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江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题12:圆锥曲线

1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 26 页 专题 12: 圆锥曲线 目录 问题归类篇 . 2 类型一: 方程的标准形式 . 2 类型二:圆锥曲线定义及几何性质的应用 . 4 类型三:离心率或范围的计算 . 8 类型四:直线与圆锥曲线的综合问题 11 综合应用篇 . 16 一、例题分析 . 16 二、反馈巩固 . 19 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 26 页 问题 归类 篇 类型一: 方程的标准形式 一、前测回顾 1 椭圆 x2my24 1 的焦距是 2,则 m 的值是 2.双曲线 x24y2k 1 的离心率 e (1, 2),

2、则 k 的 取值范围是 3.若 a0,则抛物线 y 4ax2 的焦点坐标为 4.已知直线 l 过点 1,0 且垂直于 x 轴,若 l 被抛物线 2 4y ax 截得的线段长为 4,则抛物线的焦点坐标为_ 答案: 1.3 或 5; 2.( 12,0); 3.(0, 116a) 4. 1,0 二、方法联想 方程的标准形式 涉及方程标准形式时,必须先设 (或化 )为方程的标准形式,注意椭圆和双曲线区分 (或讨论 )焦点在哪轴上,抛物线 要注意 开口方向 三 、 方法应用 例 1.如图,在 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点 1( 3, )2,焦点 12( 3, 0), ( 3, 0)FF ,

3、圆 O 的直径为 12FF ( 1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; ( 2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; 直线 l 与椭圆 C 交于 ,AB两点若 OAB 的面积为 267, 求直线 l 的方程 解: ( 1)因为椭圆 C 的焦点为 1 3,0F , 2 3,0F, 可设椭圆 C 的方程为 22 10xy abab 又点 13,2在椭圆 C 上, 所以 222231143abab,解得 2241ab, 因此,椭圆 C 的方程为 2 2 14x y 因为圆 O 的直径为 12FF ,所以其方程为 223xy ( 2

4、) 设直线 l 与圆 O 相切于 0 0 0 00, 0P x y x y,则 22003xy, 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 26 页 所以直线 l 的方程为 0000xy x x yy ,即 0003xyxyy 由22000143x yxyxyy ,消去 y ,得 2 2 2 20 0 0 04 2 4 3 6 4 0x y x x x y ( *) 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 4 4 4 3 6 4 4 8 2 0x x y y y x 因为 0x , 0 0y ,所以 0 2x

5、 , 0 1y 因此,点 P 的坐标为 2,1 因 为三角形 OAB 的面积为 267 ,所以 1 2 627AB OP,从而 427AB 设 11,A x y , 22,B x y , 由( *)得 220 0 012 22002 4 4 8 224x y xxxy, 所以 22222 002 01 2 1 2 22 220004 8 214yxxA B x x y yy xy 因为 22003xy, 所以 2022201 6 2 32491xABx,即 42002 4 5 1 0 0 0xx , 解得 20 52x ( 20 20x 舍去 ) ,则 20 12y ,因此 P 的坐标为 10

6、 2,22 综上,直线 l 的方程为 5 3 2yx 例 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 )0(1:2222 babyaxC 的右焦点为 F ,点 A 是椭圆的左顶点,过原点的直线 MN 与椭圆交于 NM, 两点( M 在第三象限),与椭圆的右准线交于 P 点已知 MNAM ,且 243OA OM b ( 1)求椭圆 C 的离心率 e ; ( 2)若 103AMN POFS S a,求椭圆 C 的标准方程 x y 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 26 页 解:( 1)由题意22222 2 21( ) ( )22xyabaaxy ,消去 y 得 2

7、 222 0c x ax ba ,解得 212 2abx a x c , , 所以 22 ( ,0)M abxac , 2 22 43MA abO A O M x x a bc , 22 34ca,所以 32e; ( 2)由( 1) 2 2 2( , )33M b b,右准线 方程为 433xb, 直线 MN 的方程为 2yx ,所以 4 3 4 6( , )33P b b, 21 3 4 6= 2 22 2 3P O F PS O F y b b b , 22 2 4 222 33A M N A O M MS S O A y b b b , 所以 224 2 102 2 +33b b a,

8、210 2 2033bb,所以 2, 2 2ba, 椭圆 C 的标准方程为 128 22 yx 四 、归类巩固 *1.以 y 2x 为渐近线的双曲线的离心率是 答案: 3或62 (已知双曲线的渐近线,讨论焦点的位置,确定基本量的关系 ) *2.以抛物线 y2 4x 的焦点为焦点,以 y x 为渐近线的双曲线的标准方程为 答案: x212 y212 1 (已知两个圆锥曲线,判断焦点的位置,确定基本量的的关系 ) 类型 二 : 圆锥曲线 定义 及几何性质 的应用 一、 前测回顾 1. 已知 F1、 F2是椭圆 C: x2a2y2b2 1(a b 0)的两个焦点 , P为椭圆 C 上一点 , 且 P

9、F1 PF2 若 PF1F2 的面积为 9, 则 b 的值为 _ 2.已知定点 A(3, 2), F 是抛物线 y2 2x 的焦点 , 点 P 是抛物线上的动点 , 当 PA PF 最小时 , 点 P 的坐标为 3. 点 F 为椭圆 x24y23 1 的 右 焦点, 过 点 F 且倾斜角为3的直线交椭圆于 A,B 两点 (AF0, b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心, b为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M、 N 两点 .若 MAN=60,则 C 的离心率为 . 答案 : 233 ( 已知双曲线渐近线与圆的 位置关 系,求离心率 ) *3.双曲线 x24y2k 1 的离心

10、率 e (1, 2), 则 k 的取值范围是 答案: (0, 12); (已知离心率的范围,求 参数取值范围 ) *4 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为 答案: (1, 2) (考查 圆、双曲线的几何性质 ,双曲线的准线与渐近线,离心率问题 ) *5 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A, B 两点 ,左焦点在以 AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为 答案: (1, 2) (考查 圆、双曲线的几何性质 ,双曲线的准线与渐近线,离心率问题 ) *6 已知 O 为坐标原点 , F 是椭圆 C: x2a2y

11、2b2 1(a b 0)的左焦点 , A, B 分别为 C 的左 , 右顶点 P为 C 上一点,且 PF x 轴 , 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E 若直线 BM 经过OE 的中点,则 C 的离心率为 答案: 13 (考查 椭圆的定义,离心率及椭圆的方程 ) *7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点,且左右焦点分别是 F1, F2, 这两条曲线在第一象限的交点为 P, PF1F2是以 PF1 为底边的等腰三角形 若 PF1 10, 椭圆和双曲线的离心率分别是 e1, e2,则 e1 e2 的取值范围是 答案: (13, )(已知 有联系的两个圆锥曲

12、线,求离心率的 取值范围 ) *8.设 ABC 是等腰三角形 , ABC 120, 则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 心率为 _ 答案: 3 12 (三角形与圆锥曲线相结合,求离心率的 取值范围 ) *9.椭圆 C: x2a2y2b2 1(a b 0)的左右焦点分别为 F1, F2,若椭圆上恰好有 6个不同的点 P ,使得 PF1F2 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 . 答案: 1 1 1( , ) ( ,1)3 2 2 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 11 页 共 26 页 类型 四 : 直线与圆锥曲线的综合问题 一、 前测回顾 1 (

13、1)点 A 是椭圆 x236y220 1 的左 顶 点,点 F 是右焦点, 若 点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, 满足 PA PF,则 点 P 的坐标 为 (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x24y23 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP FP 的最大值为 答案: (1)(32, 52 3) (2)6 2 (1)如图 , 椭圆 C: x2a2y2b2 1(ab0)的上 、 下顶点分别为 A, B, 右焦点为 F, 点 P在椭圆 C 上 , 且 OP AF, 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q, 若直线 OP 的斜率是直线 BQ的斜率的 2 倍 , 则 椭圆 C 的

14、离心率 为 (2)已知 椭圆的方程为 x26y22 1, 与右焦点 F 相应的准线 l 与 x 轴相交于点 A, 过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 Q 两点 设 AP AQ ( 1), 过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M, 证明 : FM QF (3) 过点 M(1, 1)作斜率为 12的直线与椭圆 C: x2a2y2b2 1(ab0)相交于 A, B 两点,若 M 是线段 AB的中点,则椭圆 C 的离心率等于 _ 答案: (1) 22 ; (2)略 ; (3) 22 3 (1)设 P, Q 分别为圆 x2 (y 6)2 2 和椭圆 x210 y2 1 上的点,则 P,

15、 Q 两点间的 最大距离是 (2)已知椭圆 C: x2 2y2 4, O 为原点若点 A 在直线 y 2 上 , 点 B 在椭圆 C 上 , 且 OA OB,则 线段 AB 长度的最小值 为 答案:( 1) 6 2;( 2) 2 2 二、方法联想 1 椭圆上一个点问题 方法 1:设点 . 设点 (x0,y0)代入方程、列式、消元; 设点 (acos,bsin) 方法 2:求点 . 代入方程、列式、求解 注意 考虑 x0(或 y0)的取值范围 变式: 如图 , 椭圆 C: x2a2y2b2 1(ab0)的上 、 下顶点分别为 A, B, 右焦点为F, 点 P 在椭圆 C 上 , 且 OP AF.

16、 求证 : 存在椭圆 C, 使直线 AF 平分线段 OP. 答案:略 (已知椭圆上一点,利用该点坐标满足椭圆方程,方程有解进行证明 ) 2 直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标 (x0,y0),设出直线的方程,与椭圆方程联立,可用韦达定理求出另一根; 两点均未知 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 12 页 共 26 页 方法 1 设两点 A(x1, y1)、 B(x2, y2),直线方程与椭圆方程联立,消去 y 得关于 x 的方程 Ax2 Bx C 0, 由韦达定理得 x1 x2 BA, x1x2 CA, 代入已知条件所得式子消去 x1, x2(其中 y1, y2 通

17、过直线方程化为 x1, x2) 有时也可以直接求出两交点 . 注意 : (1)设直线方程时讨论垂直于 x 轴情况 ; (2)通过判断交点个数 ; (3)根据需要也可消去 x 得关于 y 的方程 结论:弦长公式 AB 1 k2 x1 x2 1 1 k2 y1 y2 方法 2 设两点 A(x1, y1)、 B(x2, y2),代入椭圆方程得x12a2 y12b2 1,x22a2y22b2 1,通过已知条件建立 x1、 y1与 x2、y2 的关系,消去 x2、 y2解 关于 x1、 y1 的方程组(或方程) 方法 3 点差法 设 两点 A(x1, y1)、 B(x2, y2),代入椭圆方程得x12a

18、2 y12b2 1,x22a2y22b2 1,两式相减得 y1 y2x1 x2 b2a2x1 x2y1 y2, 即 kAB b2a2x0y0, 其中 AB 中点 M 为 (x0, y0) 注意:点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题 3. 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上 (非线性约束条件 )的条件下 , 求相关式子 (目标函数 )的取值范围问题 , 常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题 , 或 根据平面几何知识或引入一个参数 (有几何意义 )化为函数进行处理 (2)由直线 (系 )和圆锥曲线 (系 )的位置关系 , 求直线或圆锥曲线中某个参数 (系数 )的范围问题

19、, 常把所求参数作为函数 , 另一个元作为自变量求解 三、 方法应用 例 1.已知椭圆 22: 1 0xyM a bab 的离心率为 63,焦距为 22 斜率为 k 的直 线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A , B ( 1) 求椭圆 M 的方程; ( 2) 若 1k ,求 |AB 的最大值; ( 3)设 20P, ,直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D 若 C , D和点 71( , )44Q 共线,求 k 解: ( 1)由题意得 2 2 2c ,所以 2c , 又 63ce a,所以 3a ,所以 2 2 2 1b a c , 所以椭

20、圆 M 的标准方程为 2 2 13x y ( 2)设直线 AB 的方程为 y x m , 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 13 页 共 26 页 由 22 13y x mx y 消去 y 可得 224 6 3 3 0x m x m , 则 2 2 23 6 4 4 3 3 4 8 1 2 0m m m ,即 2 4 , 设 11Ax y, , 22Bx y, ,则1232mxx , 212 334mxx , 则 22221 2 1 2 1 2 641 1 4 2 mA B k x x k x x x x , 易得当 2 0m 时, max| | 6AB ,故 AB 的最大

21、值为 6 ( 3)设 11Ax y, , 22Bx y, , 33Cx y, , 44Dx y, , 则 221133xy , 2233xy , 又 20P, ,所 以可设 11 1 2PA ykk x,直线 PA 的方程为 1 2y k x, 由 12 2213y k xx y消去 y 可得 2 2 2 21 1 11 3 1 2 1 2 3 0k x k x k , 则 2113 211213kxx k ,即 2131211213kxxk , 又 11 1 2yk x ,代入 式可得 13 17 1247xx x ,所以 13 147yy x , 所以 117 124 7 4 7xyC x

22、x,,同理可得 227 1 24 7 4 7xyD xx, 故3371,44Q C x y ,447144Q D x y ,, 因为 Q , C , D 三点共线,所以3 4 4 37 1 7 1 04 4 4 4x y x y , 将点 C , D 的坐标代入化简可得 12121yyxx ,即 1k 例 2.已知点 P(0, 1),椭圆 24x +y2=m(m1)上两点 A, B 满足 AP =2PB ,则当 m=_时,点 B 坐标的绝对值最大 解: 方法一:设 11( , )Ax y , 22( , )Bx y , 当直线斜率不存在时, 9m , 2 0x . 当直线斜率存在时,设 AB

23、为 1y kx.联立 2 241x ymy kx 得 22( 4 1 ) 8 4 4 0k x k x m ,20 4 1 0m k m ,12 2841kxx k , 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 14 页 共 26 页 12 24441mxx k . 2AP PB , 122xx ,解得1 21641kx k ,2 2841kx k . 2 28 8 2141 4kxk k k (当且仅当 12k 时取“ ”) . 12 221 6 8 84 1 4 1kkxx kk ,12 244 2241mx x mk ,得 5m , 当 5m 时,点 B 横坐标最大 . 方法

24、二:设 11( , )Ax y , 22( , )Bx y ,则 11( ,1 )AP x y , 22( , 1)PB x y, 2AP PB , 12232xxyy , 22222222( 2 ) ( 3 2 ) (1 )4( 2 )4x ymx ym ,由 (1) (2) 得2 34my .(3) 将 (3) 代入 (2) ,得 222 ( 5) 1 64mx , 22 ( 5 ) 1 62mx , 当 5m 时, 2x 取最大值 . 例 3.设椭圆 221xxab(ab0)的左焦点为 F, 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 53 , 点 A的坐标为 (,0)b ,且 62FB AB.

25、 ( I)求椭圆的方程; ( II)设直线 l: ( 0)y kx k与椭圆在第一象限的交点为 P, 且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 52 s in4AQ A O QPQ (O 为原点 ) , 求 k 的值 . 解: ( 1) 设椭圆的焦距为 2c ,由已知 有 22 59ca , 又由 2 2 2a b c,可得 23ab 由已知可得, FB a , 2AB b , 由 62FB AB,可得 6ab ,从而 3a , 2b 所以,椭圆的方程为 22194xy ( 2) 设点 P 的坐标为 11,xy ,点 Q 的坐标为 22,xy 由已知有 120yy,故 12sinP Q A O

26、Q y y 又因为 2sin yAQ OAB ,而 4OAB,故 22AQ y 由 52 sin4AQ A O QPQ ,可得 1259yy 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 15 页 共 26 页 由方程组 22194y kxxy消去 x ,可得1 2694ky k 易知直线 AB 的方程为 20xy, 由方程组20y kxxy 消去 x ,可得2 2 1ky k 由 1259yy ,可得 25 1 3 9 4kk , 两边平方,整理得 256 50 11 0kk , 解得 12k,或 1128k 所以, k 的值为 12或 1128 四 、归类巩固 *1.由椭圆 x22

27、 y2 1 的 左 焦点 作倾斜角为 45的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点 则 OA OB 答案: 13 (考查 直线与椭圆的交点问题,向量的数量积 ) 2 如图 , 在平面直角 坐标系 xOy 中 , 已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为22 , 长轴长为 4.过椭圆的左顶点 A 作直线 l, 分别交椭圆和圆 x2 y2 a2于相异两点 P, Q. * 若直线 l 的斜率为 12, 求 APAQ的值; * 若 PQ AP , 求实数 的取值范围 答案: 56; ( 0,1) (已知直线与椭圆、圆分 别交于两点,并且其中一点已知,求另一点 ) *3.设椭圆 x2a2y2b

28、2 1(a b 0)的左焦点为 F,离心率为33 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 4 33 .设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点若 AC DB AD CB 8,求 k 的值 答案: 8 63 . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系,求直线斜率 ) *4.已知椭圆 C: x26y22 1 设 F 为椭圆 C 的左焦点, T 为直线 x 3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P, Q. 证明: OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点 ); 当 |TF|PQ|最小时,求点 T 的坐标

29、 答案 : T点的坐标是 ( 3, 1)或 ( 3, 1) (求取最值时的条件 ) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 16 页 共 26 页 综合 应用 篇 一、 例题分析 例 1. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C:x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1, F2, P 为椭圆上一点(在 x 轴上方),连结 PF1并延长交椭圆于另一点 Q,设 PF1 F1Q *( 1) 若点 P 的坐标为 (1, 32), 且 PQF2 的周长为 8,求椭圆 C 的方程; *( 2)若 PF2 垂直于 x 轴,且椭圆 C 的离心率 e 12, 22 ,求

30、 实数 的取值范围 解: ( 1)因为 F1, F2为椭圆 C 的两焦点,且 P, Q 为椭圆上的点, 所以 PF1 PF2 QF1 QF2 2a,从而 PQF2的周长为 4a 由题意,得 4a 8,解得 a 2 因为 点 P 的坐标为 (1, 32), 所以 1a2 94b2 1, 解得 b2 3 所以椭圆 C 的方程为 x24y23 1 ( 2) 方法一: 因为 PF2 x 轴,且 P 在 x 轴上方,故 设 P(c, y0), y0 0设 Q(x1, y1) 因为 P 在椭圆上,所以 c2a2y20b2 1,解得 y0b2a,即 P(c,b2a ). 因为 F1( c, 0),所以 PF

31、1 ( 2c, b2a ), F1Q (x1 c, y1) 由 PF1 F1Q ,得 2c (x1 c), b2a y1, 解得 x1 2 c, y1 b2a,所以 Q( 2 c, b2a). 因为点 Q 在椭圆上,所以 ( 2 )2e2 b22a2 1, 即 ( 2)2e2 (1 e2) 2, (2 4 3)e2 2 1, 因为 1 0, (第 18 题) x O y P F1 F2 Q 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 17 页 共 26 页 所以 ( 3)e2 1, 从而 3e2 11 e2 41 e2 3 因为 e 12, 22 , 所以 14 e2 12,即 73

32、 5 所以 的取值范围为 73, 5 方法 二 : 因为 PF2 x 轴,且 P 在 x 轴上方,故 设 P(c, y0), y0 0 因为 P 在椭圆上,所以 c2a2y20b2 1,解得 y0b2a,即 P(c,b2a ) 因为 F1( c, 0),故直线 PF1 的方程为 y b22ac(x c) 由y b22ac(x c),x2a2y2b2 1,得 (4c2 b2)x2 2b2cx c2(b2 4a2) 0 因为直线 PF1与椭 圆有一个交点为 P(c, b2a )设 Q(x1, y1), 则 x1 c 2b2c4c2 b2,即 c x12b2c4c2 b2 因为 PF1 F1Q ,

33、所以 2c c x1 4c2 b2b2 3c2 a2a2 c2 3e2 11 e2 41 e2 3 因为 e 12, 22 , 所以 14 e2 12,即 73 5 所以 的取值范围为 73, 5 教学建议 ( 1)问题归类与方法 : 本题离心率与参数值有等量关系,求参数范围本质上等价于求离心率范围 . 求椭圆、双曲线的离心率的范围,有两种情形, 题中给出的是关于基本量 a, b, c 的齐次不等关系; 题中给出的是 关于基本量 a, b, c 与某一变化的量之间的 一个等量关系,即 f(P) g(a, b, c), 根据 g(a,b, c)在 f(P)的值域内,可得关于 基本量 a, b,

34、c 的齐次不等关系 ( 2)方法选择与优化 : 本题 既可以从 向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式, 也可以从 P 点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点,再求函数关系;最后也可以用 表示离心率 e,解不等式求出 的范围 . 例 2.已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左焦点为 F( c, 0),右顶点为 A,点 E 的坐标为 (0, c), EFA 的面积为 b22 . *( 1)求椭圆的离心率; ( 2)设点 Q 在线段 AE 上, |FQ| 32c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M, N 在 x 轴上, PM QN,且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边

35、形 PQNM 的面积为 3c. 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 18 页 共 26 页 *( i)求直线 FP 的斜率; *( ii)求椭圆的方程 . 解 : (1)设椭圆的离心率为 e.由已知,可得 12(c a)c b22.又由 b2 a2 c2,可得 2c2 ac a2 0,即 2e2 e 1 0.又因为 0 e 1,解得 e 12. 所以,椭圆的离心率为 12. ( 2)( ) 方法一 : 依题意,设直线 FP的方程为 x my c(m 0),则直线 FP 的斜率为 1m. 由( )知 a 2c,可得直线 AE 的方程为 x2c yc 1,即 x 2y 2c 0,

36、与直线 FP 的方程联立,可解得 x (2m 2)cm 2 , y 3cm 2,即点 Q的坐标为 (2m 2)cm 2 , 3cm 2). 由已知 |FQ|=3c2 ,有 (2m 2)cm 2 c2 ( 3cm 2)2 (3c2 )2,整理得 3m2 4m 0, 所以 m 43,即直线 FP 的斜率为 34. 方法二 : 由( )知 a 2c,可得直线 AE的方程为 x2c yc 1,即 x 2y 2c 0,又 |FQ| 32c设 Q(x0, y0) ,则 x0 2y0 2c 0(x0 c)2 y02 94c2 消 y0 得 5x20 4cx0 c2 0, x0 c(舍)或 c5 ,所以 Q(

37、c5,910c) , 直线 FP的斜率为 34. ( ii) 方法一: 由 ( i) 得直线 FP 的方程为 3x 4y 3c 0 ,与椭圆 x24c2y23c2 1 联立得 7x2 6cx 13c20, x 137 c (舍)或 c ,所以 P(c, 32c) 由 ( i) 得 Q(c5, 910c),由题直线 QN,直线 PM 的斜率一定存在,设为 k0 , 设 PM: k0x y k0c 32c 0 , QN: k0x y k05 c 910c 0,两平行线距 离为| k0c 32c k0c5 910c|k02 1 c ,解得 k0 43 ,所以 M(178 c, 0), N(78c,

38、0) , 四边形 PQNM 的面积为 S PFM S FQN 12(178 c c) 32c 12(78c c) 910c 3c ,解得 c 2 ,所以椭圆的方程为 x216y212 1 . 方法二: 同方法一求出 k0 43,所以 FP QN, FP PM , 又 P(c, 32c), Q(c5, 910c), 直线 FP 的斜率为 34.即 tan PFM 34 , |FQ| 32c, |FP| 52c,所以 四边形 PQNM 的面积为 12(QN PM) c 12(3432c 3452c) c 3c ,解得 c 2 ,所以椭圆的方程为 x216y212 1 . 方法三: 可利用 |FQ|

39、 32c, |FP| 52c 得 FP FQ c 即 直线 PM 与直线 QN 间的距离 ,直接得 FP QN,FP PM,避免求 k0 的值 简化 运算 过程 . 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 19 页 共 26 页 教学建议 ( 1)问题归类与方法 : 1.求椭圆、双曲线的离心率,本质上是要找出关于基本量 a, b, c 的一个齐次关系,从而求出离心率; 2 直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标 (x0,y0),设出直线的方程,与椭圆方程联立,可用韦达定理求出另一根; 两点均未知 方法 1 设两点 A(x1, y1)、 B(x2, y2),直线方程与椭圆方程联

40、立,消去 y 得关于 x 的方程 Ax2 Bx C 0, 由韦达定理得 x1 x2 BA, x1x2 CA, 代入已知条件所得式子消去 x1, x2(其中 y1, y2 通过直线方程化为 x1, x2) 有时也可以直接求出两交点 . ( 2)方法选择与优化 : 本题对考生计算能力要求较高,是一道难题重点考察 了计算能力,以及转化与化归的能力,解答此类题目,利用 a,b,c,e的关系,确定椭圆离心率是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,一般都是根据根与系数的关系解题,但本题需求解交点坐标,再求解过程逐步发现四边形 PQNM的几何关系,从而求解面积 ,计算结果,本题计算量比较大

41、. 二、反馈巩固 *1 已知椭圆 C: x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点为 F1, F2,离心率为33 ,过 F2的直线 l 交 C 于 A, B两点 若 AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为 答案: x23y22 1 (考查 椭圆的定义,离心率及椭圆的方程 ) *2.在平面直角坐标系 xOy 中 , P 为双曲线 x2 y2 1 右支上的一个动点 若点 P 到直线 x y 1 0 的距离大于 c 恒成立 , 则实数 c 的最大值为 _ 答案:22 (利用双曲线与渐近线的几何性质 求解 ) *3 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆 x2a2y2b2 1(a

42、b 0)的右焦点,直线 yb2与椭圆交于 B,C两点,且 BFC 90,则该椭圆的离心率是 . 答案 : 63(考查 椭圆的定义,离 心率及椭圆的方程 ) *4 已知方程 x2m2+ny23m2n=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则 n 的取值范围是 . 答案: (1,3) (考查 双曲线的标准方程及几何性质 ) *5 椭圆 C: x24y23 1的左右顶点分别为 A1, A2,点 P在 C上且直线 PA2斜率的取值范围为 2, 1,那么直线 PA1的斜率的取值范围是 答案: 38, 34 (考查 椭圆的几何性质,定值问题,函数的值域 ) 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 20 页 共 26 页 x y O A P B *6 设 F1, F2 分别是椭圆 E: x2 y2b2 1(0 b 1)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点 若 AF1