1、6.1 垂直关系的判定,第一章 6 垂直关系,学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理. 2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理. 3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 直线与平面垂直的定义,思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？ 答案 不变，90.,梳理 线面垂直的概念,任何一条,l,垂面,垂线,垂足,知识点二 直线和平面垂直的判定定理,将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌
2、面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.,思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？ 答案 不一定. 思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？ 答案 当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直.,梳理 判定定理,两条相交直线,知识点三 二面角,思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ 答案 二面角.,思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案 二面角的平面角.,梳理 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形. (2)相关概念：这条
3、直线叫作二面角的 .两个半平面叫作二面角的 . (3)二面角的记法 以直线AB为棱，半平面，为面的二面角，记作二面角面AB. (4)二面角的平面角：若有O l；OA_，OB_；OA l，OB l，则二面角l的平面角是 .,两个半平面,棱,面,AOB,知识点四 平面与平面垂直,思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？ 答案 都是垂直.,梳理 (1)平面与平面垂直的概念 定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直. 画法：
4、记法： .,直二面角,(2)判定定理,垂线,l,思考辨析 判断正误 1.若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( ) 2.若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.( ) 3.若l，则过l有无数个平面与垂直.( ) 4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90.( ),题型探究,例1 下列命题中，正确的序号是_. 若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l； 若直线l与平面内的一条直线垂直，则l； 若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线； 若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直； 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.,类型一 线面垂直的定义及判定定理的理
5、解,答案,解析,解析 当直线l与平面内的无数条直线垂直时，l与不一定垂直，所以不正确； 当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确； 当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确； 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确.,反思与感悟 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交. (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.,跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于 A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC
6、 D.平面ABC,答案,解析 OAOB，OAOC，OBOCO，OB， OC平面OBC， OA平面OBC.,解析,(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是_.(填序号),答案,解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.,解析,类型二 线面垂直的判定,例2 如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，求证：BC平面PAC.,证明 PA平面ABC，BC平面ABC， PA
7、BC. 又AB是O的直径， BCAC. 而PAACA，PA，AC平面PAC， BC平面PAC.,证明,引申探究 若本例中其他条件不变，作AEPC交PC于点E，求证：AE平面PBC.,证明 由例2知BC平面PAC， 又AE平面PAC， BCAE. PCAE，且PCBCC，PC，BC平面PBC， AE平面PBC.,证明,反思与感悟 (1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决. (2)证明线面垂直的方法 线面垂直的定义. 线面垂直的判定定理. 如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 如果一条
8、直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.,跟踪训练2 如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径， C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E，作AFPB于点F，求证：PB平面AEF.,证明,证明 由引申探究知AE平面PBC. PB平面PBC， AEPB，又AFPB， 且AEAFA，AE，AF平面AEF， PB平面AEF.,类型三 面面垂直的判定,例3 如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点. 求证：平面EBD平面ABCD.,证明 连接AC，与BD交于O点，连接OE. O为AC的中点，E为SA的中点， EOS
9、C. SC平面ABCD， EO平面ABCD. 又EO平面EBD， 平面EBD平面ABCD.,证明,反思与感悟 (1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线. (2)证明面面垂直的常用方法：面面垂直的判定定理；所成二面角是直二面角.,跟踪训练3 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，AC AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1平面BDC.,证明,证明 由题设知BCCC1， BCAC，CC1ACC，CC1，AC平面ACC1A1， 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC. 由题设知A1DC
10、1ADC45， 所以CDC190， 即DC1DC. 又DCBCC，DC，BC平面BDC， 所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1， 故平面BDC1平面BDC.,类型四 与二面角有关的计算,例4 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值.,解答,解 取A1C1的中点O，连接B1O，BO. 由题意知B1OA1C1， 又BA1BC1，O为A1C1的中点， 所以BOA1C1， 所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角. 因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1， 所以BB1OB1.,反思与感悟 (1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再
11、把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算. (2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.,跟踪训练4 如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小.,解答,解 由已知PA平面ABC，BC平面ABC， PABC. AB是O的直径，且点C在圆周上， ACBC. 又PAACA，PA，AC平面PAC， BC平面PAC. 又PC平面PAC， PCBC.,又BC是二面角PBCA的棱， PCA是二面角PBCA的平面角. 由PAAC知，PAC是等腰直角三角形， PCA4
12、5，即二面角PBCA的大小是45.,达标检测,答案,1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面 A.有且只有一个 B.至多一个 C.有一个或无数个 D.不存在,1,2,3,4,5,解析 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.,解析,2.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是 A.，且m B.mn，且n C.mn，且n D.mn，且n,1,2,3,4,5,答案,解析 A中，由，且m，知m； B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意； C，D中，m或m或m与相
13、交，不符合题意，故选B.,解析,2,3,3.如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是 A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定,4,5,解析,1,答案,2,3,4,5,解析 BA，l，l， BAl.同理BCl， 又BABCB， l平面ABC. AC平面ABC， lAC.,1,4.三棱锥PABC中，PAPBPC ，AB10，BC8，CA6，则二面角PACB的大小为_.,答案,解析,2,3,4,5,1,60,解析 由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.取AC的中点Q，连接OQ，则OQBC. 由题意可得ABC是直角三角形，且ACB90， AQO90，即OQAC
14、. 又PAPC， PQAC， PQO即是二面角PACB的平面角.,2,3,4,5,1,PQ8.PQO60，即二面角PACB的大小为60.,2,3,4,5,1,5.如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点. 求证：平面EFC平面BCD.,证明,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,证明 E，F分别是AB，BD的中点， EFAD， 又ADBD， EFBD. CBCD，F是BD的中点， CFBD. 又EFCFF，EF，CF平面EFC， BD平面EFC. 又BD平面BCD， 平面EFC平面BCD.,1.直线和平面垂直的判定方法： (1)利用线面垂直的定义； (2)利用线面垂直的判定定理； (3)利用下面两个结论：若ab，a，则b； 若，a，则a. 2.证明两个平面垂直的主要途径： (1)利用面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,规律与方法,3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.,
