1、 2018-2019 学年数学中考模拟试卷二一选择题（共 12 小题，3*12=36）1在 0，1， ，1 四个数中，最小的数是（ ）A0 B1 C D12如图，直线 a，b 被直线 c 所截，那么1 的同位角是（ ）A2 B3 C4 D53根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市 2017 年全市生产总值为 138000000000 元，按可比价格计算，比上年增长 7.3%，数据 138000000000 元用科学记数法表示为（ ）A1.3810 10 元 B1.3810 11 元C1.3810 12 元 D0.138 1012 元4实数 a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式
2、不正确的是（ ）A|a| |b| B| ac|ac Cbd Dc +d05如图，直线 l 是一次函数 ykx+ b 的图象，若点 A（3，m ）在直线 l 上，则 m 的值是（ ）A5 B C D76一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A直三棱柱 B长方体 C圆锥 D立方体7如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60，90，210让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ）A B C D8把不等式组 中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）A BC D9在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8），B（10，2），若以
3、原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的 后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ）A（5，1） B（4，3） C（3，4） D（1，5）10如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC 的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4若 AA1，则 AD 等于（ ）A2 B3 C D11如图，若二次函数 yax 2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点A、点 B（1， 0），则二次函数的最大值为 a+b+c；ab +c0；b2 4ac0；当 y0 时，1x3其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3
4、 D412在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2+AC22AO 2+2BO2 成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE4，EF 3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（ ）A B C34 D10二填空题（共 6 小题，3*6=18）13在ABC 中，若A30，B50，则C 14化简（x1）（x +1）的结果是 15如图，ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，使得ADCBEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 16若二元一次方程组 的解为 ，则 ab 17我国南宋著名数学家秦九韶在
5、他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S现已知ABC 的三边长分别为 1，2， ，则ABC 的面积为 18将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：第 1 行 1第 2 行 2 3 4第 3 行 9 8 7 6 5第 4 行 10 11 12 13 14 15 16第 5 行 25 24 23 22 21 20 19 18 17则 2018 在第 行评卷人 得 分 三解答题（共 8 小题，66 分）19（6 分）计算：| 2|+sin60 （1 ） 2+2220（6 分）如图，在ABCD 中，AC 是对
6、角线，BEAC，DFAC，垂足分别为点 E，F，求证：AE CF21（6 分）有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a 2+2ab+b2（a+ b） 2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2a 2+2ab+b2（a+b） 2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程方案二：方案三：22（6 分）如图，在 44 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上（1）在图 1 中，画出一个与ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图 2 中，画出一个与ABC 成轴对称且与ABC 有公
7、共边的格点三角形；（3）在图 3 中，画出ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的三角形23（8 分）如图，一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k 0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数 y （n 为常数，且 n0）的图象在第二象限交于点 CCDx 轴，垂足为 D，若 OB2OA3OD 12（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为 E，求CDE 的面积；（3）直接写出不等式 kx+b 的解集24（10 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘
8、制了如下的统计图表（不完整）：步数 频数 频率0x 4000 8 a4000x 8000 15 0.38000x 12000 12 b12000x 16000 c 0.216000x 20000 3 0.0620000x 24000 d 0.04请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出 a，b，c，d 的值并补全频数分布直方图；（2）本市约有 37800 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有多少名？（3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都
9、在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率25（12 分）如图，抛物线 yax 2+bx（a0）过点 E（ 10，0），矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE上（点 A 在点 B 的左边），点 C，D 在抛物线上设 A（t，0），当 t2 时，AD4（1）求抛物线的函数表达式（2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持 t2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离26（12 分）在 RtABC 中，ACB90，AC12点 D 在直线 CB 上，以 CA
10、，CD 为边作矩形 ACDE，直线 AB 与直线 CE，DE 的交点分别为 F，G（1）如图，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形若点 G 为 DE 的中点，求 FG 的长若 DGGF，求 BC 的长（2）已知 BC9，是否存在点 D，使得DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1在 0，1， ，1 四个数中，最小的数是（ ）A0 B1 C D1【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可【解答】解：1 01，最小的数是1，故选：
11、D【点评】本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小2如图，直线 a，b 被直线 c 所截，那么1 的同位角是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可【解答】解：由同位角的定义可知，1 的同位角是4，故选：C【点评】此题考查同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解3根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市 2017 年全市生产总值为 13
12、8000000000 元，按可比价格计算，比上年增长 7.3%，数据 138000000000 元用科学记数法表示为（ ）A1.3810 10 元 B1.3810 11 元C1.3810 12 元 D0.138 1012 元【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 138000000000 用科学记数法表示为：1.3810 11故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法
13、的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4实数 a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）A|a| |b| B| ac|ac Cbd Dc +d0【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答【解答】解：从 a、b、c、d 在数轴上的位置可知：ab0，dc1；A、| a|b| ，故选项正确；B、a、c 异号，则 |ac|ac ，故选项错误；C、bd，故选项正确；D、dc1，则 a+d0，故选项正确故选：B【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数右边的数大于左边的
14、数5如图，直线 l 是一次函数 ykx+ b 的图象，若点 A（3，m ）在直线 l 上，则 m 的值是（ ）A5 B C D7【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点 A 代入求解可得【解答】解：将（2，0）、（0，1）代入，得：解得： ，y x+1，将点 A（3，m）代入，得： +1m，即 m ，故选：C【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键6一个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A直三棱柱 B长方体 C圆锥 D立方体【分析】根据三视图的形状可判断几何体的形状【解答】解：观察三视图可知，该几何体是直三棱柱故选：A【点评】本题考查了几何体的三
15、视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键7如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60，90，210让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（ ）A B C D【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率【解答】解：黄扇形区域的圆心角为 90，所以黄区域所占的面积比例为 ，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 ，故选：B【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性用到的知识点为：概率相应的
16、面积与总面积之比8把不等式组 中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）A BC D【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 x+13，得：x2，解不等式2x64，得：x1，将两不等式解集表示在数轴上如下：故选：B【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了9在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8），B（10，2），若以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的 后得到线段 CD，则点
17、A 的对应点 C 的坐标为（ ）A（5，1） B（4，3） C（3，4） D（1，5）【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标【解答】解：以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的横坐标和纵坐标的一半，又A（6，8），端点 C 的坐标为（3，4）故选：C【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键10如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC 的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4若 AA1，则 AD 等于（
18、 ）A2 B3 C D【分析】由 SABC 9、S AEF 4 且 AD 为 BC 边的中线知 SADE SA EF 2，S ABD SABC ，根据DA E DAB 知（ ） 2 ，据此求解可得【解答】解：如图，S ABC 9、S AEF 4，且 AD 为 BC 边的中线，S A DE SAEF 2， SABD SABC ，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC，AEAB，DAE DAB，则（ ） 2 ，即（ ） 2 ，解得 AD2 或 AD （舍），故选：A【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点11如图
19、，若二次函数 yax 2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点A、点 B（1， 0），则二次函数的最大值为 a+b+c；ab +c0；b2 4ac0；当 y0 时，1x3其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得出答案【解答】解：二次函数 yax 2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x1，且开口向下，x1 时，ya+b+ c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故正确；当 x1 时，ab+ c0，故错误；图象与 x 轴有 2 个交点，故 b24ac0，故错误；图象的对称轴为 x1，
20、与 x 轴交于点 A、点 B（1，0），A（3，0），故当 y0 时，1x 3，故正确故选：B【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出 A 点坐标是解题关键12在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2+AC22AO 2+2BO2 成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE4，EF 3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（ ）A B C34 D10【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最
21、小值，再利用 PF2+PG22PN 2+2FN2 即可求出结论【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值DE4，四边形 DEFG 为矩形，GFDE ，MNEF ，MPFN DE2，NPMNMP EF MP1，PF 2+PG22PN 2+2FN22 12+22210故选：D【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出 PN 的最小值是解题的关键二填空题（共 6 小题）13在ABC 中，若A30，B50，则C 100 【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案【解答】解：在ABC
22、中，A30，B50，C1803050 100故答案为：100【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键14化简（x1）（x +1）的结果是 x 21 【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果【解答】解：原式x 21，故答案为：x 21【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键15如图，ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，使得ADCBEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 AC BC 【分析】添加 ACBC，根据三角形高的定义可得ADC BEC90，再证明EBCDAC，然后再添加 ACBC 可利用 AAS 判定ADCBEC
23、【解答】解：添加 ACBC，ABC 的两条高 AD，BE ，ADCBEC90，DAC+C90，EBC+C90，EBCDAC，在ADC 和BEC 中 ，ADCBEC（AAS），故答案为：ACBC【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角16若二元一次方程组 的解为 ，则 ab 【分析】把 x、y 的值代入方程组，再将两式相加即可求出 ab 的值【解答】解：将 代入方程组 ，得： ，+，得：4a4b7，
24、则 ab ，故答案为： 【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出 ab 的值，本题属于基础题型17我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S现已知ABC 的三边长分别为 1，2， ，则ABC 的面积为 1 【分析】根据题目中的面积公式可以求得ABC 的三边长分别为 1，2， 的面积，从而可以解答本题【解答】解：S ，ABC 的三边长分别为 1，2， ，则ABC 的面积为：S 1，故答案为：1【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意
25、，利用题目中的面积公式解答18将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：第 1 行 1第 2 行 2 3 4第 3 行 9 8 7 6 5第 4 行 10 11 12 13 14 15 16第 5 行 25 24 23 22 21 20 19 18 17则 2018 在第 45 行【分析】通过观察可得第 n 行最大一个数为 n2，由此估算 2018 所在的行数，进一步推算得出答案即可【解答】解：44 21936，45 22025，2018 在第 45 行故答案为：45【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题三解答题（共 8 小
26、题）19计算：| 2|+sin60 （1 ） 2+22【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算【解答】解：原式2 + 3 + 【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方20如图，在ABCD 中，AC 是对角线，BEAC ，DFAC，垂足分别为点 E，F，求证：AE CF【分析】由全等三角形的判定定理 AAS 证得ABECDF，则对应边相等：AECF【解答】证明：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB CD ，BAE DCF又 BEAC，DF
27、AC，AEB CFD90在ABE 与CDF 中，得ABE CDF（AAS），AECF【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键21有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a 2+2ab+b2（a+ b） 2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2a 2+2ab+b2（a+b） 2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程方案二：方案三：【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决【解答】解：由题意
28、可得，方案二：a 2+ab+（a+b）ba 2+ab+ab+b2a 2+2ab+b2（a+b） 2，方案三：a 2+ a 2+2ab+b2（a+ b） 2【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程22如图，在 44 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上（1）在图 1 中，画出一个与ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图 2 中，画出一个与ABC 成轴对称且与ABC 有公共边的格点三角形；（3）在图 3 中，画出ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的三角形【分析】（1）根据中心对称的性质即可作出图形；（2）根据轴对称的性质即可作出图形；（
29、3）根据旋转的性质即可求出图形【解答】解：（1）如图所示，DCE 为所求作（2）如图所示，ACD 为所求作（3）如图所示ECD 为所求作【点评】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型23如图，一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数 y （n 为常数，且 n0）的图象在第二象限交于点 CCDx 轴，垂足为 D，若OB2OA3OD 12（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为 E，求CDE 的面积；（3）直接写出不等式 kx+b 的解集【分析】（1）根据三角形相似，可求
30、出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系【解答】解：（1）由已知，OA6，OB 12，OD4CDx 轴OBCDABOACDCD20点 C 坐标为（4，20）nxy80反比例函数解析式为：y把点 A（6，0），B（0，12）代入 ykx+b 得：解得：一次函数解析式为：y2x+12（2）当 2x+12 时，解得x110，x 24当 x10 时，y8点 E 坐标为（10，8）S CDE S CDA +SEDA （3）不等式 kx+b ，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象由图象得，
31、x10，或4x0【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式24现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：步数 频数 频率0x 4000 8 a4000x 8000 15 0.38000x 12000 12 b12000x 16000 c 0.216000x 20000 3 0.0620000x 24000 d 0.04请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出 a，b，c，d 的值并补全频数分布直方图；（2）本市约有 37800 名
32、教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有多少名？（3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率【分析】（1）根据频率频数总数可得答案；（2）用样本中超过 12000 步（包含 12000 步）的频率之和乘以总人数可得答案；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得【解答】解：（1）a8500.16，b12500.24，c500.210，d500.042，补全频数分布直方图如下：（2）37
33、800（0.2+0.06+0.04）11340，答：估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有 11340 名；（3）设 16000x20000 的 3 名教师分别为 A、B、C ，20000x24000 的 2 名教师分别为 X、Y，画树状图如下：由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率为 【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率频数总数，用样本估计整体让整体样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键25如图，抛物线 yax 2+bx（a0）过点 E（10，0）
34、，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A在点 B 的左边），点 C，D 在抛物线上设 A（t ，0），当 t2 时，AD4（1）求抛物线的函数表达式（2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持 t2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离【分析】（1）由点 E 的坐标设抛物线的交点式，再把点 D 的坐标（2，4）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得 BEOAt，据此知 AB102t，再由 xt 时 AD t2+ t，根据矩形的周长公式列出函数解析式
35、，配方成顶点式即可得；（3）由 t2 得出点 A、B、C、D 及对角线交点 P 的坐标，由直线 GH 平分矩形的面积知直线 GH必过点 P，根据 ABCD 知线段 OD 平移后得到的线段是 GH，由线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P 知 PQ 是OBD 中位线，据此可得【解答】解：（1）设抛物线解析式为 yax（x 10），当 t2 时，AD4，点 D 的坐标为（2，4），将点 D 坐标代入解析式得 16a4，解得：a ，抛物线的函数表达式为 y x2+ x；（2）由抛物线的对称性得 BEOAt，AB102t，当 xt 时，AD t2+ t，矩形 ABCD 的周长2（AB+AD）2（
36、102t）+（ t2+ t） t2+t+20 （t1） 2+ ， 0，当 t1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值为 ；（3）如图，当 t2 时，点 A、B、C、D 的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5，2），直线 GH 平分矩形的面积，点 P 是 GH 和 BD 的中点，DPPB，由平移知，PQOBPQ 是ODB 的中位线，PQ OB4，所以抛物线向右平移的距离是 4 个单位【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点26在 RtABC 中，
37、ACB90，AC12点 D 在直线 CB 上，以 CA，CD 为边作矩形 ACDE，直线 AB 与直线 CE，DE 的交点分别为 F，G （1）如图，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形若点 G 为 DE 的中点，求 FG 的长若 DGGF，求 BC 的长（2）已知 BC9，是否存在点 D，使得DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由【分析】（1）只要证明ACF GEF，推出 ，即可解决问题； 如图 1 中，想办法证明1230即可解决问题；（2）分四种情形：如图 2 中，当点 D 在线段 BC 上时，此时只有 GFGD ， 如图 3 中，当点D 在线
38、段 BC 的延长线上，且直线 AB，CE 的交点中 AE 上方时，此时只有 GFDG，如图 4 中，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB，EC 的交点中 BD 下方时，此时只有DFDG ，如图 5 中，当点 D 中线段 CB 的延长线上时，此时只有 DFDG ，分别求解即可解决问题【解答】解：（1）在正方形 ACDE 中，DGGE 6，在 Rt AEG 中，AG 6 ，EGAC，ACFGEF， ， ，FG AG2 如图 1 中，正方形 ACDE 中，AEED，AEF DEF45，EFEF，AEF DEF，12，设12x，AEBC，B1x ，GFGD ，32x，在DBF 中，3+FD
39、B +B180，x+（x+90）+x180，解得 x30，B30，在 RtABC 中，BC 12 （2）在 RtABC 中，AB 15 ，如图 2 中，当点 D 在线段 BC 上时，此时只有 GFGD，DGAC，BDG BCA ，设 BD3x，则 DG4x，BG5x，GFGD 4 x，则 AF159x，AECB，AEF BCF， ， ，整理得：x 26x +50，解得 x1 或 5（舍弃）腰长 GD4x 4如图 3 中，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB，CE 的交点中 AE 上方时，此时只有GFDG ，设 AE3x ，则 EG4x，AG5x，FGDG 12+4x ，AEBC，A
40、EF BCF， ， ，解得 x2 或2（舍弃），腰长 DG4x +1220如图 4 中，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB，EC 的交点中 BD 下方时，此时只有DFDG ，过点 D 作 DH FG设 AE3x，则 EG4x ，AG5x，DG4x+12，FHGH DG cosDGB（4x+12） ，GF2GH ，AFGF AG ，ACDG，ACFGEF， ， ，解得 x 或 （舍弃）腰长 GD4x +12 ，如图 5 中，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，此时只有 DFDG ，作 DHAG 于 H设 AE3x，则 EG4x ，AG5x，DG4x12，FHGH DG cosDGB ，FG2FH ，AFAG FG ，ACEG，ACFGEF， ， ，解得 x 或 （舍弃），腰长 DG4x 12 ，综上所述，等腰DFG 的腰长为 4 或 20 或 或 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
