1、第一章 1.2 排列与组合,1.2.1 排列(二),学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 排列及其应用,1.排列数公式 (n，mN*，mn) . (叫做n的阶乘).另外，我们规定0！ . 2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤,n(n1)(n2)(nm1),n(n1)(n2)21,n！,1,题型探究,例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,解 从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中
2、任取3个元素的一个排列，所以共有 765210(种)不同的送法.,解答,类型一 无限制条件的排列问题,(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有777343(种)不同的送法.,解答,典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取.,反思与感悟,解 从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于
3、从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有 54360(种).,跟踪训练1 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？,解答,解 由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题. 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有555125(种)报名方法.,(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？,解答,命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题 例2
4、3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法. (1)男、女各站在一起；,解 (相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有 种排法， 女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有 种排法， 全体男生、女生各看作一个元素全排列有 种排法， 由分步乘法计数原理知共有 288(种)排法.,类型二 排队问题,解答,(2)男生必须排在一起；,解 (捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有 720(种)不同的排法.,解答,(3)男生不能排在一起；,解答,(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.,解答,处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“
5、先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.,反思与感悟,解 先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有 种方法， 所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 43 200(种)方法.,跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单. (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？,解答,解 先排舞蹈节目有 种方法，在舞蹈节目之间
6、以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入. 所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 2 880(种)方法.,(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？,解答,命题角度2 定序问题 例3 7人站成一排. (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？,解 甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有 2 520(种)不同的排法.,解答,(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？,解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的 故有 840(种)不同的排法.,解答,反思与感悟,解 7人
7、全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有 种， 而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法， 所以共有2 420(种)不同的站法.,跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？,解答,命题角度3 元素“在”与“不在”问题 例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？,解答,解 方法一 把同学作为研究对象. 第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有 种. 第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲
8、，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有 种排法. 根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4 种排法. 由分类加法计数原理，共有 2 160(种)排法.,方法二 把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有 种方法. 第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有 种方法. 由分步乘法计数原理，可得共有 2 160(种)排法. 方法三 (间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有 种；甲在首位的情况有 种，所以符合要求的排法有 2 160(种).,
9、(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？,解 把位置作为研究对象，先满足特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有 种方法. 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种方法. 根据分步乘法计数原理，有 1 800(种)方法.,解答,(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？,解 把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有 种方法. 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 1 200(种)方法.,解答,(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多
10、少种？,解 用间接法. 总的可能情况是 种，减去甲在首位的 种，再减去乙在末位的 种. 注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次 种，所以共有 1 860(种)排法.,解答,反思与感悟,“在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先. (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置. 提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题
11、错误.,跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？,解 6门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有 种排法； 数学排在最后一节，有 种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法.因此符合条件的排法有 504(种).,解答,例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数；,类型三 数字排列问题,解答,(2)个位数字不是5的六位数；,解答,解 方法一 (直接法)： 十万位数字的排法因个位
12、上排0与不排0而有所不同，因此需分两类. 第一类，当个位排0时，有 个；,方法二 (排除法)： 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.,(3)不大于4 310的四位偶数.,解答,解 分三种情况，具体如下：,形如4 3的只有4 310和4 302这两个数.,数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.,反思与感悟,跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重
13、复数字的 (1)能被5整除的五位数；,解答,(2)能被3整除的五位数；,解答,(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则240 135是第几项.,解答,即240 135是数列的第193项.,当堂训练,1.6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 A.240种 B.360种 C.480种 D.720种,2,3,4,5,1,解析,答案,2.3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有 A.144种 B.90种 C.260种 D.120种,2,3,4,5,1,解析,答案,3.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
14、A.24 B.48 C.60 D.72,2,3,4,5,1,解析,答案,4.从6名短跑运动员中选出4人参加4100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有_种参赛方案.,答案,2,3,4,5,1,解析,240,2,3,4,5,1,解析 方法一 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：,方法二 从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，,2,3,4,5,1,5.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有_个.,2,3,4,5,1,答案,解析,240,比20 000大的五位偶数共有96144240(个).,规律与方法,求解排列问题的主要方法：,本课结束,
