1、江苏省南京市 2019 届高三数学三模考后补偿训练一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在答 题 卡 的 指 定 位 置 上 1已知集合 A ，B2 ，3，4，5，则 A B Nx答案： ,2345解析：因为 A ，B2 ，3，4，5，所以 A B1x 1,23452已知复数 满足 （其中 i 为虚数单位） ，则 的值为 z2i|z答案：解析： ，3i()127125iz i149| 25z3. 从某班抽取 5 名学生测量身高(单位：cm) ，得到的数据为160,162,159,1
2、60,159，则该组数据的方差 s2_.答案：65解析：数据 160,162,159,160,159 的平均数是 160，则该组数据的方差s2 (022 21 20 21 2) .15 654.一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了 10 000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示 )为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这 10 000 人中用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2 500，3 500)(元/月)收入段应抽出_人答案：40解析：解析：由频率分布直方图可得在2 500，3 500)收入段的频率为(0.000 50.000 3)5
3、000.4，则 100 人中应抽出 0.410040 人5.已知等比数列 的前 项和为 ， ，则 nanS4284S答案：10解析： ，所以， ，424122()Saq23q848144()0Saq6. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_.解析 设正方体棱长为 a，则 6a218，a 23，a .3外接球直径为 2R a3， R ，V R3 .332 43 43 278 92答案 927.双曲线的两个焦点为 ， ，以 为边作正方形 ，且此双曲线恰好经过边1F21212FMN和 的中点，则此双曲线的离心率为 1FN2M答案： 5考点：双曲线的定
4、义及其性质。解析：如下图，F 1F22c，AF 2 c，AF 1 ，21MF2ac在直角三角形 AF1F2 中， ，()(ac化简，得： ，0ac即： ，解得：e2()1152ca8.已知函数 f(x)sin (0x) ，且 f()f () ()，则 _.(2x 3) 13答案：76解析：由 0x，知 2x ，因为 f()f() ，所以3 373 13 32 2 ，所以 .(2 3) (2 3) 32 769 若函数 在其定义域上恰有两个零点，则正实数 a 的值为 0,lnxfxa答案： 1e解析：易知函数 在 上有一个零点，所以由题意得方程()fx,0ln0ax在 上恰有一解，即 在 上恰有
5、一解. 令 ，0+， lnxa+， ln()xg，得 ，当 时， 单调递增，当 时， 单21ln()0xge0,e()gxe,+x调递减，所以 .1ag10. 已知点 ，若圆 上存在点 M 满足 ,(,0),AB22(1)()1xay3AB则实数 的取值范围是 . a答案： 2,1解析：设 M（x，y） ，因为 ，所以，点 M 的轨迹方程为：3AB（1x，y） （1x，y）3，即 x2y 24，又因为点 M 在圆 上，2()()1a两圆有交点，所以， ，201a即 ，解得：2a211. 已知 x0，y 0， ，则 的最小值为 14xyxy答案：3解析：因为 9，2 14()()()xyxyxy
6、452xyx又 x0，y0，所以， 312.在平面凸四边形 中， ， ，点 满足 ，且ABCD23CDE2Cur若 ，则 的值为 2AE85EurgABurg答案：2考点：平面向量的三角形法则，数量积。解析： ，所以，AEBE，所以， 0，48cos0AEBAEBur，CD3，所以，DE2 ，EC 1 ，所以， 2，DCur DC因为 ，所以，21cos（ AEC） ，即 cosAEC ，85AEg854522cos（ AEC）4sinAEC=Bur12 ADBCurg()()EBCrurAEBCEDBECurrurur085122213.已知在 中， 分别为三个内角 的对边，若 ，则 ,ab
7、c,tan2tA的最大值为_.bca答案： 2解析：由 得， ，所以 ，即tntaABsini2cosABsinco2sincoABA，整理可得 ，所以 ，令222acb223ba22()13bc， ，则ossin3ccosinba14设集合 其中 均为整数，则集合 .,2,xytMat,xytaM答案： 0,134解析：由 2xyt得 21yxt，则 tx，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边 1yx即 ，且 tx即 .2at为整数，则 1为 2 的约数，则 3,201x， 3,40a.故M=0，1，3，4.二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程
8、或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内15(本小题满分 14 分)在 中，角 的对边分别为 ，已知 成等比数列，且 ABC, ,abc,c3cos4B（1）若 ，求 的值； 32ac（2）求 的值cosini解析：（1）由 ，得 2 分32BAC3cosaB因为 ，所以 4 分cos4b由余弦定理 ，得 ，22cs22cos5cbaB则 ，故 7 分()9aca3（2）由 ，得 9 分3cos4B7sin4由 及正弦定理得 ，11 分2bac2sinisnBAC于是 1422oscoi()sin147ini iACB 分16(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，1AB
9、CABC11B1ACD分别是 ， 的中 点.E1求证：（1） ；1DE平 面（2） ；ABC平 面解析：17(本小题满分 14 分)如图，某公园内有两条道路 ， ，现计划在 上选择一点 ，新建道路 ，ABPACB并把 所在的区域改造成绿化区域已知 ， ABC 6B 2km（1）若绿化区域 的面积为 1 ，求道路 的长度； 2km（2）若绿化区域 改造成本为 10 万元/ ，新建道路 成本为 10 万元 2/ km设 （ ） ，当 为何值时，该计划所需总费用最小？AB03 解析：（1）因为在 中，已知 ， ，ABC 6BAC 2km所以由 的面积 ，ABC 1sin126SABC解得 2 分2在
10、 中，由余弦定理得： 22cos6ABC，4 分22cos8436所以 5 分843BC（2）由 ，则 ， A 6ACB203在 中， ， ， 由正弦定理得 ， 6 2kmsinisinACB所以 ， 7 分1sin()BCsin()记该计划所需费用为 ，(F则 12i110(sin)() 02sn)sin()666F 2()310 分令 ，则 ， 11 分si1()3nco2f 2i()3()1sncos2f由 ，得 所以当 时， ， 单调递减；()0f6(0)6， ()0f()f当 时， ， 单调递增 12 分63， ()ff所以 时，该计划所需费用最小 14 分18(本小题满分 16 分
11、)如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，xOy2:1(0)xyCab2且右焦点到右准线 的距离为1过 轴上一点 为常数，且 的直l (,0)Mm(,)m线与椭圆 交于 两点，与 交于点 ， 是弦 的中点，直线 与 交于点C,ABlPDABODlQ（1）求椭圆 的标准方程；（2）试判断以 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明P理由解析：（1）由题意，得 ，解得 ，所以 ，21cea21ac2,1ab所以椭圆C的标准方程为 4分2xy（2）由题意，当直线 的斜率不存在或为零时显然不符合题意；AB所以设 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，k()ykxm又准线方程为
12、，2x所以 点的坐标为 ，6分P,()m由 得， ，2()ykx22()xk即 140所以 ， ， 8分221Dkmx 2211Dkkmy所以 ，O从而直线 的方程为 ，（也可用点差法求解）2yxk所以 点的坐标为 ，10分Q1,所以以 为直径的圆的方程为 ，,P21()0xykmyk即 ， 14分2214()0xmyk因为该式对 恒成立，令 ，得 ，0ky2x所以以 为直径的圆经过定点 16分PQ(,)19(本小题满分 16 分)已知数列 的首项 （a 是常数，且 ） ，na121a（ ） ，数列 的首项 ， （ ） 。 4221annb2nabn（1）证明： 从第 2 项起是以 2 为公比
13、的等比数列；b（2）设 为数列 的前 n 项和，且 是等比数列，求实数 a 的值；nSnS（3）当 时，求数列 的最小项。0aa解：（1） 2bn221 )1()(4)1()( nn(n2) 3 分nnba2由 得 ， ，142a ， ，4 分20即 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。5 分nb（2 ） 6 分1(4)34(2)n nnaSa当 n2 时， 1 11(2)34()nn na 是等比数列, (n2)是常数，nS1S3 a+4=0，即 。10 分43（3 ）由（1 ）知当 时， ，11 分2n2(4)(1)nnnba所以 ，12 分2(1)()nna所以数列 为 2a+1，
14、4 a，8 a1，16 a，32 a +7，n显然最小项是前三项中的一项。13 分当 时，最小项为 8 a 1；1(0,)4a当 时，最小项为 4 a 或 8 a1；14 分当 时，最小项为 4 a；1(,)42a当 时，最小项为 4 a 或 2 a +1；15 分当 时，最小项为 2 a +1。16 分1(,)2a20(本小题满分 16 分)已知函数 ，并设 ，2,fxbcRxfFe（1）若 图像在 处的切线方程为 ，求 、 的值；F00xybc（2）若函数 是 上单调递减，则x, 当 时，试判断 与 的大小关系，并证明之；fx2c 对满足题设条件的任意 、 ，不等式 恒成立，求b22fMc
15、fb的取值范围M解析：（1）因为 ，所以 ，2xcFe2xcFxe2 分又因为 图像在 处的切线方程为 ，x00y所以 ，即 ，解得 ， 4 分01F1cbbc（2）因为 是 上的单调递减函数，所以 恒成立，x,0Fx即 对任意的 恒成立， 6 分0cxR所以 ，所以 ，即 且24b2244cbbcb，1c令 ，由 ，知 是减函数，21gxfxcbxc20bcgx故 在 内取得最小值 ，又 ，0,0g所以 时， ，即 10 分xx2fxc 由知， ，当 时， 或 ，cbcb因为 ，即 ，解得 ， 或 ，所以240b24022b，fx而 ，2222cfcbcbc所以 或 ，80不等式 等价于 ，22fcMf2fcMcb变为 或 恒成立， ， 12 分8AR当 时， ，即 ，所以不等式 恒成立等价于bb20c22ff恒成立，等价于 ，14 分2fcf2maxfcb而 ，221ffbcbbc c因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，1c0212bc所以 ，所以 16 分232fcfb32M
