1、第二章 2.3 双曲线,2.3.2 双曲线的简单几何性质,学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间的关系. 4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 双曲线的范围、对称性,思考,观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？,有限制，因为 1，即x2a2，所以xa或xa.,答案,思考,(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个
2、点？,关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.,答案,梳理,(2)双曲线的对称轴为 ，对称中心为 .,(，aa，),(，aa，),原点,x轴、y轴,R,R,知识点二 双曲线的顶点,思考,(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？,不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.,答案,思考,(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？,是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.,答案,梳理,(0，
3、a),(a，0),(a，0),(0，a),知识点三 渐近线与离心率,思考1,能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？,答案,思考2,离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？,答案,梳理,(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率，用e表示(e1).,(3)双曲线的几何性质见下表：,题型探究,类型一 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质,例1 求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.,解答,引申探究 将本例改为“求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答
4、.,解答,由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.,反思与感悟,跟踪训练1 求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,解答,由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；,类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程,例2 求下列双曲线的标准方程.,解答,解得20或7(舍去)，,解答,则c210k，b2c2a2k. 于是，设所求双曲线方程为,(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组
5、)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧,反思与感悟,渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0). 渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0).,点M(3，2)在双曲线上，,解答,a23b2. 又直线AB的方程为bxayab0，解组成的方程组，得a23，b21.,解答,类型三 共轭双曲线与等轴双曲线,解答,命题角度1 共轭双曲线,又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，,反思与感悟,答案,解析,命题角度2 等轴双曲线 例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是 ，求此双曲线的方程.,解答,反思与感悟,(1)实轴和
6、虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. (2)等轴双曲线的性质：渐近线方程为yx；渐近线互相垂直；离心率e . (3)等轴双曲线的特征是ab，等轴双曲线的方程可以设为x2y2(0).当0时，双曲线的焦点在x轴上；当0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； 0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； 时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个； 如图，0，,方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，,整理得4x2y2y0(y0.综上可知，所求直线的方程为4xy70.,(2)过定点Q(1，1)
7、能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.,解答,假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0， 2(x1x2)(y1y2)0. 若直线Q1Q2垂直于x轴， 则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1，1)，,直线Q1Q2的方程为y12(x1)，即y2x1.即2x24x30，16240. 直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.,当堂训练,方程表示双曲线，,答案,解析,A.4 B.3 C.2 D.1,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,3.等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为,2,3,4,5,1,等轴双曲线的焦点为(6，0)，c6， 2a236，a218.,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,答案,解析,2,3,4,5,1,规律与方法,双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解. (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.,
