1、第二章 2.2 椭圆,2.2.2 椭圆的简单几何性质(一),学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形. 2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标,(1)范围：axa，byb； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b).,答案,思考2,在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？,在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)
2、.,答案,梳理,椭圆的简单几何性质,(c，0),(0，c),2a,2b,a,b,b,a,知识点二 椭圆的离心率,思考,如何刻画椭圆的扁圆程度？,用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.,答案,梳理,(1)椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率.,扁,题型探究,类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质,例1 求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，四个顶点坐标分别是(4，0)，(4，0)，(0，3)和(0，3).,解答,引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点
3、和顶点坐标.,解答,解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.,反思与感悟,跟踪训练1 求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.,顶点坐标(0，9)，(0，9)，(3，0)，(3，0).,解答,类型二 椭圆的几何性质简单应用,命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为 求这个椭圆的方程.,解答,由椭圆的对称性知|B1F|B2F|， 又B
4、1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，,此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.,反思与感悟,跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；,解答,(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.,bc6，a2b2c272，,解答,命题角度2 对称性问题 例3 讨论方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.,用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改变了原方程，因此方程
5、x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称. 同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称. 而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称.,解答,研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“y”代替方程中“y”，用“x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.,反思与感悟,跟踪训练3 曲线x22y10的对称轴为 A.x轴 B.y轴 C.直线yx D.无法确定,答案,解析,保持y不变，以“x”代替方程中“
6、x”，方程不变，故该曲线关于y轴对称.,命题角度3 最值问题,解答,求解椭圆的最值问题的基本方法有两种 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.,反思与感悟,(1)求f(m)的解析式；,解答,设点A，B，C，D在x轴上的射影分别为A(x1，0)，B(x2，0)
7、，C(x3，0)，D(x4，0)，又x1x40，且x1x2x30)，则此椭圆的离心率为,2.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是,答案,解析,2,3,4,5,1,3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为_.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,4.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_.,答案,解析,2,3,4,5,1,5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(10，0)，则焦点坐标为_.,答案,解析,规律与方法,1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理. 2.椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体灵活应用. 3.利用正弦、余弦定理处理PF1F2的有关问题. 4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为ac，最小距离为ac.,
