1、2019 年广东省广州四中中考数学一模试卷一、选择题(每题 3 分,共 30 分)1下列各数中,是无理数的一项是( )A0 B1 C0.101001 D2下列立体图形的正视图不是中心对称图形的一项是( )A 圆锥 B 正方体C 长方体 D 球3下列运算正确的是( )A (m 3n) 2m 6n B C D4一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有 9 个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%,那么估计盒子中小球的个数 n 为( )A20 B24 C28 D305若一次函数 ykx+b
2、的图象经过一、二、四象限,则一次函数 ybx+k 的图象不经过( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6电动车每小时比自行车多行驶了 25 千米,自行车行驶 30 千米比电动车行驶 40 千米多用了 1 小时,求两车的平均速度各为多少?设自行车的平均速度为 x 千米/ 小时,应列方程为( )A 1 B 1C +1 D +17如图,在ABC 中,ACBC ,ABC 30,点 D 是 CB 延长线上的一点,且 BDBA,则 tanDAC 的值为( )A2+ B2 C3+ D38如图,菱形 ABCD 中,AC 交 BD 于点 O,DE BC 于点 E,连接 OE,DOE120,DE1,则
3、 BD( )A B C D9如图是二次函数 ,反比例函数 在同一直角坐标系的图象,若 y1 与 y2 交于点 A(4,y A) ,则下列命题中,假命题是( )A当 x4 时,y 1y 2 B当 x1 时,y 1y 2C当 y1y 2 时,0x4 D当 y1 y2 时,x010如右图,把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 MN,再过点 B 折叠纸片,使点 A落在 MN 上的点 F 处,折痕为 BE若 ,则 CD( )A2 B C D1二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)11某班 50 名同学在网络安全平台参加知识问答比赛的成绩如表:得分 32500 47500 6
4、2500 75000人数 8 10 23 9则将这组数据中的众数用科学记数法可表示为 12某正多边形的边心距为 ,半径为 4,则该正多边形的面积为 13在平面直角坐标系 xOy 中,点( 1,4)绕点(0,0)顺时针旋转 90后的对应点落在反比例函数 的图象上,则 k 14 (3 分)如图,已知直线 PA 与 PB 与圆 O 分别相切于点 A,B ,若 ,APB 90,则劣弧 AB 的长为 15如图,平行四边形 ABCD 中,过对角线 BD 上一点 P 作 EFBC,GH AB,且 CG2BG,连接 AP,若 SAPH2,则 S 四边形 PGCD 16在边长为 4 的等边三角形 ABC 中,P
5、 是 BC 边上的一个动点,过点 P 分别作 PMAB 于 M,PNAC 于 N,连接 PA,则下列说法正确的是 (填序号) 若 PB1,则 ; 若 PB2,则 SABC 8S BMP ; ;若 0PB1,则 S 四边形 AMPN 最大值是 三、解答题(本大题共 9 小题,满分 102 分)17解不等式组: 18 已知(1)化简 A;(2)若 x1,x 2 是一元二次方程 两个实数解,ax 1x2,求 A 的值19如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 AD 边上一点,且 AEAB ,连接 BE(1)尺规作图:作A 的平分线 AF 交 BC 于 F,交 BE 于 G(不需要写作图过程,保留作
6、图痕迹) ;(2)若 BE8,AB 5,求 AF 的长20甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶 6 次,其中甲、丙的每次射靶具体成绩如下(单位:环):甲:8,6,9,8,9,8;丙:7,6,3,7,7,6; 平均数 中位数 方差甲 8 8乙 8 8 2.2丙 6 2(1)根据以上数据,直接完成表格的填写(不需要书写运算过程) ;(2)若要在甲、乙、丙中选一位运动员参加比赛,请依据表格数据做出选择并简要说明理由;(3)若甲、乙、丙组成队伍参加某射击比赛,该射击比赛规则如下:比赛分为两个回合,每回合从甲、乙、丙中随机选一位运动员出场(同一位运动员可重复出场两个回合) 请用列表法或树状图,求在两个
7、回合中,甲均没有出场的概率21如图,一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于点 A(4,2) ,直线 AB 与 y 轴的负半轴交于点 B,与 x 轴的交于点 C(3,0) ;(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记直线 AB 与反比例函数 的另一交点为 D,若在 y 轴上有一点 P,使得 ,求 P 点的坐标22某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场,建造时按养鸡场的建造面积收费已知甲师傅建造 2m2 的费用与乙师傅建造 3m2 的费用总和为 440 元,甲师傅建造 3m2 的费用与乙师傅建造 2m2 的费用总和为 460 元(1)分别求出甲、乙两位师傅建造 1m2 养
8、鸡场的费用;(2)若乙师傅计划用总长度为 24 米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场(如图) ,已知墙的长为9 米,则养鸡场的宽 AB 为多少时,建造费用最多?最多为多少元?23已知圆 O 是等边ABC 的外接圆,P 是圆上异于 A,B,C 的一点(1)如图,若PAC90, ,记直线 AP 与直线 BC 的交点为 D,连接 PC,求 PD 的长度;(2)若APCBPC,猜想 PA,PB ,PC 的数量关系并给予证明24如图 1,已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF,EFBE,BEF90,F 是线段 BC 上一点,取 DF 中点 G,连接 EG、CG(1)探究 EG 与 CG 的数
9、量与位置关系,并说明理由;(2)如图 2,将图 1 中的等腰 RtBEF 绕点 B 顺时针旋转 (090) ,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)在(2)的条件下,若 AD2,求 2GE+BF 的最小值25如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yax 24ax+3a(a0)与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于 C 点D 为抛物线的顶点,对称轴 l 与 x 轴的交点为 E已知 D 的纵坐标为1(1)直接写出抛物线的解析式;(2)若 P 是 l 上的一点,满足APB 2ACB,求 P 的坐标;(3)点 Q 是抛物线上的一点,以 Q 为圆心,作与
10、 l 相切的圆 Q 交 x 轴于 M,N 两点(M 在 N 的左侧) 若EMEN4,求 Q 的坐标参考答案一、选择题(每题 3 分,共 30 分)1 【解答】解: 是无理数,故选:D2 【解答】解:A圆锥的主视图是等腰三角形,不是中心对称图形;B正方体的主视图是正方形,是中心对称图形;C长方体的主视图是长方形,是中心对称图形;D球的主视图是圆,是中心对称图形;故选:A3 【解答】解:选项 A, (m 3n) 2m 6n2,故选项错误选项 B,由题意, 中得 ay0,选项正确选项 C,当 a0;b0 时不成立,故选项错误选项 D,当 时, ,故选项错误故选:B4 【解答】解:根据题意得 30%,
11、解得 n30,所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球故选:D5 【解答】解:一次函数 ykx+b 过一、二、四象限,则函数值 y 随 x 的增大而减小,因而 k0;图象与 y 轴的正半轴相交则 b0,因而一次函数 ybx +k 的一次项系数 b0,y 随 x 的增大而减小,经过二四象限,常数项 k0,则函数与 y 轴负半轴相交,因而一定经过二三四象限,因而函数不经过第一象限故选:A6 【解答】解:设自行车的平均速度为 x 千米/ 小时,则电动车的平均速度为(x+25)千米/小时,由自行车行驶 30 千米比电动车行驶 40 千米多用了 1 小时,可列方程 1 ,故选:B
12、7 【解答】解:如图,在ABC 中,AC BC ,ABC30,AB2AC,BC ACBDBA,DCBD+BC(2+ )AC,tanDAC 2+ 故选:A8 【解答】解:四边形 ABCD 是菱形,ODOB ,CDBC,DEBC,DEB90,OEOD OB ,DOE 120 ,BOE60,OBE 是等边三角形,DBC60,CBCD,DCB 是等边三角形,BD ,故选:B9 【解答】解:由函数图象可知,当 x4 时,y 1y 2,A 是真命题;当 x1 时,y 1y 2,C 是真命题;当 y1y 2 时,0x 4,C 是真命题;y1y 2 时,x 0 或 x4,D 是假命题;故选:D10 【解答】解
13、:设 CDx,则 BFAB x,BM BC x,RtBFM 中, MF x,又MNABx , ,2 + xx ,解得 x2,CD2,故选:A二、填空题(每小题 3 分,共 18 分)11 【解答】解:62500 出现了 23 次,出现的次数最多,这组数据中的众数是 62500,用科学记数法可表示为 6.25104;故答案为:6.2510 412 【解答】解:如图所示:由题意可得,OEAB,OE2 ,OA4,则 cosAOE ,故AOE45,则 OEAE2 ,故 AB4 ,BOA 90,正多边形是正方形,则该正多边形的面积为:4 4 32故答案为:3213 【解答】解:点(1,4)绕点(0,0)
14、顺时针旋转 90后的对应点的坐标为(4,1) ,把(4,1)代入 y 得 k414故答案为 414 【解答】解:如图,连接 OA,OB ,直线 PA 与 PB 与圆 O 分别相切于点 A,B,OAPA,OBPB,APB 90,四边形 OBPA 为矩形,OAOB ,四边形 OBPA 为正方形,AOB90,OA PB ,劣弧 AB 的长: 故答案为: 15 【解答】解:EFBC,GHAB,四边形 HPFD、四边形 PGCF 是平行四边形,S APH 2, CG2BG,S DPH 2S APH 4,平行四边形 HPFD 的面积8,平行四边形 PGCF 的面积 平行四边形 HPFD 的面积 4,S 四
15、边形 PGCD4+4 8,故答案为:816 【解答】解:PMAB,ABC 是等边三角形,BPM 30 ,BM BP ,PM ,AMAB BM4 ,PA ,故正确;PB 2,则 P 为 BC 的中点, PA 为ABC 的高,BM BP1,PM ,PA 2 ,S ABC BCPA 42 4 ,S BMP BMPM 1 ,S ABC 8S BMP ,故正确;设 BPx,则 CP2x,ABC 是等边三角形,BC60,PMAB,PNAC,BM x,PM x,CN (4x) ,PN (4x) ,四边形 AMPN 的面积 (4 x) x+ 4 (4x) (4x) x2+ x+2 ,即四边形 AMPN 的面积
16、是关于 x 的二次函数,是变量,故不正确;由得:S 四边形 AMPN x2+ x+2 (x2) 2+3 ,若 0PB1,当 x1,即 PB1 时,S 四边形 AMPN 的值最大 (x1) 2+3 ,故 不正确;故答案为: 三、解答题(本大题共 9 小题,满分 102 分)17 【解答】解: ,由式得 x3;由式得 x2,所以不等式组的解为 x218 【解答】解:(1)A( ) 2(a2)2a4;(2)x 1,x 2 是一元二次方程 两个实数解,ax 1x2 ,则 A2a42( )4 419 【解答】解:(1)射线 AF 如图所示(2)AEAB,AF 平分 BAE,AGBE,EGBG 4,在 R
17、t AGB 中,AB 5,BG 4,AG 3,四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,EFA BAGAFB,BABF,BGAF,AGGF 3,AF620 【解答】解:(1)甲的方差为 (68) 2+3(88) 2+2(98) 21,丙的射击成绩重新排列为 3,6,6,7,7,7,则其中位数为 6.5,补全表格如下:平均数 中位数 方差甲 8 8 1乙 8 8 2.2丙 6 6.5 2(2)甲和乙的平均成绩均高于丙,且甲的方差比乙小,甲的平均成绩高,且成绩最稳定,应该选择甲参赛;(3)列表如下:甲 乙 丙甲 (甲,甲) (甲,乙) (甲,丙)乙 (乙,甲) (乙,乙) (乙,丙)丙 (丙,甲)
18、 (丙,乙) (丙,丙)共有 9 种等可能的结果,在两个回合中,甲均没有出场的有 4 种结果,在两个回合中,甲均没有出场的概率为 21 【解答】解:(1)一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于点 A(4,2) ,m428,反比例函数的解析式为 y ,A(4,2) ,C(3,0)在一次函数 ykx+ b 的图象上, ,解得 ,一次函数的解析式为 y2x6;(2)解 得 或 ,D(1,8) ,在 y2x6 中,令 x0,则 y6,B(0,6) ,S BOC 369, 4设点 P 的坐标为(0,y ) ,则 BP|6y|,S PCD S PBD +SPBC , |6y|3+
19、|6y| 14,解得 y4 或8,点 P 的坐标为(0,4)或(0,8) 22 【解答】解:(1)设甲、乙两位师傅建造 1m2 养鸡场的费用分别为 x 元和 y 元,根据题意得: ,解得:答:甲、乙两位师傅建造 1m2 养鸡场的费用分别为 100 元和 80 元;(2)设 AB 为 z,面积为 S,则 BC(243z )米,墙长为 9 米,243z9,解得:z5,根据题意得:Sz(243z)3(z4) 2+48,a30,对称轴为 z4,当 z4 时 S 随着 z 的增大而减小,当 z5 时面积最大为 45m2,费用为 45803600 元,养鸡场的宽 AB 为 5 米时,建造费用最多;最多为
20、3600 元23 【解答】解:(1)ABC 是等边三角形,ABC60,APCABC60,在 Rt PAC 中,APC60 ,PAC 90,ACAB2 ,PCA30,PC2PAPC 2PA 2+AC2,PA2,PC 4而PAC90,ACB60,PCBPAB30PCPDPD4故 PD 的长度为 4(2)由题意点 P 在 上结论:PCPA+PB理由:在 PC 上截取一点 E,使得 PBPE,连接 BEBPCBAC60,PBPE ,PBE 是等边三角形,BPBE,PBE ABC 60,ABP EBC,BABC,ABP CBE(SAS) ,PAEC,PCPE+ECPB+PA24 【解答】解:(1)EG
21、CG 且 EGCG理由如下:如图 1,连接 BD正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF,EBF DBC45B、E、D 三点共线DEF90,G 为 DF 的中点, DCB90,EG DFCGDGEGF2EDG ,CGF2CDGEGF+CGF2EDC90,即EGC90,EGCG(2)仍然成立理由如下:如图 2,延长 CG 至 H,使 GHCG,连接 HF 交 BC 于 M,连接 EH、ECGFGD , HGFCGD,HGCG,HFG CDG(SAS) ,HFCD,GHFGCD ,HFCD正方形 ABCD,HFBC,HFBCBEF 是等腰直角三角形,BEEF,EBCHFE,BECFEH(SAS) ,
22、HEEC,BECFEH,BEF HEC90,ECH 为等腰直角三角形又CGGH,EGCG 且 EGCG(3)如下图,连接 AH,当 A、H 、G,C 在同一直线上时, 2GE+BF 有最小值,此时 BE 在 BC 上,FHAB,AC BF,四边形 ABFH 是平行四边形,AHBF,由(2)知 CGGH,2GE+BF CH+AHAC,即 2GE+BF 有最小值,就是 AC 的长,由勾股定理得 AC 2 25 【解答】解:(1)yax 24ax +3aa(x2) 2a,顶点 D 的纵坐标为1,a1,即 a1,抛物线的解析式为 yx 24x +3;(2)如图 1,作ABC 的外接圆P,连结 PA,P
23、B,CA,CB,则点 P 在直线 l 上,且满足APB 2ACB,点 P 就是所求的点,抛物线的解析式为 yx 24x +3,当 x0 时,y3,当 y0 时,x1 或 x3,A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,3) ,设直线 BC 与直线 l 相交于 K,OBOC3,CBO45,KAKB,KEAB,KAKB ,AC ,KC BC BK ,AK 2+CK2AC 2,AKC 90 ,tanACB ,APE APB ACB,tanAPE ,PE2,点 P 的坐标为(2,2) ,同理,点 P 关于 x 轴的对称点(2,2)也符合题意,点 P 的坐标为(2,2) , (2,2) ;(3)设Q 与 l 相切于点 R,则直径 KRRE,KNR90,如图 2,连结 KN,RN,RM,NRE90KRNKRMN,RENMER,RENMER, ,RE 2EMEN4,RE2,当 y2 时,x 24x +32,解得,x ,点 Q 的坐标为(2+ ,2)或(2 ,2)