1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 1 专题 5：不等式问题 目录 问题归类篇 . 2 类型一 : 解不等式 . 2 类型二 :不等式恒成立 . 3 类型三 :基本不等式 . 5 类型四 : f(x) x ax型函数 7 类型五 : f(x) ax2 bx cdx e (或 f(x)dx eax2 bx c)型 8 类型六 : 线性规划 . 10 综合应用篇 . 12 一、例题分析 . 12 二 、反馈巩固 . 13 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 2 问题归类篇 类型一 : 解不等式 一 、前测 回顾 1 解下列不等式 ： (1) 3x2 4x 4 0 (2)
2、 2 xx 1 2 (3) 4x 3 2x 12 8 0 （ 4） ax2 ax 1 0 答案： (1)( 23， 2)； (2) ( ， 4 ( 1， )； (3)( ， 52； (4) 当 0 a 4 时，解集为 ；当 a 4 时， a a2 4a2a xa a2 4a2a ； 当 a 0 时， x a a2 4a2a 或 xa a2 4a2a 二、方法联想 一元二次不等式 从四个方面考虑 ： (1)二次项系数为 0 和正负情况 ； (2)二次方程根是否存在情况 (优先用十字相乘法求根 )； (3)二次方程根的大小情况 ； (4)二次不等式的不等号方向 分式不等式 (1) f(x)g(x)
3、 0 等价于 f(x)g(x) 0； f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0 (2) f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0，g(x) 0； f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0，g(x) 0 三、 方法应用 例 1. 已知函数 f(x) |x| |x 4|，则不等式 f(x2 2) f(x)的解集用区间表示为 _ 答案 ( ， 2) ( 2， ) 思路分析 作出函数 f(x) |x| |x 4|的图像，通过函数的图像并结合单调性，得出关于 x 的不等式组，解得 x的取值范围 函数 f(x)的图像如图 ， 知图像关于直线 x 2 对称 因为 x2 2 0
4、且 f(x2 2) f(x)， 则必有 x2 2 4，x2 2 x，4 x2 2 x，即 x2 2，x2 x 2 0，x2 x 2 0，解得 x ( ， 2) ( 2， ) 解后反思 本题主要考查分段函数的图像和性质、一元二次不等式等基础知识，考查数形结合、分类讨论等思想及运算求解能力 例 2. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ， 当 x 0 时 ， f(x) x2 4x， 则不等式 f(x) x 的解集为_ 答案 ( 5,0) (5， ) 解法 1 不等式 f(x) x 的解集 ， 即为函 数 y f(x)图像在函数 y x 图像上方部分 x 的取值范围 因为函数 f(x)和 y
5、 x 都是 R 上的奇函数 ， 且方程 f(x) x 的根为 5 ,0， 由图像知 ， 不等式 f(x) x 的解集为 ( 5,0)南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 3 (5， ) 解法 2 令 x 0， 则 x 0， 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ， 所以 f(x) f( x) ( x)2 4(x) x2 4x.要使 f(x) x， 则 x 0，x2 4x x 或 x 0， x2 4x x 或 x 0，0 x， 解得 5 x 0 或 x 5， 所以不等式 f(x) x 的解集为 ( 5,0) (5， ) 四 、归类巩固 *1、 设 0 ,不等式 28 (8 s
6、in ) c o s 2 0xx 对 xR 恒成立 ,则 的取值范围为 _. (一元二次不等式恒成立 ) 答案： ,656,0 *2、 已知实数 a， b， c满足 a b c 0， a2 b2 c2 1，则 a的最大值是 _ 答案： 36 (判别式法 ) 类型二 :不等式恒成立 一 、前测 回顾 1 若对任意 x R， 都有 (m 2)x2 2(m 2)x 4 0 恒成立 ， 则实数 m 的取值范围是 2 若对任意 x 0， 都有 mx2 2x 1 0 恒成立 ， 则实数 m 的取值范围是 3 若对任意 1 m 1， 都有 mx2 2x 1 m 0 恒成立 ， 则实数 x 的取值范围是 答案
7、： (1)( 2， 2； (2)( ， 0； (3)( 3 1， 2) 二、方法联想 恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 方法 1 结合二次函数图象分析 方法 2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题 若关于 x 的不等式 ax b 0 对任意 x m， n上恒成立 ， 则 f(m) 0，f(n) 0； 若关于 x 的不等式 ax b 0 对任意 x m， n上恒成立 ， 则 f(m) 0，f(n) 0 三、 方法应用 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 4 例 (2017 全国卷 ) 设函数 f(x) (1 x2)ex (1)讨论 f(x)的单调性 ； (2)当 x 0
8、时 ， f(x) ax 1， 求 a 的取值范围 解 :(1)f (x) (1 2x x2)ex 令 f (x) 0， 得 x 1 2或 x 1 2 当 x ( ， 1 2)时 ， f (x) 0； 当 x ( 1 2， 1 2)时 ， f (x) 0； 当 x ( 1 2， )时 ， f (x) 0 所以 f(x)在 ( ， 1 2)， ( 1 2， )上单调递减 ， 在 ( 1 2， 1 2)上单调递增 (2)f(x) (1 x)(1 x)ex 当 a 1 时 ， 设函数 h(x) (1 x)ex， 则 h (x) xex 0(x 0)， 因此 h(x)在 0， )上单调递减 ， 而h(0
9、) 1， 故 h(x) 1， 所以 f(x) (x 1)h(x) x 1 ax 1 当 0 a 1 时 ， 设函数 g(x) ex x 1， 则 g (x) ex 1 0(x 0)， 所以 g(x)在 0， )上单调递增 ，而 g(0) 0， 故 ex x 1 当 0 x 1 时 ， f(x) (1 x)(1 x)2， (1 x)(1 x)2 ax 1 x(1 a x x2)， 取 x0 5 4a 12 ， 则x0 (0， 1)， (1 x0)(1 x0)2 ax0 1 0， 故 f(x0) ax0 1 当 a 0 时 ， 取 x0 5 12 ， 则 x0 (0， 1)， f(x0) (1 x
10、0)(1 x0)2 1 ax0 1 综上 ， a 的取值范围是 1， ) 四 、 归类巩固 *1、 已知当 x (0， +)时，不等式 9x-m3 x+m+10恒成立，求实数 m的取值范围 . 答案： m0， b0， a+b=5，则 a+1+ b+3的最大值为 . 解答： 3 2 *2、 若不等式 x2 2xya(x2 y2)对于一切正数 x， y恒成立，则实数 a的最小值为 _ (结构特征 ,消元 ) 答案：215*3.若正实数 yx, 满足 xyyx 62 ，则 xy 的最小值是 ； (考查基本不等式 ) 答案 )0,( *4已知 f(x) 32x (k 1)3x 2，当 x R 时，若
11、f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是 _； (考查不等式恒成立 ). 答案 ( ， 1 2 2) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 7 *5已知二次函数 f(x) ax2 2x c(x R)的值域为 0， )，则 a 1c c 1a 的最小值为_； (考查函数 性质应用 ,基本不等式 ). 答案 4 类型四 : f(x) x ax型函数 一 、前测 回顾 求下列函数的值域 ： (1)y x2 5x2 4； (2)f(x) xax， x 1， 2 答案： (1)52； (2)当 a 1 时，值域为 1 a， 2 a2，当 1 a 2 时，值域为 2 a， 2 a2， 当 2 a
12、 4 值域为 2 a， 1 a，当 a 4 时，值域为 2 a2， 1 a 二、方法联想 对于 f(x) x ax， 当 a 0 时 ， f(x)在 ( ， 0)， (0， )为增函数 ； 当 a 0 时 ， f(x)在 ( ， a)， ( a， )为增函数 ； 在 ( a， 0)， (0， a)为减函数 注意 在解答题中利用函数 f(x) x ax的单调性 时 ， 需要利用导数进行证明 三、 方法应 用 例 . 若实数 x， y 满足 xy 3x 3 0 x 12 ， 则 3x 1y 3的最小值为 _ 答案 8 解法 1 因为实数 x， y 满足 xy 3x 3 0 x 12 ， 所以 y
13、3x 3(y 3)， 所以 3x 1y 3 y 3 1y 3 y 3 1y 3 6 2 y 3 1y 3 6 8， 当且仅当 y 3 1y 3， 即 y 4时取等号 ， 此时 x 37， 所以 3x 1y 3的最小值为 8. 解法 2 因为实数 x， y 满足 xy 3x 3 0 x 12 ， 所以 y 3x 3(y 3)， y 3 3x 6 0， 所以 3x 1y 3 3x 13x 6 3x 6 13x 6 6 2 3x 6 13x 6 6 8， 当且仅当 3x 6 13x 6， 即 x 37时取等号 ， 此时 y 4， 所以 3x 1y 3的最小值为 8. 四 、归类巩固 南京市 2019
14、 届高三 数学 二轮专题复习资料 8 *1、若函数 222)( xx axf的值域为 ,0 ,则实数 a 的取值范围是 . 答案： 1, (问题转化 ) *2、 设 k0，若关于 x的不等式 kx+ 4x-15在 (1， +)上恒成立，则 k的最小值为 . 答案： 1 类型五 : f(x) ax2 bx cdx e (或 f(x)dx eax2 bx c)型 一 、前测 回顾 求下列函数的值域 ： (1)y x2 2x 22x 1 (x12) (2)y x 1x2 x 2(x 1) 答案： (1) 5 12 ， )； (2) 12， 0) 二、方法联想 令 dx e t 进行换元 (即将二次部
15、分用一次部分表示 )， 转化为 f(x) x ax型函数问题 三、 方法应用 例 .如图，某机械厂要将长 6 m，宽 2 m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪已知点 F 为 AD 的中点，点 E在边 BC 上，裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处 (点 C， D 分别落在直线 BC 下方点 M，N 处， FN 交边 BC 于点 P)，再沿直线 PE 裁剪 (1) 当 EFP 4时，试判断四边形 MNPE 的形状，并求其面积； (2) 若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由 解答 (1) 当 EFP 4时 ， 由条件得 EFP EFD FE
16、P 4. 所以 FPE 2.所以 FN BC， 四边形 MNPE 为矩形 (3分 ) 所以四边形 MNPE 的面积 S PNMN 2(m2). (5分 ) (2) 解法 1 设 EFD 0 2 ， 由条件 ， 知 EFP EFD FEP . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 9 所以 PF 2sin 2 2sin2， NP NF PF 3 2sin2， ME 3 2tan.(8分 ) 由 3 2sin2 0，3 2tan 0，0 2，得 sin2 23，tan 23，0 2.(*) 所以四边形 MNPE 面积为 S 12(NP ME)MN 12 3 2sin2 3 2tan 2
17、 6 2tan 2sin2 6 2tan 2sin2 cos22sincos 6 tan 3tan (12分 ) 6 2 tan 3tan 6 2 3. 当且仅当 tan 3tan， 即 tan 3， 3时取 “ ” (14分 ) 此时 ， (*)成立 答 ： 当 EFD 3时 ， 沿直线 PE 裁剪 ， 四边形 MNPE 面积最大 ， 最大值为 (6 2 3) m2.(16分 ) 解法 2 设 BE t,3 t 6， 则 ME 6 t. 因为 EFP EFD FEP， 所以 PE PF， 即 t BP 3 BP2 22. 所以 BP 13 t223 t， NP 3 PF 3 PE 3 (t
18、BP) 3 t13 t223 t.(8分 ) 由 3 t 6，13 t223 t 0，3 t 13 t223 t 0，得 3 t 6，t 13，t2 12t 31 0.(*) 所以四边形 MNPE 面积为 S 12(NP ME)MN 12 3 t 13 t26 2t 6 t 2 3t2 30t 6723 t (12分 ) 6 32t 3 2t 3 6 2 3. 当且仅当 32(t 3) 2t 3， 即 t 3 43 3 2 33 时取 “ ” (14分 ) 此时 ， (*)成立 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 10 答 ： 当点 E 距点 B 3 2 33 m 时 ， 沿直线
19、 PE 裁剪 ， 四边形 MNPE 面积最大 ， 最大值为 (6 2 3) m2. 四 、归 类巩固 *1、 已知 x52，求 f(x) x2 4x 52x 4 最小值 答案： 14 *2、若不等式 )(3 22 babba 对任意 Rba , 恒成立 ,则实数 的最大值为 . (结构特征 ,消元 ) 答案： 2 类型六 : 线性规划 一 、前测 回顾 1 设 x， y 满足约束条件x 4y 33x 5y 25x 1， 则 (1) z x 2y 的最小值为 ； (2)z 2x y 的最大值为 ； (3) z x2 2x y2 的最大值为 ； (4) z yx 4的最大值为 答案： (1)3；
20、(2)8； (3)39； (4)2225 二、方法联想 利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值 三、 方法应用 例 1. 已知点 P 是 ABC 内一点 (不包括边界 )，且 AP mAB nAC ， m， n R，则 (m 2)2 (n 2)2 的取值范围是 _ 答案 92， 8 思路分析 注意到点 P是 ABC内一点 (不包括边界 )，且 AP mAB nAC ， m， n R，所以 m， n满足条件 m 0，n 0，m n 1，因此，本题的本质就是在约束条件下求目标式 (m 2)2 (n 2)2的取值范围，而 (m 2)2 (n 2)2表示的是区域内的动点
21、 (m， n)到点 (2,2)的距离的平方，因此，利用此几何意义不难得到问题的答案 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 11 因为点 P 是 ABC 内一点 (不包括边界 )， 且 AP mAB nAC ， 所以 m， n 满足条件 m 0，n 0，m n 1，作出不等式组平面区域如图所示 因为 (m 2)2 (n 2)2 表示的是区域内的动点 (m， n)到点 A(2,2)的距离的平方 因为点 A 到直线 m n 1 的距离为 |2 2 1|2 32， 故 32 2 (m 2)2 (n 2)2 OA2， 即 (m 2)2 (n 2)2 的取值范围是 92， 8 . 解后反思 本
22、题是隐藏在向量背景下的线性规划问题，本题的关键在于找到 m， n所满足的不等关系，有了不等关系，只需按线性规划问题的处理方法进行求解即可 四 、归类巩固 *1.已知实数 x， y 满足 y 0，y x 1 0，y 2x 4 0，若 z y ax 取得最大值时的最优解 (x， y)有无数个，则 a 的值为 _； (考查线性规划 ). 答案 1 *2、已知函数 caxxf 2)( ,且 5)2(2,3)1(1 ff ,则 )3(f 的取值范围是 . (看成线性规划问题或同向不等式相加 ) 答案： 335,31*3、三次函数 32 ,f x x b x c x d b c d R 在区间 1,2 上
23、是减函数，那么 bc 的取值范围是 （线性规划与二次函数、导数等知识结合） 答案： 15,2 *4、已知 ,是三次函数 3211 2,32f x x a x b x a b R 的两个极值点，且 0,1 , 1, 2，则 21ba 的取值范围是 （线性规划与根的分布结合） 答案： 1,14*5、已知三个正实数 ,abc满足 2 , 2b a c b a b c a ，则 ab 的取值范围是 _ （三个变量向两个变量转化的线性规划问题） 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 12 答案： 23,32综合应用篇 一 、例题分析 例 1 设函数 f(x) x2 ax 3 (1)当 x R
24、 时， f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围； (2)当 x 2， 2时， f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围； (3)设不等式 f(x) a 对于满足 1 a 3 的一切 a 的取值都成立，求 x 的取值范围 解： (1) 6 a 2 (2) 7 a 2 思路 1： (利用二次函数的图象 ) 注：此方法可改进，由 f(2) a， f( 2) a 得 7 a 73对称轴 x a2 76， 72，可少讨论一种情况 思路 2： (求函数的最值 ) 注：此方法可改进，由 f(2) a， f( 2) a 得 7 a 73，再进行分类讨论 思路 3： (变量分离后，再求函数的最值 ) (3)
25、x 3 或 x 0 【教学建议】 1 本题 涉及到不等式恒成立问题，通常思路有 3 种 ， f(x) 0， x D 恒成立 f(x)min 0 转化为求 函数 f(x)的最小值 (求最值时，可能要对参数进行讨论 )； 选进行变量分离，再求函数的最值；即 f(x) a， x D 恒成立 f(x)min a 利用函数 的图象和几何意义； 2本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理 第二问是二次不等式对 x 2， 2恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优 例 2 设 m， n R，若直线 (m 1)x (n 1)y 2 0 与圆
26、 (x 1)2 (y 1)2 1 相切，求 m n 的取值范围 解 m n ( ， 2 2 2 2 2 2， ) 思路 1： (基本不等式 ) 思路 2： (消元 转化为求函数的值域 ) 思路 3： (利用图形的几何意义 ) 【教学建议】 1 本题是求二元函数的值域问题 这类问题主要有 3 种解题思路： 直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值； 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 13 消元转化为一元函数，再求最值； 将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域 2 本题 3 种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一
27、般方法，本题中方法三难度较大，对思维的要求很高，但比较直观，在小题中使用较好 例 3 在 ABC 中 ， AB AC， D 为 AC 中点，且 BD 3，求 ABC 的面积的最大值 解： S 取最大值 2 思路 1：（代数方法）建立目标函数，求最值 思路 2：（几何方法） 【教学建议】 1本题是实际问题中的最值问题这类问题通常有 2 种思路： 根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算； 建立目标函数，转化为求函数的最值 2本题采用思路 2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二 3方 法一有纯
28、代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质，由于 BD 已知，因而要使面积最大，只需 A 到 BD 的距离最大，由于点 A 要求满足 AB 2AD，因而它的轨迹是一个圆，问题就转化为求轨迹上的点到直线 BD 距离的最大值问题，所以法二采用了建系求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高 二、反馈巩固 *1 (2016 江苏 )已知实数 x， y 满足 2 4 02 2 03 3 0xyxyxy ，则 x2+y2 的取值范围是 (考查线性规划 ). 答案 4,135 *2 设 yx, 满足约束条件,0,0,048,022yxyxyx若目标函数 )0,0
29、( bayabxz 的最大值为 8，则 ba 的最小值为 (考查线性规划 ). 答案 4 *3 函数 )1(1 1072 xx xxy 的最小值是 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 14 (考查基本不等式 ). 答案 9 *4.若实数 x， y 满足 x2 y2 xy 1，则 x y 的最大值为 _ (考查基本不等式 ). 答案 2 33 *5.（ 2016 上海） 设 .0,0 ba 若关于 ,xy的方程组 11ax yx by 无解，则 ba 的取值范围是_ (考查基本不等式 ). 答案 2+（ ， ） *6.已知 632, cbaRcba ，则 222 94 cba 的最
30、小值为 (考查基本不等式 ). 答案 12 *7 如果函数 21 2 8 1 0 02f x m x n x m n ，在区间1 22，上单调递减，则 mn 的最大值为 _. (考查函数的单调性 , 线性规划 ). 答案 18 *8.若关于 x 的不等式 (2ax 1)ln x 0 对任意 x (0， )恒成立，则实数 a 的值为 _ (考查不等式恒成 立问题，不等式与函数的关系 ). 答案： 12； *9已知函数 f(x).0,1)21(,0),11(log2xxxx若 f(3 2a2) f(a)，则实数 a 的取值范围为 _； (考查函数性质应用 ). 答案 ， 32 (1， ) *10已
31、知 f(x)是定义在 ( ， 4上的减函数，是否存在实数 m，使得 f(m sin x) f 1 2m 74 cos2x 对定义域内的一切实数 x 均成立？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 (考查函数性质应用 ,基本不等式 ). 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 15 解 假设实数 m 存在，依题意， 可得 m sin x 4，m sin x 1 2m 74 cos2x， 即 m 4 sin x，m 1 2m 12 sin x 12 2. 因为 sin x 的最小值为 1，且 (sin x 12)2 的最大值为 0，要满足题意，必须有 m 4 1，m 1
32、2m 12 0， 解得 m 12或 32 m 3. 所以实数 m 的取值范围是 32， 3 12 . *11某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为 2 000 平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元 (1)若该写字楼共 x 层，总开发费用为 y 万元，求函数 y f(x)的表达式； (总开发费用总建筑费用购地费用 ) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ (考查函数性质应用 ,基本不等式 ). 解 (1)由已知，写字楼最下
33、面一层的总 建筑费用为： 4 000 2 000 8 000 000(元 ) 800(万元 )， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层 多： 100 2 000 200 000(元 ) 20(万元 )， 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800为首项， 20为公差的等差数列， 所以函数表达式为： y f(x) 800x xx 12 20 9 000 10x2 790x 9 000(x N*)； (2)由 (1)知写字楼每平方米平均开发费用为： 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 16 g(x) fx2 000x 10 000 510x2 790x 9 000x 50 x
34、 900x 79 50 (2 900 79) 6 950(元 ) 当且仅当 x 900x ，即 x 30时等号成立 来源 :学。科。网 Z。 X。 X。 K 答：该写字楼建为 30 层时，每平方米平均开发费用最低 *12某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为 3 万元 为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工据估计，如果能动员 x(x0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高 2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为 3 a 3x50 (a0)万元 (1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于
35、动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求 x 的取值范围； (2)在 (1)的条件下，要使 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬 菜种植农民的年总收入，试求实数 a 的最大值 (考查函数性质应用 ,不等式恒成立 ). 解 (1)由题意得 3(100 x)(1 2x%) 3 100， 即 x2 50x 0，解得 0 x 50， 又因为 x0，所以 00，所以 a 100x x25 1 恒成立，而 100x x25 1 5(当且仅当 x 50 时取得等号 ) 所以 a 的最大值为 5. *13. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 (如图所示 )， 该扇环面是由以 点 O 为圆心的两个
36、同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成 . 按设计要求扇环面的周长为 30 米 ， 其中大圆弧所在圆的半径为 10 米 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 17 设小圆弧所在圆的半径为 x 米 ， 圆心角为 (弧度 ). (1)求 关于 x 的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘 (实线部分 )进行装饰时 ， 直线部分的装饰费用为 4 元 /米 ， 弧线部分的装饰费用为 9 元 /米 .设花坛的面积与装饰总费 用的比为 y， 求 y 关于 x 的函数关系式 ， 并求出 x 为何值时 ， y 取得最大值？ (考查扇形的面积与弧长 ，基本不等式 求最值 的实际应用问题 ).
37、 答案： （ 1） 10 2x10 x (0 x 10)； （ 2） y x2 5x 50170 10x ， (0 x 10)； 当 x 1 时 ， 花坛的面积与装饰总费用的比最大 *14设二次函数 f(x) ax2 bx c，函数 F(x) f(x) x 的两个零点为 m， n(m n) (1)若 m 1， n 2，求不等式 F(x) 0 的解集； (2)若 a 0，且 0 x m n 1a，比较 f(x)与 m 的大小 (考查函数性质 ,二次不等式应用 ). 解 (1)由题意知， F(x) f(x) x a(x m)(x n)， 当 m 1， n 2时，不等式 F(x) 0， 来源 :学科
38、网 Z X X K 即 a(x 1)(x 2) 0. 当 a 0时，不等式 F(x) 0的解集为 x|x 1或 x 2； 当 a 0时，不等式 F(x) 0的解集为 x| 1 x 2 (2)f(x) m a(x m)(x n) x m (x m)(ax an 1)， a 0，且 0 x m n 1a， x m 0,1 an ax 0. f(x) m 0，即 f(x) m. *15.【 2018 全国一卷 21】 已知函数 1( ) lnf x x a xx （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）若 ()fx存在两个极值点 12,xx，证明： 12122f x f x axx (考查解不等式
39、 , 不等式综合应用 ). 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 18 解 :（ 1） ()fx的定义域为 (0, ) ， 22211( ) 1 a x a xfx x x x . （ i）若 2a ，则 ( ) 0fx ，当且仅当 2a ， 1x 时 ( ) 0fx ，所以 ()fx在 (0, ) 单调递减 . （ ii）若 2a ，令 ( ) 0fx 得， 2 42aax 或 2 42aax . 当 2244(0 , ) ( , )a a a ax 时， ( ) 0fx ； 当 2244( , )a a a ax 时， ( ) 0fx . 所以 ()fx在 2244(0 , )
40、 , ( , )a a a a 单调递减， 在 2244( , )a a a a 单调递增 . （ 2）由（ 1）知， ()fx存在两个极值点当且仅当 2a . 由于 ()fx的两个极值点 12,xx满足 2 10x ax ，所以 121xx ， 不妨设 12xx ，则 2 1x .由于 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2 22( ) ( ) l n l n l n l n 2 l n1 1 2 2 1f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx ， 所以 1212( ) ( ) 2f x f x axx 等价于 2221 2 ln 0xxx . 设函数 1( ) 2 lng x x xx ，由（ 1）知， ()gx在 (0, ) 单调递减，又 (1) 0g ，从而当 (1, )x 时， ( ) 0gx . 所以2221 2 ln 0xxx ，即 1212( ) ( ) 2f x f x axx .
