1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 26 页 专题 12： 圆锥曲线 目录 问题归类篇 . 2 类型一： 方程的标准形式 . 2 类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用 . 4 类型三：离心率或范围的计算 . 8 类型四：直线与圆锥曲线的综合问题 11 综合应用篇 . 16 一、例题分析 . 16 二、反馈巩固 . 19 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 26 页 问题 归类 篇 类型一： 方程的标准形式 一、前测回顾 1 椭圆 x2my24 1 的焦距是 2，则 m 的值是 2.双曲线 x24y2k 1 的离心率 e (1， 2)，
2、则 k 的 取值范围是 3.若 a0，则抛物线 y 4ax2 的焦点坐标为 4.已知直线 l 过点 1,0 且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 2 4y ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_ 答案： 1.3 或 5； 2.( 12,0)； 3.(0, 116a) 4. 1,0 二、方法联想 方程的标准形式 涉及方程标准形式时，必须先设 (或化 )为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分 (或讨论 )焦点在哪轴上，抛物线 要注意 开口方向 三 、 方法应用 例 1.如图，在 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 1( 3, )2，焦点 12( 3, 0), ( 3, 0)FF ，
3、圆 O 的直径为 12FF （ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （ 2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 ,AB两点若 OAB 的面积为 267， 求直线 l 的方程 解： （ 1）因为椭圆 C 的焦点为 1 3,0F ， 2 3,0F， 可设椭圆 C 的方程为 22 10xy abab 又点 13,2在椭圆 C 上， 所以 222231143abab，解得 2241ab， 因此，椭圆 C 的方程为 2 2 14x y 因为圆 O 的直径为 12FF ，所以其方程为 223xy （ 2
4、） 设直线 l 与圆 O 相切于 0 0 0 00, 0P x y x y，则 22003xy， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 26 页 所以直线 l 的方程为 0000xy x x yy ，即 0003xyxyy 由22000143x yxyxyy ，消去 y ，得 2 2 2 20 0 0 04 2 4 3 6 4 0x y x x x y （ *） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 4 4 4 3 6 4 4 8 2 0x x y y y x 因为 0x ， 0 0y ，所以 0 2x
5、 ， 0 1y 因此，点 P 的坐标为 2,1 因 为三角形 OAB 的面积为 267 ，所以 1 2 627AB OP，从而 427AB 设 11,A x y ， 22,B x y ， 由（ *）得 220 0 012 22002 4 4 8 224x y xxxy， 所以 22222 002 01 2 1 2 22 220004 8 214yxxA B x x y yy xy 因为 22003xy， 所以 2022201 6 2 32491xABx，即 42002 4 5 1 0 0 0xx ， 解得 20 52x （ 20 20x 舍去 ） ，则 20 12y ，因此 P 的坐标为 10
6、 2,22 综上，直线 l 的方程为 5 3 2yx 例 2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 )0(1:2222 babyaxC 的右焦点为 F ，点 A 是椭圆的左顶点，过原点的直线 MN 与椭圆交于 NM, 两点（ M 在第三象限），与椭圆的右准线交于 P 点已知 MNAM ，且 243OA OM b （ 1）求椭圆 C 的离心率 e ； （ 2）若 103AMN POFS S a，求椭圆 C 的标准方程 x y 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 26 页 解：（ 1）由题意22222 2 21( ) ( )22xyabaaxy ，消去 y 得 2
7、 222 0c x ax ba ，解得 212 2abx a x c ， ， 所以 22 ( ,0)M abxac ， 2 22 43MA abO A O M x x a bc ， 22 34ca，所以 32e； （ 2）由（ 1） 2 2 2( , )33M b b，右准线 方程为 433xb， 直线 MN 的方程为 2yx ，所以 4 3 4 6( , )33P b b， 21 3 4 6= 2 22 2 3P O F PS O F y b b b ， 22 2 4 222 33A M N A O M MS S O A y b b b ， 所以 224 2 102 2 +33b b a，
8、210 2 2033bb，所以 2, 2 2ba， 椭圆 C 的标准方程为 128 22 yx 四 、归类巩固 *1.以 y 2x 为渐近线的双曲线的离心率是 答案： 3或62 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系 ) *2.以抛物线 y2 4x 的焦点为焦点，以 y x 为渐近线的双曲线的标准方程为 答案： x212 y212 1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系 ) 类型 二 ： 圆锥曲线 定义 及几何性质 的应用 一、 前测回顾 1. 已知 F1、 F2是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的两个焦点 ， P为椭圆 C 上一点 ， 且 P
9、F1 PF2 若 PF1F2 的面积为 9， 则 b 的值为 _ 2.已知定点 A(3， 2)， F 是抛物线 y2 2x 的焦点 ， 点 P 是抛物线上的动点 ， 当 PA PF 最小时 ， 点 P 的坐标为 3. 点 F 为椭圆 x24y23 1 的 右 焦点， 过 点 F 且倾斜角为3的直线交椭圆于 A,B 两点 (AF0， b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心， b为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M、 N 两点 .若 MAN=60，则 C 的离心率为 . 答案 : 233 （ 已知双曲线渐近线与圆的 位置关 系，求离心率 ） *3.双曲线 x24y2k 1 的离心
10、率 e (1， 2)， 则 k 的取值范围是 答案： (0， 12)； (已知离心率的范围，求 参数取值范围 ) *4 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A， B 两点，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 答案： (1， 2) (考查 圆、双曲线的几何性质 ，双曲线的准线与渐近线，离心率问题 ) *5 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A， B 两点 ，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 答案： (1， 2) (考查 圆、双曲线的几何性质 ，双曲线的准线与渐近线，离心率问题 ) *6 已知 O 为坐标原点 ， F 是椭圆 C： x2a2y
11、2b2 1(a b 0)的左焦点 ， A， B 分别为 C 的左 ， 右顶点 P为 C 上一点，且 PF x 轴 ， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E 若直线 BM 经过OE 的中点，则 C 的离心率为 答案： 13 (考查 椭圆的定义，离心率及椭圆的方程 ) *7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是 F1， F2， 这两条曲线在第一象限的交点为 P， PF1F2是以 PF1 为底边的等腰三角形 若 PF1 10， 椭圆和双曲线的离心率分别是 e1， e2，则 e1 e2 的取值范围是 答案： (13, )(已知 有联系的两个圆锥曲
12、线，求离心率的 取值范围 ) *8.设 ABC 是等腰三角形 ， ABC 120， 则以 A， B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 心率为 _ 答案： 3 12 (三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的 取值范围 ) *9.椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左右焦点分别为 F1， F2，若椭圆上恰好有 6个不同的点 P ,使得 PF1F2 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 . 答案： 1 1 1( , ) ( ,1)3 2 2 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 11 页 共 26 页 类型 四 ： 直线与圆锥曲线的综合问题 一、 前测回顾 1 (
13、1)点 A 是椭圆 x236y220 1 的左 顶 点，点 F 是右焦点， 若 点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方， 满足 PA PF，则 点 P 的坐标 为 (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x24y23 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP 的最大值为 答案： (1)(32， 52 3) (2)6 2 (1)如图 ， 椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的上 、 下顶点分别为 A， B， 右焦点为 F， 点 P在椭圆 C 上 ， 且 OP AF， 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q， 若直线 OP 的斜率是直线 BQ的斜率的 2 倍 ， 则 椭圆 C 的
14、离心率 为 (2)已知 椭圆的方程为 x26y22 1， 与右焦点 F 相应的准线 l 与 x 轴相交于点 A， 过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 Q 两点 设 AP AQ ( 1)， 过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M， 证明 ： FM QF (3) 过点 M(1， 1)作斜率为 12的直线与椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)相交于 A， B 两点，若 M 是线段 AB的中点，则椭圆 C 的离心率等于 _ 答案： (1) 22 ； (2)略 ； (3) 22 3 (1)设 P， Q 分别为圆 x2 (y 6)2 2 和椭圆 x210 y2 1 上的点，则 P，
15、 Q 两点间的 最大距离是 (2)已知椭圆 C： x2 2y2 4， O 为原点若点 A 在直线 y 2 上 ， 点 B 在椭圆 C 上 ， 且 OA OB，则 线段 AB 长度的最小值 为 答案：（ 1） 6 2；（ 2） 2 2 二、方法联想 1 椭圆上一个点问题 方法 1：设点 . 设点 (x0,y0)代入方程、列式、消元； 设点 (acos,bsin) 方法 2：求点 . 代入方程、列式、求解 注意 考虑 x0(或 y0)的取值范围 变式： 如图 ， 椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的上 、 下顶点分别为 A， B， 右焦点为F， 点 P 在椭圆 C 上 ， 且 OP AF.
16、 求证 ： 存在椭圆 C， 使直线 AF 平分线段 OP. 答案：略 (已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明 ) 2 直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标 (x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根； 两点均未知 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 12 页 共 26 页 方法 1 设两点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax2 Bx C 0， 由韦达定理得 x1 x2 BA， x1x2 CA， 代入已知条件所得式子消去 x1， x2(其中 y1， y2 通
17、过直线方程化为 x1， x2) 有时也可以直接求出两交点 . 注意 ： (1)设直线方程时讨论垂直于 x 轴情况 ； (2)通过判断交点个数 ； (3)根据需要也可消去 x 得关于 y 的方程 结论：弦长公式 AB 1 k2 x1 x2 1 1 k2 y1 y2 方法 2 设两点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，代入椭圆方程得x12a2 y12b2 1，x22a2y22b2 1，通过已知条件建立 x1、 y1与 x2、y2 的关系，消去 x2、 y2解 关于 x1、 y1 的方程组（或方程） 方法 3 点差法 设 两点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，代入椭圆方程得x12a
18、2 y12b2 1，x22a2y22b2 1，两式相减得 y1 y2x1 x2 b2a2x1 x2y1 y2， 即 kAB b2a2x0y0， 其中 AB 中点 M 为 (x0， y0) 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题 3. 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上 (非线性约束条件 )的条件下 ， 求相关式子 (目标函数 )的取值范围问题 ， 常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题 ， 或 根据平面几何知识或引入一个参数 (有几何意义 )化为函数进行处理 (2)由直线 (系 )和圆锥曲线 (系 )的位置关系 ， 求直线或圆锥曲线中某个参数 (系数 )的范围问题
19、， 常把所求参数作为函数 ， 另一个元作为自变量求解 三、 方法应用 例 1.已知椭圆 22: 1 0xyM a bab 的离心率为 63，焦距为 22 斜率为 k 的直 线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ， B （ 1） 求椭圆 M 的方程； （ 2） 若 1k ，求 |AB 的最大值； （ 3）设 20P, ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D 若 C ， D和点 71( , )44Q 共线，求 k 解： （ 1）由题意得 2 2 2c ，所以 2c ， 又 63ce a，所以 3a ，所以 2 2 2 1b a c ， 所以椭
20、圆 M 的标准方程为 2 2 13x y （ 2）设直线 AB 的方程为 y x m ， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 13 页 共 26 页 由 22 13y x mx y 消去 y 可得 224 6 3 3 0x m x m ， 则 2 2 23 6 4 4 3 3 4 8 1 2 0m m m ，即 2 4 ， 设 11Ax y, ， 22Bx y, ，则1232mxx ， 212 334mxx ， 则 22221 2 1 2 1 2 641 1 4 2 mA B k x x k x x x x ， 易得当 2 0m 时， max| | 6AB ，故 AB 的最大
21、值为 6 （ 3）设 11Ax y, ， 22Bx y, ， 33Cx y, ， 44Dx y, ， 则 221133xy ， 2233xy ， 又 20P, ，所 以可设 11 1 2PA ykk x，直线 PA 的方程为 1 2y k x， 由 12 2213y k xx y消去 y 可得 2 2 2 21 1 11 3 1 2 1 2 3 0k x k x k ， 则 2113 211213kxx k ，即 2131211213kxxk ， 又 11 1 2yk x ，代入 式可得 13 17 1247xx x ，所以 13 147yy x ， 所以 117 124 7 4 7xyC x
22、x,，同理可得 227 1 24 7 4 7xyD xx, 故3371,44Q C x y ，447144Q D x y ,， 因为 Q ， C ， D 三点共线，所以3 4 4 37 1 7 1 04 4 4 4x y x y ， 将点 C ， D 的坐标代入化简可得 12121yyxx ，即 1k 例 2.已知点 P(0， 1)，椭圆 24x +y2=m(m1)上两点 A， B 满足 AP =2PB ，则当 m=_时，点 B 坐标的绝对值最大 解： 方法一：设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 当直线斜率不存在时， 9m ， 2 0x . 当直线斜率存在时，设 AB
23、为 1y kx.联立 2 241x ymy kx 得 22( 4 1 ) 8 4 4 0k x k x m ，20 4 1 0m k m ，12 2841kxx k ， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 14 页 共 26 页 12 24441mxx k . 2AP PB ， 122xx ，解得1 21641kx k ，2 2841kx k . 2 28 8 2141 4kxk k k （当且仅当 12k 时取“ ”） . 12 221 6 8 84 1 4 1kkxx kk ，12 244 2241mx x mk ，得 5m ， 当 5m 时，点 B 横坐标最大 . 方法
24、二：设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，则 11( ,1 )AP x y ， 22( , 1)PB x y， 2AP PB ， 12232xxyy ， 22222222( 2 ) ( 3 2 ) (1 )4( 2 )4x ymx ym ，由 (1) (2) 得2 34my .(3) 将 (3) 代入 (2) ，得 222 ( 5) 1 64mx ， 22 ( 5 ) 1 62mx ， 当 5m 时， 2x 取最大值 . 例 3.设椭圆 221xxab(ab0)的左焦点为 F， 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 53 ， 点 A的坐标为 (,0)b ，且 62FB AB.
25、 （ I）求椭圆的方程； （ II）设直线 l： ( 0)y kx k与椭圆在第一象限的交点为 P， 且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 52 s in4AQ A O QPQ (O 为原点 ) ， 求 k 的值 . 解： （ 1） 设椭圆的焦距为 2c ，由已知 有 22 59ca ， 又由 2 2 2a b c，可得 23ab 由已知可得， FB a ， 2AB b ， 由 62FB AB，可得 6ab ，从而 3a ， 2b 所以，椭圆的方程为 22194xy （ 2） 设点 P 的坐标为 11,xy ，点 Q 的坐标为 22,xy 由已知有 120yy，故 12sinP Q A O
26、Q y y 又因为 2sin yAQ OAB ，而 4OAB，故 22AQ y 由 52 sin4AQ A O QPQ ，可得 1259yy 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 15 页 共 26 页 由方程组 22194y kxxy消去 x ，可得1 2694ky k 易知直线 AB 的方程为 20xy， 由方程组20y kxxy 消去 x ，可得2 2 1ky k 由 1259yy ，可得 25 1 3 9 4kk ， 两边平方，整理得 256 50 11 0kk ， 解得 12k，或 1128k 所以， k 的值为 12或 1128 四 、归类巩固 *1.由椭圆 x22
27、 y2 1 的 左 焦点 作倾斜角为 45的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点 则 OA OB 答案： 13 (考查 直线与椭圆的交点问题，向量的数量积 ) 2 如图 ， 在平面直角 坐标系 xOy 中 ， 已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为22 ， 长轴长为 4.过椭圆的左顶点 A 作直线 l， 分别交椭圆和圆 x2 y2 a2于相异两点 P， Q. * 若直线 l 的斜率为 12， 求 APAQ的值； * 若 PQ AP ， 求实数 的取值范围 答案： 56； （ 0,1） (已知直线与椭圆、圆分 别交于两点，并且其中一点已知，求另一点 ) *3.设椭圆 x2a2y2b
28、2 1(a b 0)的左焦点为 F，离心率为33 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 33 .设 A， B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C， D 两点若 AC DB AD CB 8，求 k 的值 答案： 8 63 . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率 ) *4.已知椭圆 C： x26y22 1 设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x 3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P， Q. 证明： OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点 )； 当 |TF|PQ|最小时，求点 T 的坐标
29、 答案 ： T点的坐标是 ( 3， 1)或 ( 3， 1) (求取最值时的条件 ) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 16 页 共 26 页 综合 应用 篇 一、 例题分析 例 1. 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 为椭圆上一点（在 x 轴上方），连结 PF1并延长交椭圆于另一点 Q，设 PF1 F1Q *（ 1） 若点 P 的坐标为 (1， 32)， 且 PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程； *（ 2）若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e 12， 22 ，求
30、 实数 的取值范围 解： （ 1）因为 F1， F2为椭圆 C 的两焦点，且 P， Q 为椭圆上的点， 所以 PF1 PF2 QF1 QF2 2a，从而 PQF2的周长为 4a 由题意，得 4a 8，解得 a 2 因为 点 P 的坐标为 (1， 32)， 所以 1a2 94b2 1， 解得 b2 3 所以椭圆 C 的方程为 x24y23 1 （ 2） 方法一： 因为 PF2 x 轴，且 P 在 x 轴上方，故 设 P(c， y0)， y0 0设 Q(x1， y1) 因为 P 在椭圆上，所以 c2a2y20b2 1，解得 y0b2a，即 P(c，b2a ). 因为 F1( c， 0)，所以 PF
31、1 ( 2c， b2a )， F1Q (x1 c， y1) 由 PF1 F1Q ，得 2c (x1 c)， b2a y1， 解得 x1 2 c， y1 b2a，所以 Q( 2 c， b2a). 因为点 Q 在椭圆上，所以 ( 2 )2e2 b22a2 1， 即 ( 2)2e2 (1 e2) 2， (2 4 3)e2 2 1， 因为 1 0， （第 18 题） x O y P F1 F2 Q 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 17 页 共 26 页 所以 ( 3)e2 1， 从而 3e2 11 e2 41 e2 3 因为 e 12， 22 ， 所以 14 e2 12，即 73
32、 5 所以 的取值范围为 73， 5 方法 二 ： 因为 PF2 x 轴，且 P 在 x 轴上方，故 设 P(c， y0)， y0 0 因为 P 在椭圆上，所以 c2a2y20b2 1，解得 y0b2a，即 P(c，b2a ) 因为 F1( c， 0)，故直线 PF1 的方程为 y b22ac(x c) 由y b22ac(x c)，x2a2y2b2 1，得 (4c2 b2)x2 2b2cx c2(b2 4a2) 0 因为直线 PF1与椭 圆有一个交点为 P(c， b2a )设 Q(x1， y1)， 则 x1 c 2b2c4c2 b2，即 c x12b2c4c2 b2 因为 PF1 F1Q ，
33、所以 2c c x1 4c2 b2b2 3c2 a2a2 c2 3e2 11 e2 41 e2 3 因为 e 12， 22 ， 所以 14 e2 12，即 73 5 所以 的取值范围为 73， 5 教学建议 （ 1）问题归类与方法 ： 本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围 . 求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形， 题中给出的是关于基本量 a， b， c 的齐次不等关系； 题中给出的是 关于基本量 a， b， c 与某一变化的量之间的 一个等量关系，即 f(P) g(a， b， c)， 根据 g(a，b， c)在 f(P)的值域内，可得关于 基本量 a， b，
34、c 的齐次不等关系 （ 2）方法选择与优化 ： 本题 既可以从 向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式， 也可以从 P 点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用 表示离心率 e，解不等式求出 的范围 . 例 2.已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点为 F( c， 0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为 (0， c)， EFA 的面积为 b22 . *（ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设点 Q 在线段 AE 上， |FQ| 32c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M， N 在 x 轴上， PM QN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边
35、形 PQNM 的面积为 3c. 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 18 页 共 26 页 *（ i）求直线 FP 的斜率； *（ ii）求椭圆的方程 . 解 ： (1)设椭圆的离心率为 e.由已知，可得 12(c a)c b22.又由 b2 a2 c2，可得 2c2 ac a2 0，即 2e2 e 1 0.又因为 0 e 1，解得 e 12. 所以，椭圆的离心率为 12. （ 2）（ ） 方法一 ： 依题意，设直线 FP的方程为 x my c(m 0)，则直线 FP 的斜率为 1m. 由（ ）知 a 2c，可得直线 AE 的方程为 x2c yc 1，即 x 2y 2c 0，
36、与直线 FP 的方程联立，可解得 x (2m 2)cm 2 ， y 3cm 2，即点 Q的坐标为 (2m 2)cm 2 ， 3cm 2). 由已知 |FQ|=3c2 ，有 (2m 2)cm 2 c2 ( 3cm 2)2 (3c2 )2，整理得 3m2 4m 0， 所以 m 43，即直线 FP 的斜率为 34. 方法二 ： 由（ ）知 a 2c，可得直线 AE的方程为 x2c yc 1，即 x 2y 2c 0，又 |FQ| 32c设 Q(x0， y0) ，则 x0 2y0 2c 0(x0 c)2 y02 94c2 消 y0 得 5x20 4cx0 c2 0， x0 c（舍）或 c5 ，所以 Q(
37、c5，910c) ， 直线 FP的斜率为 34. （ ii） 方法一： 由 （ i） 得直线 FP 的方程为 3x 4y 3c 0 ，与椭圆 x24c2y23c2 1 联立得 7x2 6cx 13c20， x 137 c （舍）或 c ，所以 P(c， 32c) 由 （ i） 得 Q(c5， 910c)，由题直线 QN,直线 PM 的斜率一定存在，设为 k0 , 设 PM： k0x y k0c 32c 0 ， QN： k0x y k05 c 910c 0，两平行线距 离为| k0c 32c k0c5 910c|k02 1 c ，解得 k0 43 ，所以 M(178 c， 0)， N(78c，
38、0) ， 四边形 PQNM 的面积为 S PFM S FQN 12(178 c c) 32c 12(78c c) 910c 3c ，解得 c 2 ，所以椭圆的方程为 x216y212 1 . 方法二： 同方法一求出 k0 43，所以 FP QN， FP PM , 又 P(c， 32c)， Q(c5， 910c)， 直线 FP 的斜率为 34.即 tan PFM 34 ， |FQ| 32c， |FP| 52c，所以 四边形 PQNM 的面积为 12(QN PM) c 12(3432c 3452c) c 3c ，解得 c 2 ，所以椭圆的方程为 x216y212 1 . 方法三： 可利用 |FQ|
39、 32c， |FP| 52c 得 FP FQ c 即 直线 PM 与直线 QN 间的距离 ，直接得 FP QN，FP PM，避免求 k0 的值 简化 运算 过程 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 19 页 共 26 页 教学建议 （ 1）问题归类与方法 ： 1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量 a， b， c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 2 直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标 (x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根； 两点均未知 方法 1 设两点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，直线方程与椭圆方程联
40、立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax2 Bx C 0， 由韦达定理得 x1 x2 BA， x1x2 CA， 代入已知条件所得式子消去 x1， x2(其中 y1， y2 通过直线方程化为 x1， x2) 有时也可以直接求出两交点 . （ 2）方法选择与优化 ： 本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察 了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用 a,b,c,e的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形 PQNM的几何关系，从而求解面积 ，计算结果，本题计算量比较大
41、. 二、反馈巩固 *1 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为33 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A， B两点 若 AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 答案： x23y22 1 (考查 椭圆的定义，离心率及椭圆的方程 ) *2.在平面直角坐标系 xOy 中 ， P 为双曲线 x2 y2 1 右支上的一个动点 若点 P 到直线 x y 1 0 的距离大于 c 恒成立 ， 则实数 c 的最大值为 _ 答案：22 (利用双曲线与渐近线的几何性质 求解 ) *3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 x2a2y2b2 1(a
42、b 0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于 B,C两点，且 BFC 90,则该椭圆的离心率是 . 答案 : 63(考查 椭圆的定义，离 心率及椭圆的方程 ) *4 已知方程 x2m2+ny23m2n=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值范围是 . 答案： (1,3) (考查 双曲线的标准方程及几何性质 ) *5 椭圆 C： x24y23 1的左右顶点分别为 A1， A2，点 P在 C上且直线 PA2斜率的取值范围为 2， 1，那么直线 PA1的斜率的取值范围是 答案： 38， 34 (考查 椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域 ) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 20 页 共 26 页 x y O A P B *6 设 F1， F2 分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0 b 1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A， B 两点 若 AF1
