1、2019 年湖南省长沙一中教育集团中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.每小题只有一个正确答案)1（3 分） 的倒数是（ ）A B C3 D32（3 分）长沙黄花国际机场进一步扩建，其建筑面积约 26 万平方米，将 26 万平方米用科学记数法表示为（ ）A2610 4 平方米 B2.610 4 平方米C2.610 5 平方米 D2.610 6 平方米3（3 分）下列运算中，正确的是（ ）A5m2m3 B（m+n） 2m 2+n2C Dm 2n2（mn） 24（3 分）等腰三角形的一个角是 80，则它顶角的度数是（ ）A80 B80或 20
2、 C80或 50 D205（3 分）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D6（3 分）如图，已知函数 yax+b 和 ykx 的图象交于点 P，则根据图象可得，关于x、y 的二元一次方程组 的解是（ ）A B C D7（3 分）如图，是某几何体的三视图，则该几何体的名称是（ ）A圆柱 B圆锥 C棱柱 D长方体8（3 分）今年我市有 7 万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000 名考生的数学成绩进行统计分析在这个问题中，有下列说法：这 7 万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生是个体；2000 名考生是总体的一个样本；样本容量是
3、 2000其中说法正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个9（3 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC，点 E、F、G、H 分别是AB， BC，CD ，DA 的中点，则下列结论一定正确的是（ ）AHGF GHE BGHE HEF CHEFEFG DHGF HEF10（3 分）某天，学校研究性学习小组的同学从 8 时起骑自行车外出调查，17 时回到学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是（ ）A在离校最远的地方调查的时间是 1415 时B第一次调查从 9 时开始，历时 2hC中午 1213 时休息的地方离校 15kmD返校
4、的速度最慢11（3 分）如图，某建筑物 AC 直立于水平地面，BC 9m，B30，要建造楼梯，使每级台阶高度不超过 20cm，那么此楼梯至少要建（ ）级（最后一级不足 20cm 时，按一级计算， 1.732）A27 B26 C25 D2412（3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x ，且经过点（2，0），有下列说法：abc0；a+ b0； a+cb； 8a+7b+2c0则上述说法正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）分解因式：2a 28 14（3 分）已知点
5、A（a1，2）与点 A（2，b+1）关于 y 轴对称，则 a+b 的值为 15（3 分）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入 10 个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中红球约为 个16（3 分）如图，AB 是 O 的直径，BD，CD 分别是过O 上点 B，C 的切线，且BDC110连接 AC，则A 的度数是 17（3 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x20 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 18（3 分）如图，在ABC 中以点
6、B 为圆心，以 BC 为半径作弧，分别交 AC、AB 于点 D，E，连接 DE，若 DEDC，AE4AD5，则 三、解答题（本大题共 8 个小題，第 19，20 题每小题 6 分，第 21，22 题每小题 6 分，第23，24 題每小題 9 分，第 25，26 题每小题 6 分，共 66 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或濱算步骤）19（6 分）计算：2016 02sin30（ ） 1 20（6 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 x 21（8 分）我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期
7、半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调査了 名同学，其中 C 类女生有 名，D类男生有 名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调査的 A 类和 D 类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率22（8 分）如图，在等腰ABC 中，AC BC ，以 BC 为直径的O 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，过点 D 作 DF AC，垂足为点 F（1
8、）求证：DF 是O 的切线（2）分别延长 CB，FD，相交于点 G，若A60，O 的半径为 10，求阴影部分的面积23（9 分）某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表，已知用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同 运动鞋价格 甲 乙进价（元/双） m m30售价（元/双） 300 200（1）求 m 的值（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共 200 双的总利润不少于 21700 元，且不超过 22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠
9、 a（60a80）元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？24（9 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是 BC 延长线上的一点，AP 交 BD 于点 E，交 CD 于点 H，OP 交 CD 于点 F，且 EF 与 AC 平行（1）求证：EFBD （2）求证：四边形 ACPD 为平行四边形（3）求 OF 的长度25（10 分）如图，已知二次函数图象过点 O（0，0），A（4，0），B（2， ），M 是 OA 中点（1）求此二次函数的解析式（2）已知 P（1， ），点 Q 在抛物线上，点 H 在 x 轴上，当 P、A、Q、H 四
10、点构成以 PA 为边的平行四边形，求此时 H 点的坐标（3）将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折，得曲线 OBA（B为 B 关于 x 轴的对称点），在原抛物线 x 轴的上方部分取一点 C，连接 CM，CM 与翻折后的曲线OBA 交于点 D若CDA 的面积是MDA 面积的 3 倍，这样的点 C 是否存在？若存在，求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由26（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，2），B（3，2），连接AB若对于平面内一点 P，线段 AB 上都存在点 Q，使得 PQ2，则称点 P 是线段 AB的“影子”（1）在点 C（0，1），D（2， ），E（
11、4，5）中，线段 AB 的”影子”是 （2）若点 M（m，n）在直线 yx +2 上，且不是线段 AB 的“影子”，求 m 的取值范围（3）若直线 y x+b 上存在线段 AB 的“影子”，求 b 的取值范围以及“影子”构成的区域面积2019 年湖南省长沙一中教育集团中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.每小题只有一个正确答案)1（3 分） 的倒数是（ ）A B C3 D3【分析】符号不变，然后将这个数的分子和分母互换位置即可求得这个数的倒数【解答】解： 的倒数是3故选：D【点评】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1
12、，我们就称这两个数互为倒数要求掌握并熟练运用2（3 分）长沙黄花国际机场进一步扩建，其建筑面积约 26 万平方米，将 26 万平方米用科学记数法表示为（ ）A2610 4 平方米 B2.610 4 平方米C2.610 5 平方米 D2.610 6 平方米【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：26 万2600002.610 5，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表
13、示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列运算中，正确的是（ ）A5m2m3 B（m+n） 2m 2+n2C Dm 2n2（mn） 2【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、分式的基本性质和积的乘方法则进行计算【解答】解：A、5m2m3m，故 A 错误；B、（m+ n） 2m 2+2mn+n2，故 B 错误；C、 是最简分式，不能约分，故 C 错误；D、m 2n2（mn） 2 故 D 正确故选：D【点评】本题综合考查了合并同类项法则、完全平方公式、分式的基本性质和积的乘方法则，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错
14、4（3 分）等腰三角形的一个角是 80，则它顶角的度数是（ ）A80 B80或 20 C80或 50 D20【分析】分 80角是顶角与底角两种情况讨论求解【解答】解：80角是顶角时，三角形的顶角为 80，80角是底角时，顶角为 18080220，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80或 20故选：B【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解5（3 分）下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形
15、故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选：C【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合6（3 分）如图，已知函数 yax+b 和 ykx 的图象交于点 P，则根据图象可得，关于x、y 的二元一次方程组 的解是（ ）A B C D【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解【解答】解：函数
16、yax +b 和 ykx 的图象交于点 P（3，1），即 x3，y1 同时满足两个一次函数的解析式所以关于 x，y 的方程组 的解是 故选：C【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标7（3 分）如图，是某几何体的三视图，则该几何体的名称是（ ）A圆柱 B圆锥 C棱柱 D长方体【分析】根据 2 个相同的视图可得到所求的几何体是柱体，锥体，还是球体，进而由第3 个视图可得几何体的名称【解答】解：主视图和左视图是长方形，那么该几何体为柱体，
17、第三个视图为圆，那么这个柱体为圆柱故选：A【点评】考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：若三视图里有两个是长方形，那么该几何体是柱体8（3 分）今年我市有 7 万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000 名考生的数学成绩进行统计分析在这个问题中，有下列说法：这 7 万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生是个体；2000 名考生是总体的一个样本；样本容量是 2000其中说法正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目我们在区分总体、
18、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量【解答】解：这 7 万名考生的数学中考成绩的全体是总体，此结论正确；每个考生的数学成绩是个体，此结论错误；2000 名考生的数学成绩是总体的一个样本，此结论错误；样本容量是 2000，此结论正确故选：B【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位9（3 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB
19、CD，ADBC，点 E、F、G、H 分别是AB， BC，CD ，DA 的中点，则下列结论一定正确的是（ ）AHGF GHE BGHE HEF CHEFEFG DHGF HEF【分析】利用三角形中位线定理证明四边形 HEFG 是平行四边形，进而可以得到结论【解答】解：连接 BD，E、F、G、H 分别是 AB， BC，CD，DA 的中点，HEGF BD，HEGF，四边形 HEFG 是平行四边形，HGF HEF，故选：D【点评】本题考查了等腰梯形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是利用中位线定理证得四边形为平行四边形10（3 分）某天，学校研究性学习小组的同学从 8 时起骑自行车外出调查，17
20、时回到学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是（ ）A在离校最远的地方调查的时间是 1415 时B第一次调查从 9 时开始，历时 2hC中午 1213 时休息的地方离校 15kmD返校的速度最慢【分析】根据图中的点的横坐标表示时间，所以点 E 点距离家最远，横坐标表示距家最远的时间，纵坐标表示离家的距离，故判断 A 选项正确；第一次调查开始，即距离不发生变化，由图象即可看出，故 B 选项正确；根据图象的信息，可得出此时距学校的距离问为 15km，故 C 选项正确；分别求得各段时间所对应的直线度斜率，即可判断 D 选项是否正确【解答】解：A、离校最
21、远的地方的调查时间即为离校最远的地方，由图可知 A 选项正确；B、由图象可知，在 9 时时距离不发生变化，即为第一次调查开始，故此选项正确；C、根据图象的信息，可得出此时距学校的距离问为 15km，故此选项正确；故选：D【点评】本题主要考查动点问题的函数的图象，结合图形判断各项是否正确，本题难度一般，熟练提取图象信息11（3 分）如图，某建筑物 AC 直立于水平地面，BC 9m，B30，要建造楼梯，使每级台阶高度不超过 20cm，那么此楼梯至少要建（ ）级（最后一级不足 20cm 时，按一级计算， 1.732）A27 B26 C25 D24【分析】利用 30的正切值求得楼梯高度 AC 即可【解
22、答】解：所有台阶高度和为 AC 的长设此楼梯至少要建 x 阶，可得 tan30 ，所以 x15 26（阶）故选：B【点评】考查了解直角三角形的应用，此题由图得出“所有台阶高度和为 AC 的长”是关键，还要注意统一单位12（3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x ，且经过点（2，0），有下列说法：abc0；a+ b0； a+cb； 8a+7b+2c0则上述说法正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由图象可知：a0，c0，对称轴 x 0，b0，abc0，故正确；由对称轴可知： ，b+a
23、0，故正确；（2， 0）关于直线 x 的对称点为（ 1，0），当 x1 时，y ab+c 0，故 错误；由于 a+b0，ab+c 0，c2a，ba8a+7b+2c8a7a4a3a0，故正确；故选：C【点评】本题考查二次函数，解题的关键熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）分解因式：2a 28 2（a+2）（a2） 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：2a 282（a 24），2（a+2）（a2）故答案为：2（a+2）（a2）【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式
24、分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止14（3 分）已知点 A（a1，2）与点 A（2，b+1）关于 y 轴对称，则 a+b 的值为 0 【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出答案【解答】解：点 A（a1，2）与点 A（2，b+1）关于 y 轴对称，a12，b+12，解得：a1，b1，则 a+b0故答案为：0【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键15（3 分）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入 10 个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）摇匀
25、后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中红球约为 25 个【分析】根据口袋中有 10 个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，口袋中有 10 个白球，假设有 x 个红球， ，解得：x25，口袋中有红球约有 25 个故答案为：25【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键16（3 分）如图，AB 是 O 的直径，BD，CD 分别是过O 上点 B，C 的切线，且BDC110连接 AC，则 A
26、 的度数是 35 【分析】首先连接 OC，由 BD，CD 分别是过 O 上点 B，C 的切线，且BDC110，可求得BOC 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案【解答】解：连接 OC，BD，CD 分别是过O 上点 B，C 的切线，OCCD ，OBBD，OCDOBD90，BDC110，BOC360OCDBDCOBD70，A BOC35故答案为：35【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用17（3 分）若关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2x20 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 k 且 k1 【分析】根据一元二次方程的
27、定义和判别式的意义得到 k10 且2 24（k1）（2）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 k10 且2 24（k1）（2）0，解得：k 且 k1故答案为：k 且 k1【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根18（3 分）如图，在ABC 中以点 B 为圆心，以 BC 为半径作弧，分别交 AC、AB 于点 D，E，连接 DE，若 DEDC，AE4AD5，则 【分析】连接 BD先证明 AEDADB，求出 AB、BE，即可解决问题【解答】解：连接 BD
28、，EDDC， ，CBDDBE，BEBD BC ，在BDE 和BDC 中，BDEBDC（SAS ），BEDBDEBDCBCD，AED+BED 180，ADB +BDC180，AEDADB，AA ，AEDADB， ， ，AB ，BEABAES AED ：S BED4： 16：9，S ADE ：S 四边形 BCDE16：18，S AED ：S ABC 16：（16+18）8：17故答案为： 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共 8 个小題，第 19，20 题每小
29、题 6 分，第 21，22 题每小题 6 分，第23，24 題每小題 9 分，第 25，26 题每小题 6 分，共 66 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或濱算步骤）19（6 分）计算：2016 02sin30（ ） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式12 3+4113+41【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20（6 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 x 【分析】先计算括号内分式的加减，同时将分子、分母因式分解，再约分即可化简原式，继而将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式
30、，当 x 时，原式3【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则21（8 分）我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调査了 20 名同学，其中 C 类女生有 2 名，D 类男生有 1 名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调査的 A 类和 D 类学生中
31、分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率【分析】（1）由扇形统计图可知，特别好的占总数的 15%，人数有条形图可知 3 人，所以调查的样本容量是：315%，即可得出 C 类女生和 D 类男生人数；（2）根据（1）中所求数据得出条形图的高度即可；（3）根据被调査的 A 类和 D 类学生男女生人数列表即可得出答案【解答】解：（1）315% 20，2025%5女生：53 2，125%50%15% 10%，2010%2，男生：21 1，故答案为：20，2，1；（2）如图所示：（3）根据张老师想从被调査的 A 类和 D 类学生中
32、分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，可以将 A 类与 D 类学生分为以下几种情况：男 A 女 A1 女 A2 男 D 男 A 男 D 女 A1 男 D 女 A2 男 D 女 D 女 D 男 A 女 A1 女 D 女 A2 女 D 共有 6 种结果，每种结果出现可能性相等，两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：P（一男一女） 【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22（8 分）如图，在等腰ABC 中，AC BC ，以 BC 为直径
33、的O 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，过点 D 作 DF AC，垂足为点 F（1）求证：DF 是O 的切线（2）分别延长 CB，FD，相交于点 G，若A60，O 的半径为 10，求阴影部分的面积【分析】（1）连接 OD，由等腰三角形的性质证出A ODB，得出 ODAC，证出DFOD ，即可得出结论；（2）证明OBD 是等边三角形，由等边三角形的性质得出BOD 60，求出G30，由直角三角形的性质得出 OG2OD210 20，由勾股定理得出DG10 ，阴影部分的面积ODG 的面积扇形 OBD 的面积，即可得出答案【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示：ACBC，OBOD，ABCA，ABC
34、 ODB，AODB ，ODAC，DFAC，DFOD ，OD 是O 的半径，DF 是 O 的切线；（2）解：ACBC，A60，ABC 是等边三角形，ABC60，ODOB ，OBD 是等边三角形，BOD 60 ，DFOD ，ODG90，G30，DG OD10 ，阴影部分的面积ODG 的面积扇形 OBD 的面积 1010 50 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等23（9 分）某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表，已知用 3000 元购进甲种运动鞋的数量
35、与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同 运动鞋价格 甲 乙进价（元/双） m m30售价（元/双） 300 200（1）求 m 的值（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共 200 双的总利润不少于 21700 元，且不超过 22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠 a（60a80）元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【分析】（1）根据“用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同”列出方程并解答；（2）设购进甲种运动鞋 x 双，表示出乙种运动鞋
36、（200x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；（3）设总利润为 W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可【解答】解：（1）依题意得： ，解得：m150，经检验：m150 是原方程的根，m150；（2）设购进甲种运动鞋 x 双，则乙种运动鞋（200x）双，根据题意得，解得：81 x90，x 为正整数，该专卖店有 9 种进货方案；（3）设总利润为 W，则W（300150a）x+ （200 120）（200x）（70a）x +16000，当 60a70 时，70a0，W 随 x 的增大而增大，当 x9
37、0 时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋 90 双，购进乙种运动鞋 110 双；当 a 70 时， 70a0，W 16000，（2）中所有方案获利都一样；当 70a80 时，70a0，W 随 x 的增大而减小，当 x82 时，W 有最大值，即此时应购进甲种运动鞋 82 双，购进乙种运动鞋 118 双【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系；解题时需要根据一次项系数的情况分情况讨论24（9 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是 BC 延长线上的一点，AP
38、 交 BD 于点 E，交 CD 于点 H，OP 交 CD 于点 F，且 EF 与 AC 平行（1）求证：EFBD （2）求证：四边形 ACPD 为平行四边形（3）求 OF 的长度【分析】（1）根据正方形的性质求出 ACBD，即可得出答案；（2）根据平行线得出 ，求出 ACDP，根据平行四边形的判定推出即可；（3）求出 OE 和 EF 的长，再根据勾股定理求出即可【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ACBD，EFAC，EFBD ；（2）证明：EFAC， ， ，四边形 ABCD 是正方形，ADCP，OAOC， ，即 ，AODP ，ADCP，四边形 ACPD 为平行四边形；（3）解：由勾
39、股定理得：AC BD ，四边形 ACPD 为平行四边形，CPADBC， ，ADBP， ，DE BD ，OEODDE ，DO BD ，DEFDOC90 EDF45，DFE45，EFDE ，在 Rt OEF 中，由勾股定理得：OF 【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键25（10 分）如图，已知二次函数图象过点 O（0，0），A（4，0），B（2， ），M 是 OA 中点（1）求此二次函数的解析式（2）已知 P（1， ），点 Q 在抛物线上，点 H 在 x 轴上，当 P、A、Q、H 四点构成以 PA 为边的平行
40、四边形，求此时 H 点的坐标（3）将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折，得曲线 OBA（B为 B 关于 x 轴的对称点），在原抛物线 x 轴的上方部分取一点 C，连接 CM，CM 与翻折后的曲线OBA 交于点 D若CDA 的面积是MDA 面积的 3 倍，这样的点 C 是否存在？若存在，求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线过原点，在其表达式为：yax 2+bx，将点 A、B 的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分点 H、Q 在直线 PA 下方、当 H、Q 在直线 PA 上方两种情况，求解即可；（3）DECF，则 ，即：CF4DE，MF4ME，即可求解【解答】解
41、：（1）抛物线过原点，在其表达式为：yax 2+bx，将点 A、B 的坐标代入函数表达式得： ，解得： ，故抛物线的表达式为：y x2 x；（2） 当点 H、Q 在直线 PA 下方时，平行四边形 PQHA 位置如下图所示设点 Q 的坐标为（x， x2 x），点 P、A 的坐标分别为（1， ）、（4，0），则点 P 向右平移 3 个单位、向上平移 个单位得到点 A，同样，点 Q 向右平移 3 个单位、向上平移 个单位得到点 H，则点 H 的坐标为（x+3， x2 x+ ），点 H 在 x 轴上，故： x2 x+ 0，解得：x 3 或 1，故点 H 的坐标为（4，0）或（ 6，0）；当点 H、Q
42、在直线 PA 上方时，同理可得点 H 的坐标为（ ，0）或（1 ，0）；故点 H 的坐标为（4，0）或（ 6，0）或（ ，0）或（ 1 ，0）；（3）由题意得：翻折后抛物线的表达式为：y x2+ x，设存在这样的 C 点，S CDA 3S MDA ，CD3MD，即：CM4DM，如图所示，分别过点 D、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E、F，则 DECF， ，CF4DE，MF4ME，设点 C（x， x2 x），则：MFx2，ME MF （x2），OE ME +OM x+ ，点 D x+ ， （ x+ ） 2+ （ x+ ），CF4DE， x2 x4 （ x+ ） 2+ （ x+ ），整理得：
43、x24x 120，解得：x 2 或 6，故点 C 的坐标为（2，4 ）或（6，4 ）【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系26（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，2），B（3，2），连接AB若对于平面内一点 P，线段 AB 上都存在点 Q，使得 PQ2，则称点 P 是线段 AB的“影子”（1）在点 C（0，1），D（2， ），E（4，5）中，线段 AB 的”影子”是 C，D （2）若点 M（m，n）在直线 yx +2 上，且不是线
44、段 AB 的“影子”，求 m 的取值范围（3）若直线 y x+b 上存在线段 AB 的“影子”，求 b 的取值范围以及“影子”构成的区域面积【分析】（1）根据 A、B 的坐标得出 ABx 轴，根据点 P 到直线 AB 的距离2，求出当横坐标1x3 纵坐标 2y4 范围内时，点是线段 AB 的“临近点”，看点的纵坐标是否在 y 的范围内即可以及在 A 点的左边到 A 点的距离2，或在 B 点的右边到 B点的距离2，点是线段 AB 的“临近点”；（2）如图，设直线线 yx+2 交“影子”于点 C，F，如图所示，延长 BA 交 y 轴于E，过 C 作 CDBA 于 BA 的延长线于 D，结合图形和一
45、次函数图象上点的坐标特征来求 m 的范围；（3）当直线 y x+b 与半圆 A 相切、与半圆 B 相切来求 b 的最值，从而得到 b 的取值范围【解答】解：（1）C（0，1）， D（2， ）是线段 AB 的“临近点”理由是：点 P 到直线 AB 的距离2，A、B 的纵坐标都是 2，ABx 轴，220，2+24，当横坐标1x3 纵坐标 2y4 范围内时，该点是线段 AB 的“临近点”，D（2， ），D（2， ）是线段 AB 的“临近点”；C（0，1），A（1，2），AC101，C（0，1）是线段 AB 的“临近点”故答案为：C 和 D；（2）设直线线 yx +2 交“影子”于点 C，F，如图所示，延长 BA 交 y 轴于 E，过 C作 CDBA 于 BA 的延长线于 D，在 Rt ADC 中，设 D（x，2），则 DEx，CDx，DA1x，AC2，（x） 2+（1x ） 24，解得：x 1 ，x 2 ，直线 yx+2 与 x 轴的解得为 F（2，0），m 或 m2；（3）设直线 y x+b 与半圆 B 相切于 G，与 x 轴交于 k，与 y 轴交于 I，过 B 作BHx 轴于 H，则 H（3，0），在 Rt BHK 中， BH2，BKH6
