1、1.4 两条直线的交点,第二章 1 直线与直线的方程,学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线的交点,思考1 直线上的点与其方程AxByC0的解有什么样的关系？ 答案 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标. 思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点坐标？ 答案 只需写出这两条直线方程，然后联立求解
2、.,思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？ 答案 (1)若方程组无解，则l1l2； (2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交； (3)若方程组有无数解，则l1与l2重合.,梳理 (1)两直线的交点,A1aB1bC10,(2)两直线的位置关系,平行,无数个,相交,无解,思考辨析 判断正误 1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( ) 2.无论m为何值，xy10与x2my30必相交.( ),题型探究,例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. (1)l1：2xy7和l2：3x2y70；,类型一 求两条直线的交
3、点,因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1).,解答,(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；,表明直线l1和l2重合.,解答,(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.,表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.,解答,反思与感悟 两条直线相交的判定方法,特别提醒 在判定两直线是否相交时，要特别注意斜率不存在的情况.,跟踪训练1 (1)已知两条直线2x3yk0和xky120的交点在yx上，那么k的值是 A.4 B.3 C.3或4 D.4,答案,解析,又该交点在直线yx上，,解得k3或k4，故选C.,(2)已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限，则a的取值范围是_
4、.,答案,解析,类型二 求过两条直线交点的直线方程,例2 求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程.,解答,又所求直线与直线3xy10平行， 所以所求直线的斜率为3.,即15x5y160.,方法二 设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0， 即(2)x(3)y(23)0. (*) 由于所求直线与直线3xy10平行，,即15x5y160.,引申探究 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.,解答,解 设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0， 即(2)x(3)y(23)0， 由于所求直线与直线3xy10垂直， 则3(2)(3)10，得 ， 所以所求直线方程为
5、5x15y180.,反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.,跟踪训练2 直线l经过原点，且经过另两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为 A.2xy0 B.2xy0 C.x2y0 D.x2y0,解析 设所求直线方程为2x3y8(xy1)0， 即(2)x(3)y80. 因为直线l过原点，所以8. 则所求直线方程为2xy0.,答案,解析,解析
6、 原直线方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，所以直线经过定点(2，3).故选B.,类型三 直线过定点问题,例3 无论a，b为何值，直线(2ab)x(ab)yab0经过定点 A.(3，2) B.(2，3) C.(2，3) D.(3，2),答案,解析,反思与感悟 恒过定点问题的三种解法 (1)直接法：将已知直线的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得出定点. (2)任意法：任取直线系中的两条直线，所有直线的交点即为这两条直线的交点，也就是所有直线都过的定点. (3)方程法：将已知的方程整理成关于参数的方程.由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点. 形如A1xB1yC
7、1(A2xB2yC2)0的直线一定过定点，且定点为直线A1xB1yC10和直线A2xB2yC20的交点.,解答,跟踪训练3 求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标.,解 方法一 对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0， 令m0，得x3y110； 令m1，得x4y100.得两条直线的交点坐标为(2，3). 将点(2，3)代入方程左边， 得(2m1)2(m3)(3)(m11)0. 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，3).,方法二 将已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理为(2xy1)m(x3y11)0.所以不论m取什
8、么实数，所给直线均经过定点(2， 3).,达标检测,答案,1.直线ax2y80,4x3y10和2xy10相交于一点，则a的值为 A.1 B.1 C.2 D.2,1,2,3,4,5,解析,交点坐标为(4，2)，代入方程ax2y80， 解得a1.,1,2,3,4,5,答案,解析,交点坐标为(3，1)，且斜率为2，直线方程为2xy70，故选B.,2.经过两条直线3x4y50和3x4y130的交点，且斜率为2的直线方程是 A.2xy70 B.2xy70 C.2xy70 D.2xy70,1,2,3,3.经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线方程是 A.2xy80 B.2xy80
9、C.2xy80 D.2xy80,4,5,解析,解析 首先解得交点坐标为(1，6)， 再根据垂直关系得斜率为2， 可得直线方程为y62(x1)， 即2xy80.,答案,1,2,3,4,5,答案,4.如图，两直线交点B的坐标可以看作二元一次方程组_的解.,1,2,3,4,5,5.不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐标是_.,(9，4),解析,答案,1,2,3,4,5,解析 方法一 取m1，得直线y4.,故两直线的交点为(9，4). 将x9，y4代入方程， 左边(m1)94(2m1)m5右边， 故直线恒过点(9，4).,1,2,3,4,5,方法二 直线方程可变形为(x2y1)m(xy5)0， 对任意m该方程恒成立，故直线恒过定点(9，4).,1.与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByD0(DC)，与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm(mb). 2.过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程是A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0(m2n20)，是过直线l1与l2交点的所有直线方程.,规律与方法,
