1、2019 年山东省济南市平阴县区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1 的相反数是（ ）A B C D22014 年德州市农村中小学校含标准化工程开工学校项目 356 个，开工面积 56.2 万平方米，开式面积量创历年最高，56.2 万平方米用科学记数法表示正确的是（ ）A5.6210 4m2 B56.210 4m2C5.6210 5m2 D0.562 104m23下列运算正确的是（ ）Ax 3+x2x 5 B2x 3x22x 6 Cx 6x3x 2 D（3x 3） 29x 64小明从正面观察下图所示
2、的两个物体，看到的是（ ）A BC D5在下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A BC D6如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为 a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为 b，关于 a、b 大小的正确判断是（ ）Aab Bab Cab D不能判断7如图，将直尺与含 30角的三角尺摆放在一起，若120，则2 的度数是（ ）A50 B60 C70 D808已知，a 是关于 m 的方程 m22m30 的一个根，则 2a24a2 的值为（ ）A4 B5 C6 D79若函数 ykxb 的图象如图所示，则关于 x 的不
3、等式 k（x1）b0 的解集为（ ）Ax2 Bx2 Cx3 Dx 310如图，在ABC 中，ACBC ，ABC 30，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BDBA，则tan DAC 的值为（ ）A2+ B2 C3+ D311如图所示，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）、B （1，0），直线x0.5 与此抛物线交于点 C，与 x 轴交于点 M，在直线上取点 D，使 MDMC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：ab 0； 当 2x1 时，y0；四边形 ACBD 是菱形； 9a 3b+c 0你认为其中正确的是（ ）A B C D12如图，在四边
4、形 ABCD 中，DCAB，AD4，CD3，sinAsinB ，动点 P 自 A 点出发，沿着边 AB 向点 B 匀速运动，同时动点 Q 自点 A 出发，沿着边 ADDCCB 匀速运动，速度均为每秒 1 个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点 P 运动 t（秒）时，APQ 的面积为 s，则 s 关于 t 的函数图象是（ ）A BC D二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）13分解因式：2x 38x 14计算： 2+ （2） 0 15如图，点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点，AC2，则图中阴影部分的面积是 16如图，OAB 与OCD 是以点 O
5、 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，OCD90，COCD，若 B（1，0），则点 C 的坐标为 17如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 A 的坐标为（4，0），点 B 在 y 轴上，若反比例函数y （k 0）的图象过点 C，则该反比例函数的表达式为 ；18对于平面直角坐标系中任意两点 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），|x 1x 2|+|y1y 2|为 M，N 两点的直角距离，作：d（M，N ）如：M（2，3），N（1，4），则 d（M，N）|21|+|34| 8若 P（x 0y 0）是一定点，Q（x，y）是直线 ykx +b 上的一动点，称d（P， Q）的最小值为 P
6、到直线 ykx+b 的直角距离则 P（0，3）到直线 x2 的直角距离为 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（6 分）化简求值：a（a2b）（ab） 2，其中 a1，b220（6 分）解不等式组： 21（6 分）在平行四边形 ABCD 中，将BCD 沿 BD 翻折，使点 C 落在点 E 处，BE 和 AD 相交于点 O，求证：OAOE22（8 分）如图，AB 是 O 的直径，PB 与 O 相切于点 B，连接 PA 交O 于点 C，连接 BC（1）求证：BACCBP；（2）求证：PB 2PCPA ；（3）当 AC6，CP3 时，求 sin
7、PAB 的值23（8 分）某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 420km 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了 50%，行驶时间缩短了 2h，求汽车原来的平均速度24（10 分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整（2）此次比
8、赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率25（10 分）如图，在直角坐标系中，RtABC 的直角边 AC 在 x 轴上，ACB90，AC1，反比例函数 y （k0）的图象经过 BC 边的中点 D（3 ，1）（1）求这个反比例函数的表达式；（2）若ABC 与EFG 成中心对称，且EFG 的边 FG 在 y 轴的正半轴上，点 E 在这个函数的图象上求 OF 的长；连接 AF，BE，证明四边形 ABEF 是正方形26（12 分）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一
9、点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA，EC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EAEC；（2）如图 2，若点 P 在线段 AB 的中点，连接 AC，判断ACE 的形状，并说明理由；（3）如图 3，若点 P 在线段 AB 上，连接 AC，当 EP 平分AEC 时，设 ABa，BPb，求a：b 及AEC 的度数27（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 C（0，4），点 A、B 在 x 轴上，并且OAOC4OB，动点 P 在过 A、B、C 三点的抛物线上（1）求抛物线的函数表达式；（2）在直线 AC 上方的抛物线上，是否
10、存在点 P，使得PAC 的面积最大？若存在，求出 P 点坐标及PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由（3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得ACQ 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年山东省济南市平阴县区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1【分析】根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号【解答】解：根据概念， 的相反数是（ ），即 故选：C【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个
11、正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 02【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：56.2 万5620005.6210 5，故选：C【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则
12、分别计算得出答案【解答】解：A、x 3+x2，无法计算，故此选项错误；B、2x 3x22x 5，故此选项错误；C、x 6x3x 3，故此选项错误；D、（3x 3） 29x 6，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键4【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解：从正面看易得第一个图形为矩形，第二层图形为正方形故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图5【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称
13、图形的定义即可判断出【解答】解：A、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键6【分析】分别利用概率公式将 a 和 b 求得后比较即可得到正确的选项【解答】解：正六
14、边形被分成相等的 6 部分，阴影部分占 3 部分，a ，投掷一枚硬币，正面向上的概率 b ，ab，故选：B【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是分别利用概率公式求得 a、b 的值，难度不大7【分析】首先根据三角形外角的性质求出BEF 的度数，再根据平行线的性质得到2 的度数【解答】解：BEF 是AEF 的外角，120，F30，BEF 1+F50，ABCD，2BEF50，故选：A【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大8【分析】利用一元二次方程的解的定义得到 a22a3，再把 2a24a2 变形为 2（a 22a）2，然后利用整体代入的方法计算【
15、解答】解：a 是关于 m 的方程 m22m30 的一个根，a 22a30，a 22a3，2a 24a22（a 22a）22324故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解9【分析】先把（2，0）代入 ykxb 得 b2k，则不等式化为 k（x1）2k0，然后在 k0的情况下解不等式即可【解答】解：把（2，0）代入 ykx+b 得 2kb0，则 b2k，所以 k（x1）b0 化为 k（x1）2k0，即 kx3k0，因为 k0，所以 x3，故选：C【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 ykx
16、+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykx +b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合10【分析】通过解直角ABC 得到 AC 与 BC、AB 间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求 tanDAC 的值【解答】解：如图，在ABC 中，AC BC ，ABC 30，AB2AC，BC ACBDBA，DCBD+BC（2+ ）AC，tanDAC 2+ 故选：A【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题11【分析】由抛物线与 x 轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为 x 0.5，由此即可得出 ab，正确；
17、根据抛物线的开口向下以及抛物线与 x 轴的两交点坐标，即可得出当2x 1 时， y0，正确；由 AB 关于 x0.5 对称，即可得出 AMBM，再结合MCMD 以及 CDAB ，即可得出四边形 ACBD 是菱形，正确；根据当 x3 时，y0，即可得出 9a3b+c0，错误综上即可得出结论【解答】解：抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）、B（1，0），该抛物线的对称轴为 x 0.5，ab，ab0，正确；抛物线开口向下，且抛物线与 x 轴交于点 A（2，0）、B（1，0），当2x1 时，y 0，正确；点 A、B 关于 x0.5 对称，AMBM，又MCMD ，且 CDA
18、B ，四边形 ACBD 是菱形，正确；当 x3 时，y0，即 y9a3b+c 0，错误综上可知：正确的结论为 故选：D【点评】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正确本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键12【分析】过点 Q 做 QMAB 于点 M，分点 Q 在线段 AD、DC 、CB 上三种情况考虑，根据三角形的面积公式找出 s 关于 t 的函数关系式，再结合四个选项即可得出结论【解答】解：过点 Q 作 QMAB 于点 M当点 Q 在线段 AD 上时，如图 1 所示，APAQ
19、 t（ 0t4），sinA ，QM t，s APQM t2；当点 Q 在线段 CD 上时，如图 2 所示，APt（4t7），QM AD sinA ，s APQM t；当点 Q 在线段 CB 上时，如图 3 所示，APt（7t +3（利用解直角三角形求出 AB +3），BQ4+3+4t11t，sinB ，QM （11t），s APQM （t 211t），s （t 211t）的对称轴为直线 t t11，s0综上观察函数图象可知 D 选项中的图象符合题意故选：D【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及三角形的面积，分点 Q 在线段 AD、DC、CB 上三种情况找出 s 关于 t 的函数关系式是解题的
20、关键二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）13【分析】先提取公因式 2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式【解答】解：2x 38x ，2x（x 24），2x（x+2）（ x2）【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式14【分析】原式利用算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可得到结果【解答】解：原式32+12，故答案为：2【点评】此题考查了实数的运算，算术平方根，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键15【分析】连接 OC，根据题意得到B
21、OC120，AOC60，得到ABC30，根据直角三角形的性质求出 AB，根据勾股定理求出 BC，根据扇形面积公式计算，得到答案【解答】解：连接 OC，点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点，BOC120，AOC60，ABC30，AB2AC4 ，由勾股定理得，BC 2 ，图中阴影部分的面积 22 ，故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积计算、直角三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键16【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出 A 点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形ABC 和AB C 以原点为位似中心，相似比是 k，ABC 上一点的坐标是（x ，y），则在A B
22、C 中，它的对应点的坐标是（ kx，ky ）或（kx，ky ），进而求出即可【解答】解：OABOCD 90，AO AB，COCD，等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD是位似图形，点 B 的坐标为（1，0），BO1，则 AOAB ，A（ ， ），等腰 RtOAB 与等腰 RtOCD 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：2，点 C 的坐标为：（1，1）故答案为：（1，1）【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键17【分析】过点 C 作 CEy 轴于 E，根据正方形的性质可得 ABBC ，ABC90，再根据同角的
23、余角相等求出OABCBE，然后利用“角角边”证明ABO 和BCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 OA BE4，CEOB3，再求出 OE，然后写出点 C 的坐标，再把点C 的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出 k 的值【解答】解：如图，过点 C 作 CEy 轴于 E，在正方形 ABCD 中，ABBC ，ABC90，ABO+CBE90，OAB+ABO 90，OABCBE，点 A 的坐标为（4，0），OA4，AB5，OB 3，在ABO 和BCE 中，ABOBCE（AAS），OABE4，CEOB3，OEBEOB431，点 C 的坐标为（3，1），反比例函数 y （k 0）的图象过点 C，kxy
24、313，反比例函数的表达式为 y 故答案为：y 【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点 D 的坐标是解题的关键18【分析】P（0，3）到直线 x2 的最小值为 PQ 垂直直线 x2，即 Q（2，3），带入题目新定义的直角距离，即可求出答案【解答】解：P（0，3）到直线 x2 的最小值为点 Q（2，3），故 P（0，3）到直线 x2 的直角距离为 d（P，Q ） |20|+|3（3）|2故答案为：2【点评】本题主要是新定义的题目，主要考查一次函数上点的坐标特点，熟悉新定义的概念
25、以及能和一次函数坐标点结合起来，解答本题的关键三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把b 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式a 22ab（a 22ab+b 2）a 22aba 2+2abb 2b 2，当 b2 时，原式2 24【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则与乘法公式是解本题的关键20【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解： ，由得 x3，由得 x1，故不等式组的解集为：x3【点评】本题考查的是解一元一次不等
26、式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键21【分析】根据翻转变换的性质得到 BEBCAD ，EBDCBD，根据平行线的性质得到ADBCBD ，根据等腰三角形的判定定理得到 OBOD ，计算即可【解答】证明：由折叠的性质可知，BEBCAD ，EBDCBD，ADBC，ADBCBD，ADBEBD，OBOD ，OAOE 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等22【分析】（1）根据已知条件得到ACBABP 90 ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据
27、相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）AB 是 O 的直径，PB 与 O 相切于点 B，ACBABP90，A+ABCABC+CBP 90，BACCBP；（2）PCBABP90 ，PP ，ABP BCP， ，PB 2PCPA；（3）PB 2PCPA ，AC 6，CP 3，PB 29327，PB3 ，sinPAB 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键23【分析】求的汽车原来的平均速度，路程为 420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了
28、 2h等量关系为：原来时间现在时间2【解答】解：设汽车原来的平均速度是 x km/h，根据题意得： 2，解得：x70经检验：x70 是原方程的解答：汽车原来的平均速度 70km/h【点评】本题考查了分式方程的应用应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键24【分析】（1）由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案【解答】解：（1）360（140%2
29、5% 15%）72；故答案为：72；全年级总人数为 4515%300 （人），“良好”的人数为 30040%120（人），将条形统计图补充完整，如图所示：（2）画树状图，如图所示：共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有 2 个，P（选中的两名同学恰好是甲、丁） 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握25【分析】（1）由 D 点坐标可求得 k 的值，可求得反比例函数的表达式；（2） 由中心对称的性质可知ABC EFG，由 D 点坐标可求得 B 点坐标，从而可求得 BC和 AC 的长，由全等三角形的性质可求得 GE 和 GF，则可
30、求得 E 点坐标，从而可求得 OF 的长；由条件可证得AOFFGE，则可证得 AFEF AB ，且EFAFAB90，则可证得四边形 ABEF 为正方形【解答】解：（1）反比例函数 y （k0）的图象经过点 D（3，1），k313，反比例函数表达式为 y ；（2） D 为 BC 的中点，BC2，ABC 与EFG 成中心对称，ABCEFG，GFBC2，GEAC1，点 E 在反比例函数的图象上，E（1，3），即 OG3，OFOG GF 1；如图，连接 AF、BE，AC1，OC3，OAGF 2，在AOF 和FGE 中AOFFGE（SAS），GFEFAOABC，GFE+AFO FAO +BAC90，EF
31、AB，且 EFAB ，四边形 ABEF 为平行四边形，AFEF，四边形 ABEF 为菱形，AFEF，四边形 ABEF 为正方形【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得 E 点坐标是解题的关键，在（2）中证得AOFFGE 是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中26【分析】（1）根据正方形的性质证明APECFE，可得结论；（2）分别证明PAE45和BAC 45，则CAE90，即ACE 是直角三角形；（3）本题介绍两种解法：解法一：分别计算 PG 和 BG 的长，利用平行
32、线分线段成比例定理列比例式得： ，即，解得：a b，得出 a 与 b 的比，再计算 GH 和 BG 的长，根据角平分线的逆定理得：HCGBCG，由平行线的内错角得：AECACB45解法二：同理得 a 与 b 的比，根据 a b，BE BF，得 BEBC，可得结论【解答】证明：（1）四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形，ABBC，BPBF，APCF，在APE 和CFE 中， ，APE CFE，EAEC；（2）ACE 是直角三角形，理由是：如图 2，P 为 AB 的中点，PAPB，PBPE，PAPE，PAE 45，又BAC45，CAE90，即ACE 是直角三角形；（3）解法一：如图 3，
33、设 CE 交 AB 于 G，EP 平分AEC，EPAG，APPG ab，BGa （2a2b）2ba，PECF， ，即 ，解得：a b，a：b ：1，作 GHAC 于 H，CAB45，HG AG （2 b2b）（2 ）b，又BG2ba（2 ） b，GHGB ，GH AC，GB BC，HCGBCG，PECF，PEGBCG，AECACB45解法二：如图 4，连接 BE，易得 a b，a：b ：1，BE BF b，BEaBC，BCEBEC，FBE BCE+ BEC 45，BCE22.5，AEC2PEC2BCE45【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、角平分线的逆定理
34、、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度，作辅助线，设CDa，PCb，表示 GH 和 BG 的长是关键27【分析】（1）先确定 A（4，0），B（1，0），再设交点式 ya（x+1）（x4），然后把C 点坐标代入求出 a 即可；（2）作 PDy 轴，如图，易得直线 AC 的解析式为 yx+4，设 P（x，x 2+3x+4）（0x4），则 D（x，x+4），再用 x 表示出 PD，接着根据三角形面积公式得到 SPAC PD42x 2+8x，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先计算出 AC4 ，再分类讨论：当 QAQC 时，易得 Q（0，0）；当 CQCA 时，利用点 Q 与
35、点 A 关于 y 轴对称得到 Q 点坐标；当 AQAC 4 时可直接写出 Q 点的坐标【解答】解：（1）C（0， 4），OC4，OAOC4OB，OA4，OB1，A（4，0），B（1，0），设抛物线解析式为 ya（x +1）（x 4），把 C（0，4）代入得 a1（ 4）4，解得 a1，抛物线解析式为 y（x +1）（x 4），即 yx 2+3x+4；（2）作 PDy 轴，如图，易得直线 AC 的解析式为 yx+4，设 P（x ，x 2+3x+4）（0x 4），则 D（x，x +4），PDx 2+3x+4（x+4）x 2+4x，S PAC PD42x 2+8x2（x 2） 2+8，当 x2 时，S PAC 有最大值，最大值为 8，此时 P 点坐标为（ 2，6）；（3）存在OAOC4，AC4 ，当 QAQC 时，Q 点在原点，即 Q（0，0）；当 CQCA 时，点 Q 与点 A 关于 y 轴对称，则 Q（4， 0）；当 AQAC4 时，Q 点的坐标（ 4+4 ，0）或（44 ，0），综上所述，Q 点的坐标为（0 ，0）或（4，0）或（4+4 ，0）或（44 ，0）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题
