1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 21 页 专题 1： 基本初等函数 目录 问题归类篇 . 2 类型一：分段函数 . 2 类型二：求函数的解析式 . 4 类型三：二次函数 . 6 类型四：指数函数与对数函数 . 8 类型五：函数的零点问题 11 综合应用篇 . 13 一、例题分析 . 13 二、反馈巩固 . 16 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 21 页 问题 归类 篇 类型一： 分段函数 一、前测回顾 1 已知函数 f(x)x 1， x1， x2 4， x 1 ， 若 f(x)2，则 x 的取值范围为 f(x)在区间 1， 3
2、的值域为 答案： 2， )； 2， 4 2 设函数 f(x)2x3 1， x0，1x， x 0， 若 f(f(b) 2，求实数 b 的值 答案： b 34或 2 二、方法联想 方法 1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总 (求并集 )； 方法 2：图象法，画出分段 函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题 三、 方 法应用 例 1 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1， 1)上， f(x)x a， 1x 0， 25 x ， 0x 1，其中 a R.若f 52 f 92 ，则 f(5a)的值是 _. 解析 由已知 f 52 f 52 2 f 12 12 a，
3、f 92 f 92 4 f 12 25 12 110. 又 f 52 f 92 ， 则 12 a 110， a 35， f(5a) f(3) f(3 4) f( 1) 1 35 25. 答案 25 例 2 已知函数 f (x)x2 4， x0，ex 5， x0. 若关于 x 的方程 | f (x)| ax 5 0 恰有三个不同的实数解，则满足条件南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 21 页 的所有实数 a 的取值集合为 _. 解析 关于 x 的方程 | f (x)| ax 5 0 有三个不同的实数解，即函数 y | f (x)|与函数 y ax 5(过定点 (0，
4、5)的图象有三个不同的交点 .作出函数图象如图所示， 当 a0 时， y ax 5 与 y 4 x2(x0，得 a 2，当 a 2时，符合题意； 当 y ax 5 经过点 ( 2， 0)时， a 52也符合题意； 当 a0)相切，设切点 (x0， 5 ex0)， x00，则切线方程为 y (5 ex0) ex0 (x x0)，代入点 (0， 5)，解得 x0 1，此时 a e，符合题意； 当 y ax 5 经 过 (ln 5， 0)时， a 5ln 5，也符合题意； 当 a 0 时，两函数的图象有两个交点，不符合题意 . 综上所述，满足条件的所有实数 a 的取值集合为 e， 5ln 5， 2，
5、52 . 答案 e， 5ln 5， 2， 52 例 3 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 0， 1)上， f(x)x2， x D，x， xD， 其中集合 Dxx n 1n ， n N* ，则方程 f(x) lg x 0 的解的个数是 _. 解析 由于 f(x) 0， 1)，则只需考虑 1x 1 时， f(x)在区间 t， t 1上单调递增， 故 f(x)min f(t) t2 2t 8，解得 t 2 或 t 4(舍去 ) 综上可知， t 的值为 5 或 2. 例 2 已知函数 f(x)x2 ax， x1，ax2 x， x1 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是
6、_ 解：当函数 f(x)在 ( ， 1上单调递减时， a21，即 a 2； 当函数 f(x)在 (1， )上单调递减时， a0， a1)的定义域和值域都是 1， 0，则 a b _ . 答案 32 解析 若 00， a1)在区间 1， 0上为减函数，即a 1 b 0，a0 b 1， 解得 a 12，b 2；若 a1，则 f(x) ax b(a0， a1)在区间 1， 0上为增函数，即a 1 b 1，a0 b 0， 无解 a b 12 2 32. 例 3 已知函数 f(x) |loga|x 1|(a1)若 x12.由 f(x1) f(x2)，可得 |loga|x1 1| |loga|x2 1|，
7、即 |loga(1 x1)| |loga(1 x2)|，此时 1 x11， 00 得 x 12，由 g(x)12时， g(x)0，所以其大致图像如图所示 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 10 页 共 21 页 直线 y ax a 过点 (1， 0) 若 a0，则 f(x)0. 结合函数图像可知，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)1 时， f(x) lg ex ， 设 B(x0， lg x0)，则直线 OB 的方程为 y lg x0 lg ex0(x x0)，该直线过坐标原点， 所以 0 lg x0 lg ex0(0 x0)，解得 x0 e，即直线 OB 的斜率为 lg
8、 ee ， 所以实数 a 的取值范围是 lg 22 ， lg ee . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 12 页 共 21 页 例 3 已知函数 f(x) x 1(0x1)， g(x) 2x 12(x1)，函数 h(x)f（ x）， 0xn0)，则 ng(m)的取值范围为 _ 解析 函数 f(x) x 1(0x1)， g(x) 2x 12(x1)，作出函数 h(x)f（ x）， 0xn0)，则 12n0， 其中 b 0， c R 当且仅当 x 2 时，函数 f(x)取得最小值 2 （ 1）求函数 f(x)的表达式； （ 2）若方程 f(x) x a(a R)至少有两个不相
9、同的实数根，求 a 的取值集合 答案： (1)f(x) x2 4x 2， x0，2， x 0. (2 )实数 a 取值的集合为 14， 2 (考查求二次函数的解析式，方程解的 个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法 ) *14 已知函数 f(x) ax3 bx 4，当 x 2 时，函数 f(x)有极值 43 (1)求函数的解析式； (2)若关于 x 的方程 f(x) k 有三个零点，求实数 k 的取值范围 解析：由题意，可知 f(x) 3ax2 b (1)于是 f 12a b 0，f 8a 2b 4 43， 解得 a 13，b 4.故所求的解析式为 f(x) 13x3 4x 4 (2)由 (1
10、)可知， f(x) x2 4 (x 2)(x 2) 令 f(x) 0，得 x 2，或 x 2 当 x 变化时， f(x)、 f(x)的变化情况如 下表所示： x ( ， 2) 2 ( 2， 2) 2 (2， ) f(x) 0 0 f(x) 单调递增 283 单调递减 43 单调递增 因此，当 x 2 时， f(x)有极大值 283 ； 当 x 2 时， f(x)有极小值 43 所以函数的大致图像如图 故实数 k 的取值范围是 43 k 283 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 19 页 共 21 页 (考查待定系数求解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法 )
11、 *15已知 f(x) 3x，并且 f(a 2) 18， g(x) 3ax 4x的定义域为 1， 1 （ 1）求函数 g(x)的解析式； （ 2）判断 g(x)的单调性； （ 3）若方程 g(x) m 0 有解，求 m 的取值范围 答案：（ 1） g(x) 2x 4x， x 1， 1； （ 2） g(x)在 1， 1上单调递减； （ 3） 2， 14 说明：（ 1）考查解指数方程； （ 2）考查函数的单调性； （ 3）考查方程有解的问题： 分离变量，求函数的值域； 数形结合，对应函数图象有公共点 解析： f(a 2) 18，得到 3a 2 18， 3a 2， g(x) 2x 4x， x 1，
12、1 令 t 2x， 12t2，则 y t t2， g(x)在 1， 1上单调递减； 方程 g(x) m 0 有解，则 y g(x)，y m 有交点 12t2，则 y t t2的范围是 2， 14，所以 m 2， 14 *16 设函数 f(x) 3ax2 2(a c)x c (a 0， a， c R) (1)设 a c 0 若 f(x) c2 2c a 对 x 1， )恒成立，求 c 的取值范围； (2)函数 f(x)在区间 (0， 1)内是 否有零点，有几个零点？为什么？ (考查不等式恒成立 ， 函数零点 ) 解 (1)因为二次函数 f(x) 3ax2 2(a c)x c 的图象的对称轴为 x
13、 a c3a ，由条件 a c 0，得 2a a c， 故 a c3a 2a3a 23 1， 即二次函数 f(x)的对称轴在区间 1， )的左边， 且抛物线开口向上，故 f(x)在 1， )内是增函数 若 f(x) c2 2c a 对 x 1， )恒成立， 则 f(x)min f(1) c2 2c a， 即 a c c2 2c a，得 c2 c 0，所以 0 c 1 (2) 若 f(0)f(1) c( a c) 0， 则 c 0，或 a c，二次函数 f(x)在 (0， 1)内只有一个零点 若 f(0) c 0， f(1) a c 0，则 a c 0 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复
14、习资料 第 20 页 共 21 页 因为二次函数 f(x) 3ax2 2(a c)x c 的图象的对称轴是 x a c3a 而 f a c3a a2 c2 ac3a 0， 所以函数 f(x)在区间 0， a c3a 和 a c3a ， 1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间 (0， 1)内有两个零点 *17 已知 a R，函数 f(x) log2(1x a) （ 1）当 a 5 时，解不等式 f(x) 0； （ 2）若关于 x 的方程 f(x) log2(a 4)x 2a 5 0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围； （ 3）设 a 0 0a ，若对任意 t 12， 1，函数 f(
15、x)在区间 t， t 1上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围 答案：（ 1） 1, 0 ,4x （ 2） 1,2 3,4 （ 3） 2,3说明：本题综合性较强，考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解 问题。 解析： （ 1）由2 1log 5 0x，得 1 51x， 解得 1, 0 ,4x （ 2） 1 4 2 5a a x ax ， 24 5 1 0a x a x ， 当 4a 时， 1x ，经检验，满足题意 当 3a 时， 121xx ，经检验，满足题意 当 3a 且 4a 时，1 14x a ， 2 1x ， 12xx 1x 是原方程的解当且仅当11 0ax ，即 2
16、a ； 2x 是原方程的解当且仅当21 0ax ，即 1a 于是满足题意的 1,2a 综上， a 的取值范围为 1,2 3,4 （ 3）当 120 xx时，1211aaxx ， 221211lo g lo gaaxx ， 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 21 页 共 21 页 所以 fx在 0, 上单调递减 函数 fx在区间 ,1tt 上的最大值与最小值分别为 ft， 1ft 22111 l o g l o g 11f t f t a att 即 2 1 1 0at a t ，对任意 1,12t 成立 因为 0a ，所以函数 2 11y at a t 在区间 1,12上单调递增， 12t 时， y 有最小值 3142a ，由 31042a，得 23a 故 a 的取值范围为 2,3 (考查 对数函数的图像和性质， 函数零点 )