1、1.1.1 任意角,第1章 1.1 任意角、弧度,学习目标 1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 角的相关概念,用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？,答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.,思考2,将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？,答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.,答案,思考3,如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？,答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则
2、这个角就不是零角.,答案,(1)角的概念：一个角可以看成平面内 绕着 O从一个位置OA 到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的 和 .,梳理,终边,一条射线,端点,旋转,始边,(2)按照角的旋转方向，分为如下三类,逆时针,顺时针,思考,知识点二 象限角、轴线角,把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？,答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.,答案,以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的 (除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴
3、上，则称这个角为轴线角.,梳理,终边,思考1,知识点三 终边相同的角,假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？,答案 它们的终边相同.660602360，42060360，故它们与60分别相差了2个周角及1个周角.,思考2,如何表示与60终边相同的角？,答案 60k360(kZ).,答案,终边相同角的表示 一般地，与角终边相同的角的集合为|k360，kZ， 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个 的和.,梳理,周角,题型探究,例1 (1)给出下列说法： 锐角都是第一象限角； 第一象限角一定不是负角； 第二象限角是钝角； 小于180的
4、角是钝角、直角或锐角. 其中正确命题的序号为 ；(把正确命题的序号都写上),类型一 任意角概念的理解,解析 锐角指大于0小于90的角，都是第一象限的角，所以对； 由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180的角还有负角、零角，所以错误.,答案,解析,(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 .,解析 分针每分钟转6，由于顺时针旋转，所以20分钟转了120.,120,答案,解析,解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.,反思与感悟,跟踪训练1 写出下列说法所表示的角. (1)顺时针拧螺
5、丝2圈；,解 顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为720.,(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.,解 拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900.,解答,类型二 象限角的判定,例2 在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. (1)150；,解 因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角.,(2)650；,解 因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角.,解答,(3)95015.,解 因为9501
6、5336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角.,解答,引申探究 确定 (nN*)的终边所在的象限.,解 一般地，要确定 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，4n，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时， 的终边所落在的区域，如此， 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.,解答,判断象限角的步骤： (1)当0360时，直接写出结果. (2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限
7、.,反思与感悟,跟踪训练2 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来. (1)60；,解 60角是第一象限角，所有与60角终边相同的角的集合S|60k360，kZ，S中适合360720的元素是60(1) 360300，60036060，601360420.,解答,(2)21.,解 21角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合S|21k360，kZ，S中适合360720的元素是21036021，211360339，212360699.,解答,类型三 终边相同的角,命题角度1 求与已知角终边相同的角 例3 在与角10 030终
8、边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角；,解 与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)， 由360k36010 0300， 得10 390k36010 030， 解得k28，故所求的最大负角为50.,解答,(2)最小的正角；,解 由0k36010 030360， 得10 030k3609 670， 解得k27，故所求的最小正角为310.,(3)360，720)的角.,解 由360k36010 030720， 得9 670k3609 310， 解得k26，故所求的角为670.,解答,反思与感悟,求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终
9、边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.,跟踪训练3 写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来.,解 由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ. 720360， 即720k3601 910360(kZ)，,当k4时，43601 910470； 当k5时，53601 910110； 当k6时，63601 910250.,解答,命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y x上的角的集合.,解 终边在y x(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ； 终边在y x(x0)上的角
10、的集合是S2|300k360，kZ. 因此，终边在直线y x上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ， 即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ. 故终边在直线y x上的角的集合是S|120n180，nZ.,解答,反思与感悟,求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并.,跟踪训练4 写出终边在直线y x上的角的集合.,即S|302k180，kZ|30(2k1)180，kZ|30n180，nZ.,解答,类型四 区域角的表示,例5 如图所示. (1)写出终边落在射线OA，OB上的角
11、的集合；,解 终边落在射线OA上的角的集合是|k360 210，kZ. 终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ.,(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.,解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ.,解答,反思与感悟,解答此类题目应先在0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.,跟踪训练5 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.,解答,解 设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成： |k36030k360105，kZ； |k360210k360285，kZ. 角的集
12、合应当是集合与的并集，即 S|k36030k360105，kZ |k360210k360285，kZ |2k180302k180105，kZ |(2k1)18030(2k1)180105，kZ |2k180302k180105或(2k1)18030 (2k1)180105，kZ |n18030n180105，nZ.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.1 120角所在象限是 .,解析 1 120360340， 1 120是第四象限角.,第四象限,答案,解析,1,2,3,4,5,2.与457角终边相同的角的集合是 .,解析 4572360263， 与457角终边相同的角的集合是|k360263，k
13、Z.,|k360263，kZ,答案,解析,1,2,3,4,5,3.2 017是第 象限角.,解析 因为2 0175360217，故2 017是第三象限角.,三,答案,解析,1,2,3,4,5,4.与1 692终边相同的最大负角是 .,解析 1 6924360252， 与1 692终边相同的最大负角为252.,252,答案,解析,1,2,3,4,5,5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.,解 终边落在x轴上的角的集合： S1|k180，kZ； 终边落在y轴上的角的集合： S2|k18090，kZ. 终边落在坐标轴上的角的集合： SS1S2|k180，kZ|k18090，kZ |2k90或(2k1
14、)90，kZ|n90，nZ.,解答,规律与方法,1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.,注意：(1)为任意角. (2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360(). (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍. (4)kZ这一条件不能少.,本课结束,
