 tan1 或 ，当 tan 1 时， HAPH3x，与勾股定理得出 3x+4x5，解得 x ，即可求出 PC 长；当 tan 时，HA2PH6x，得出 6x+4x5，解得 x ，即可求出 PC 长；（3）设 QQ与 AD 交于点 O，由轴对称的性质得出 AQAQ DQDQ ，得出四边形 AQDQ是菱形，由菱形的性质得出 QQAD，AO AD，证出四边形 BEQQ是平行四边形，得出 QQBE，设 CD3m，则 PC4 m，AD3+3m，即QQB
37、E4m+4，PE8m，由三角函数得出 tanPAC ，即可得出结果【解答】（1）证明：PQ BQ，BBPQ CPD，ACBPCD90，A+BAC90，D+CPD90，BACD，QAQD ；（2）解：过点 P 作 PHAB 于 H，如图 1 所示：设 PH3x，BH4x ，BP 5x，由题意得：tanBAC ， BAPBAC，2tan 是正整数时， tan 1 或 ，当 tan 1 时， HAPH3x，3x+4x 5，x ，即 PC45x ；当 tan 时，HA2PH6x，6x+4x5，x ，即 PC45x ；综上所述，PC 的长为 或 ；（3）解：设 QQ与 AD 交于点 O，如图 2 所示：由轴对称的性质得：AQ AQDQDQ，四边形 AQDQ是菱形，QQAD ， AO AD，BCAC，QQBE，BQEQ ，四边形 BEQQ 是平行四边形，QQBE，设 CD3m，则 PC4m，AD3+3m ，即 QQBE4m+4，PE8m， tanPAC ， ，即 MN2MO 4m（1+m），k 8【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键
