1、2019 年广东省广州市番禺区洛浦沙滘中学中考数学模拟试卷（4 月）一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1实数 ，sin30， +1，2，（ ） 0，|3| 中，有理数的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个2我国研制的“曙光 3000 超级服务器”排在全世界运算速度最快的 500 台高性能计算机的第 80位，它的峰值速度达到每秒 403 200 000 000 次，用科学记数法表示它的峰值计算速度为每秒（ ）A0.40321012 次 B403.210 9 次C4.03210 11 次 D4.032 108 次3下列各式中计算正确的是（ ）At 10t9t B
2、（xy 2） 3xy 6 C（a 3） 2a 5 Dx 3x32x 64若 x2 是关于 x 的方程 3xk+10 的解，则 k 的值为（ ）A5 B1 C D55一列列车自全国铁路第 5 次大提速后，速度提高了 26 千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了 1 小时，已知甲、乙两站的路程是 312 千米，若设列车提速前的速度是 x千米/时，则根据题意所列方程正确的是（ ）A 1 B 1C 1 D 16关于 x 的方程 x2mx10 根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D不能确定7解方程 时，设 ，则原方程化为 y 的整式方程为（ ）A2y
3、 26y+10 By 23y+20 C2y 23y+10 Dy 2+2y308二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图，给出下列四个结论：4acb 20；4a+c2b ； 2ab0；abc0 ，其中正确结论的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9化简（ ）的结果是 10函数 y 的自变量 x 的取值范围是 11分解因式：2ac6ad+bc3bd 12若 x1、x 2 是一元二次方程 x22x 0 的两根，则 x12+x22 的值是 13若 x4+6x2，则 x 的取值范围为 14将抛物线 yx 2 沿 y 轴向上平移 2
4、个单位长度后的抛物线的表达式为 15方程 如果有增根，那么增根一定是 16如图是一组有规律的图案，图案 1 是由 4 个 组成的，图案 2 是由 7 个 组成的，那么图案 5 是由 个 组成的，依此，第 n 个图案是由 个 组成的三解答题（共 4 小题，满分 21 分）17（5 分）计算：18（5 分）解分式方程： 19（5 分）解不等式组 并将解集在数轴上表示20（6 分）先化简，再求值：（x2+ ） ，其中 x 四解答题（共 4 小题，满分 31 分）21（7 分）已知正比例函数 ykx 与反比例函数 y 的图象都过 A（m，1）点，求出正比例函数解析式及另一个交点的坐标22（8 分）已知
5、关于 x 的一元二次方程 x22（k 1）x +k210 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围；（2）若该方程的两根分别为 x1，x 2，且满足| x1+x2|2x 1x2，求 k 的值23（8 分）已知：直线 与 y 轴交于 A，与 x 轴交于 D，抛物线 y x2+bx+c 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、 C 两点，且 B 点坐标为 （1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AE 上一动点，当PBC 周长最小时，求点 P 坐标；（3）动点 Q 在 x 轴上移动，当QAE 是直角三角形时，求点 Q 的坐标；（4）在 y 轴上是否存在一点 M，使得点 M 到
6、 C 点的距离与到直线 AD 的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由24（8 分）小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买 5 本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过 28 元，且购买的笔记本的总页数不低于 340 页，两种笔记本的价格和页数如下表为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案？请说明理由 大笔记本 小笔记本价格（元/本） 6 5页数（页/本） 100 602019 年广东省广州市番禺区洛浦沙滘中学中考数学模拟试卷（4 月）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1【分析】根据有理数的概念判断【解答】解： 是
7、有理数；sin30 是有理数；+1 是无理数；2是无理数；（ ） 01 是有理数；|3|3 是有理数有理数有 ，sin30 ，（ ） 0，|3| ，共四个故选：C【点评】解答此题要明确有理数和无理数的概念和分类有理数包括正整数，负整数，正分数，负分数无理数是无限不循环小数2【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便确定 a10n（1|a| 10，n 为整数）中 n 的值是易错点，由于 403 200 000 000 有 12 位，所以可以确定 n12111【解答】解：403 200 000 0004.03210 11故选：C【点评】把一个数 M 记成
8、a10n（1|a|10，n 为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法规律：（1）当|a| 1 时，n 的值为 a 的整数位数减 1；（2）当|a| 1 时，n 的值是第一个不是 0 的数字前 0 的个数，包括整数位上的 03【分析】根据同底数幂的乘法和除法的法则以及幂的乘方和积的乘方的法则计算即可【解答】解：A、t 10t9t，正确；B、（xy 2） 3x 3y6，错误；C、（a 3） 2a 6，错误；D、x 3x3x 6，错误；故选：A【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，熟记法则是解题的关键4【分析】把 x2 代入方程计算即可求出 k 的值【解答】解：把 x2 代
9、入方程得：6k+10，解得：k5，故选：A【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值5【分析】设列车提速前的速度是 x 千米/ 时，根据该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1 小时，列出方程解答即可【解答】解：设列车提速前的速度是 x 千米/ 时，根据题意可得： ，故选：A【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程6【分析】先计算（m ） 241（1）m 2+4，由于 m2 为非负数，则 m2+40，即0，根据一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac 的意义即可判断方程根的
10、情况【解答】解：（m） 2 41（1）m 2+4，m 20，m 2+40，即 0，方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根7【分析】设 ，则 ；然后将 y 与 代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可【解答】解： ， ，由原方程，得y+2 3；方程的两边同时乘以 y，得y2+23y，移项，得y23y+20故选：B【点评】本题主要考查了换元法解分式方程用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能
11、用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧8【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由图象可知：0，b 24ac0，4acb 20，故 正确；当 x2 时，y0，4a2b+c0，4a+c2b，故错误；由对称轴可知： 1，2ab0，故正确；由图象可知：a0，c0，对称轴可知： 0，b0，abc0，故正确；故选：B【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9【分析】根据相反数的定义作答【解答】解：（ ） 故答案是： 【点评】考查了相反数求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如
12、 a 的相反数是a，m+n 的相反数是（m +n），这时 m+n 是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号10【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式求解即可【解答】解：根据题意得 2x+10，x30，解得 x 且 x3故答案为：x 且 x3【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于 0，被开方数大于等于0 列式计算即可，是基础题，比较简单11【分析】直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可【解答】解：2ac6ad+bc 3bdc（2a+b）3d（2a+b）（c3d）（2a+b）故答案为：（c3d）（2a+b）【点评】此题主要考查了分组分解法分解
13、因式，正确分组是解题关键12【分析】由韦达定理得出 x1+x22，x 1x2 ，代入 x12+x22（x 1+x2） 22x 1x2 计算可得【解答】解：x 1、x 2 是一元二次方程 x22x 0 的两根，x 1+x22，x 1x2 ，则 x12+x22（ x1+x2） 22x 1x242（ ）4+59，故答案为：9【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握 x1，x 2 是一元二次方程ax2+bx+c0（ a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 13【分析】直接利用二次根式的性质得出关于 x 的不等关系进而得出答案【解答】解： x4+6x2，x40，x60，解得：4x6故答案
14、为：4x6【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键14【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加 1 可得新函数解析式yx 2+2【解答】解：将抛物线 yx 2 图象沿 y 轴向上平移 2 个单位，yx 2+2故所得图象的函数解析式是：yx 2+2故答案为：yx 2+2【点评】主要考查了函数图象的平移，属于基础题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式15【分析】先把方程两边同乘以 x1 得到 m1+2（x 1），整理得 m2x1，又方程如果有增根，增根只能为 x1，然后把 x 1 代入 m2x1，可解得 m1，所
15、以当 m1 时，分式方程有增根，增根为 x1【解答】解：去分母得 m1+2（x 1），整理得 m2x1，方程 有增根，x10，即 x1，m2111，即 m1 时，分式方程有增根，增根为 x1故答案为 x1【点评】本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边不成立（或分母为 0），那么这个未知数的值叫分式方程的增根16【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多 3 个基础图形，然后写出第 5 个和第 n 个图案的基础图形的个数即可【解答】解：由图可得，第 1 个图案基础图形的个数为 4，第 2 个图案基础图形的个数为 7，74+3，第 3 个
16、图案基础图形的个数为 10，104+32，第 5 个图案基础图形的个数为 4+3（51）16，第 n 个图案基础图形的个数为 4+3（n1）3n+1故答案为：16，3n+1【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多 3 个基础图形”是解题的关键三解答题（共 4 小题，满分 21 分）17【分析】先化简二次根式、计算零指数幂和负整数指数幂、取绝对值符号，再计算加减可得【解答】解：原式2 1+4+3 +3【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂及绝对值的性质18【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到
17、 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：5x+15x1，移项合并得：4x16，解得：x4，经检验 x4 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验19【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解【解答】解： ，解得 x6，解得 x2，所以不等式组的解集为6x2，用数轴表示为【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集20【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（ + ）
18、2（x+2）2x+4，当 x 时，原式2（ ）+41+43【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式四解答题（共 4 小题，满分 31 分）21【分析】先把点 A 坐标代入反比例函数，求出 m 的值，再把点 A 代入正比例函数即可求出正比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，求解即可得到另一个交点的坐标【解答】解：y 图象过 A（m，1）点， 1，m3，即 A（3，1）（1 分）将 A（3，1）代入 ykx，得 k ，（2 分）正比例函数解析式为 y x两函数解析式联立，得解得 ， （4
19、分）另一交点为（3，1）（5 分）说明：若由“A 点关于原点 O 对称的点是直线与双曲线的另一个交点“而直接写出另一交点坐标为（3，1）也是正确的【点评】本题考查了列方程组求函数的交点坐标，这是求函数交点的常用方法同学们要掌握解方程组的方法22【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b 24ac 的值大于 0，建立关于 k 的不等式，解不等式即可求出 k 的取值范围；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到 x1+x22（k1），x 1x2k 21，再将它们代入|x 1+x2|2x 1x2，即可求出 k 的值【解答】解：（1）2 （k1） 24（k 21）4k 28k+4
20、 4k2+48k+8原方程有两个不相等的实数根，8k+80，解得 k1，即实数 k 的取值范围是 k1；（2）由根与系数的关系，x 1+x22（k 1），x 1x2k 2 1，|x 1+x2|2x 1x2，|2 （k1）| 2k 22，k1，22k2k 22，化简得 k2k20，k1（舍）或 k2，k2【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0 根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2） 0 方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根；（4）x 1+x2 ；（5）x 1x2 23【分析】（1）利用直线 与 y 轴交于 A，求得点 A 的
21、坐标，再利用 B 点的坐标利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；（2）求出点 C 关于直线 AE 的对称点 F 的坐标，然后求出直线 BF 的解析式后求与直线 AE 的交点坐标即可；（3）设出 P 点的坐标，然后表示出 AP、EP 的长，求出 AE 的长，利用勾股定理得到有关 P 点的横坐标的方程，求得其横坐标即可；（4）设出 M 点的坐标，利用 C 点的距离与到直线 AD 的距离恰好相等，得到有关 M 点的纵坐标的方程解得 M 点的纵坐标即可【解答】解：（1）直线 与 y 轴交于 A，A 点的坐标为（0，2），B 点坐标为 （1，0） ；（2）作出 C 关于直线 AE 的对称点 F，由 B
22、和 F 确定出直线 BF，与直线 AE 交于 P 点，利用DFC 面积得出 F 点纵坐标为： ，利用勾股定理得出 ，F（ ， ），直线 BF 的解析式为：y 32x +32，可得：P（ ）；（3）根据题意得： x+2 x2 x+2，解得：x0 或 x6，A（0，2），E（6，5），AE3 ，设 Q（x，0），若 Q 为直角顶点，则 AQ2+EQ2AE 2，即 x2+4+（x 6） 2+2545，此时 x 无解；若点 A 为直角顶点，则 AQ2+AE2EQ 2，即 x2+4+45（x 6） 2+25，解得：x1，即 Q（1，0）；若 E 为直角顶点，则 AQ2AE 2+EQ2，即 x2+445+
23、（x6） 2+25，解得：x ，此时求得 Q（ ，0）；Q（1，0）或（ ，0）（4）假设存在，设 M 坐标为（ 0，m ），则 OM|m|，此时 MDAD，OC4，AO2，OD4，在直角三角形 AOD 中，根据勾股定理得： AD2 ，且 AM2m，CM ，MD MC，根据勾股定理得： ，即（2m） 2（2 ） 2m 2+16，解得 m8，则 M（0，8）【点评】本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程24【分析】设购买大笔记本为 x 本，则购买小笔记本为（5x）本不等关系：5 本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过 28 元；购买的笔记本的总页数不低于 340 页【解答】解：设购买大笔记本为 x 本，则购买小笔记本为（5x）本依题意，得 ，解得，1x3x 为整数，x 的取值为 1，2，3当 x1 时，购买笔记本的总金额为 61+5426（元）；当 x2 时，购买笔记本的总金额为 62+5327（元）；当 x3 时，购买笔记本的总金额为 63+5228（元）应购买大笔记本 l 本，小笔记本 4 本，花钱最少【点评】正确找到题目中的不等关系是解决此题的关键
