江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题05:不等式问题

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资源描述

1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 1 专题 5:不等式问题 目录 问题归类篇 . 2 类型一 : 解不等式 . 2 类型二 :不等式恒成立 . 3 类型三 :基本不等式 . 5 类型四 : f(x) x ax型函数 7 类型五 : f(x) ax2 bx cdx e (或 f(x)dx eax2 bx c)型 8 类型六 : 线性规划 . 10 综合应用篇 . 12 一、例题分析 . 12 二 、反馈巩固 . 13 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 2 问题归类篇 类型一 : 解不等式 一 、前测 回顾 1 解下列不等式 : (1) 3x2 4x 4 0 (2)

2、 2 xx 1 2 (3) 4x 3 2x 12 8 0 ( 4) ax2 ax 1 0 答案: (1)( 23, 2); (2) ( , 4 ( 1, ); (3)( , 52; (4) 当 0 a 4 时,解集为 ;当 a 4 时, a a2 4a2a xa a2 4a2a ; 当 a 0 时, x a a2 4a2a 或 xa a2 4a2a 二、方法联想 一元二次不等式 从四个方面考虑 : (1)二次项系数为 0 和正负情况 ; (2)二次方程根是否存在情况 (优先用十字相乘法求根 ); (3)二次方程根的大小情况 ; (4)二次不等式的不等号方向 分式不等式 (1) f(x)g(x)

3、 0 等价于 f(x)g(x) 0; f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0 (2) f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0,g(x) 0; f(x)g(x) 0 等价于 f(x)g(x) 0,g(x) 0 三、 方法应用 例 1. 已知函数 f(x) |x| |x 4|,则不等式 f(x2 2) f(x)的解集用区间表示为 _ 答案 ( , 2) ( 2, ) 思路分析 作出函数 f(x) |x| |x 4|的图像,通过函数的图像并结合单调性,得出关于 x 的不等式组,解得 x的取值范围 函数 f(x)的图像如图 , 知图像关于直线 x 2 对称 因为 x2 2 0

4、且 f(x2 2) f(x), 则必有 x2 2 4,x2 2 x,4 x2 2 x,即 x2 2,x2 x 2 0,x2 x 2 0,解得 x ( , 2) ( 2, ) 解后反思 本题主要考查分段函数的图像和性质、一元二次不等式等基础知识,考查数形结合、分类讨论等思想及运算求解能力 例 2. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 , 当 x 0 时 , f(x) x2 4x, 则不等式 f(x) x 的解集为_ 答案 ( 5,0) (5, ) 解法 1 不等式 f(x) x 的解集 , 即为函 数 y f(x)图像在函数 y x 图像上方部分 x 的取值范围 因为函数 f(x)和 y

5、 x 都是 R 上的奇函数 , 且方程 f(x) x 的根为 5 ,0, 由图像知 , 不等式 f(x) x 的解集为 ( 5,0)南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 3 (5, ) 解法 2 令 x 0, 则 x 0, 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 , 所以 f(x) f( x) ( x)2 4(x) x2 4x.要使 f(x) x, 则 x 0,x2 4x x 或 x 0, x2 4x x 或 x 0,0 x, 解得 5 x 0 或 x 5, 所以不等式 f(x) x 的解集为 ( 5,0) (5, ) 四 、归类巩固 *1、 设 0 ,不等式 28 (8 s

6、in ) c o s 2 0xx 对 xR 恒成立 ,则 的取值范围为 _. (一元二次不等式恒成立 ) 答案: ,656,0 *2、 已知实数 a, b, c满足 a b c 0, a2 b2 c2 1,则 a的最大值是 _ 答案: 36 (判别式法 ) 类型二 :不等式恒成立 一 、前测 回顾 1 若对任意 x R, 都有 (m 2)x2 2(m 2)x 4 0 恒成立 , 则实数 m 的取值范围是 2 若对任意 x 0, 都有 mx2 2x 1 0 恒成立 , 则实数 m 的取值范围是 3 若对任意 1 m 1, 都有 mx2 2x 1 m 0 恒成立 , 则实数 x 的取值范围是 答案

7、: (1)( 2, 2; (2)( , 0; (3)( 3 1, 2) 二、方法联想 恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 方法 1 结合二次函数图象分析 方法 2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题 若关于 x 的不等式 ax b 0 对任意 x m, n上恒成立 , 则 f(m) 0,f(n) 0; 若关于 x 的不等式 ax b 0 对任意 x m, n上恒成立 , 则 f(m) 0,f(n) 0 三、 方法应用 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 4 例 (2017 全国卷 ) 设函数 f(x) (1 x2)ex (1)讨论 f(x)的单调性 ; (2)当 x 0

8、时 , f(x) ax 1, 求 a 的取值范围 解 :(1)f (x) (1 2x x2)ex 令 f (x) 0, 得 x 1 2或 x 1 2 当 x ( , 1 2)时 , f (x) 0; 当 x ( 1 2, 1 2)时 , f (x) 0; 当 x ( 1 2, )时 , f (x) 0 所以 f(x)在 ( , 1 2), ( 1 2, )上单调递减 , 在 ( 1 2, 1 2)上单调递增 (2)f(x) (1 x)(1 x)ex 当 a 1 时 , 设函数 h(x) (1 x)ex, 则 h (x) xex 0(x 0), 因此 h(x)在 0, )上单调递减 , 而h(0

9、) 1, 故 h(x) 1, 所以 f(x) (x 1)h(x) x 1 ax 1 当 0 a 1 时 , 设函数 g(x) ex x 1, 则 g (x) ex 1 0(x 0), 所以 g(x)在 0, )上单调递增 ,而 g(0) 0, 故 ex x 1 当 0 x 1 时 , f(x) (1 x)(1 x)2, (1 x)(1 x)2 ax 1 x(1 a x x2), 取 x0 5 4a 12 , 则x0 (0, 1), (1 x0)(1 x0)2 ax0 1 0, 故 f(x0) ax0 1 当 a 0 时 , 取 x0 5 12 , 则 x0 (0, 1), f(x0) (1 x

10、0)(1 x0)2 1 ax0 1 综上 , a 的取值范围是 1, ) 四 、 归类巩固 *1、 已知当 x (0, +)时,不等式 9x-m3 x+m+10恒成立,求实数 m的取值范围 . 答案: m0, b0, a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为 . 解答: 3 2 *2、 若不等式 x2 2xya(x2 y2)对于一切正数 x, y恒成立,则实数 a的最小值为 _ (结构特征 ,消元 ) 答案:215*3.若正实数 yx, 满足 xyyx 62 ,则 xy 的最小值是 ; (考查基本不等式 ) 答案 )0,( *4已知 f(x) 32x (k 1)3x 2,当 x R 时,若

11、f(x)恒为正值,则 k 的取值范围是 _; (考查不等式恒成立 ). 答案 ( , 1 2 2) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 7 *5已知二次函数 f(x) ax2 2x c(x R)的值域为 0, ),则 a 1c c 1a 的最小值为_; (考查函数 性质应用 ,基本不等式 ). 答案 4 类型四 : f(x) x ax型函数 一 、前测 回顾 求下列函数的值域 : (1)y x2 5x2 4; (2)f(x) xax, x 1, 2 答案: (1)52; (2)当 a 1 时,值域为 1 a, 2 a2,当 1 a 2 时,值域为 2 a, 2 a2, 当 2 a

12、 4 值域为 2 a, 1 a,当 a 4 时,值域为 2 a2, 1 a 二、方法联想 对于 f(x) x ax, 当 a 0 时 , f(x)在 ( , 0), (0, )为增函数 ; 当 a 0 时 , f(x)在 ( , a), ( a, )为增函数 ; 在 ( a, 0), (0, a)为减函数 注意 在解答题中利用函数 f(x) x ax的单调性 时 , 需要利用导数进行证明 三、 方法应 用 例 . 若实数 x, y 满足 xy 3x 3 0 x 12 , 则 3x 1y 3的最小值为 _ 答案 8 解法 1 因为实数 x, y 满足 xy 3x 3 0 x 12 , 所以 y

13、3x 3(y 3), 所以 3x 1y 3 y 3 1y 3 y 3 1y 3 6 2 y 3 1y 3 6 8, 当且仅当 y 3 1y 3, 即 y 4时取等号 , 此时 x 37, 所以 3x 1y 3的最小值为 8. 解法 2 因为实数 x, y 满足 xy 3x 3 0 x 12 , 所以 y 3x 3(y 3), y 3 3x 6 0, 所以 3x 1y 3 3x 13x 6 3x 6 13x 6 6 2 3x 6 13x 6 6 8, 当且仅当 3x 6 13x 6, 即 x 37时取等号 , 此时 y 4, 所以 3x 1y 3的最小值为 8. 四 、归类巩固 南京市 2019

14、 届高三 数学 二轮专题复习资料 8 *1、若函数 222)( xx axf的值域为 ,0 ,则实数 a 的取值范围是 . 答案: 1, (问题转化 ) *2、 设 k0,若关于 x的不等式 kx+ 4x-15在 (1, +)上恒成立,则 k的最小值为 . 答案: 1 类型五 : f(x) ax2 bx cdx e (或 f(x)dx eax2 bx c)型 一 、前测 回顾 求下列函数的值域 : (1)y x2 2x 22x 1 (x12) (2)y x 1x2 x 2(x 1) 答案: (1) 5 12 , ); (2) 12, 0) 二、方法联想 令 dx e t 进行换元 (即将二次部

15、分用一次部分表示 ), 转化为 f(x) x ax型函数问题 三、 方法应用 例 .如图,某机械厂要将长 6 m,宽 2 m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪已知点 F 为 AD 的中点,点 E在边 BC 上,裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处 (点 C, D 分别落在直线 BC 下方点 M,N 处, FN 交边 BC 于点 P),再沿直线 PE 裁剪 (1) 当 EFP 4时,试判断四边形 MNPE 的形状,并求其面积; (2) 若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由 解答 (1) 当 EFP 4时 , 由条件得 EFP EFD FE

16、P 4. 所以 FPE 2.所以 FN BC, 四边形 MNPE 为矩形 (3分 ) 所以四边形 MNPE 的面积 S PNMN 2(m2). (5分 ) (2) 解法 1 设 EFD 0 2 , 由条件 , 知 EFP EFD FEP . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 9 所以 PF 2sin 2 2sin2, NP NF PF 3 2sin2, ME 3 2tan.(8分 ) 由 3 2sin2 0,3 2tan 0,0 2,得 sin2 23,tan 23,0 2.(*) 所以四边形 MNPE 面积为 S 12(NP ME)MN 12 3 2sin2 3 2tan 2

17、 6 2tan 2sin2 6 2tan 2sin2 cos22sincos 6 tan 3tan (12分 ) 6 2 tan 3tan 6 2 3. 当且仅当 tan 3tan, 即 tan 3, 3时取 “ ” (14分 ) 此时 , (*)成立 答 : 当 EFD 3时 , 沿直线 PE 裁剪 , 四边形 MNPE 面积最大 , 最大值为 (6 2 3) m2.(16分 ) 解法 2 设 BE t,3 t 6, 则 ME 6 t. 因为 EFP EFD FEP, 所以 PE PF, 即 t BP 3 BP2 22. 所以 BP 13 t223 t, NP 3 PF 3 PE 3 (t

18、BP) 3 t13 t223 t.(8分 ) 由 3 t 6,13 t223 t 0,3 t 13 t223 t 0,得 3 t 6,t 13,t2 12t 31 0.(*) 所以四边形 MNPE 面积为 S 12(NP ME)MN 12 3 t 13 t26 2t 6 t 2 3t2 30t 6723 t (12分 ) 6 32t 3 2t 3 6 2 3. 当且仅当 32(t 3) 2t 3, 即 t 3 43 3 2 33 时取 “ ” (14分 ) 此时 , (*)成立 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 10 答 : 当点 E 距点 B 3 2 33 m 时 , 沿直线

19、 PE 裁剪 , 四边形 MNPE 面积最大 , 最大值为 (6 2 3) m2. 四 、归 类巩固 *1、 已知 x52,求 f(x) x2 4x 52x 4 最小值 答案: 14 *2、若不等式 )(3 22 babba 对任意 Rba , 恒成立 ,则实数 的最大值为 . (结构特征 ,消元 ) 答案: 2 类型六 : 线性规划 一 、前测 回顾 1 设 x, y 满足约束条件x 4y 33x 5y 25x 1, 则 (1) z x 2y 的最小值为 ; (2)z 2x y 的最大值为 ; (3) z x2 2x y2 的最大值为 ; (4) z yx 4的最大值为 答案: (1)3;

20、(2)8; (3)39; (4)2225 二、方法联想 利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值 三、 方法应用 例 1. 已知点 P 是 ABC 内一点 (不包括边界 ),且 AP mAB nAC , m, n R,则 (m 2)2 (n 2)2 的取值范围是 _ 答案 92, 8 思路分析 注意到点 P是 ABC内一点 (不包括边界 ),且 AP mAB nAC , m, n R,所以 m, n满足条件 m 0,n 0,m n 1,因此,本题的本质就是在约束条件下求目标式 (m 2)2 (n 2)2的取值范围,而 (m 2)2 (n 2)2表示的是区域内的动点

21、 (m, n)到点 (2,2)的距离的平方,因此,利用此几何意义不难得到问题的答案 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 11 因为点 P 是 ABC 内一点 (不包括边界 ), 且 AP mAB nAC , 所以 m, n 满足条件 m 0,n 0,m n 1,作出不等式组平面区域如图所示 因为 (m 2)2 (n 2)2 表示的是区域内的动点 (m, n)到点 A(2,2)的距离的平方 因为点 A 到直线 m n 1 的距离为 |2 2 1|2 32, 故 32 2 (m 2)2 (n 2)2 OA2, 即 (m 2)2 (n 2)2 的取值范围是 92, 8 . 解后反思 本

22、题是隐藏在向量背景下的线性规划问题,本题的关键在于找到 m, n所满足的不等关系,有了不等关系,只需按线性规划问题的处理方法进行求解即可 四 、归类巩固 *1.已知实数 x, y 满足 y 0,y x 1 0,y 2x 4 0,若 z y ax 取得最大值时的最优解 (x, y)有无数个,则 a 的值为 _; (考查线性规划 ). 答案 1 *2、已知函数 caxxf 2)( ,且 5)2(2,3)1(1 ff ,则 )3(f 的取值范围是 . (看成线性规划问题或同向不等式相加 ) 答案: 335,31*3、三次函数 32 ,f x x b x c x d b c d R 在区间 1,2 上

23、是减函数,那么 bc 的取值范围是 (线性规划与二次函数、导数等知识结合) 答案: 15,2 *4、已知 ,是三次函数 3211 2,32f x x a x b x a b R 的两个极值点,且 0,1 , 1, 2,则 21ba 的取值范围是 (线性规划与根的分布结合) 答案: 1,14*5、已知三个正实数 ,abc满足 2 , 2b a c b a b c a ,则 ab 的取值范围是 _ (三个变量向两个变量转化的线性规划问题) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 12 答案: 23,32综合应用篇 一 、例题分析 例 1 设函数 f(x) x2 ax 3 (1)当 x R

24、 时, f(x) a 恒成立,求 a 的取值范围; (2)当 x 2, 2时, f(x) a 恒成立,求 a 的取值范围; (3)设不等式 f(x) a 对于满足 1 a 3 的一切 a 的取值都成立,求 x 的取值范围 解: (1) 6 a 2 (2) 7 a 2 思路 1: (利用二次函数的图象 ) 注:此方法可改进,由 f(2) a, f( 2) a 得 7 a 73对称轴 x a2 76, 72,可少讨论一种情况 思路 2: (求函数的最值 ) 注:此方法可改进,由 f(2) a, f( 2) a 得 7 a 73,再进行分类讨论 思路 3: (变量分离后,再求函数的最值 ) (3)

25、x 3 或 x 0 【教学建议】 1 本题 涉及到不等式恒成立问题,通常思路有 3 种 , f(x) 0, x D 恒成立 f(x)min 0 转化为求 函数 f(x)的最小值 (求最值时,可能要对参数进行讨论 ); 选进行变量分离,再求函数的最值;即 f(x) a, x D 恒成立 f(x)min a 利用函数 的图象和几何意义; 2本题是二次不等式恒成立问题,第一问是二次不等式对任意实数恒成立,可由图象法及判别式处理 第二问是二次不等式对 x 2, 2恒成立,所以图象法,求最值,或变量分量后求最值均可,以方法二较优 例 2 设 m, n R,若直线 (m 1)x (n 1)y 2 0 与圆

26、 (x 1)2 (y 1)2 1 相切,求 m n 的取值范围 解 m n ( , 2 2 2 2 2 2, ) 思路 1: (基本不等式 ) 思路 2: (消元 转化为求函数的值域 ) 思路 3: (利用图形的几何意义 ) 【教学建议】 1 本题是求二元函数的值域问题 这类问题主要有 3 种解题思路: 直接利用基本不等式,这种方法往往只能求最大值或最小值; 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 13 消元转化为一元函数,再求最值; 将两个变量看成一个有序实数对,当作平面内一个动点,从图形的几何意义方面,考虑求目标函数的值域 2 本题 3 种方法均可,方法一只适用于本题,方法二是一

27、般方法,本题中方法三难度较大,对思维的要求很高,但比较直观,在小题中使用较好 例 3 在 ABC 中 , AB AC, D 为 AC 中点,且 BD 3,求 ABC 的面积的最大值 解: S 取最大值 2 思路 1:(代数方法)建立目标函数,求最值 思路 2:(几何方法) 【教学建议】 1本题是实际问题中的最值问题这类问题通常有 2 种思路: 根据图形的几何意义,确定取得最值的情形,再进行计算; 建立目标函数,转化为求函数的最值 2本题采用思路 2,通过建立目标函数,再求函数的最值,再表示面积时,有两种方法,一是通过两边及夹角求面积,一是通过底边与高求面积,因而有方法一与方法二 3方 法一有纯

28、代数的方法,转化为求双二次函数的最值,运算量较大;方法二结合图形的几何性质,由于 BD 已知,因而要使面积最大,只需 A 到 BD 的距离最大,由于点 A 要求满足 AB 2AD,因而它的轨迹是一个圆,问题就转化为求轨迹上的点到直线 BD 距离的最大值问题,所以法二采用了建系求轨迹的方法,运算量小,比方法一简单,但思维的要求更高 二、反馈巩固 *1 (2016 江苏 )已知实数 x, y 满足 2 4 02 2 03 3 0xyxyxy ,则 x2+y2 的取值范围是 (考查线性规划 ). 答案 4,135 *2 设 yx, 满足约束条件,0,0,048,022yxyxyx若目标函数 )0,0

29、( bayabxz 的最大值为 8,则 ba 的最小值为 (考查线性规划 ). 答案 4 *3 函数 )1(1 1072 xx xxy 的最小值是 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 14 (考查基本不等式 ). 答案 9 *4.若实数 x, y 满足 x2 y2 xy 1,则 x y 的最大值为 _ (考查基本不等式 ). 答案 2 33 *5.( 2016 上海) 设 .0,0 ba 若关于 ,xy的方程组 11ax yx by 无解,则 ba 的取值范围是_ (考查基本不等式 ). 答案 2+( , ) *6.已知 632, cbaRcba ,则 222 94 cba 的最

30、小值为 (考查基本不等式 ). 答案 12 *7 如果函数 21 2 8 1 0 02f x m x n x m n ,在区间1 22,上单调递减,则 mn 的最大值为 _. (考查函数的单调性 , 线性规划 ). 答案 18 *8.若关于 x 的不等式 (2ax 1)ln x 0 对任意 x (0, )恒成立,则实数 a 的值为 _ (考查不等式恒成 立问题,不等式与函数的关系 ). 答案: 12; *9已知函数 f(x).0,1)21(,0),11(log2xxxx若 f(3 2a2) f(a),则实数 a 的取值范围为 _; (考查函数性质应用 ). 答案 , 32 (1, ) *10已

31、知 f(x)是定义在 ( , 4上的减函数,是否存在实数 m,使得 f(m sin x) f 1 2m 74 cos2x 对定义域内的一切实数 x 均成立?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由 (考查函数性质应用 ,基本不等式 ). 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 15 解 假设实数 m 存在,依题意, 可得 m sin x 4,m sin x 1 2m 74 cos2x, 即 m 4 sin x,m 1 2m 12 sin x 12 2. 因为 sin x 的最小值为 1,且 (sin x 12)2 的最大值为 0,要满足题意,必须有 m 4 1,m 1

32、2m 12 0, 解得 m 12或 32 m 3. 所以实数 m 的取值范围是 32, 3 12 . *11某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为 2 000 平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元 (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y f(x)的表达式; (总开发费用总建筑费用购地费用 ) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层? (考查函数性质应用 ,基本不等式 ). 解 (1)由已知,写字楼最下

33、面一层的总 建筑费用为: 4 000 2 000 8 000 000(元 ) 800(万元 ), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层 多: 100 2 000 200 000(元 ) 20(万元 ), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800为首项, 20为公差的等差数列, 所以函数表达式为: y f(x) 800x xx 12 20 9 000 10x2 790x 9 000(x N*); (2)由 (1)知写字楼每平方米平均开发费用为: 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 16 g(x) fx2 000x 10 000 510x2 790x 9 000x 50 x

34、 900x 79 50 (2 900 79) 6 950(元 ) 当且仅当 x 900x ,即 x 30时等号成立 来源 :学。科。网 Z。 X。 X。 K 答:该写字楼建为 30 层时,每平方米平均开发费用最低 *12某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植,据调查,每户年均收入为 3 万元 为了调整产业结构,当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工据估计,如果能动员 x(x0)户农民从事蔬菜加工,那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高 2x%,从事蔬菜加工的农民每户年均收入为 3 a 3x50 (a0)万元 (1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后,要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于

35、动员前从事蔬菜种植的年总收入,试求 x 的取值范围; (2)在 (1)的条件下,要使 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬 菜种植农民的年总收入,试求实数 a 的最大值 (考查函数性质应用 ,不等式恒成立 ). 解 (1)由题意得 3(100 x)(1 2x%) 3 100, 即 x2 50x 0,解得 0 x 50, 又因为 x0,所以 00,所以 a 100x x25 1 恒成立,而 100x x25 1 5(当且仅当 x 50 时取得等号 ) 所以 a 的最大值为 5. *13. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 (如图所示 ), 该扇环面是由以 点 O 为圆心的两个

36、同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成 . 按设计要求扇环面的周长为 30 米 , 其中大圆弧所在圆的半径为 10 米 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 17 设小圆弧所在圆的半径为 x 米 , 圆心角为 (弧度 ). (1)求 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘 (实线部分 )进行装饰时 , 直线部分的装饰费用为 4 元 /米 , 弧线部分的装饰费用为 9 元 /米 .设花坛的面积与装饰总费 用的比为 y, 求 y 关于 x 的函数关系式 , 并求出 x 为何值时 , y 取得最大值? (考查扇形的面积与弧长 ,基本不等式 求最值 的实际应用问题 ).

37、 答案: ( 1) 10 2x10 x (0 x 10); ( 2) y x2 5x 50170 10x , (0 x 10); 当 x 1 时 , 花坛的面积与装饰总费用的比最大 *14设二次函数 f(x) ax2 bx c,函数 F(x) f(x) x 的两个零点为 m, n(m n) (1)若 m 1, n 2,求不等式 F(x) 0 的解集; (2)若 a 0,且 0 x m n 1a,比较 f(x)与 m 的大小 (考查函数性质 ,二次不等式应用 ). 解 (1)由题意知, F(x) f(x) x a(x m)(x n), 当 m 1, n 2时,不等式 F(x) 0, 来源 :学科

38、网 Z X X K 即 a(x 1)(x 2) 0. 当 a 0时,不等式 F(x) 0的解集为 x|x 1或 x 2; 当 a 0时,不等式 F(x) 0的解集为 x| 1 x 2 (2)f(x) m a(x m)(x n) x m (x m)(ax an 1), a 0,且 0 x m n 1a, x m 0,1 an ax 0. f(x) m 0,即 f(x) m. *15.【 2018 全国一卷 21】 已知函数 1( ) lnf x x a xx ( 1)讨论 ()fx的单调性; ( 2)若 ()fx存在两个极值点 12,xx,证明: 12122f x f x axx (考查解不等式

39、 , 不等式综合应用 ). 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 18 解 :( 1) ()fx的定义域为 (0, ) , 22211( ) 1 a x a xfx x x x . ( i)若 2a ,则 ( ) 0fx ,当且仅当 2a , 1x 时 ( ) 0fx ,所以 ()fx在 (0, ) 单调递减 . ( ii)若 2a ,令 ( ) 0fx 得, 2 42aax 或 2 42aax . 当 2244(0 , ) ( , )a a a ax 时, ( ) 0fx ; 当 2244( , )a a a ax 时, ( ) 0fx . 所以 ()fx在 2244(0 , )

40、 , ( , )a a a a 单调递减, 在 2244( , )a a a a 单调递增 . ( 2)由( 1)知, ()fx存在两个极值点当且仅当 2a . 由于 ()fx的两个极值点 12,xx满足 2 10x ax ,所以 121xx , 不妨设 12xx ,则 2 1x .由于 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2 22( ) ( ) l n l n l n l n 2 l n1 1 2 2 1f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx , 所以 1212( ) ( ) 2f x f x axx 等价于 2221 2 ln 0xxx . 设函数 1( ) 2 lng x x xx ,由( 1)知, ()gx在 (0, ) 单调递减,又 (1) 0g ,从而当 (1, )x 时, ( ) 0gx . 所以2221 2 ln 0xxx ,即 1212( ) ( ) 2f x f x axx .

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