1、2.3.2 离散型随机变量的方差,第二章 2.3 离散型随机变量的均值与方差,学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质,甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：,思考1,试求E(X)，E(Y).,答案,思考2,能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？,答案,答案
2、不能，因为E(X)E(Y).,思考3,试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？,答案,答案 方差.,(1)方差及标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为,梳理,方差：D(X) ； 标准差： .,(2)方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差 ，则随机变量偏离于均值的平均程度 . (3)方差的性质：D(aXb) .,越小,越小,a2D(X),知识点二 两点分布与二项分布的方差,p(1p),np(1p),题型探究,例1 已知X的分布列如下：,解答,类型一 求随机变量的方差与标准差,(1)求X2的分布列；,从而X2的分布列为,(2)计
3、算X的方差；,解答,(3)若Y4X3，求Y的均值和方差.,解 因为Y4X3， 所以E(Y)4E(X)32，D(Y)42D(X)11.,解答,方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)E(X2)E(X)2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aXb)a2D(X).,反思与感悟,跟踪训练1 已知的分布列为,(1)求方差及标准差；,解答,(2)设Y2E()，求D(Y).,解 Y2E()， D(Y)D(2E()22D()43841 536.,解答,例2 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的
4、数量的方差；,解 用表示抽得的正品数，则0,1. 服从两点分布，且P(0)0.02，P(1)0.98， 所以D()p(1p)0.98(10.98)0.019 6.,类型二 两点分布与二项分布的方差,解答,(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.,解 用X表示抽得的正品数，则XB(10,0.98)， 所以D(X)100.980.020.196，,解答,解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1p)(其中p为成功概率).,反思与感悟,跟踪训练2 (1)
5、已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，则p_.,答案,解析,解析,答案,例3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与，且，的分布列如下：,类型三 方差的实际应用,(1)求a，b的值；,解 由离散型随机变量的分布列的性质，可知a0.10.61， 所以a0.3. 同理，0.3b0.31，所以b0.4.,解答,(2)计算，的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况.,解 E()10.320.130.62.3， E()10.320.430.32. D()(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81， D()(12)20.3(
6、22)20.4(32)20.30.6. 由于E()E()，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D()D()， 说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙， 因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势.,解答,(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论. (2)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.,反思与感悟,跟踪训练3 已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，
7、0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求，的分布列；,解答,解 依据题意知，0.53aa0.11， 解得a0.1. 乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， 乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2. ，的分布列分别为,(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.,解 结合(1)中，的分布列，可得 E()100.590.380.170.19.2， E()100.390.380.270.28.7， D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96， D()(108.7)20.3(98
8、.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21. E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高. 又D()D(Y)，则自动包装机_的质量较好.(填“甲”或“乙”),答案,2,3,4,5,1,解析,解析 在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好.,乙,5.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E()和D().,解答,2,3,4,5,1,解 的所有可能取值为0,1,3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，,2,3,4,5,1,1表示三位同学只有1位同学坐对了，,3表示三位学生全坐对了，即对号入座，,所以的分布列为,2,3,4,5,1,规律与方法,2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值； (2)求X取每一个值的概率； (3)写出随机变量X的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X). 特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).,本课结束,
