1、一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）1（2 分）cos60的值是（ ）A B C D2（2 分）下列方程是一元二次方程的是（ ）Ax+2y1 Bx 21Cx 2 8 Dx（x+3）x 213（2 分）某校在体育健康测试中，有 8 名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，10，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A10，12 B12，11 C11，12 D12，124（2 分）在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则
2、 n 的值为（ ）A3 B5 C8 D105（2 分）把函数 y2x 2 的图象先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是（ ）Ay2（x3） 2+2 By2（x+3） 22Cy 2（x +3） 2+2 Dy2（x3） 226（2 分）如图，点 A、B、C 均在圆 O 上，若ABC130，则AOC 的度数是（ ）A40 B50 C80 D1007（2 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，ACDB，AD1，AC2，若ADC 的面积为 0.8，则BCD 的面积为（ ）A0.8 B1.
3、6 C2.4 D3.28（2 分）如图，BC3，B 的半径为 1，A 为B 的上动点，连接 AC，在 AC 上方作一个等边三角形 ACD，连接 BD，则 BD 的最大值为（ ）A4 B5 C2 D3 +1二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）9（2 分）已知 ，则 10（2 分）一元二次方程 x23x 的解是： 11（2 分）抛物线 y（x 2） 2+3 的顶点坐标是 12（2 分）已知一组数据 2，3，4，5，则该组数据的方差 S2
4、; 13（2 分）在某时刻的阳光照耀下，高为 4 米的旗杆在水平地面上的影长为 5 米，附近一个建筑物的影长为 20 米，则该建筑物的高为 米14（2 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等于 15（2 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 AB8，AE1，则弦 CD的长是 16（2 分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，ABC 的顶点都在格点上，则 sinA 的值为 17（2 分）如图，OBC 的边
5、BCx 轴，过点 C 的双曲线 y （k0）与OBC 的边OB 交于点 D，且 OD：DB 1：2，若OBC 的面积等于 8，则 k 的值为 18（2 分）如图，在 RtABC 中，B90，BC 2AB8，点 D，E 分别是边BC，AC 的中点，连接 DE将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，当EDC 旋转到A，D， E 三点共线时，线段 BD 的长为 三、解答题：（本大题共 10 小题，共 84 分）19（6 分）计算：20（8 分）解下列一元二次方程；（1）x 24x50（2）（x3） 22（x 3）21（8 分）某市教育行政部门为
6、了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中 a 的值为 ，“活动时间为 4 天”的扇形所对圆心角的度数为 ，该校初一学生的总人数为 ；（2）补全频数分布直方图；（3）如果该市共有初一学生 6000 人，请你估计“活动时间不少于 4 天”的大约有多少人？22（8 分）春节放假期间，小明和小华准备到夹山的夹谷山（记为 A）、黑林的刘少奇故
7、居（记为 B）、金山的徐福祠（记为 C）、宋庄的丝路小镇（记为 D）中的一景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同（1）小明选择去夹谷山旅游的概率为 （2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的概率23（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交AB 延长线于点 E连接 BD，EC：（1）求证：四边形 BECD 是平行四边形；（2）若A50，则当BOD 时，四边形 BECD 是矩形；24（8 分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门
8、大楼的高度，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 22，他正对着城楼前进 21 米到达 C 处，再登上 3 米高的楼台 D 处，并测得此时楼顶 A 的仰角为 45（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在 A，B 之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出 A，B 之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）（参考数据：sin22 ，cos22 ，tan22 ）25（8 分）某商家销售一款商品，该商品的进价为每件 80 元，现在的售价为每件 145 元，每天可销售 40 件商场规定每销售一件需支付给商场管理费 5 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件
9、若每件商品降价 x 元，每天的利润为 y 元，请完成以下问题的解答（）用含 x 的式子表示：每件商品的售价为 元；每天的销售量为 件；（）求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？26（8 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于D（1）以 AB 边上一点 O 为圆心， AD 为弦作 O（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（3）若（1）中的O 的半径为 2，O 与 AB 边的另一个交
10、点为 E，BD2 ，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积（结果保留根号和 ）27（10 分）如图，二次函数 yx 2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，顶点为点 P，经过 B、C 两点的直线为 yx+3（1）求该二次函数的关系式；（2）Q 是直线 BC 下方抛物线上一动点，QBC 的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时 Q 的坐标；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以点 C、P、M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由28（12 分）如图 1，D 是O 的直径 BC 上的一
11、点，过 D 作 DEBC 交O 于 E、N，F是O 上的一点，过 F 的直线分别与 CB、DE 的延长线相交于 A、P，连结 CF 交 PD于 M， C P（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若A30，O 的半径为 4，DM1，求 PM 的长；（3）如图 2，在（2）的条件下，连结 BF、BM；在线段 DN 上有一点 H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与BFM 相似，求 DH 的长度2019 年江苏省常州市天宁区正衡中学中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）1（2 分）cos60的值是（ ）A B C D【
12、分析】根据特殊角的三角函数值求解【解答】解：cos60 故选：A【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值2（2 分）下列方程是一元二次方程的是（ ）Ax+2y1 Bx 21Cx 2 8 Dx（x+3）x 21【分析】本题根据一元二次方程的定义解答【解答】解：Ax +2y1 是二元一次方程，不符合题意；Bx 2 1 是一元二次方程，符合题意；Cx 2 8 是分式方程，不符合题意；Dx（x+3）x 21，即 3x1，是一元一次方程，不符合题意；故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然
13、后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 23（2 分）某校在体育健康测试中，有 8 名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，10，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A10，12 B12，11 C11，12 D12，12【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据中位数和众数的定义求解【解答】解：原数据按由小到大排列为：7，8，9，10，12，12，14，16，所以这组数据的中位数 11，众数为 12故选：C【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数也考查了中位数的定义4（2 分）在一个不透明的盒子里有 2 个红球
14、和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则 n 的值为（ ）A3 B5 C8 D10【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于 n 的方程，求出 n 的值即可【解答】解：摸到红球的概率为 ，P（摸到黄球）1 ， ，解得 n8故选：C【点评】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率P（A） 5（2 分）把函数 y2x 2 的图象先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是（ &nb
15、sp;）Ay2（x3） 2+2 By2（x+3） 22Cy 2（x +3） 2+2 Dy2（x3） 22【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案【解答】解：由函数 y2x 2 的图象先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度得到新函数的图象，得新函数的表达式是 y2（x 3） 22，故选：D【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式6（2 分）如图，点 A、B、C 均在圆 O 上，若ABC130，则AOC 的度数是（ ）A40 B50 C80 D100【分析】首先在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，由圆的内接
16、四边形的性质，可求得ADC 的度数，然后由圆周角定理，求得AOC 的度数【解答】解：如图，在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，ABC130，ADC180ABC50，AOC2ADC100故选：D【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用7（2 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，ACDB，AD1，AC2，若ADC 的面积为 0.8，则BCD 的面积为（ ）A0.8 B1.6 C2.4 D3.2【分析】由ACDB 结合公共角AA，即可证出ACDABC，根据相似三角形的性质可得出 （ ） 2
17、 ，结合ADC 的面积为 1，即可求出BCD的面积【解答】解：ACDB，AA，ACDABC， （ ） 2 ，S ACD 0.8，S ABC 3.2，S BCD S ABC S ACD 2.4故选：C【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键8（2 分）如图，BC3，B 的半径为 1，A 为B 的上动点，连接 AC，在 AC 上方作一个等边三角形 ACD，连接 BD，则 BD 的最大值为（ ）A4 B5 C2 D3 +1【分析】以 BC 为边在 BC 上方构造等边BCE，连接 DE、BD，证明ABCDEC，得到 D 点
18、运动轨迹，则可求 BD 最值【解答】解：以 BC 为边在 BC 上方构造等边BCE，连接 DE、BDACB60ECA，DCE60ECA，ACBDCE又 ACDC，BCEC，ABCDEC（SAS）DEAB1点 D 运动轨迹是以点 E 为圆心， 1 为半径的圆，当 B、E、D 三点共线（ D 点在 BE 的延长线上）时，BD 最大为 3+14故选：A【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短定理，解题的关键是找到 D 点运动轨迹二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）9（2 分）已知 ，则 【分析】根据题意，设 x3k，y 4k，代入即求得 的
19、值【解答】解：设 x3k ，y 4 k， 【点评】已知几个量的比值时，设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元10（2 分）一元二次方程 x23x 的解是： x 10，x 23 【分析】利用因式分解法解方程【解答】解：（1）x 23x ，x23x0，x（x3）0，解得：x 10，x 23故答案为：x 10，x 23【点评】本题考查了解一元二次方程的方法当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用当化简后不能用分解因式的方
20、法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程11（2 分）抛物线 y（x 2） 2+3 的顶点坐标是 （2，3） 【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴【解答】解：y（x 2） 2+3 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）故答案为：（2，3）【点评】考查将解析式化为顶点式 ya（xh） 2+k，顶点坐标是（ h，k），对称轴是xh12（2 分）已知一组数据 2，3，4，5，则该组数据的方差 S2 1.25 【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可【解答】解：数 2，3，4，5 的平均
21、数为： （2+3+4+5）3.5，则该组数据的方差 S2 （ 23.5） 2+（33.5） 2+（4 3.5） 2+（53.5） 21.25故答案为：1.25【点评】本题考查方差的定义：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2 （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立13（2 分）在某时刻的阳光照耀下，高为 4 米的旗杆在水平地面上的影长为 5 米，附近一个建筑物的影长为 20 米，则该建筑物的高为 16 米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体
22、，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【解答】解： ，建筑物的高 建筑物的影长 2016 米故应填 16【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题14（2 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等于 24cm2 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算【解答】解：它的侧面展开图的面积 24624 （cm 2）故答案为 24cm2【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展
23、开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长15（2 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 AB8，AE1，则弦 CD的长是 2 【分析】根据垂径定理和勾股定理，即可得答案【解答】解：连接 OC，由题意，得OEOAAE413，CEED ，CD2CE2 ，故答案为 2 【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题16（2 分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，ABC 的顶点都在格点上，则 sinA 的值为 【分析】过 C 作 CDAB 于 D，过 A 作 AE
24、BC 于 E，则 AE3，根据勾股定理求出AB 和 AC 长，根据三角形面积公式求出 CD，解直角三角形求出即可【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D，过 A 作 AEBC 于 E，则 AE3，BC2，AC ，AB 3 ，SABC ，解得：CD ，所以 sinA ，故答案为： 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形等知识点，能求出 CD 的长是解此题的关键17（2 分）如图，OBC 的边 BCx 轴，过点 C 的双曲线 y （k0）与OBC 的边OB 交于点 D，且 OD：DB 1：2，若OBC 的面积等于 8，则 k 的值为 2 【分析】延长 BC 交 y 轴于点 E，过点 D
25、 作 DFx 轴于点 FBAx 轴于 A由矩形与反比例函数的性质，可得 S 四边形 ABDFS OBC 8，易证得ODFOBA，又由OD：DB 1： 2，即可得 SODF S 四边形 ABDF 4 ，则可求得答案【解答】解：延长 BC 交 y 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，BAx 轴于 A梯形 ABCO 的底边 AO 在 x 轴上，BCAO，ABAO，四边形 OABE 是矩形，S OBE S OAB ，过点 C 的双曲线 y 交 OB 于点 D，S OCE S ODF ，S 四边形 ABDFS OBC 8，DFAB，ODF OBA，OD：DB 1 ：2，OD：OB 1 ：3，S
26、 ODF ：S OAB 1：9，S ODF ：S 四边形 ABDF1：8，S ODF S 四边形 ABDF 81，k2故答案为：2【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数 k 的几何意义、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用18（2 分）如图，在 RtABC 中，B90，BC 2AB8，点 D，E 分别是边BC，AC 的中点，连接 DE将 EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，当EDC 旋转到A，D， E 三点共线时，线段 BD 的长为 4 或 【分析】分两种情况分析，A、D 、E 三点所在直线与 BC 不相交和
27、与 BC 相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案【解答】解：如图 1，AC 4 ，CD4，CDAD，AD 8，ADBC，AB DC ，B 90，四边形 ABCD 是矩形，BDAC4 如图 2，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，AC4 ， CD4，CDAD，AD 8，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，DE AB2，AEAD DE826，ECDACB，ECADCB，又 ，ECADCB， ，BD 综上所述，BD 的长为 4 或 ，故答案为：4 或 【点评】本题主要考查旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌
28、握旋转的性质与勾股定理是解题的关键三、解答题：（本大题共 10 小题，共 84 分）19（6 分）计算：【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解：原式1+2 4+12 2【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20（8 分）解下列一元二次方程；（1）x 24x50（2）（x3） 22（x 3）【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得（x3） 22（x3）0，然后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）（x5）（x+1）0，x50 或 x+10，所以 x15，x 21；（2）（x3） 22（x 3）0，（x3）（x32）
29、0，x30 或 x320，所以 x13，x 25【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法21（8 分）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中 a 的值为 25% ，“活动时间为 4 天”的扇形所对圆心角的度数为 108 ，该校初一学生的总人数为 200 ；（2）补全频数分布直方图；（3）如果该市共有初一
30、学生 6000 人，请你估计“活动时间不少于 4 天”的大约有多少人？【分析】（1）用 1 分别减去四个活动天数所占的百分比得到 a 的值，再用 360乘以“活动时间为 4 天”所占的百分比得到活动时间为 4 天”的扇形所对圆心角的度数，然后利用“活动时间为 2 天”的人数除以它所占的百分比得到该校初一学生的总人数；（2）先计算出“活动时间为 2 天”的人数，然后补全频数分布直方图；（3）用 6000 乘以（30%+25%+15%+5%）可估计出“活动时间不少于 4 天”的人数【解答】解：（1）a130%15% 10%15% 5%25%；“活动时间为 4 天”的扇形所对圆心角的度数36030%
31、108；该校初一学生的总人数2010%200（人）故答案为 25%；108；200；（2）“活动时间为 5 天”的人数为 20025%50（人），频数分布直方图如图：（3）6 000（30%+25%+15%+5%）4500（人）答：该市活动时间不少于 4 天的人数约是 4500 人【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题也考查了样本估计总体22（8 分）春节放假期间，小明和小华准备到夹山的夹谷山（记为 A）、黑林的刘少奇故居（记为 B）、金山的徐福祠（记为 C
32、）、宋庄的丝路小镇（记为 D）中的一景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同（1）小明选择去夹谷山旅游的概率为 （2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的概率【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）小明准备到夹山的夹谷山（记为 A）、黑林的刘少奇故居（记为B）、金山的徐福祠（记为 C）、宋庄的丝路小镇（记为 D）中的一个景点去游玩，他在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能
33、性相同，小明选择去夹谷山旅游的概率 ；故答案为 ；（2）画树状图分析如下：由图可知，两人选择的方案共有 16 种等可能的结果，其中都选择去宋庄的丝路小镇旅游的方案有 1 种，所以小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的概率是 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交AB 延长线于点 E连接 BD，EC：（1）求
34、证：四边形 BECD 是平行四边形；（2）若A50，则当BOD 100 时，四边形 BECD 是矩形；【分析】（1）由 AAS 证明BOECOD ，得出 OEOD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出BCDA50，由三角形的外角性质求出ODCBCD，得出 OCOD，证出 DEBC ，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC，AB CD ，OEBODC，又O 为 BC 的中点，BOCO，在BOE 和COD 中，BOECOD（AAS），OEOD ，四边形 BECD 是平行四边形；（2）解：若A50，则当BOD100时，四边形 BECD 是矩形理由如下：四边形
35、ABCD 是平行四边形，BCDA50，BOD BCD +ODC，ODC1005050BCD，OCOD，BOCO，ODOE，DEBC，四边形 BECD 是平行四边形，四边形 BECD 是矩形；故答案为：100【点评】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键24（8 分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点 B 处测得楼顶 A 的仰角为 22，他正对着城楼前进 21 米到达 C 处，再登上 3 米高的楼台 D 处，并测得此时楼顶 A 的仰角为 45（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，
36、城门大楼管理处都要在 A，B 之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出 A，B 之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）（参考数据：sin22 ，cos22 ，tan22 ）【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得 A，B 之间所挂彩旗的长度【解答】解：（1）作 AFBC 交 BC 于点 F，交 DE 于点 E，如右图所示，由题意可得，CDEF3 米，B22，ADE45，BC21 米，DECF，AEDAFB90，DAE45，DAEADE，AEDE ，设 AFa 米，则 AE（a3）米，tanB ，ta
37、n22 ，即 ，解得，a12，答：城门大楼的高度是 12 米；（2）B22，AF 12 米，sin B ，sin22 ，AB 32，即 A，B 之间所挂彩旗的长度是 32 米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答25（8 分）某商家销售一款商品，该商品的进价为每件 80 元，现在的售价为每件 145 元，每天可销售 40 件商场规定每销售一件需支付给商场管理费 5 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件若每件商品降价 x 元，每天的利润为 y 元，请完成以下问题的解答（）用含 x 的式子表示：
38、每件商品的售价为 （145x） 元；每天的销售量为 （2x+40） 件；（）求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？【分析】（I） 根据售价原售价降价可得销量每件商品的售价，根据 40降价后减少的量可得每天的销售量；（II）根据每天售出的件数每件盈利利润，即可得到的 y 与 x 之间的函数关系式，即可得出结论【解答】解：（I）由题意可知： 每件商品的售价为：（145x）元；每天的销售量为：（40+2x）件；故答案为：（145x），（40+2 x）；（II）根据题意可得：y（145x805）（2x+40），2x 2+80x+2400，2（x20） 2+3
39、200，a20，函数有最大值，当 x20 时，y 有最大值为 3200 元，此时售价为 14520125 元，售价为 125 元时利润最大，最大利润是 3200 元【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键26（8 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于D（1）以 AB 边上一点 O 为圆心， AD 为弦作 O（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（3）若（1）中的O 的半径为 2，O 与 AB 边的另一个交点为 E，BD
40、2 ，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积（结果保留根号和 ）【分析】（1）作线段 AD 的垂直平分线，交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作O，如图 1， O 即为所求作（2）连接 OD，如图 2由 OAOD，AD 平分CAB 可证到 ODA CAD，从而有ODAC，进而可以证到 ODBC ，即可得到直线 BC 与O 相切（3）连接 OD，如图 3在 RtODB 中运用三角函数可求出 DOB 的度数，就可求出扇形 ODE 的面积，就可求出所求图形面积【解答】解：（1）作线段 AD 的垂直平分线，交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作 O，如图 1，O
41、 即为所求作（2）直线 BC 与O 相切证明：连接 OD，如图 2OAOD ，OAD ODAAD 平分CAB，BADCADODA CAD ODACODB ACB ACB90，ODB 90 ，即 ODBC直线 BC 与O 相切（3）连接 OD，如图 3，则 ODBC（已证），阴影部分的面积就是所求图形的面积在 Rt ODB 中，OD2，BD2 ，tanDOB DOB 60 S 扇形 ODE S ODB ODDB 22 2 ，S 阴影 S ODB S 扇形 ODE2 线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积为 2 【点评】本题考查了线段垂直平分线的作法、切线的判定、平行线的判定与性质、扇形
42、的面积公式、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，有操作、有计算、有证明，具有一定的综合性，是一道好题27（10 分）如图，二次函数 yx 2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，顶点为点 P，经过 B、C 两点的直线为 yx+3（1）求该二次函数的关系式；（2）Q 是直线 BC 下方抛物线上一动点，QBC 的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时 Q 的坐标；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以点 C、P、M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先利用一
43、次函数解析式确定 B 点和 C 点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）作 QHy 轴交 BC 于 H，如图，设 Q（x，x 24x+3）（0x3），则H（x+3），利用三角形面积公式得到 SQBC 3HQ x2+ x，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）先配方得到 y（x 2） 21，则 P（2，1），抛物线的对称轴为直线 x2，设M（2，t），利用等腰三角形的性质，当 PMPC 时，即（t+1） 22 2+（13） 2；当 PMMC 时，即（t+1） 22 2+（t 3） 2；当 CMPC 时，即 22+（t3）22 2+（13） 2；然后分别解关于 t 的方程即可得到对应的 M
44、 点坐标【解答】解：（1）当 x0 时，yx +33，则 C（0，3），当 y0 时，x +30，解得 x3，则 B（3，0），把 B（3，0），C（0，3）代入 yx 2+bx+c 得 ，解得 ，抛物线的解析式为 yx 24x +3；（2）作 QHy 轴交 BC 于 H，如图，设 Q（x，x 24x+3）（0x3），则 H（x+3），HQx+3（x 24x +3） x 2+3x，S QBC 3HQ x2+ x （x ） 2+ ，当 x 时，S QBC 的值有最大值 ，此时 Q 点的坐标为（ ， ）；（3）yx 24x +3（x2） 21，则 P（2，1），抛物线的对称轴为直线 x2，设 M（
45、2，t），当 PMPC 时， PMC 为等腰三角形，即（t+1） 22 2+（13） 2，解得 t11+2，t 21 2 ，此时 M 点坐标为（2，1+2 ）或（2，12 ）；当 PMMC 时，PMC 为等腰三角形，即（t +1） 22 2+（t 3） 2，解得 t ，此时M 点坐标为（2， ）；当 CMPC 时，PMC 为等腰三角形，即 22+（t 3） 22 2+（13） 2，解得t11（舍去），t 27，此时 M 点坐标为（2，7）综上所述，M 点坐标为（2， 1+2 ）或（2，12 ）或（2， ）或（2，7）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函
46、数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题28（12 分）如图 1，D 是O 的直径 BC 上的一点，过 D 作 DEBC 交O 于 E、N，F是O 上的一点，过 F 的直线分别与 CB、DE 的延长线相交于 A、P，连结 CF 交 PD于 M， C P（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若A30，O 的半径为 4，DM1，求 PM 的长；（3）如图 2，在（2）的条件下，连结 BF、BM；在线段 DN 上有一点 H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与BFM 相似，求 DH 的长度【分析】（1）如图 1 中，作 PHFM 于 H想办法证明PFHPMH，COFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出 AD， PD 即可解决问题；（3）分两种情形当CDHBFM 时， 当 CDHMFB 时， ，分别构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图 1 中，作 PHFM 于 HPDAC，PHMCDM90，PMHDMC，CMPH
