1、专题 13 双曲线与抛物线测试题基础达标测评【高频考点】双曲线和抛物线的定义，标准方程以及简单是几何意义的应用，直线与双曲线、抛物线的位置关系。【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，重点是抛物线，再客观题中考察抛物线 的定义和标准方程，主要考查抛物线的定义，若以解答题的形式出现，往往压轴题的位置，考察抛物线的定义有关的最值，距离以及定点（定值）问题，试题综合性强，难度大，双曲线的标准方程，几何形状也是在高考中考察，主要在客观题中出现，考察双曲线的离心率，渐近线等问题，难度不大。【重点推荐】基础卷第 20 题存在问题是高考经常考察的重点内容；拔高卷 14 题，考察归纳推理和类比推理的应用，考
2、察综合利用知识的能力。一 选择题1. （2018榆林二模）若抛物线 x2=16y 上一点（x 0，y 0）到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，则y0=（ ）A2 B C1 D【答案】：A【解析】拋物线 x2=16y 上一点（x 0，y 0） ，到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，可得 y0+ =3y0，所以y0= = =2故选 ：A2. （2018永州二模） 若方程表示双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A2xy=0 Bx2y=0 C Dxy=0【答案】：D【解析】根据题意，方程表示双曲线，必有（k2016） （k2018）0，解可得 2016k2018，又由kZ，则 k=2
3、017，则双曲线的方程为 x2y 2=1，其中 a=1，b=1，焦点在 x 轴上，则双曲线的渐近线方程为 y=x，即xy=0；故选：D3. （2018新课标）双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy= x【答案】：A【解析】双曲线的离心率为 e= = ，则 = = = = = ，即双曲线的渐近线方程为 y= x= x，故选：A4. （2018泰安一模）已知 F 是抛物线 x2=y 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB的中点到 x 轴的距离为（ ）A B1 C D【答案】：C【解析】抛物线 x2=y
4、 的焦点 F（0， ）准线方程 y= ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）|AF|+|BF|=y 1+ +y2+ =3，解得 y1+y2= ，线段 AB 的中点纵坐标为 ，线段 AB 的中点到 x 轴的距离为 ，故选：C5（2018临沂三模）已知双曲线的一条渐近线平行于直线 l：y=x+2，一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ）A B C Dx 2y 2=1【答案】：A6. （2018丹东一模）设 F 为抛物线 C：y 2=2px（00）的焦点，直线 x2y3p=0 交 C 于 A，B 两点，O为坐标原点，若FAB 的面积为 5 ，则 p=（ ）A B C2 D4【答案】
5、：B【解析】F（ ，0）为抛物线 C：y 2=2px（00）的焦点，直线 x2y3p=0 与 x 轴交于 P（3p，0） ，联立直线 x2y3p=0 和 y2=2px，可得 y24py6p 2=0，可得=16p2+24p2=40p20，y 1+y2=4p，y 1y2=6p 2，FAB 的面积为 5 ，即为|FP|y1y 2|= （3p ）=5 ，解得 p= ，故选：B7. 知双曲线 C： （a0，b0）的一个焦点坐标为（4，0） ，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A =1 BC =1 D =1 或 =1【答案】：A8. （2018宁德二模）过抛物线 y2=4x 的焦点 F
6、 作一倾斜角为 的直线交抛物线于 A，B 两点（A 点在 x轴上方） ，则 =（ ）A B C3 D2【答案】：C【解析】设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则抛物线 y2=4x 中p=2|AB|=x 1+x2+p= = ，x 1+x2= ，又 x1x2= =1，可得 x1=3，x 2= ，则 = =3，故选：C9. （2018 春莆田期末 ）已知抛物线 C：x 2=2py 的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 60的直线 l 交 C 于 A，B两点若|AB|=16，则 p=（ ）A2 B4 C6 D12【答案】：A 【解析】抛物线 C：x 2=2py 的焦点为 F（0， ） ，过
7、 F 且倾斜角为 60的直线 l：y = x，可得 x=，代入抛物线方程，可得：y 27py+ p2=0，则：y 1+y2=7p，过 F 且倾斜角为 60的直 线 l 交 C 于 A，B 两点若|AB|=16，可得 16=7p+p，解得 p=2故选：A10. （2018天津）已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【答案】：A【解析】由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线 y= ，即
8、bxay=0，F（c，0） ，ACCD，BDCD，FECD，ACDB 是梯形，F 是 AB 的中点，EF= =3，EF= =b，所以 b=3，双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 2，可得 ，可得： ，解得 a= 则双曲线的方程为： =1故选：A11. （2018顺庆区校级模拟）P 为双曲线 右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，且，直线 PF2交 y 轴于点 A，则AF 1P 的内切圆半径为（ ）A2 B3 C D【答案】：A【解析】PF 1PF 2，APF 1的内切圆半径为r，|PF 1|+|PA|AF 1|=2r，|PF 2|+2a+|PA|AF 1|=2r，|AF 2|AF
9、 1|=2r4，由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，r=2故选：A12. （2018静海区校级模拟）设抛物线 y2=2x 的焦点为 F，过点 M（ ）的直线与抛物线相交于A，B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|=2，则BCF 与ACF 的面积之 =（ ）A B C D【答案】B【解析】：抛物线准线为 x= ，过 A，B 作准线的垂线 AP，BQ，则 BQ=BF=2，不妨设 B 在第一象限，则B（ ， ） ，设直线 AB 的方程为 x=my+ ，联立方程组 ，消去 x 可得 y22my2 =0，y AyB=2 ，故而yA=2，x A= =2，AP=x A+ = ， = = = 故
10、选：B二填空题13. 双曲线 的实轴长是 ，焦点到渐近线的距离是 【答案】：4；1【解析】双曲线 的 a=2，b=1，c= = ，即有 2a=4，焦点为（ ，0） ，渐近线方程为 y= x，则焦点到渐近线的距离是 =1，故答案为：4，114. （2018通州区三模）抛物线 y2=2px（p0）的准线与双曲线 的两条渐近线所围成三角形的面积等于 2，则 p= 2 【答案】：2【解析】抛物线 y2=2px（p0）的准线为 x= ，双曲线 的两条渐近线方程分别为：y=2x，y=2x，这三条直线构成等腰三角形，底边长为：2p，三角形的高为： ，因此，所求三角形面积：，解得 P=2故答案为：215. （2018瓦房店市一模）已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A，B 满足 =2 ，则弦 AB 中点到抛物线准线的距离为 ，即 的取值范围是（，812 分
