1、北京 2019 年中考复习题精选：新定义综合题解析版1. （2018 东城一模）给出如下定义：对于O 的弦 MN 和O 外一点 P（M，O，N 三点不共线，且 P，O 在直线 MN 的异侧） ，当MPNMON=180时，则称点 P 是线段 MN 关于点 O 的关联点图 1 是点 P 为线段MN 关于点 O 的关联点的示意图 .在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为 1.（1）如图 2， ， .在 A（1，0） ，B（1，1） ，2,M2,N2,0C三点中, 是线段 MN 关于点 O 的关联点的是 ；（2）如图 3， M（0，1） ，N ，点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点.31,
2、2MDN 的大小为 ；在第一象限内有一点 E ，点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点，判断MNE 的形状，并直接3,m写出点 E 的坐标； 点 F 在直线 上，当MFNMDN 时，求点 F 的横坐标 的取值范围32yx Fx解：（1）C； -2 分（2） 60； MNE 是等边三角形，点 E 的坐标为 ；-5 分31， 直线 交 y 轴于点 K（0，2） ，交 x 轴于点 .32yx 23T， 0 ， .2OK3T .60作 OG KT于点 G,连接 MG. ，M， 1 OM=1. M 为 OK 中点 . MG =MK=OM=1. MGO = MOG=30， OG= .3 3.2G， ,
3、10MON .9又 ， ，3G1 .0ON .6M G是线段 MN关于点 O的关联点.经验证，点 在直线 上.31E， 32yx结合图象可知， 当点 F在线段 GE上时 ，符合题意. ，GFEx .-8 分32F 2. （2018 西城一模）对于平面内的C 和C 外一点 Q，给出如下定义：若过点 Q 的直线与C 存在公共点，记为点 A，B，设 ，则称点 A（或点 B）是C 的“k 相关依附点” 特别地，当点 A 和点 B 重合QBk时，规定 AQ=BQ， （或 ） 2A已知在平面直角坐标系 xOy 中， ， ，C 的半径为 r(1,0)Q(,)（1）如图 1，当 时， 2r若 是C 的“k 相
4、关依附点” ，则 k 的值为_；1(0,)A 是否为C 的 “2 相关依附点”? 答：是_（选“是”或“否” ） ；2(,)（2）若C 上存在“k 相关依附点”点 M，当 r =1，直线 QM 与C 相切时，求 k 的值；当 k= 时，求 r 的取值范围；3（3）若存在 r 的值使得直线 与C 有公共点，且公共点是C 的“ 相关依附点” ，直接写出 b3yxb 3的取值范围图 1 备用图解：（1） 1 分2是2 分（2）如图 9，当 r =1 时，不妨设直线 QM 与C 相切的切点 M 在 x 轴上方（切点M 在 x 轴下方时同理） ，连接 CM，则 QMCM ， ，r =1 ，(1,0)Q(
5、,) ， 2CQ1M 3此时 3 分2kCQ来源:学科网如图 10，若直线 QM 与 C 不相切 ， 设直线 QM 与C 的另一个交点为 N（不妨设 QNQM，点N， M 在 x 轴下方时同理） 作 CDQM 于点 D，则 MD=ND ()22QNMQNDQ ，2C kQ 当 k= 时， 33D此时 21C假设C 经过点 Q，此时 r = 2 点 Q 在C 外， r 的取值范围是 1r2 5 分（3） b 7 分3图 9 图 103. （2018 海淀一模）在平面直角坐标系 中，对于点 和 ， 给出如下定义：若 上存在一点 不与xOyPCACAT重合，使点 关于直线 的对称点 在 上，则称 为
6、 的反射点下图为 的反射点 的示OPT P意图（1）已知点 的坐标为 ， 的半径为 ，A(1,0)A2在点 ， ， 中， 的反射点是(0,)O,2M,3N_；点 在直线 上，若 为 的反射点，求点 的横坐标PyxPAP的取值范围；（2） 的圆心在 轴上，半径为 ， 轴上存在点 是 的CAx2yCA反射点，直接写出圆心 的横坐标 的取值范围x解（1） 的反射点是 ， 1 分AMN设直线 与以原点为圆心，半径为 1 和 3 的两个圆的交点从左至右依次为 ， ， ， ，过点 作yx DEFGD轴于点 ，如图DH可求 得点 的横坐标为 32同理可求得点 ， ， 的横坐标分别为 ， ， EFG232点
7、是 的反射点，则 上存在一点 ，使点 关于直线 的对称PAATPOT点 在 上，则 . OP ， 13 13 反之，若 ， 上存在点 ，使得 ，故线段 的垂直平分线经过原点，且与 相交因此 AQOPPQA点 是 的反射点来源:Z.xx.k.ComPA点 的横坐标 的取值范围是 ，或 4 分x32 x23 x（2）圆心 的横坐标 的取值范围是 7 分C4 yxPOCTP4. （2018 朝阳一模）对于平面直角坐标系 中的点 P 和线段 AB， 其 中 A(t， 0)、 B(t+2， 0)两点，给 出 如 下xOy定 义 ： 若 在 线段 AB 上 存 在 一 点 Q， 使得 P，Q 两点间的距离
8、小于或等于 1，则称 P 为线段 AB 的伴随点（1）当 t= 3 时，在点 P1（1，1） ，P 2（0，0） ，P 3（- 2，-1）中，线段 AB 的伴随点是 ；在直线 y=2x+b 上存在线段 AB 的伴随点 M、N， 且 MN ，求 b 的取值范围；5（2）线段 AB 的中点关于点（2，0）的对称点是 C，将射线 CO 以点 C 为中心，顺时针旋转 30得到射线l，若射线 l 上存在线段 AB 的伴随点，直接写出 t 的取值范围解：（1）线段 AB 的伴随点是: . 2 分23,P如图 1，当直线 y=2x+b 经过点（ 3， 1）时，b=5，此时 b 取得最大值. 4 分 如图 2
9、，当直线 y=2x+b 经过点（ 1，1）时，b=3，此时 b 取得最小值. 5 分 b 的取值范围是 3b5. 6 分图 1 图 2（2）t 的取值范围是 8 分12.t5. （2018 丰台一模）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 ， 给 出 如 下 定 义 ： 点 P 为图形 上一1W2 1W点，点 Q 为图形 上一点，当点 M 是 线 段 PQ 的 中 点 时 ， 称 点 M 是 图 形 ， 的 “中 立 点 ” 如 果 点2W12P(x1， y1)， Q(x2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为 ,2211yx已知，点 A(-3，0) ，B(0，4)，C(4，0) （1
10、）连接 BC，在点 D( ，0) ，E(0，1) ，F(0 ， )中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是1212_；（2）已知点 G(3，0) ，G 的半径为 2如果直线 y = - x + 1 上存在点 K 可以成为点 A 和G 的“中立点” ，求点 K 的坐标；（3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆点 N 为直线 y = 2x + 4 上的一点，如果存在点 N，使得 轴上的一y点可以成为点 N 与C 的“ 中立点” ，直接写出点 N 的横坐标的取值范围解：（1）点 A和线段 BC的“中立点”的是点 D，点 F； 2 分（2）点 A 和G 的“中立点 ”在以点 O 为圆心、半径
11、为 1 的圆上运动.因为点 K 在直线 y=- x+1 上，设点 K 的坐标为（x ， - x+1） ，则 x2+（ - x+1） 2=12，解得 x1=0，x 2=1. 所以点 K 的坐标为（0，1）或（ 1，0）. 5 分5441123213 xOy68765432765432 658（3） （说明：点 N与C 的 “中立点”在以线段 NC 的中点 P 为圆心、半径为 1 的圆上运动.圆 P 与 y 轴相切时，符合题意.）所以点 N 的横坐标的取值范围为 -6x N-2. 8 分6. （2018 石景山一模）对于平面上两点 A，B，给出如下定义：以点 A 或 B 为圆心，AB 长为半径的圆
12、称为点A，B 的“确定圆 ”如图为点 A，B的“确定圆”的示意图（1）已知点 A 的坐标为 ，点 的坐标为 ，(1,0)(3,)则点 A，B 的“确定圆”的面积为_；（2）已知点 A 的坐标为 ，若直线 上只存在一个点 B，使得点 A，B 的“确定圆”的面积为 ，(0,)yxb 9求点 B 的坐标；（3）已知点 A 在以 为圆心，以 1 为半径的圆上，点 B 在直线 上，若要使所有点 A，B(0)Pm， 3yx的“确定圆”的面积都不小于 ，直接写出 的取值范围解：（1） ； 9m25 2 分（2）直线 上只存在一个点 ，使得点 的“确定圆”的面积为 ， yxbB,A9 的半径 且直线 与 相切
13、于点 ，如图，A3ByxbB ， CD45当 时，则点 在第二象限0bB过点 作 轴于点 ，ExAByxllECDBB3Ay x 1234512345345 2345O在 中， ， ，RtBEA453AB 32 2B（ ， ）当 时，则点 在第四象限同理可得 0b 32B（ ， ）综上所述，点 的坐标为 或 B32（ ， ） （ ， ） 6 分（3） 或 8 分5m 17. （2018 怀柔一模）P 是C 外一点，若射线 PC 交C 于点 A，B 两点，则给出如下定义：若 0PA PB3 ，则点 P 为C 的“ 特征点”(1)当O 的半径为 1 时在点 P1（ 2,0） 、P 2（0,2） 、
14、P 3（4，0）中，O 的“特征点”是 ；点 P 在直线 y=x+b 上，若点 P 为O 的“特征点”求 b 的取值范围；(2)C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=x+1 与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上的所有点都不是C 的“ 特征点 ”，直接写出点 C 的横坐标的取值范围解：(1)P 1（ 2,0） 、P 2（0,2）2 分如图， 在 y=x+b 上，若存在O 的“ 特征点”点 P，点 O 到直线 y=x+b的 距离 m2.直线 y=x+b1 交 y 轴于点 E，过 O 作 OH直线 y=x+b1 于点 H.因为 OH=2，在 RtDOE 中，可知 OE=2
15、2.可得 b1=2 2.同理可得 b2=-2 .b 的取值范围是: 2 b . 6 分(2)x 3或 x. 8 分8. （2018 延庆一模）平面直角坐标系 xOy 中，点 ， 与 ， ，如果满足 ， ，1(Ax)y2(Bx)y120x120y其中 ，则称点 A 与点 B 互为反等点12x已知：点 C(3，4)（1）下列各点中， 与点 C 互为反等点； D( 3， 4)，E（3，4） ，F（ 3，4）（2）已知点 G（ 5，4） ，连接线段 CG，若在线段 CG 上存在两点 P，Q 互为反等点，求点 P 的横坐标 的 px取值范围；（3）已知O 的半径为 r，若O 与（2）中线段 CG 的两个
16、交点互为反等点，求 r 的取值范围解(1)F 1 分(2) -3 3 且 0 4 分pxp-1-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-1y123456 x65432O(3)4 r5 7 分9.（2018 东城二模）. 研究发现，抛物线 上的点到点 F(0，1)的距离与到直线 l： 的距离相等.如图214yx 1y1 所示，若点 P 是抛物线 上任意一点，PHl 于点 H，则 .214yxP基于上述发现，对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M，记点 到点 的距离与点 到点 的距离之和的最小值F为 d， 称 d 为点 M 关于抛物线 的关联距离；当 时，称点 M 为抛物线 的关联点.21424d
17、 214yx（1）在点 ， ， ， 中，抛物线 的关联点是_ ；1(20)M， 2()， 3(45)， 4(0)M， 214yx（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，点 ，点 C( t.1At， 3t，若 t=4，点 M 在矩形 ABCD 上，求点 M 关于抛物线 的关联距离 d 的取值范围；214yx若矩形 ABCD 上的所有点都是抛物线 的关联点，则 t 的取值范围是_. 来源:学科网214yx(1) 12， ；（2）当 时， ， ， ， ，4t1A， 5B， 3C， 4D，此时矩形 上的所有点都在抛物线 的下方，BCD21yx .dMF .A =429FC， ， - 5 分29.d4 -
18、8 分31.t- 10.（2018 西城二模） 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 （x0） ，将它的纵坐标 y 与横坐标 x 的比 称为(,)Qy y点 Q 的“理想值” ，记作 .如 的“理想值” .QL(1,2)21L（1）若点 在直线 上，则点 Q 的“理想值” 等于_；(1,)a4yxQ如图， ，C 的半径为 1. 若点 Q 在C 上，则点 Q 的“理想值” 的取值范围是 .(3,) QL（2）点 D 在直线 上，D 的半径为 1，点 Q 在D 上运动时都有+yx0L Q ，求点 D 的横坐标 的取值范围；3（3） （m0） ，Q 是以 r 为半径的M 上任意一点，当 0L Q 时，
19、画出满足条件的最大圆，(2,)M 2并直接写出相应的半径 r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）解：（1） 3 1 分 0 2 分QL（2）设直线 与 x 轴，y 轴 的交点分别为点 A，点 B，可得 ，3+y (3,0)(0,)B ， ， 3OAB30OA由 0 3，作直线 QL3yx如图 13，当D 与 x 轴相切时，相应的圆心 满足题意，1D其横坐标取到最大值作 轴于1Ex点 ，E可得 OB， 1DE11ABO D 的半径为 1， 1 ， 13AE1123OAE 12Dx如图 14，当D 与直线 相切时，3yx相应的圆心 满足题意，其横坐标取到最小2值 作 轴于点 ，则 OA2E
20、x22DE设直线 与直线 的交点为3yx3+yx F可得 ，OFAB则60AOF 39cos2AOAF D 的半径为 1， 2F 227A ，2cosEDOAF37242254 2534Dx图 13图 14由可得， 的取值范围是 Dx534Dx23 5 分（3）画图见图 15 7 分211.（2018 海淀二模） 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点k， ， 都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的 中，其最 大值称为这个1(,)ab2,)1bk k函数的限减系数例如，函数 ，当 取值 和 时，函数值分别为 ， ，故2yxa112baba，
21、因此函数 是限减函数，它的限减系数为 21k （1）写出函数 的限减系数；21yx（2） ，已知 （ ）是限减函数，且限减系数 ，求 的取值范围0m,0xm4km（3）已知函数 的图象上一点 ，过点 作直线 垂直于 轴，将函数 的图象在点 右侧的部分2yxPly2yxP关于直线 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数 ，l 1k直接写出 点横坐标 的取值范围Pn28解：（1）函数 的限减系数是 2； 21yx（2）若 ，则 ， （ ， ）和（ ， ）是函数图象上两点，m0m1m1，与函数的限减系数 不符， 11()4k若 ， （ ， ）和（ ， ）是
22、函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点，则 ，02t1tt 0tm，1()tt图 15 ，且 ，(1)0t2211()()()44ttm ，与函数的限减系数 不符.4t k 12m若 ， （ ， ）和（ ， ）是函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点，则 ，t1tt1 0tm，1()tt ，且 ，0t21()()4tt ，当 时，等号成立，故函数的限减系数 114()ttt 4k 的取值范围是 m2m（3） 1-n12.（ 2018 朝阳二模）. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和直线 m，给出如下定义：若存在一点 P，使得点 P 到直线 m 的距离等于 ，则称 P 为直线 m 的平行
23、点1（1）当直线 m 的表达式为 y=x 时，在点 P1（1，1），P 2（0， ），P 3（ ， ）中，直线 m 的平行点是 ；2O 的半径为 ，点 Q 在O 上，若点 Q 为直线 m 的平行点，求点 Q 的坐标.（2）点 A 的坐标为（n，0），A 半径等于 1，若A 上存在直线 的平行点，直接写出 n 的取值范xy3围（1）P 2，P 3 2 分 解：由题意可知 ，直线 m 的所有平行点组成平行于直线 m，且到直线 m 的距离为 1 的直线.设该直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.如图 1，当点 B 在原点上方时，作 OHAB 于点 H，可知 OH=1.由直线 m 的表达式为
24、 y=x，可知OAB=OBA=45.所以 OB= .2直线 AB 与O 的交点即为满足条件的点 Q.连接 OQ1，作 Q1Ny 轴于点 N，可知 OQ1= .0在 Rt OHQ1 中，可求 HQ1=3.所以 BQ1=2.在 Rt BHQ1 中，可求 NQ1=NB= .2所以 ON= .2所以点 Q1 的坐标为（ ， ）.2同理可求点 Q2 的坐标为（ ， ）.4 分2来源:学科网 ZXXK如图 2，当点 B 在原点下方时，可求点 Q3 的坐标为（ ， ）点 Q4 的坐标为2（ ， ）. 6 分2综上所述，点 Q 的坐标为（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ）.222（2）
25、n . 8 分3413.（2018 丰台二模） 在平面直角坐标系 xOy 中，将任意两点 与 之间的“直距”定义为：1,yxP2Q，. 2121yxDPQ例如：点 M（ 1， ） ，点 N（3， ） ，则 .5132(5)MND已知点 A(1，0)、点 B(-1，4).（1）则 ， ；_O_O（2）如果直线 AB 上存在点 C，使得 为 2，请你求出点 C 的坐标；CO（3）如 果 B 的 半 径 为 3， 点 E 为 B 上 一 点 ， 请 你 直 接 写 出 的 取 值 范 围 .EODE5441123213 xOy68765432765432 658（1） ， ；2 分AOD=1 5BO
26、D（2）如图：来源:学科网解法 1：由点 A 和点 B 坐标可得，直线 AB 的解析式为 y=-2x+2.设点 C 的坐标为（x ，-2x +2） ，则 ，则点 C 2x| +| -2+2| =2|-1| +| -2+2| =2的坐标为（0，2）或 .42(,)3解法 2：由点 A 和点 B 坐标可得，直线 AB 的解析式为 y=-2x+2.点 C 与点 O 之间的“直距 ”为 2 的运动轨迹为以点 O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为 4COD的正方形.设点 C 的坐标为（ x，-2 x+2） ，则利用直线解析式可求得，点 C 的坐标为（0，2）或 . 5 分42(,)3（3）
27、的取值范围为 7 分EOD 42532EOD14.（20 18 石景山二模）在平面直角坐标系 中，对于任意点 P，给出如下定义：若P 的半径为 1，则称PxOy为点 P 的“伴随圆” （1）已知，点 ，1,0点 在点 P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外” ） ；3,2A点 在点 P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外” ） ；1,0B（2）若点 P 在 轴上，且点 P 的“伴随圆”与直线 相切，求点 P 的坐标；x xy3（3）已知直线 与 、 轴分别交于点 A，B，直线 与 、 轴分别2yy2y交于点 C，D，点 P 在四边形 的边上并沿 的方CDDAC向移动，直接写出点 P 的
28、“伴随圆”经过的平面区域的面积解：（1）上；外； 2 分（2）连接 ，如图 1，H点 的“伴随圆”与直线 相切，Pxy3 .O ， ，1H0可得， ，2P点 或 ； 6 分）（ 0,）（ ,-（3） .（可参考图 2） 8 分16415.（2018昌平二模）.在平面直角坐标系 中，对于任意三点xOyA、B、C 我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点 ( ,0) ，点 (1,1) ，点 ( , )，则 、 、2BC12AB三点的 “横长” =| |=3， 、 、 三点的
29、“纵长” =|Ca1(2)ABb|=3. 因为 = ，所以 、 、 三点为正方点.1()b（1）在点 (3，5) ， (3， ) ， ( ， )中，与点 、 为正方点的是 ；RS2T43AB（2）点 P (0，t)为 轴上一动点，若 ， ， 三点为正方点， 的值为 ；yABPt（3）已知点 (1，0).D平面直角坐标系中的点 满足以下条件：点 ， ， 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点EDE组成的图形；E若直线 ： 上存在点 ，使得 ， ， 三点为正方点，直接写出 m 的取值范围 l12yxmNANyxDOA12345 12345234512345BC1234 12342341234AO xyyxDOA12345 12345234512345解：（1）点 1 分R（2）2 或 3 3 分（3）画出如图所示的图像 5 分 或 7 分2m（2）-2 x3.7 分yxDOA12345 12345234512345
