1、专题 22 数学思想方法专项【训练目标】1、 领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法；【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.
2、【名校试题荟萃】1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.1.若 0ln x2ln x1B. 21xD. 122g(x2)， e，故选 C.2.已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g( x)，满足 g( x) g(x)1 的解集为_.g xex【答案】(，0)3.已知 f(t)log 2t， t ，8，对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式 x2 mx42 m4 x 恒成立，则2x 的取值范围是_.【答案】
3、 (，1)(2，)【解析】 t ，8， f(t) .2 12， 3问题转化为 m(x2)( x2 )20 恒成立，当 x2 时，不等式不成立， x2.令 g(m) m(x2)( x2) 2， m .12， 3问题转化为 g(m)在 上恒大于 0，12， 3则Error! 即Error!解得 x2 或 x0， 设 Sn f(n)，则 f(n)为二次函数，又由 f(7) f(17)知， f(n)的图象开口向上，关于直线 n12 对称，故 Sn取最小值时 n 的值为 12.8.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S42， S63，则 nSn的最小值为_.【答案】 9【解 析】 由Error!
4、 解得 a12， d1，所以 Sn ，故 nSn .n2 5n2 n3 5n22令 f(x) ，则 f( x) x25 x，x3 5x22 32令 f( x)0，得 x0 或 x ，103 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增. (0，103) (103， )又 n 是正整数，故当 n3 时， nSn取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(20
5、16全国)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C的准线于 D， E 两点.已知| AB|4， |DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】 不妨设抛物线 C： y22 px(p0)，圆的方程设为 x2 y2 r2(r0)，如图，又可设 A(x0，2 )， D ，2 (p2， 5)点 A(x0，2 )在抛物线 y22 px 上，82 px0，2点 A(x0，2 )在圆 x2 y2 r2上， x 8 r2，2 20点 D 在圆 x2 y2 r2上，5 2 r2，(p2， 5) (p2)联立，解得 p4(负值舍去)，
6、即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.10.如图，已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 Cx2a2 y2b2的一条渐近线交于 P， Q 两点，若 PAQ60，且 3 ，则双曲线 C 的离心率为( )OQ OP A. B. C. D. 233 72 396 3【答案】B所以点 A 到直线 y x 的距离 d ，ba|baa 0|(ba)2 1 2 aba2 b2所以 2(2 R)2 R2 3R2，(aba2 b2)即 a2b23 R2(a2 b2)，在 OQA 中，由余弦定理得，|OA|2| OQ|2| QA|22| OQ|Q
7、A|cos 60(3 R)2(2 R)223 R2R 7 R2 a2.12由Error! 得Error!所以双曲线 C 的离心率为 e .ca c2a2 a2 b2a2 1 b2a2 1 214R27R2 7211.设椭圆中心在坐标原点， A(2，0)， B(0，1)是它的两个顶点，直线 y kx(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点.若 6 ，则 k 的值为_.ED DF 【答案】 或23 38【解析】依题意得椭圆的方程为 y21，直线 AB， EF 的方程分别为 x2 y2， y kx(k0).如图，设x24D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2，
8、kx2)，其中 x1 .1k 14所以 k 的取值范围为 .(14， )3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f( x1) f(x1)，当 x1，0时， f(x) x3，则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为_.52， 12【答案】7【解析】 因为函数 f(x)为偶函数，所以 f( x1) f(x1) f(x1)，所以函数 f(x)的周期为 2.又当 x1，0时， f(x) x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y1 f(x)与 y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的实数解有 7 个. 52， 1
9、2不妨设 x10，所以 m 1，故 m 的取值范围是|m 1|2 2 1，).27.若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.12【答案】 ( ， 12【解析】作出 y1| x2 a|和 y2 x a1 的简图，如图所示.12依题意得Error!故 a .128.已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1， x2，使得 f(x1) f(x2)，则实数 a 的取值范围为_.【答案】 0，)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或
10、范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离.9.已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m，0)， B(m，0)( m0).若圆 C 上存在点 P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B10.设双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别为 F1， F2，以 F1F2为x2a2 y2b2直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( )
11、A. B. C.2 D.2 3 5【答案】D【解析】如图所示，设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点为 Q，连接 OQ，则 OQ PF2.又 PF1 PF2， O 为 F1F2的中点，所以| PF1|2| OQ|2 a.又| PF2| PF1|2 a，所以| PF2|4 a.在 Rt F1PF2中，由| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，得 4a216 a220 a24 c2，即 e .ca 511.已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点 A(2，4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_.【答案】 ( 2， 12)【解析】因为(2)
12、 21，设 a f(2)1， be f(3)1，则 a， b 的大小关系为( )A.abC.a b D.无法确定【答案】A2.(2018宣城调研)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，且在0，1上是减函数，则有( )A.f 0， b0)的右焦点 F 作直线 y x 的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若x2a2 y2b2 ba2 ，则该双曲线的离心率为( )FB FA A. B.2 C. D.3 5 7【答案】C5.记实数 x1， x2， xn中最小数为 minx1， x2， xn，则定义在区间0，)上的函数 f(x)min x21， x3，13 x的最大值为(
13、)A.5 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数 y1 x21， y2 x3， y313 x 的图象如图.由图可知，在实数集 R 上，min x21， x3，13 x为 y2 x3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之 间 的 部分 ， 线 段 BC 与 直 线 y3 13 x 在 点 C 下 方 的 部 分 的 组 合 体 .显 然 ， 在 区 间 0，)上，在 C 点时，ymin x21， x3，13 x取得最大值.解方程组Error!得点 C(5，8).所以 f(x)max8.6.已知函数 f(x)|lg( x1)|，若 1 a b 且 f(a) f(b)
14、，则 a2 b 的取值范围为( )A.(32 ，) B.32 ，)2 2C.(6，) D.6，)【答案】C由对勾函数的性质知，当 b 时， f(b)2( b1) 3 单调递增，(22 1， ) 1b 1 b2， a2 b 2 b6.bb 17.(2018东莞模拟)已知函数 f(x)Error!若不等式 f(x) mx 恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A.32 ，32 2 2B.32 ，02C.32 ，02D.(，32 32 ，)2 2【答案】C8.(2018德阳诊断)已知函数 f(x) xsin x，若存在 x2，1，使得 f(x2 x) f(x k)0 在 R 上恒成立，(3x 13x
15、 1 x sin x) 2ln 33x 3x 1 2即函数 f(x)在 R 上单调递增.若 x0 2， 1，使得 f(x x0) f(x0 k)x 2 x0，令 g(x) x22 x， x2，1.20则 kg(x)min g(1)1 故实数 k 的取值范围是(1，).9.已知正四棱锥的体积为 ，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.323【答案】2 3【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为 a，高为 h.则该正四棱锥的体积 V a2h ，13 323故 a2h32，即 a2 .32h则其侧棱长为 l .(2a2)2 h2 16h h210.若函数 f(x)|2 x2| b 有两个零点，则实数 b
16、的取值范围是_.【答案】(0，2)【解析】由 f(x)|2 x2| b 有两个零点，可得|2 x2| b 有两个不等的实根，从而可得函数 y1|2 x2|的图象与函数 y2 b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得 00)，若两条曲线没有公共点，则 r 的取值范围是x29 y24_.【答案】(0，1) (3305 ， )因此，求使圆 C2与椭圆 C1有公共点的 r 的集合，等价于在定义域为 y2，2的情况下，求函数r2 f(y) y22 y10 的值域.54由 f(2)1， f(2)9， f ，(45) 545可得 f(y)的值域为 ，即 r ，1，545 1， 3305 它的补集
17、就是圆 C2与椭圆 C1没有公共点的 r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的 r 的取值范围是(0，1) .(3305 ， )方法二 联立 C1和 C2的方程消去 x，得到关于 y 的方程 y22 y10 r20.54两条曲线没有公共点，等价于方程 y22 y10 r20 要么没有实数根，要么有两个根54y1， y22，2.若没有实数根，则 44 (10 r2) 或 r0， 则 r0，解得 0r1.因此，两条曲线没有公共点的 r 的取值范围是(0，1) .(3305 ， )12.若关于 x 的不等式 ex 1 x0 在 上恰成立，则实数 a 的取值集合为_.x22 (a 94) 12， )【答案】2 e【解析】 关于 x 的不等式 ex 1 x0 在 上恰成立函数 g(x) 在x22 (a 94) 12， ) ex x22 1x上的值域为 .12， ) a 94， )故 g(x)在 上单调递增，12， )则 g(x) g 2 ，(12) 18 112 e 94所以 a 2 ，94 e 94解得 a2 ，e所以 a 的取值集合为2 .e
