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人教A版高中数学选修2-1课件:2.3.2 双曲线的简单几何性质

1、第二章 2.3 双曲线,2.3.2 双曲线的简单几何性质,学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a,b,c,e 间的关系. 4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 双曲线的范围、对称性,思考,观察下面的图形:(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样有范围限制?,有限制,因为 1,即x2a2,所以xa或xa.,答案,思考,(2)是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个

2、点?,关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.,答案,梳理,(2)双曲线的对称轴为 ,对称中心为 .,(,aa,),(,aa,),原点,x轴、y轴,R,R,知识点二 双曲线的顶点,思考,(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,你认为对吗?为什么?,不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.,答案,思考,(2)双曲线是否只有两个顶点?双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗?,是,只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上,只能在实轴上.,答案,梳理,(0,

3、a),(a,0),(a,0),(0,a),知识点三 渐近线与离心率,思考1,能否和椭圆一样,用a,b表示双曲线的离心率?,答案,思考2,离心率对双曲线开口大小有影响吗?满足什么对应关系?,答案,梳理,(2)离心率:双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率,用e表示(e1).,(3)双曲线的几何性质见下表:,题型探究,类型一 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质,例1 求双曲线nx2my2mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.,解答,引申探究 将本例改为“求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”,请给出解答

4、.,解答,由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2a2b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.,反思与感悟,跟踪训练1 求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,解答,由此可知,实半轴长a4,虚半轴长b3;,类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程,例2 求下列双曲线的标准方程.,解答,解得20或7(舍去),,解答,则c210k,b2c2a2k. 于是,设所求双曲线方程为,(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组

5、),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧,反思与感悟,渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0). 渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0).,点M(3,2)在双曲线上,,解答,a23b2. 又直线AB的方程为bxayab0,解组成的方程组,得a23,b21.,解答,类型三 共轭双曲线与等轴双曲线,解答,命题角度1 共轭双曲线,又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线,,反思与感悟,答案,解析,命题角度2 等轴双曲线 例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上,且焦点到渐近线的距离是 ,求此双曲线的方程.,解答,反思与感悟,(1)实轴和

6、虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. (2)等轴双曲线的性质:渐近线方程为yx;渐近线互相垂直;离心率e . (3)等轴双曲线的特征是ab,等轴双曲线的方程可以设为x2y2(0).当0时,双曲线的焦点在x轴上;当0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交; 0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切; 时,直线l只与双曲线一支相交,交点有两个; 如图,0,,方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为P(x,y),得4(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2),,整理得4x2y2y0(y0.综上可知,所求直线的方程为4xy70.,(2)过定点Q(1,1)

7、能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1,Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.,解答,假设这样的直线l存在,设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0, 2(x1x2)(y1y2)0. 若直线Q1Q2垂直于x轴, 则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1,1),,直线Q1Q2的方程为y12(x1),即y2x1.即2x24x30,16240. 直线l与双曲线没有公共点,因此这样的直线不存在.,当堂训练,方程表示双曲线,,答案,解析,A.4 B.3 C.2 D.1,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,3.等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0),则其标准方程为,2,3,4,5,1,等轴双曲线的焦点为(6,0),c6, 2a236,a218.,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,答案,解析,2,3,4,5,1,规律与方法,双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等,与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系,转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立关系求解. (2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.,