1、2019 年湖北省武汉市第四十一中学中考数学模拟试卷（4 月份）一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）116 的算术平方根是（ ）A4 B4 C4 D22使分式 有意义的 x 的取值范围为（ ）Ax2 Bx2 Cx0 Dx 23下列运算正确的是（ ）Ax 2x3x 6 B（x 2） 3x 5 C（xy） 3x 3y Dx 6x2x 44下列事件中，是必然事件的是（ ）A13 个人中至少有两个人生肖相同B车辆随机到达一个路口，遇到红灯C如果 a2b 2，那么 abD将一枚质地均匀的硬币向上抛高，落下之后，一定正面向上5若 a2b 2 ，a+ b ，则 ab 的值为（ ）A B
2、 C1 D26已知点 P（4，3）关于原点的对称点坐标为（ ）A（4，3） B（4，3） C（4，3） D（4，3）7如图是由棱长相等的小正方体组成的某几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图不可能是（ ）A B C D8近年来，我国持续大面积雾霾天气让环保和健康问题成为焦点为进一步普及环保和健康知识，我市某中学举行了“建设宜居白银，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下表则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ）成绩（分） 60 70 80 90 100人数 4 8 12 11 5A70 分 80 分 B80 分 80 分 C90 分 80 分 D80 分 90 分9以下各图放置的
3、小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与ABC相似的三角形图形为（ ）A B C D10如图，一个半径为 r 的圆形纸片在边长为 a 的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）A B C Dr 2二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11计算：2（7）的结果为 12已知 ，则实数 AB 13从甲、乙、丙、丁 4 名学生中随机抽取 2 名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概率为 14在矩形 ABCD 中，AD 12，E 是 AB 边上的点，AE 5，点 P 在 AD 边上，将AEP 沿 FP 折叠，使得点 A
4、 落在点 A的位置，如图，当 A与点 D 的距离最短时，APD 的面积为 15边长为 6 的正六边形的边心距为 16二次函数 yx 2+2x3 与 x 轴两交点之间的距离为 三解答题（共 8 小题，满分 72 分）17（8 分）解下列方程：（1） 1（2） 318（8 分）已知：如图，C 是线段 AB 的中点，AB，ACEBCD求证：ADBE 19（8 分）某校想了解学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校 40 名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；（2）补全条形统计图；（3
5、）该校共有 800 名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是 ，乒乓球的人数有多少人？20（8 分）班委会决定选购圆珠笔、钢笔共 22 支，送给结对的山区学校的同学，钢笔每支 6 元，圆珠笔每支 5 元（1）若购买钢笔、圆珠笔刚好用去 120 元，问钢笔、圆珠笔各买了多少支？（2）若购钢笔 9 折优惠，圆珠笔 8 折优惠，且购买钢笔的费用不低于圆珠笔的费用，至少要购买多少支钢笔？21（8 分）如图AB 为 O 的直径CA ，CD 分别切O 于 A、D，CO 的延长线交O 于 M，连 BD、DM （1）求证：BDCM；（2）若 sinB 求 tanBDM22（10 分）如图，已
6、知一次函数 ymx4（m0）的图象分别交 x 轴，y 轴于 A（4，0），B两点，与反比例函数 y （k0）的图象在第二象限的交点为 C（5，n）（1）分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点 P 在该反比例函数的图象上，点 Q 在 x 轴上，且 P，Q 两点在直线 AB 的同侧，若以B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点 P 和点 Q 的坐标23（10 分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在ABC 中，ACB 90，AC BC，在三角形内取一点D，ADAC，CAD30 ，求ADB小明通过探究发现，DABDCB15，BCAD ，这样就具备了一边一角的图形特
7、征，他果断延长 CD 至点 E，使 CEAB ，连接 EB，造出全等三角形，使问题得到解决（1）按照小明思路完成解答，求ADB；（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图 2，ABC 中，AB AC ，点 D、E、F 分别为 BC、AC、AB 上一点，连接 DE，延长FE、DF 分别交 BC、CA 延长线于点 G、H ，若DHC EDG2G在图中找出与DEC 相等的角，并加以证明；若 BGkCD，猜想 DE 与 DG 的数量关系并证明24（12 分）如图，抛物线 yx 2+（a+2）x+33a 交 x 轴于 A、B 点（A 在 B 的左侧），交 y轴于 C 点（1）当 a0 时，y 轴正
8、半轴上一点 P（0，4）试求出 A、B、C 三点的坐标，并指出这三点中，无论 a 取何值，该点的坐标均不会改变的点是哪一个？若过 P 点的直线与抛物线有且只有一个交点 Q，试求PQB 的面积（2）若记 P（0，t）（P 位于 C 点上方），过 P 分别作直线与抛物线只有唯一交点，分别记作PM、PN，M 与 N 分别是交点，直线 MN 交 y 轴于 D，试求 的值2019 年湖北省武汉市第四十一中学中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】利用算术平方根的定义判断即可【解答】解：16 的算术平方根是 4，故选：A【点评】此题
9、考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键2【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案【解答】解：x+20，x2故选：A【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别判断得出答案【解答】解：A、x 2x3x 5，故此选项错误；B、（x 2） 3x 6，故此选项错误；C、（xy） 3x 3y3，故此选项错误；D、x 6x2x 4，正确故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键4【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件【解答
10、】解：A13 个人中至少有两个人生肖相同是必然事件；B车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；C如果 a2b 2，那么 ab 是随机事件；D将一枚质地均匀向上抛出，落下之后，一定正面向上是随机事件；故选：A【点评】本题主要考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件5【分析】根据 a2b 2（a+b）（ab） ，a+ b 即可求得 ab 的值【解答】解：a 2b 2（a+b）（ab） ，a+ b ，ab ，故选：B【点评】本
11、题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点6【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案【解答】解：P（4，3）关于原点的对称点坐标为（4，3），故选：D【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键7【分析】主视图和俯视图将决定组合几何体的层数，列数及行数，由此即可判断【解答】解：由主视图可得此组合几何体有三列，右边第一列出现 2 层；由俯视图可得此组合几何体有 2 行，左视图应该有 2 列，综上所述可得选项中只有 C 的不符合故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正
12、面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从上面看到的视图8【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个【解答】解：由表可知，80 分出现次数最多，所以众数为 80 分；由于一共调查了 4+8+12+11+540 人，所以中位数为第 20、21 个数据的平均数，即中位数为 80（分），故选：B【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中
13、位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数9【分析】根据已知分别求得各个小三角形的边长，从而根据三组对应边的比相等的三个三角形相似，得到与ABC 相似的三角形图形【解答】解：设每个小正方形的边长为 1，则ABC 的各边长分别为：2， ， ，同理求得：A 中三角形的各边长为： ，1， ，与ABC 的各边对应成比例，所以两三角形相似；故选：A【点评】此题是识图题，既考查相似三角形判定，又考查观察辨别能力，同时还考查计算能力10【分析】过圆形纸片的圆心 O1 作两边的垂线，垂足分别为 D，E，连 AO1，则在 RtADO 1 中，可求得 AD r四边形 ADO
14、1E 的面积等于三角形 ADO1 的面积的 2 倍，还可求出扇形 O1DE的面积，所求面积等于四边形 ADO1E 的面积减去扇形 O1DE 的面积的三倍【解答】解：如图，当圆形纸片运动到与A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心 O1 作两边的垂线，垂足分别为 D，E，连 AO1，则 RtADO 1 中， O1AD30，O 1Dr，AD r则 SADO1 O1DAD r2，S 四边形 ADO1E2S ADO1 r2由题意，DO 1E120，得 S 扇形 O1DE r2，圆形纸片不能接触到的部分的面积为 3（ r2 r2）（ 3 ）r 2故选：A【点评】本题考查了轨迹，扇形面积的计算、等边三角形
15、的性质和切线的性质，求出四边形ADO1E 的面积与扇形 O1DE 的面积是解题的关键二填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）11【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数依此计算即可求解【解答】解：2（7）5故答案为：5【点评】考查了有理数的减法，方法指引：在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； 将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；12【分析】先根据分式的加减运算法则计算出 ，再根据对应相等得出关于 A，B 的方程组，解之求得 A，B 的值，代入计算可得【解答】解： + ，根据题意知， ，解得： ，AB71
16、017，故答案为：17【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和解二元一次方程组的能力13【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：画树形图得：一共有 12 种情况，抽取到甲和乙的有 2 种，P（抽到甲和乙） 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比14【分析】连接 DE，如图， DE 13，利用折叠性质得 EAEA5，根据三角形三边关系得 ADDE EA（当
17、且仅当 A点在 DE 上时，取等号），于是当 A与点 D 的距离最短时，A点在 DE 上，则 DA8，设 PAx，则 PAx，PD12x ，在 RtDPA中利用勾股定理得 x2+82（12x ） 2，然后解方程求出 x 后利用三角形面积公式计算即可【解答】解：连接 DE，如图， DE 13，将AEP 沿 FP 折叠，使得点 A 落在点 A的位置，EAEA5，ADDE EA （当且仅当 A点在 DE 上时，取等号），当 A与点 D 的距离最短时， A点在 DE 上，DA1358，设 PAx，则 PAx，PD 12x ，在 Rt DPA中，x 2+82（12x） 2，解得 x ，APD 的面积 8
18、 故答案为 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质和勾股定理15【分析】已知正六边形的边长为 6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可【解答】解：如图所示，此正六边形中 AB6，则AOB60；OAOB ，OAB 是等边三角形，OGAB，AOG 30 ，OGOA cos306 3 ，故答案为 3 【点评】本题考查了正多边形和圆的计算问题，属于常规题16【分析】先解方程 x2+2x30 得抛物线与 x 轴的两交点坐标，然后计算两点之间的距离即可【
19、解答】解：当 y0 时，x 2+2x30，解得 x13，x 21，所以抛物线与 x 轴的两交点坐标为（3，0），（1，0），所以二次函数 yx 2+2x3 与 x 轴两交点之间的距离1（3）4故答案为 4【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程三解答题（共 8 小题，满分 72 分）17【分析】（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 求解可得；（2）先将分母化为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得【解答】解：（1）2（x3）63（
20、2x+4），2x666x+12 ，2x6x12+6+6 ，4x24，x6；（2） 3，5x10（2x+2）3，5x102x23，5x2x3+10+2 ，3x15，x5【点评】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向xa 形式转化18【分析】根据题意得出ACDBCE，AC BC ，进而得出 ADCBEC 即可得出答案【解答】证明：C 是线段 AB 的中点，ACBCACEBCD，ACDBCE，在ADC 和BEC 中，ADCBEC（ASA）ADBE【点评】本题考查三角形全等的性质和
21、判定方法以及等边三角形的性质判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件19【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得“经常参加”所对应的圆心角的度数；（2）根据统计图中的数据可以计算出喜爱足球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得喜爱乒乓球的人数【解答】解：（1）“经常参加”所对应的圆心角的度数为：360（115%45% ）144，故答案为：144；（2）爱好足球的有：40（115%45% ）643 21，补全的条形统
22、计图，如右图所示；（3）由条形统计图可得，全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球，故答案为：乒乓球；喜爱乒乓球的有：800（115%45% ） 120（人），答：喜爱乒乓球的有 120 人【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答20【分析】（1）购买圆珠笔 x 支，钢笔 y 支，根据题意列出 x 和 y 的二元一次方程组，解方程组求出 x 和 y 的值即可；（2）设购买 x 支钢笔，根据“购买钢笔的费用不低于圆珠笔的费用”列出关于 x 的不等式，解之可得【解答】解：（1）设钢笔、圆珠笔各买了 x
23、 支、y 支由题知解得答：钢笔、圆珠笔各买了 10 支、12 支；（2）设购买 x 支钢笔，根据题意，得：6x0.95（22x）0.8，解题：x ，x 为整数，x 最小为 10，答：至少要购买 10 支钢笔【点评】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型21【分析】（1）连结 OD，如图，根据切线的性质得 OAAC，OD CD，易证得 RtOACRtODC，则AOCDOC，由圆周角定理得AOD2OBD ，而OBDODB，所以AOCDOCOBDODB，则可判断 CMBD ，（2）由 CMBD，所以BDMM，而DOC2M，则DOC
24、2BDM，即B2BDM，从而求得AOC2BDM，作 OE 平分AOC，交 AC 于 E，作 EFOC，得出 EFAE，OAOF，AOEBDM，根据已知设 AC4x，OC5x，则 OA3x，根据勾股定理求得 OA，进而即可求得 tanBDM【解答】证明：（1）连结 OD，如图，CA、CD 分别与 O 相切于 A、D ，OAAC，ODCD，在 Rt OAC 和 Rt ODC 中，RtOAC RtODC（HL），AOCDOC，AOD 2 AOC，AOD 2 OBD，AOCOBD，BDCM（2）CMBD，BDMM，ODOB OM，ODM OMD ，ODBBDOC2BDM，B2BDMAOCB，作 OE
25、平分AOC，交 AC 于 E，作 EFOC，EFAE，OAOF，AOEBDM，F 在圆上，设 AEEFy ，sinB ，sinAOC ，设 AC4x， OC5x，则 OA3x ，在 RTEFC 中，EC4x y，CF5x 3x2x，（4xy） 2y 2+（2x） 2，解得，y x，tanBDMtanAOE 【点评】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形等，也考查了圆周角定理作出辅助线构建直角三角形是关键22【分析】（1）将点 A 坐标代入 ymx4（m0），求出 m，得出直线 AB 的解析式，进而求出点 C 坐标，再代入反比例函数解析式中，求出 k，即可
26、得出结论；（2）先求出点 B 坐标，设出点 P，Q 坐标，分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解即可得出结论【解答】解：（1）点 A 是一次函数 ymx4 的图象上，4m40，m1，一次函数的解析式为 yx4，点 C（5，n）是直线 yx4 上，n（5）41，C（5，1），点 C（5，1）是反比例函数 y （k 0）的图象上，k515，反比例函数的解析式为 y ；（2）由（1）知，C（5，1 ），直线 AB 的解析式为 yx4，B（0，4），设点 Q（q，0），P（p， ），以 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，且 P，Q 两点在直线 AB 的同侧，当 BP 与 C
27、Q 是对角线时，BP 与 CQ 互相平分， ， ，P（1，5），Q（4，0）当 BQ 与 CP 是对角线时，BQ 与 CP 互相平分， ， ，P（1，5），Q（4，0 ），此时，点 C，Q，B，P 在同一条线上，不符合题意，舍去，即以 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，点 P（1，5），点 Q（4，0）【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，用方程组的思想解决问题是解本题的关键23【分析】（1）根据辅助线证得DABBCE，则ADBCBE（还不能直接求得，考虑全等的其他等边等角），ABDE，BDBE，得到BDE EABD考虑引入未知数，设CBDx，则 E
28、 ABD BDEx+15，利用 ABCABD+CBD 求得 x，再由周角求得结果（2） DEC 是DEH 的外角，等于DHC +HDE ，而 DHCEDG，等量代换得DECEDG+HDEHDC 由条件 DHCEDG2 G，在 FG 上方构造 2G 即FGM FGD，则EDG MGD，令 M 落在 BA 延长线上，加上B ACB，即得BGM CDE，有又通过三角形内角和求得M HDC ，证得MFGDFG ，有 MGDG ，得证【解答】解：（1）延长 CD 至点 E，使 CEAB ，连接 EB，ACB90，ACBCCABCBA45ADAC，CAD30BCAD，ACDADC 75，DAB CAB C
29、AD15BCDACBACD15即DABBCD在DAB 与BCE 中，DABBCE（SAS）ADBCBE，ABDE，BDBEBDEE设CBDx，则ABD 45x ，BDEBCD+CBD15+xABDEBDE 15 +xABCABD+ CBD4515+x+x，得：x 15CDB180BCDCBD1801515150ADB360ADCCDB36075150135（2） HDCDEC，证明如下：DHCEDGHDCHDE+EDGHDE +DHCDECHDCDEC猜想 DGkDE，证明如下：在 FG 的上方作FGM FGD，使FGM 的一边与 BA 延长线交于 MDHCEDG2FGDDHCEDGMGDAB
30、ACBACBM180BMGD180ACB EDCDECMHDC在MFG 与DFG 中，MFGDFG（AAS ）MG DGBACB，EDG MGDBGMCDEBGkCDDGMG kDE【点评】本题考查三角形内角和定理，外角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解题关键是（1）通过已知的边角关系作辅助线构造全等；（2）通过 2 倍角的条件构造相等的角，再用相等的角证明相似24【分析】（1）问求抛物线与 x、y 轴的交点；直线与抛物线只有一个公共点时，注意交点方程0 以及左右两种情况，求出点 Q 坐标，即可求出对应图形面积（2）与 问相同的解决思路，设 PM、PN 直线，利用直线与抛物
31、线只有公共点时 0，列出方程求解，获得 M、N 两点，从而获得 MN 直线和点 D 坐标，分别表示出 PC 和 CD 线段进行比较即可【解答】解：（1）当 a0 时，yx 2+2x+3，顶点坐标为（1，4）当 y0 时，x 2+2x+30，解得 x13，x 21A（1，0）、B（3，0）、C （0，3）令 y0，则x 2+（a+2 ）x +33a0，解得 x13，x 2 a1B（3，0）不会改变设直线： ykx+4 ，联立 ，整理得 x2+（k2）x+10（k2） 240，解得 k14，k 20当 k0 时，直线与 x 轴平行，Q 为顶点，PQ1，S PQB 142当 k4 时， ，解得Q（1，0），S PQB 448（2）设直线 PM 的解析式为 ymx+t联立 ，整理得 x2（a+2m ）x+t +3a30（a+2m ） 241（t +3a3）0，a+2 m方程可化简：解得 ，x 2可以得到 MN 的解析式：y（a+2）x+66at D（0，66at）P（0，t）、C（0，33a），PCt3+3a，CD （3 3a）（66at）t 3+3aPCCD【点评】此题关键在于理解直线与抛物线只有一个交点时0，以及分类讨论左右两种情况，难点在于（2）给出的已知点较少，需要用多参数进行计算，计算量比较大，很考究学生的计算能力，一道很好的压轴题
