1、 1 专题专题 14 函数的综合问题函数的综合问题 1.一次函数与二次函数的综合。 2.一次函数与反比例函数的综合。 3.二次函数与反比例函数的综合。 4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。 【例题【例题 1】(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化)一次函数 y1x+6 与反比例函数 y2 8 x (x0)的图象如图所示.当 y1y2时,自 变量 x 的取值范围是_. 第 18 题图 【答案】【答案】2xy2时,自变量 x 的取值范围是 2x4. 【例题【例题 2】 （2019 吉林长春）吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+ 8 3 (a0)与 y 轴交于点 A，过 点
2、 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，P 为抛物线的顶点，若直线 OP 交直线 AM 于点 B，且 M 为线段 AB 的中点，则 的值为 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 【答案】2. 【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点 A 和点 M 的坐标，然后 将二次函数的解析式配方写出 y=a(x-1)2+ 8 3 -a 的形式，得出点 P 的坐标，进而得出 OP 的方程，进而得出点 B 的坐标，最后根据 M 为线段 AB 的中点，可得 8 83a =4，进而得出答案. 令 x=0，可得 y= 8 3 ， 点 A 的坐标为（
3、0， 8 3 ） ， 点 M 的坐标为（2， 8 3 ）. y=ax2-2ax+ 8 3 =a(x-1)2+ 8 3 -a， 抛物线的顶点 P 的坐标为（1， 8 3 -a） ， 直线 OP 的方程为 y=( 8 3 -a)x， 令 y= 8 3 ，可得 x= 8 83a ， 点 B 的坐标为（ 8 83a ， 8 3 ）. M 为线段 AB 的中点， 8 83a =4，解得 a=2。 【例题【例题 3】 （】 （2019 广西省贵港市）广西省贵港市）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1,0)，点(4,4)D在反 比例函数(0) k yx x 的图象上，直线 2 3 yxb经过
4、点C，与y轴交于点E，连接AC，AE （1）求k，b的值； （2）求ACE的面积 3 【答案】将解析。 【解析】由菱形的性质可知(6,0)B，(9,4)C，点(4,4)D代入反比例函数 k y x ，求出k；将点(9,4)C代入 2 3 yxb，求出b；求出直线 2 2 3 yx与x轴和y轴的交点，即可求AEC的面积； （1）由已知可得5AD ， 菱形ABCD， (6,0)B，(9,4)C， 点(4,4)D在反比例函数(0) k yx x 的图象上， 16k， 将点(9,4)C代入 2 3 yxb， 2b ； （2）(0, 2)E， 直线 2 2 3 yx与x轴交点为(3,0)， 1 2(24
5、)6 2 AEC S 1. （2019 广东深圳）广东深圳） 已知函数 y=ax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 则函数 y=ax+b 与 y= c x 的图象为 （ ） 【答案】C 专题典型训练题 专题典型训练题 4 【解析】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系； 符号判断。先根据二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象确定 a，b，c 的正负，则判断一次函数与反比例函数 的图象所在的象限 由二次函数的图象可知，a0，c0当 a0，c0 时，一次函数 y=ax+b 经过第一、二、四象限； 反比例函数 y= c x 位于第二、四象限，
6、选项 C 符合故选 C 2.（2019 四川省雅安市）四川省雅安市） 已知函数 2 2 (0) (0) xx x y x x 的图像如图所示，若直线 y=x+m 与该图像恰有三 个不同的交点，则 m 的取值范围为 _. 【答案】【答案】0m 1 4 【解析】【解析】 观察图像可知， 当直线 y=x+m 经过原点时与函数 2 2 (0) (0) xx x y x x 的图像有两个不同的交点， 再向上平移，有三个交点，当向上平移到直线 y=x+m 与 2 2yxx 的图像有一个交点时，此直线 y=x+m 与函数 2 2 (0) (0) xx x y x x 的图像有两个不同的交点，不符合题意，从而
7、求出 m 的取值范围 由由 y=x+m 与 2 2yxx 得 2 2xmxx ，整理得 2 0 xxm，当有两个交点 22 4( 1)40bacm ，解得 m0，m 的取值范围为 0m 1 4 ，故答案为 0m 1 4 x y 00 O 5 3. （2019 湖北仙桃）湖北仙桃）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（12，0） ， B（8，6） ，C（0，6） 动点 P 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿边 OA 向终点 A 运动；动点 Q 从 点 B 同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边 BC 向终点 C 运动设运动的时间为 t
8、秒，PQ2y （1）直接写出 y 关于 t 的函数解析式及 t 的取值范围： ； （2）当 PQ35时，求 t 的值； （3）连接 OB 交 PQ 于点 D，若双曲线 y= （k0）经过点 D，问 k 的值是否变化？若不变化，请求出 k 的值；若变化，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】（1）过点 P 作 PEBC 于点 E，如图 1 所示 当运动时间为 t 秒时（0t4）时，点 P 的坐标为（3t，0） ，点 Q 的坐标为（82t，6） ， PE6，EQ|82t3t|85t|， PQ2PE2+EQ262+|85t|225t280t+100， y25t280t+100（0t4） 故答案为：y
9、25t280t+100（0t4） （2）当 PQ35时，25t280t+100（35）2， 整理，得：5t216t+110， 解得：t11，t2= 11 5 6 （3）经过点 D 的双曲线 y= （k0）的 k 值不变 连接 OB，交 PQ 于点 D，过点 D 作 DFOA 于点 F，如图 2 所示 OC6，BC8， OB= 2+ 2=10 BQOP， BDQODP， = = 2 3 = 2 3， OD6 CBOA， DOFOBC 在 RtOBC 中，sinOBC= = 6 10 = 3 4，cosOBC= = 8 10 = 4 5， OFODcosOBC6 4 5 = 24 5 ，DFODs
10、inOBC6 3 5 = 18 5 ， 点 D 的坐标为（24 5 ，18 5 ） ， 经过点 D 的双曲线 y= （k0）的 k 值为 24 5 18 5 = 432 25 4. （2019 湖南湘西）湖南湘西） 如图， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 A （3， 2） ， 与 y 轴的负半轴交于点 B，且 OB4 （1）求函数 y= 和 ykx+b 的解析式； （2）结合图象直接写出不等式组 0 kx+b 的解集 7 【答案】见解析。 【解析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y= ，可得 m326， 反比例函数解析式为 y= 6 ， OB4，
11、 B（0，4） ， 把点 A（3，2） ，B（0，4）代入一次函数 ykx+b，可得3 + = 2 = 4 ， 解得 = 2 = 4， 一次函数解析式为 y2x4； （2）不等式组 0 kx+b 的解集为：x3 5.5.（2019山东东营）山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx与双曲线y= n x 相交于A（2，a）、B 两点，BC x 轴，垂足为 C，AOC的面积是2 （1）求 m、n的值； （2）求直线 AC的解析式 【答案】见解析。 【解析解析】根据反比例函数的对称性可得点 A 与点 B 关于原点中心对称，则 B（2，a） ，由于 BCx 轴，所以 C（2，0） ，先利用三角形
12、面积公式得到 1 2 2a2，解得 a2，则可确定 A（2，2） ，然后把 A 点坐标 8 代入 ymxymx 和 y中即可求出 m，n；根据待定系数法即可得到直线 AC 的解析式 （1）直线 ymx 与双曲线 y相交于 A（2，a） 、B 两点， 点 A 与点 B 关于原点中心对称， B（2，a） ， C（2，0） ； SAOC2， 1 2 2a2，解得 a2， A（2，2） ， 把 A（2，2）代入 ymx 和 y得2m2，2，解得 m1，n4； （2）设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 直线 AC 经过 A、C， ，解得 直线 AC 的解析式为 y 1 2 x+1 6 6. .（20
13、192019 湖北咸宁）湖北咸宁）某工厂用 50 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 80 元 的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天） 之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z2x+120 （1）第 40 天，该厂生产该产品的利润是 元； （2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元 求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ 在生产该产品的过程中，当天利润不低于 2400 元的共有多少天？ 9 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】【解析】由图象可知，第 40
14、 天时的成本为 40 元，此时的产量为z240+12040，则可求得第 40 天的 利润利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可 （1）由图象可知，第 40 天时的成本为 40 元，此时的产量为z240+12040 则第 40 天的利润为： （8040）401600 元 故答案为 1600 （2）设直线AB的解析式为ykx+b（k0） ，把（0，70） （30，40）代入得 = 70 30 + = 40，解得 = 70 = 1 直线AB的解析式为yx+70 （）当 0 x30 时 w80（x+70）（2x+120） 2x 2+100 x+1200 2（x25） 2+2450 当x25
15、 时，w最大值2450 （）当 30 x50 时， w（8040）（2x+120）80 x+4800 w随x的增大而减小 当x31 时，w最大值2320 = 2 2 + 100 + 1200，(0 30) 80 + 4800，(30 50) 第 25 天的利润最大，最大利润为 2450 元 （）当 0 x30 时，令2（x25） 2+24502400 元 解得x120，x230 抛物线w2（x25） 2+2450 开口向下 由其图象可知，当 20 x30 时，w2400 此时，当天利润不低于 2400 元的天数为：3020+111 天 （）当 30 x50 时， 由可知当天利润均低于 2400
16、 元 综上所述，当天利润不低于 2400 元的共有 11 天 10 7. （2019 贵州省毕节市）贵州省毕节市）已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C， 点 P 为第二象限内抛物线上的动点 （1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 SCPD：SBPD1：2 时，请求出点 D 的坐标； （3）如图 2，点 E 的坐标为（0，1） ，点 G 为 x 轴负半轴上的一点，OGE15，连接 PE，若PEG 2OGE，请求出点 P 的坐标； （4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOC
17、P 的面积为 8？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】【解析】函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ，即可求解； SCPD：SBPD1：2，则 BD 2 3 BC 2 3 3222，即可求解； OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故 OHOE1，即可求解； 利用 S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解 （1）函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ， 即：3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x+3， 顶点坐标为（1，4） ； （2）OBOC， CBO45， SC
18、PD：SBPD1：2， BD 2 3 BC 2 3 3222， yDBDsinCBO2， 则点 D（1，2） ； 11 （3）如图 2，设直线 PE 交 x 轴于点 H， OGE15，PEG2OGE30， OHE45， OHOE1， 则直线 HE 的表达式为：yx1， 联立并解得：x 117 2 （舍去正值） ， 故点 P（ 117 2 ， 117 2 ） ； （4）不存在，理由： 连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 直线 BC 的表达式为：yx+3， 设点 P（x，x22x+3） ，点 H（x，x+3） ， 则 S四边形BOCPSOBC+SPBC 1 2 33+ 1
19、 2 （x22x+3x3）38， 整理得：3x2+9x+70， 解得：0，故方程无解， 则不存在满足条件的点 P 8.（2019 贵州黔西南州）贵州黔西南州）已知抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C， 点 P 为第二象限内抛物线上的动点 12 （1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图 1，连接 OP 交 BC 于点 D，当 SCPD：SBPD1：2 时，请求出点 D 的坐标； （3）如图 2，点 E 的坐标为（0，1） ，点 G 为 x 轴负半轴上的一点，OGE15，连接 PE，若PEG 2OGE，请求出点 P 的坐标；
20、 （4）如图 3，是否存在点 P，使四边形 BOCP 的面积为 8？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析解析】函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ，即可求解； SCPD：SBPD1：2，则 BD= 2 3BC= 2 3 32 =22，即可求解； OGE15，PEG2OGE30，则OHE45，故 OHOE1，即可求解； 利用 S四边形BOCPSOBC+SPBC8，即可求解 （1）函数的表达式为：ya（x1） （x+3）a（x2+2x3） ， 即：3a3，解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x+3， 顶点坐标为
21、（1，4） ； （2）OBOC， CBO45， SCPD：SBPD1：2， BD= 2 3BC= 2 3 32 =22， yDBDsinCBO2， 则点 D（1，2） ； （3）如图 2，设直线 PE 交 x 轴于点 H， 13 OGE15，PEG2OGE30， OHE45， OHOE1， 则直线 HE 的表达式为：yx1， 联立并解得：x= 117 2 （舍去正值） ， 故点 P（;1;17 2 ，17;1 2 ） ； （4）不存在，理由： 连接 BC，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 直线 BC 的表达式为：yx+3， 设点 P（x，x22x+3） ，点 H（x，x+3）
22、， 则 S四边形BOCPSOBC+SPBC= 1 2 33+ 1 2（x 22x+3x3）38， 整理得：3x2+9x+70， 解得：0，故方程无解， 则不存在满足条件的点 P 9.（2019 湖北十堰）湖北十堰）已知抛物线 ya（x2）2+c 经过点 A（2，0）和 C（0，9 4） ，与 x 轴交于另一点 B， 顶点为 D （1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标； 14 （2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合） ，且DEFA，则DEF 能否为等 腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由； （3）若点 P 在抛物线上，且 =m，试确定满
23、足条件的点 P 的个数 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】【解析】利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题 可能分三种情形当 DEDF 时，当 DEEF 时，当 DFEF 时，分别求解即可 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DHAB 于 H，连接 PD，PH，PB设 Pn， 3 16（n 2）2+3，构建二次函数求出PBD 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题 （1）由题意： 16 + = 0 4 + = 9 4 ， 解得 = 3 16 = 3 ， 抛物线的解析式为 y= 3 16（x2） 2+3， 顶点 D 坐标（2，3） （2）可能如图 1， A
24、（2，0） ，D（2，3） ，B（6，0） ， AB8，ADBD5， 当 DEDF 时，DFEDEFABD， EFAB，此时 E 与 B 重合，与条件矛盾，不成立 当 DEEF 时， 15 又BEFAED， BEFAED， BEAD5 当 DFEF 时，EDFDEFDABDBA， FDEDAB， = ， = = 5 8， AEFBCE = = 5 8， EB= 5 8AD= 25 8 ， 答：当 BE 的长为 5 或25 8 时，CFE 为等腰三角形 （3） 如图 2中， 连接 BD， 当点 P 在线段BD 的右侧时， 作 DHAB 于H， 连接PD， PH， PB 设Pn， 3 16 （n2
25、） 2+3， 则 SPBDSPBH+SPDHSBDH= 1 2 4 3 16 （n2） 2+3+1 2 3 （n2） 1 2 43= 3 8 （n4） 2+3 2， 3 8 0， n4 时，PBD 的面积的最大值为3 2， =m， 当点 P 在 BD 的右侧时，m 的最大值= 3 2 5 = 3 10， 观察图象可知：当 0m 3 10时，满足条件的点 P 的个数有 4 个， 当 m= 3 10时，满足条件的点 P 的个数有 3 个， 16 当 m 3 10时，满足条件的点 P 的个数有 2 个（此时点 P 在 BD 的左侧） 10.（2019 湖北咸宁）湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直
26、线 y= 1 2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛 物线 y= 1 2x 2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，求点 D 的坐标； （3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直 接写出所有符合条件的 E 点的坐标 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析】【解析】求得 A、B 两点坐标，代入抛物线解析式，获得 b、c 的值，获得抛物线的解析式 通过平行线分割 2 倍角条件，得到相等的
27、角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标 B、O、E、F 四点作平行四边形，以已知线段 OB 为边和对角线分类讨论，当 OB 为边时，以 EFOB 的 关系建立方程求解，当 OB 为对角线时，OB 与 EF 互相平分，利用直线相交获得点 E 坐标 （1）在 = 1 2 + 2中，令 y0，得 x4，令 x0，得 y2 A（4，0） ，B（0，2） 把 A（4，0） ，B（0，2） ，代入 = 1 2 2+ + ，得 = 2 1 2 16 + 4 + = 0，解得 = 3 2 = 2 抛物线得解析式为 = 1 2 2 + 3 2 + 2 （2）如图，过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点
28、E，过点 D 作 BE 得垂线，垂足为 F 17 BEx 轴，BACABE ABD2BAC，ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设 D 点的坐标为（x， 1 2 2+ 3 2 + 2） ，则 BFx，DF= 1 2 2+ 3 2 tanDBE= ，tanBAC= = ，即 ;1 2 2:3 2 = 2 4 解得 x10（舍去） ，x22 当 x2 时， 1 2 2+ 3 2 + 2 =3 点 D 的坐标为（2，3） （3） 当 BO 为边时，OBEF，OBEF 设 E（m， 1 2 + 2） ，F（m， 1 2 2+ 3 2 + 2） 18 EF|（ 1 2
29、+ 2）（ 1 2 2+ 3 2 + 2）|2 解得 m12，2= 2 22，3= 2 + 22 当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OFAB，直线 OF = 1 2交抛物线于点 F（2 + 22， 1 2）和（2 22， 1 + 2） 求得直线 EF 解析式为 = 2 2 + 1或 = 2 2 + 1 直线 EF 与 AB 的交点为 E，点 E 的横坐标为22 2或22 2 E 点的坐标为（2，1）或（2 22，1 + 2）或（2 + 22，1 2）或（2 22，3 + 2）或 （2 + 22，3 2） 11.（2019 湖南湘西）湖南湘西）如图，抛物线 yax2+
30、bx（a0）过点 E（8，0） ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上 （点 A 在点 B 的左侧） ，点 C、D 在抛物线上，BAD 的平分线 AM 交 BC 于点 M，点 N 是 CD 的中点，已 知 OA2，且 OA：AD1：3 （1）求抛物线的解析式； （2）F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 M、N、G、F 构成四边形 MNGF，求四边形 MNGF 周长 的最小值； （3）在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P，使ODP 中 OD 边上的高为610 5 ？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由； （4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移
31、后的抛物线与矩形的边有两个交点 K、L，且直线 KL 平 分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 19 【答案】见解析。【答案】见解析。 【解析解析】由点 E 在 x 轴正半轴且点 A 在线段 OE 上得到点 A 在 x 轴正半轴上，所以 A（2，0） ；由 OA2， 且 OA：AD1：3 得 AD6由于四边形 ABCD 为矩形，故有 ADAB，所以点 D 在第四象限，横坐标与 A 的横坐标相同，进而得到点 D 坐标由抛物线经过点 D、E，用待定系数法即求出其解析式画出四边形 MNGF，由于点 F、G 分别在 x 轴、y 轴上运动，故可作点 M 关于 x 轴的对称点点 M，作点 N 关于 y 轴的
32、 对称点点 N，得 FMFM、GNGN易得当 M、F、G、N在同一直线上时 NG+GF+FMMN最小，故 四边形 MNGF 周长最小值等于 MN+MN根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点 M、M、N、N坐标， 即求得答案 因为 OD 可求，且已知ODP 中 OD 边上的高，故可求ODP 的面积又因为ODP 的面积常规求法是过 点 P 作 PE 平行 y 轴交直线 OD 于点 E，把ODP 拆分为OPE 与DPE 的和或差来计算，故存在等量关 系设点 P 坐标为 t，用 t 表示 PE 的长即列得方程求得 t 的值要讨论是否满足点 P 在 x 轴下方的条件 由 KL 平分矩形 ABCD 的面积
33、可得 K 在线段 AB 上、L 在线段 CD 上，画出平移后的抛物线可知，点 K 由点 O 平移得到，点 L 由点 D 平移得到，故有 K（m，0） ，L（2+m，0） 易证 KL 平分矩形面积时，KL 一定经 过矩形的中心 H 且被 H 平分，求出 H 坐标为（4，3） ，由中点坐标公式即求得 m 的值 （1）点 A 在线段 OE 上，E（8，0） ，OA2 A（2，0） OA：AD1：3 AD3OA6 四边形 ABCD 是矩形 ADAB D（2，6） 抛物线 yax2+bx 经过点 D、E 4 + 2 = 6 64 + 8 = 0 解得： = 1 2 = 4 20 抛物线的解析式为 y=
34、1 2x 24x （2）如图 1，作点 M 关于 x 轴的对称点点 M，作点 N 关于 y 轴的对称点点 N，连接 FM、GN、MN y= 1 2x 24x=1 2（x4） 28 抛物线对称轴为直线 x4 点 C、D 在抛物线上，且 CDx 轴，D（2，6） yCyD6，即点 C、D 关于直线 x4 对称 xC4+（4xD）4+426，即 C（6，6） ABCD4，B（6，0） AM 平分BAD，BADABM90 BAM45 BMAB4 M（6，4） 点 M、M关于 x 轴对称，点 F 在 x 轴上 M（6，4） ，FMFM N 为 CD 中点 N（4，6） 点 N、N关于 y 轴对称，点 G
35、 在 y 轴上 N（4，6） ，GNGN C四边形MNGFMN+NG+GF+FMMN+NG+GF+FM 当 M、F、G、N在同一直线上时，NG+GF+FMMN最小 C四边形MNGFMN+MN= (6 4)2+ (4 + 6)2+ (6 + 4)2+ (4 + 6)2=22 +102 =122 21 四边形 MNGF 周长最小值为 122 （3）存在点 P，使ODP 中 OD 边上的高为610 5 过点 P 作 PEy 轴交直线 OD 于点 E D（2，6） OD= 22+ 62= 210，直线 OD 解析式为 y3x 设点 P 坐标为（t，1 2t 24t） （0t8） ，则点 E（t，3t）
36、 如图 2，当 0t2 时，点 P 在点 D 左侧 PEyEyP3t（1 2t 24t）= 1 2t 2+t SODPSOPE+SDPE= 1 2PExP+ 1 2PE （xDxP）= 1 2PE（xP+xDxP）= 1 2PExDPE= 1 2t 2+t ODP 中 OD 边上的高 h= 610 5 ， SODP= 1 2ODh 1 2t 2+t=1 2 210 610 5 方程无解 如图 3，当 2t8 时，点 P 在点 D 右侧 22 PEyPyE= 1 2t 24t（3t）=1 2t 2t SODPSOPESDPE= 1 2PExP 1 2PE （xPxD）= 1 2PE（xPxP+x
37、D）= 1 2PExDPE= 1 2t 2t 1 2t 2t=1 2 210 610 5 解得：t14（舍去） ，t26 P（6，6） 综上所述，点 P 坐标为（6，6）满足使ODP 中 OD 边上的高为610 5 （4）设抛物线向右平移 m 个单位长度后与矩形 ABCD 有交点 K、L KL 平分矩形 ABCD 的面积 K 在线段 AB 上，L 在线段 CD 上，如图 4 K（m，0） ，L（2+m，0） 连接 AC，交 KL 于点 H 23 SACDS四边形ADLK= 1 2S 矩形ABCD SAHKSCHL AKLC AHKCHL = ( ) 2 = 1 AHCH，即点 H 为 AC 中点 H（4，3）也是 KL 中点 :2: 2 = 4 m3 抛物线平移的距离为 3 个单位长度
