1、7 向量应用举例,第二章 平面向量,学习目标 1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离公式. 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题及一些实际问题. 3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 直线l：AxByC0的法向量,答案,类比直线的方向向量的定义，思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量？,答案 是，为直线的法向量.,思考,(1)与直线的方向向量 的向量称为该直线的法向量. (2)若直线l的方向向量v(B，A)，则直线l的法向量n ，与直线 l的法向量n同向的单位向量 .,梳理,垂直,(A，B
2、),知识点二 点到直线的距离公式,思考,n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且不在直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量 ，n有怎样的关系？,答案,答案 点M到直线l的距离d即为向量 在向量n方向上的射影的绝对值，即d .,若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：AxByC0的距离 d .,梳理,知识点三 向量方法解决平面几何问题,思考1,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为.,答案,证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？,答案 可用向量共线的相关知识： ababx1y2x2y10(b0).,答案,证明垂直问题，可用向量的哪些知识？,
3、答案 可用向量垂直的相关知识： abab0x1x2y1y20.,思考2,(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 表示出来. (2)向量方法解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 . 通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. 把运算结果“ ”成几何关系.,梳理,向量的线性运算及数量积,向量问题,翻译,向量运算,知识点四 向量方法解决物理问题,思考,向量的数量积与功有什么联系？,答案,答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.,(1)物理上力
4、做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W|F|s|cosF，s，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积. (2)向量方法解决物理问题的步骤 问题转化，即把物理问题转化为数学问题. 建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. 求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. 回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.,梳理,题型探究,类型一 平面向量在解析几何中的应用,例1 已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4，0)，C(6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点. (1)求直线DE，EF，FD的方程；,解 由
5、已知得点D(1，1)，E(3，1)，F(2，2)，,解答,(2)(x1)(2)(y1)0， 即xy20为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x5y80，xy0.,(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.,解 设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，,解答,4(x6)4(y2)0， 即xy40为所求直线CH的方程.,利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.,反思与感悟,跟踪训练1 在ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，求A的平分线所在的直线方程.,A的平分线的一个方向向量为,解答,设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
6、 A的平分线过点A，,整理得7xy290.,例2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；,类型二 用平面向量求解平面几何问题,证明,证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).,(2)APAB.,证明,x2(y1)，即x2y2.,即APAB.,用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤 选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系；
7、把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何问题向量化.,反思与感悟,跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.,证明,证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，,aa2a(1a)0，,方法二 如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.,设正方形ABCD的边长为1，,例3 已知两恒力F1(3，4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功；,类型三 向量在物理中的应用,解答
8、,解 (7，0)(20，15)(13，15)， W1F1 (3，4)(13，15) 3(13)4(15)99， W2F2 (6，5)(13，15) 6(13)(5)(15)3. 力F1，F2对质点所做的功分别为99和3.,(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.,解答,(3，4)(6，5)(13，15)(9，1)(13，15) 9(13)(1)(15)11715102. 合力F对质点所做的功为102.,物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.,反思与感悟,跟踪训练3 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东3
9、0，|F2|4 N，方向为北偏东60，|F3|6 N，方向为北偏西30，求合力F所做的功.,解答,解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.,当堂训练,A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定,1.已知在ABC中，若 a， b，且ab0，则ABC的形状为,答案,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,答案,解析,2.过点A(2，3)，且垂直于向量a(2，1)的直线方程为 A.2xy70 B.2xy70 C.x2y40 D.x2y40,即(x2)2(y3)10，即2xy70.,3.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N
10、，则每根绳子的拉力大小为_ N.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2， 则由题意得F1，F2与G都成60角，且|F1|F2|， |F1|F2|G|10 N， 每根绳子的拉力都为10 N.,10,2,3,4,5,1,4.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.,答案,解析,300,解析 WFs|F|s|cosF，s 6100cos 60300(J).,解答,5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30，受风力影响，静
11、水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.,2,3,4,5,1,解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1v2a.易求得a的方向是北偏东30，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则av3v， 即v3va，由数形结合知，v3的方向是北偏西60，大小是 km/h.,2,3,4,5,1,规律与方法,1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明. 2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.,本课结束,
