1、 2018-2019 学年度九年级数学中考模拟试卷二一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1（3 分）地球的表面积约为 510000000km2，将 510000000 用科学记数法表示为（ ）A0.5110 9 B5.110 8 C5.110 9 D5110 72（3 分）从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（ ）A1 张 B2 张 C3 张 D4 张3（3 分）下列计算正确的是（ ）A（a 3） 3=a6 Ba 6a3=a2 Ca 2a=a3 D（ab） 2=a2b24（3 分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正方形，俯视图是一个圆，那么
2、这个几何体的表面积是（ ）A6 B4 C8 D45（3 分）若“ ！” 是一种数学运算符号，并且1！=1， 2！=21=2，3！=321=6 ，4！=4321，则 的值为（ ）A B49！ C2450 D2！6（3 分）已知反比例函数 y= ，当 1x2 时， y 的最小整数值是（ ）A5 B6 C8 D107（3 分）某楼梯的侧面如图所示，已测得线段 AB 的长为 3.5 米，BAC=29，则该楼梯的高度 BC 可表示为（ ）A3.5sin29米 B3.5cos29 米 C3.5tan29米 D 米8（3 分）从 3、1、2 这三个数中任取两个不同的数作为 P 点的坐标，则 P 点刚好落在第
3、四象限的概率是（ ）A B C D9（3 分）已知非负数 a，b，c 满足条件 a+b=7，ca=5，设 S=a+b+c 的最大值为 m，最小值为 n，则 mn 的值（ ）A5 B6 C7 D810（3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（ 1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： b 24ac0；当 x1 时，y 随 x 增大而减小；a +b+c0；若方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根，则 m2； 3a+c0其中正确结论的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题
4、4 分）11（4 分）化简：a +1+a（a+1）+a（a+1） 2+a（a +1） 99= 12（4 分）生命在于运动运动渗透在生命中的每一个角落，运动的好处就在于让我们的身体保持在健康的状态小明同学用手机软件记录了 11 月份每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图在每天所走的步数这组数据中，中位数是 万步13（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，请添加一个条件 ，可得平行四边形 ABCD 是矩形14（4 分）如图，直线 l1：y=2x6 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 M 在直线 l1 上，且到两坐标轴的距离相等现将直线 l1
5、 绕点 M 按顺时针方向旋转得到直线 l2，当直线l2 与直线 l1 第一次成 45o 夹角时，直线 l2 的函数表达式为 15（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，点 E 是边 BC 上一动点，把DCE 沿 DE 折叠得DFE，射线 DF 交直线 CB 于点 P，当AFD 为等腰三角形时，DP的长为 16（4 分）在底边长 BC=20cm，高 AM=12cm 的三角形铁板 ABC 上，要截一块矩形铁板 EFGH，如图所示，当矩形的边 EF= 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为 cm 2三解答题（共 8 小题，满分 66 分）17（6 分）计算：sin30 +（4） 0+
6、| |18（6 分）解方程： + =119（6 分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它经过了 200m，缆车行驶的路线与水平夹角=16，当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了 200m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面夹角=42，求缆车从点 A 到点 D 垂直上升的距离（结果保留整数）（参考数据：sin160.27，cos160.77 ，sin420.66，cos42 0.74）20（8 分）甲、乙两名队员参加射击训练（各射击 10 次），成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下表：平均成绩/环 中位
7、数/环 众数/环 方差/环 2甲 a 7 7 1.2乙 7 b 8 c（1）求出表格中 a，b， c 的值；（2）分别运用表中的统计量，简要分析这两名队员的射击成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？21（8 分）阅读理解：反比例函数 y= （k0）第一象限内的图象如图 1 所示，点 P、R 是双曲线上不同的两点，过点 P、 R 分别做 PAy 轴于点 A，RCx 轴于点 C，两垂线交点为 B（1）问题提出：线段 PB：PA 与 BR：RC 有怎样的关系？问题解决：设点 PA=n，PB=m，则点 P 的坐标为（n， ），点 R 的坐标为（m +n，），AO=BC= ，RC= ，BR= =
8、则 BR：RC=PB： PA=PB ：PA=BR：RC 问题应用：（2）利用上面的结论解决问题：如图 1，如果 BR=6，CR=3，AP=4，BP= 如图 2，如果直线 PR 的关系式 y2=x+3，与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，若ED=3PR，求出 k 的值22（10 分）如图，AB 是O 的直径，AE 平分BAF，交O 于点 E，过点 E 作直线 ED AF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 tanC= ，O 的半径为 2，求 DE 的长23（10 分）抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0），B（
9、 ，0），且与 y 轴相交于点 C（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB 的度数；（3）设点 D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点 E 在线段 AC 上，且 DE AC，当DCE 与AOC 相似时，求点 D 的坐标24（12 分）已知：如图，AB 为O 的直径，C 是 BA 延长线上一点，CP 切O 于P，弦 PDAB 于 E，过点 B 作 BQCP 于 Q，交 O 于 H，（1）如图 1，求证：PQ=PE；（2）如图 2，G 是圆上一点，GAB=30，连接 AG 交 PD 于 F，连接 BF，若tanBFE=3 ，求C 的度数；（3）如图 3，在（2）的条件下，PD=6
10、，连接 QC 交 BC 于点 M，求 QM 的长参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1（3 分）地球的表面积约为 510000000km2，将 510000000 用科学记数法表示为（ ）A0.5110 9 B5.110 8 C5.110 9 D5110 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：510000000=5.110 8，故选：B 【点
11、评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值2（3 分）从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（ ）A1 张 B2 张 C3 张 D4 张【分析】根据中心对称图形的概念和扑克牌的花色特点求解【解答】解：旋转 180以后，第 2 张与第 3 张，中间的图形相对位置改变，因而不是中心对称图形；第 1，4 张是中心对称图形故选 B【点评】掌握好中心对称的概念中心对称是要寻找对称中心，旋转 180 度后重合3（3 分）下列计算正确的是（ ）A（a 3） 3=a6 Ba 6a3=a2
12、 Ca 2a=a3 D（ab） 2=a2b2【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别判断得出答案【解答】解：A、（a 3） 3=a9，故此选项错误；B、a 6a3=a3，故此选项错误；C、a 2a=a3，正确；D、（ab） 2=a22ab+b2，故此选项错误故选：C 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键4（3 分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）A6 B4 C8 D4【分析】根据题意，可判断出该几何体为圆柱且已知底面半径以及高，易求表面积【解答】解：根
13、据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为 1，高为 2，那么它的表面积=2 2+112=6，故选 A【点评】本题要判断出几何体的形状然后再根据其面积公式进行计算，注意本题中的圆柱有上下底，不要漏掉任何一个5（3 分）若“ ！” 是一种数学运算符号，并且1！=1， 2！=21=2，3！=321=6 ，4！=4321，则 的值为（ ）A B49！ C2450 D2！【分析】根据50！=50 494321，48！=48 474321，求出的值为多少即可【解答】解： = =5049=2450故选：C 【点评】此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，以及阶乘的含义和求法，要熟练
14、掌握6（3 分）已知反比例函数 y= ，当 1x2 时， y 的最小整数值是（ ）A5 B6 C8 D10【分析】根据反比例函数的性质和 x 的取值范围，可以求得 y 的取值范围，从而可以求得 y 的最小整数值，从而可以解答本题【解答】解：反比例函数 y= ，当 1x2 时，5y10，y 的最小整数值是 6，故选：B 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答7（3 分）某楼梯的侧面如图所示，已测得线段 AB 的长为 3.5 米，BAC=29，则该楼梯的高度 BC 可表示为（ ）A3.5sin29米 B3.5cos29 米 C3.5tan2
15、9米 D 米【分析】由 sinABC= 得 BC=ABsin29【解答】解：sinBAC= ，得 BC=ABsin29=3.5sin29，故选：A【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键8（3 分）从 3、1、2 这三个数中任取两个不同的数作为 P 点的坐标，则 P 点刚好落在第四象限的概率是（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与 P 点刚好落在第四象限的情况即可求出问题答案【解答】解：画树状图得：共有 6 种等可能的结果，其中（1，2），（3， 2）点落在第四象限，P 点刚好落在第四象限的概率为 = ，故选：B
16、 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，熟记各象限内点的符号特点是解题关键9（3 分）已知非负数 a，b，c 满足条件 a+b=7，ca=5，设 S=a+b+c 的最大值为 m，最小值为 n，则 mn 的值（ ）A5 B6 C7 D8【分析】由于已知 a，b， c 为非负数，所以 m、n 一定0；根据 a+b=7 和 ca=5 推出 c的最小值与 a 的最大值；然后再根据 a+b=7 和 ca=5 把 S=a+b+c 转化为只含 a 或 c 的代数式，从而确定其最大
17、值与最小值【解答】解：a ，b，c 为非负数；S=a+ b+c0；又ca=5；c=a+5；c5；a+b=7；S=a+ b+c=7+c；又c5；c=5 时 S 最小，即 S 最小 =12，即 n=12；a+b=7；a7；S=a+ b+c=7+c=7+a+5=12+a；a=7 时 S 最大，即 S 最大 =19，即 m=19；mn=19 12=7故选：C 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出 S 的最大值及最小值，难度较大10（3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（ 1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间，其
18、部分图象如图，则以下结论： b 24ac0；当 x1 时，y 随 x 增大而减小；a +b+c0；若方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根，则 m2； 3a+c0其中正确结论的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断【解答】解：二次函数与 x 轴有两个交点，b 24ac0，故错误，观察图象可知：当 x1 时，y 随 x 增大而减小，故 正确，抛物线与 x 轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，x=1 时，y=a+b+c0，故正确，当 m2 时，抛物线与直线 y=m 没有交点，方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根，故正确
19、，对称轴 x=1= ，b=2a，a+b+c0，3a+c0，故正确，故选：C 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与 X 轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）11（4 分）化简：a +1+a（a+1）+a（a+1） 2+a（a +1） 99= （a +1） 100 【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果【解答】解：原式=（a +1）1+a+a（a+1）+a （a+1） 2+a（a +1） 98=（a+1） 21+a+a（a +1） +a（a+1） 2+a（a+1） 97=（a+1）
20、 31+a+a（a +1） +a（a+1） 2+a（a+1） 96=（a+1） 100故答案为：（a +1） 100【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键12（4 分）生命在于运动运动渗透在生命中的每一个角落，运动的好处就在于让我们的身体保持在健康的状态小明同学用手机软件记录了 11 月份每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图在每天所走的步数这组数据中，中位数是 1.3 万步【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此判断即可【解答】解：共有 2+8+7+10+3=30
21、 个数据，其中位数是第 15、16 个数据的平均数，而第 15、16 个数据的平均数均为 1.3 万步，则中位数是 1.3 万步，故答案为：1.3【点评】此题主要考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数13（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于 O，请添加一个条件 AC=BD 或 ABC=90 ，可得平行四边形 ABCD 是矩形【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点
22、来添加条件【解答】解：若使ABCD 变为矩形，可添加的条件是：AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），ABC=90等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD 或ABC=90【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键14（4 分）如图，直线 l1：y=2x6 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 M 在直线 l1 上，且到两坐标轴的距离相等现将直线 l1 绕点 M 按顺时针方向旋转得到直线 l2，当直线l2 与直线 l1 第一次成 45o 夹角时，直线 l2 的函数表达式为 y= x+4 或
23、y= x 【分析】根据 M 到两坐标轴的距离相等，可分两种情况：如图 1，当 M 在第一或三象限时，设 M（x，x），作辅助线，构建正方形 OCMF 和等腰直角三角形 AEO，根据CMN=OMA，利用等角的三角函数列比例式为：tanOMA= =tanCMN= = ，可得 CN=2，利用待定系数法求直线 l2 的函数表达式；如图 2，当 M 在第四象限时，设 M（x， x），可得 M（2，2），同理作辅助线，利用同角的三角函数得：tanEBM= = ，则 BD=2ND，设 ND=x，则DM=x，BD=2x，先求得： ND= ，BD= ，得 N（0， ），同理可得直线 l2 的函数表达式为：y=
24、x 【解答】解：分两种情况：如图 1，当 M 在第一或三象限时，设 M（x，x），点 M 在直线 y=2x6 上，x=2x 6，x=6，M（6，6），当 y=0 时，2x 6=0，x=3，A（3，0），即 OA=3，过 M 作 MCy 轴于 C，作 MFx 轴于 F，连接 OM，则 CM=FM=6，四边形 COFM 为正方形，CMO=45，CMN+NMO=45，NMA=45，NMO+OMA=45，CMN= OMA，过 A 作 AEOM 于 E，则AEO 是等腰直角三角形，AE=OE= = ，OM= =6 ，EM=6 = ，tanOMA= = = ，tanCMN=tanOMA= = ， ，CN=
25、2，ON=OCCN=62=4，N（0，4），设直线 l2 的函数表达式为：y=kx+b，把 N（0，4）和 M（6，6）代入得： ，解得： ，直线 l2 的函数表达式为：y= x+4如图 2，当 M 在第四象限时，设 M（x， x），x=2x6，x=2，M（2，2），过 N 作 NDl 1 于 D，过 M 作 MEy 轴于 E，EM=OE=2，BE=6 2=4，tanEBM= = ， ，BD=2ND，由勾股定理得：BM= =2 ，NMB=45，NDM 是等腰直角三角形，ND=DM，设 ND=x，则 DM=x，BD=2x，3x=2 ，x= ，ND= ，BD= ，由勾股定理得：BN= = ，ON=
26、6 = ，N（0， ），同理可得直线 l2 的函数表达式为：y= x ，故答案为：y= x+4 或 y= x ，【点评】本题考查了一次函数图象的旋转变换及象限上的点的坐标特征，正确作出辅助线是关键，利用三角函数或相似列比例式得到直线 l2 上另一点的坐标，同时要注意点M 有两个，不要丢解，即理解“M 到两坐标轴的距离相等 ”15（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，点 E 是边 BC 上一动点，把DCE 沿 DE 折叠得DFE，射线 DF 交直线 CB 于点 P，当AFD 为等腰三角形时，DP的长为 或 【分析】先根据 AD=BC=4，DF=CD=AB=6，得出 ADDF，
27、再分两种情况进行讨论：当 FA=FD 时，过 F 作 GHAD 与 G，交 BC 于 H，根据DGFPHF ，得出 =，即 = ，进而解得 PF= 6，进而得出 DP 的长；当 AF=AD=4 时，过F 作 FHBC 于 H，交 DA 的延长线于 G，根据勾股定理求得 FG= ，FH=6 ，再根据DFGPFH，得出 = ，即 = ，进而解得 PF= 6，即可得出 PD 的长【解答】解：AD=BC=4，DF=CD=AB=6，ADDF，故分两种情况：如图所示，当 FA=FD 时，过 F 作 GHAD 与 G，交 BC 于 H，则HGBC，DG= AD=2，Rt DFG 中，GF= =4 ，FH=6
28、 4 ，DGPH，DGFPHF， = ，即 = ，解得 PF= 6，DP=DF+PF=6+ 6= ；如图所示，当 AF=AD=4 时，过 F 作 FHBC 于 H，交 DA 的延长线于 G，则Rt AFG 中，AG 2+FG2=AF2，即 AG2+FG2=16；Rt DFG 中，DG 2+FG2=DF2，即（AG+4） 2+FG2=36；联立两式，解得 FG= ，FH=6 ，G=FHP=90，DFG=PFH，DFGPFH， = ，即 = ，解得 PF= 6，DP=DF+PF=6+ 6= ，故答案为： 或 【点评】本题是折叠问题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及矩
29、形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，运用相似三角形的对应边成比例列出方程，求得线段的长解题时注意分类思想的运用16（4 分）在底边长 BC=20cm，高 AM=12cm 的三角形铁板 ABC 上，要截一块矩形铁板 EFGH，如图所示，当矩形的边 EF= 6 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为 60 cm 2【分析】设矩形 EFGH 的宽 EF=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出EH，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可【解答】解：如图，设矩形 EFGH 的宽 EF=x，则 AN=AMMN=12x，矩形的对边 EHFG，
30、AEH ABC， = ，即 = ，解得：EH= ，四边形 EFGH 的面积=x = x2+20x= （x6） 2+60，所以，当 x=6，即 EF=6 时，四边形 EFGH 最大面积为 60cm2故答案为：6、60【点评】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形 EFGH 的宽表示出长是解题的关键三解答题（共 8 小题，满分 66 分）17（6 分）计算：sin30 +（4） 0+| |【分析】原式利用特殊角角的三角函数值，平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值【解答】解：原式= 2+1+ =0【点评】此题考查了实数
31、的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（6 分）解方程： + =1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x2）得 x2+4x2（x+2）=x 24，整理，得 x23x+2=0，解这个方程得 x1=1，x 2=2，经检验，x 2=2 是增根，舍去，所以，原方程的根是 x=1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验19（6 分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它经过了 200m，缆车行驶的路线与水平夹角=16，当缆车继
32、续由点 B 到达点 D 时，它又走过了 200m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面夹角=42，求缆车从点 A 到点 D 垂直上升的距离（结果保留整数）（参考数据：sin160.27，cos160.77 ，sin420.66，cos42 0.74）【分析】本题要求的实际是 BC 和 DF 的长度，已知了 AB、BD 都是 200 米，可在 RtABC 和 RtBFD 中用 、 的正切函数求出 BC、 DF 的长【解答】解：RtABC 中，斜边 AB=200 米，=16，BC=ABsin=200 sin1654（m），Rt BDF 中，斜边 BD=200 米，=42 ，DF=BDsin=
33、200sin42132，因此缆车垂直上升的距离应该是 BC+DF=186（米）答：缆车垂直上升了 186 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键20（8 分）甲、乙两名队员参加射击训练（各射击 10 次），成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下表：平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差/环 2甲 a 7 7 1.2乙 7 b 8 c（1）求出表格中 a，b， c 的值；（2）分别运用表中的统计量，简要分析这两名队员的射击成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的
34、定义分别计算即可解决问题；（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，虽然乙的方差大于甲，但乙的成绩呈上升趋势，故应选乙队员参赛【解答】解：（l） （环）（环） =4.2（环 2）（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，虽然乙的方差大于甲，但乙的成绩呈上升趋势，故应选乙队员参赛【点评】本题考查条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21（8 分）阅读理解：反比例函数 y= （k0）第一象限内的图象如图 1 所示，点 P、R 是双曲线上不同
35、的两点，过点 P、 R 分别做 PAy 轴于点 A，RCx 轴于点 C，两垂线交点为 B（1）问题提出：线段 PB：PA 与 BR：RC 有怎样的关系？问题解决：设点 PA=n，PB=m，则点 P 的坐标为（n， ），点 R 的坐标为（m +n，），AO=BC= ，RC= ，BR= =则 BR：RC=PB： PA=PB ：PA=BR：RC 问题应用：（2）利用上面的结论解决问题：如图 1，如果 BR=6，CR=3，AP=4，BP= 8 如图 2，如果直线 PR 的关系式 y2=x+3，与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，若ED=3PR，求出 k 的值【分析】直接利用题目中的结论即可求得
36、 BP 的长；利用直线 DE 的特殊性可求得 AE=AP=BP=RC=CD，则可证得APECDRBPR，可得到 AP=BP=CD，则可求得 P 点坐标，可求得 k 的值【解答】解：由题意可得 = ，即 = ，解得 PB=8，故答案为：8；y 2=x+3，E（0，3），D（3，0），OE=3，0D=3，AEP=APE= BPR=BRP=CRD=CDR=45，AE=AP，BP=BR，CD=CR， = ，AP=CR=AE=CD，ED=3PREP=RD=PR，APECDR BPR，AP=BP=CD，OA=2，AP=1，P（1，2），点 P 在 y1= 的图象上，k=2【点评】本题为反比例函数的综合应用
37、，涉及全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识理解好题目中所给结论是解决的关键，求得 P 点坐标是解决的关键本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大22（10 分）如图，AB 是O 的直径，AE 平分BAF，交O 于点 E，过点 E 作直线 ED AF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 tanC= ，O 的半径为 2，求 DE 的长【分析】（1）若要证明 CD 是O 的切线，只需证明 CD 与半径垂直，故连接 OE，证明 OE AD 即可；（2）分别利用角 C 的余弦值和正切值，可得出 CE 和 CD，从而即可得出 DE
38、 的长【解答】证明：（1）连接 OEOA=OE，OAE=OEA，又DAE=OAE，OEA=DAE，OE AD，ADC= OEC，ADCD，ADC=90，故OEC=90OE CD，CD 是O 的切线（2）tanC= ，C=30，又OE=2，OC=4，AC=6，在 Rt OCE 中，tanC= ，CE=2 ，在 Rt ACD 中，cosC= ，CD=3DE=CDCE=3 2 = 【点评】本题主要考查了切线的性质和应用，同时也考查了三角函数知识点的应用和平行线的性质，具有一定的综合性，但难度不是太大23（10 分）抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过点 A（1，0），B（ ，0），且与 y 轴相
39、交于点 C（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB 的度数；（3）设点 D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点 E 在线段 AC 上，且 DE AC，当DCE 与AOC 相似时，求点 D 的坐标【分析】（1）先求得点 C（0，3）的坐标，然后设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x），最后，将点 C 的坐标代入求得 a 的值即可；（2）过点 B 作 BMAC，垂足为 M，过点 M 作 MNOA，垂足为 N先求得 AC 的解析式，然后再求得 BM 的解析式，从而可求得点 M 的坐标，依据两点间的距离公式可求得 MC=BM，最后，依据等腰直角三角形的性质可得到ACB 的度数；（3）
40、如图 2 所示：延长 CD，交 x 轴与点 E依据题意可得到ECD45，然后依据相似三角形的性质可得到CAO=ECD，则 CE=AE，设点 E 的坐标为（a，0），依据两点间的距离公式可得到（a+1） 2=32+a2，从而可得到点 E 的坐标，然后再求得 CE 的解析式，最后求得 CE 与抛物线的交点坐标即可【解答】解：（1）当 x=0，y=3 ，C（ 0，3）设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x ）将 C（ 0，3）代入得： a=3，解得：a= 2，抛物线的解析式为 y=2x2+x+3（2）过点 B 作 BMAC，垂足为 M，过点 M 作 MNOA，垂足为 NOC=3，AO=1，tanC
41、AO=3直线 AC 的解析式为 y=3x+3ACBM ，BM 的一次项系数为 设 BM 的解析式为 y= x+b，将点 B 的坐标代入得： +b=0，解得 b= BM 的解析式为 y= x+ 将 y=3x+3 与 y= x+ 联立解得：x= ，y= MC=BM = MCB 为等腰直角三角形ACB=45 （3）如图 2 所示：延长 CD，交 x 轴与点 FACB=45 ，点 D 是第一象限抛物线上一点，ECD45 又DCE 与AOC 相似，AOC=DEC=90 ，CAO= ECDCF=AF设点 F 的坐标为（ a，0），则（a+1） 2=32+a2，解得 a=4F（4，0）设 CF 的解析式为
42、y=kx+3，将 F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k= CF 的解析式为 y= x+3将 y= x+3 与 y=2x2+x+3 联立：解得：x=0（舍去）或 x= 将 x= 代入 y= x+3 得：y= D（ ， ）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间距离公式的应用、相似三角形的性质、等腰三角形的判定，依据相似三角形的性质、等腰三角形的判定定理得到 AF=CF 是解题的关键24（12 分）已知：如图，AB 为O 的直径，C 是 BA 延长线上一点，CP 切O 于P，弦 PDAB 于 E，过点 B 作 BQCP 于
43、Q，交 O 于 H，（1）如图 1，求证：PQ=PE；（2）如图 2，G 是圆上一点，GAB=30，连接 AG 交 PD 于 F，连接 BF，若tanBFE=3 ，求C 的度数；（3）如图 3，在（2）的条件下，PD=6 ，连接 QC 交 BC 于点 M，求 QM 的长【分析】（1）连接 OP，过点 O 作 ORQB 于 R，证明POE OBR，根据全等三角形的性质证明；（2）连接 OP，根据切线的性质得到、结合题意得到C=EPO，设 EF=x，根据正切的定义求出 BE，根据正弦的定义解答；（3）连接 BG，过点 O 作 OKHB 于 K，得到四边形 POKQ 为矩形，得到 QK=PO，根据垂
44、直定理得到 PE= PD=3 ，根据圆周角定理、解直角三角形的知识计算即可【解答】（1）解：连接 OP，过点 O 作 ORQB 于 R，则四边形 PORQ 是矩形，OR=PQ，POR=90，OEP=90，OPE=BOR，在POE 和OBR 中，POEOBR ，OR=PE，PQ=PE；（2）连接 OP，CP 切O 于 P，OPC=OPQ=90，C +COP=90，PDAB ，PEO=AEF= BEF=90，EPO+COP=90，C=EPO，在 Rt FEA 中，GAB=30，设 EF=x，则 AE=EFtan30= x，在 Rt FEB 中，tanBFE=3 ，BE=EFtanBFE=3 x，AB+AE+BE=4 x，AO=PO=2 x，EO=AOAE= x，在 RtPEO 中，sinEPO= = ，C=EPO=30；（3）连接 BG，过点 O 作 OKHB 于 K，又 BQCP ，OPQ= Q=OKQ=90，四边形 POKQ 为矩形，QK=PO，OK CQ，C=KOB=30 ，O 中，PDAB 于 E，PD=6 ，AB 为O 的直径，PE= PD=3 ，根据（2）得，EPO=30，在 Rt EPO 中，cos EPO= ，PO= =6，OB=QK=PO=6，
