江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题01:基本初等函数

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1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 21 页 专题 1: 基本初等函数 目录 问题归类篇 . 2 类型一:分段函数 . 2 类型二:求函数的解析式 . 4 类型三:二次函数 . 6 类型四:指数函数与对数函数 . 8 类型五:函数的零点问题 11 综合应用篇 . 13 一、例题分析 . 13 二、反馈巩固 . 16 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 21 页 问题 归类 篇 类型一: 分段函数 一、前测回顾 1 已知函数 f(x)x 1, x1, x2 4, x 1 , 若 f(x)2,则 x 的取值范围为 f(x)在区间 1, 3

2、的值域为 答案: 2, ); 2, 4 2 设函数 f(x)2x3 1, x0,1x, x 0, 若 f(f(b) 2,求实数 b 的值 答案: b 34或 2 二、方法联想 方法 1:分类讨论,按分段区间进行分类讨论,最后汇总 (求并集 ); 方法 2:图象法,画出分段 函数的图象,根据图象探讨不等式解集及值域问题 三、 方 法应用 例 1 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 1, 1)上, f(x)x a, 1x 0, 25 x , 0x 1,其中 a R.若f 52 f 92 ,则 f(5a)的值是 _. 解析 由已知 f 52 f 52 2 f 12 12 a,

3、f 92 f 92 4 f 12 25 12 110. 又 f 52 f 92 , 则 12 a 110, a 35, f(5a) f(3) f(3 4) f( 1) 1 35 25. 答案 25 例 2 已知函数 f (x)x2 4, x0,ex 5, x0. 若关于 x 的方程 | f (x)| ax 5 0 恰有三个不同的实数解,则满足条件南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 21 页 的所有实数 a 的取值集合为 _. 解析 关于 x 的方程 | f (x)| ax 5 0 有三个不同的实数解,即函数 y | f (x)|与函数 y ax 5(过定点 (0,

4、5)的图象有三个不同的交点 .作出函数图象如图所示, 当 a0 时, y ax 5 与 y 4 x2(x0,得 a 2,当 a 2时,符合题意; 当 y ax 5 经过点 ( 2, 0)时, a 52也符合题意; 当 a0)相切,设切点 (x0, 5 ex0), x00,则切线方程为 y (5 ex0) ex0 (x x0),代入点 (0, 5),解得 x0 1,此时 a e,符合题意; 当 y ax 5 经 过 (ln 5, 0)时, a 5ln 5,也符合题意; 当 a 0 时,两函数的图象有两个交点,不符合题意 . 综上所述,满足条件的所有实数 a 的取值集合为 e, 5ln 5, 2,

5、52 . 答案 e, 5ln 5, 2, 52 例 3 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间 0, 1)上, f(x)x2, x D,x, xD, 其中集合 Dxx n 1n , n N* ,则方程 f(x) lg x 0 的解的个数是 _. 解析 由于 f(x) 0, 1),则只需考虑 1x 1 时, f(x)在区间 t, t 1上单调递增, 故 f(x)min f(t) t2 2t 8,解得 t 2 或 t 4(舍去 ) 综上可知, t 的值为 5 或 2. 例 2 已知函数 f(x)x2 ax, x1,ax2 x, x1 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是

6、_ 解:当函数 f(x)在 ( , 1上单调递减时, a21,即 a 2; 当函数 f(x)在 (1, )上单调递减时, a0, a1)的定义域和值域都是 1, 0,则 a b _ . 答案 32 解析 若 00, a1)在区间 1, 0上为减函数,即a 1 b 0,a0 b 1, 解得 a 12,b 2;若 a1,则 f(x) ax b(a0, a1)在区间 1, 0上为增函数,即a 1 b 1,a0 b 0, 无解 a b 12 2 32. 例 3 已知函数 f(x) |loga|x 1|(a1)若 x12.由 f(x1) f(x2),可得 |loga|x1 1| |loga|x2 1|,

7、即 |loga(1 x1)| |loga(1 x2)|,此时 1 x11, 00 得 x 12,由 g(x)12时, g(x)0,所以其大致图像如图所示 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 10 页 共 21 页 直线 y ax a 过点 (1, 0) 若 a0,则 f(x)0. 结合函数图像可知,存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)1 时, f(x) lg ex , 设 B(x0, lg x0),则直线 OB 的方程为 y lg x0 lg ex0(x x0),该直线过坐标原点, 所以 0 lg x0 lg ex0(0 x0),解得 x0 e,即直线 OB 的斜率为 lg

8、 ee , 所以实数 a 的取值范围是 lg 22 , lg ee . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 12 页 共 21 页 例 3 已知函数 f(x) x 1(0x1), g(x) 2x 12(x1),函数 h(x)f( x), 0xn0),则 ng(m)的取值范围为 _ 解析 函数 f(x) x 1(0x1), g(x) 2x 12(x1),作出函数 h(x)f( x), 0xn0),则 12n0, 其中 b 0, c R 当且仅当 x 2 时,函数 f(x)取得最小值 2 ( 1)求函数 f(x)的表达式; ( 2)若方程 f(x) x a(a R)至少有两个不相

9、同的实数根,求 a 的取值集合 答案: (1)f(x) x2 4x 2, x0,2, x 0. (2 )实数 a 取值的集合为 14, 2 (考查求二次函数的解析式,方程解的 个数问题,分类讨论及数形集合的思想方法 ) *14 已知函数 f(x) ax3 bx 4,当 x 2 时,函数 f(x)有极值 43 (1)求函数的解析式; (2)若关于 x 的方程 f(x) k 有三个零点,求实数 k 的取值范围 解析:由题意,可知 f(x) 3ax2 b (1)于是 f 12a b 0,f 8a 2b 4 43, 解得 a 13,b 4.故所求的解析式为 f(x) 13x3 4x 4 (2)由 (1

10、)可知, f(x) x2 4 (x 2)(x 2) 令 f(x) 0,得 x 2,或 x 2 当 x 变化时, f(x)、 f(x)的变化情况如 下表所示: x ( , 2) 2 ( 2, 2) 2 (2, ) f(x) 0 0 f(x) 单调递增 283 单调递减 43 单调递增 因此,当 x 2 时, f(x)有极大值 283 ; 当 x 2 时, f(x)有极小值 43 所以函数的大致图像如图 故实数 k 的取值范围是 43 k 283 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 19 页 共 21 页 (考查待定系数求解析式,方程解的个数问题,分类讨论及数形集合的思想方法 )

11、 *15已知 f(x) 3x,并且 f(a 2) 18, g(x) 3ax 4x的定义域为 1, 1 ( 1)求函数 g(x)的解析式; ( 2)判断 g(x)的单调性; ( 3)若方程 g(x) m 0 有解,求 m 的取值范围 答案:( 1) g(x) 2x 4x, x 1, 1; ( 2) g(x)在 1, 1上单调递减; ( 3) 2, 14 说明:( 1)考查解指数方程; ( 2)考查函数的单调性; ( 3)考查方程有解的问题: 分离变量,求函数的值域; 数形结合,对应函数图象有公共点 解析: f(a 2) 18,得到 3a 2 18, 3a 2, g(x) 2x 4x, x 1,

12、1 令 t 2x, 12t2,则 y t t2, g(x)在 1, 1上单调递减; 方程 g(x) m 0 有解,则 y g(x),y m 有交点 12t2,则 y t t2的范围是 2, 14,所以 m 2, 14 *16 设函数 f(x) 3ax2 2(a c)x c (a 0, a, c R) (1)设 a c 0 若 f(x) c2 2c a 对 x 1, )恒成立,求 c 的取值范围; (2)函数 f(x)在区间 (0, 1)内是 否有零点,有几个零点?为什么? (考查不等式恒成立 , 函数零点 ) 解 (1)因为二次函数 f(x) 3ax2 2(a c)x c 的图象的对称轴为 x

13、 a c3a ,由条件 a c 0,得 2a a c, 故 a c3a 2a3a 23 1, 即二次函数 f(x)的对称轴在区间 1, )的左边, 且抛物线开口向上,故 f(x)在 1, )内是增函数 若 f(x) c2 2c a 对 x 1, )恒成立, 则 f(x)min f(1) c2 2c a, 即 a c c2 2c a,得 c2 c 0,所以 0 c 1 (2) 若 f(0)f(1) c( a c) 0, 则 c 0,或 a c,二次函数 f(x)在 (0, 1)内只有一个零点 若 f(0) c 0, f(1) a c 0,则 a c 0 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复

14、习资料 第 20 页 共 21 页 因为二次函数 f(x) 3ax2 2(a c)x c 的图象的对称轴是 x a c3a 而 f a c3a a2 c2 ac3a 0, 所以函数 f(x)在区间 0, a c3a 和 a c3a , 1 内各有一个零点,故函数 f(x)在区间 (0, 1)内有两个零点 *17 已知 a R,函数 f(x) log2(1x a) ( 1)当 a 5 时,解不等式 f(x) 0; ( 2)若关于 x 的方程 f(x) log2(a 4)x 2a 5 0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围; ( 3)设 a 0 0a ,若对任意 t 12, 1,函数 f(

15、x)在区间 t, t 1上的最大值与最小值的差不超过 1,求 a 的取值范围 答案:( 1) 1, 0 ,4x ( 2) 1,2 3,4 ( 3) 2,3说明:本题综合性较强,考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解 问题。 解析: ( 1)由2 1log 5 0x,得 1 51x, 解得 1, 0 ,4x ( 2) 1 4 2 5a a x ax , 24 5 1 0a x a x , 当 4a 时, 1x ,经检验,满足题意 当 3a 时, 121xx ,经检验,满足题意 当 3a 且 4a 时,1 14x a , 2 1x , 12xx 1x 是原方程的解当且仅当11 0ax ,即 2

16、a ; 2x 是原方程的解当且仅当21 0ax ,即 1a 于是满足题意的 1,2a 综上, a 的取值范围为 1,2 3,4 ( 3)当 120 xx时,1211aaxx , 221211lo g lo gaaxx , 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 21 页 共 21 页 所以 fx在 0, 上单调递减 函数 fx在区间 ,1tt 上的最大值与最小值分别为 ft, 1ft 22111 l o g l o g 11f t f t a att 即 2 1 1 0at a t ,对任意 1,12t 成立 因为 0a ,所以函数 2 11y at a t 在区间 1,12上单调递增, 12t 时, y 有最小值 3142a ,由 31042a,得 23a 故 a 的取值范围为 2,3 (考查 对数函数的图像和性质, 函数零点 )

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