1、2017-2018 学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1计算 a6a2 的结果是（ ）Aa 3 Ba 4 Ca 8 Da 122二元一次方程 2x+y11 的非负整数解有（ ）A1 个 B2 个 C6 个 D无数个3如图，工人师傅做了一个长方形窗框 ABCD，E、F、G、H 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）AA、C 两点之间 BE、G 两点之间CB、F 两点之间 DG 、H 两点之间4方程 3x+2y1 和 2xy+3 的公共解是（ ）A B C D5若将代数式中的任意两个字母互相替换
2、，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式、如在代数式 a+b+c 中，把 a 和 b 互相替换，得 b+a+c；把 a 和 c 互相替换，得 c+b+a；把 b 和c；a+ b+c 就是完全对称式、下列三个代数式：（ab） 2；ab+bc+ca；a 2b+b2c+c2a 其中为完全对称式的是（ ）A B C D6已知方程组 的解满足 x+y3，则 k 的值为（ ）A10 B8 C2 D87甲，乙两人练习跑步，若乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒就可以追上乙；若乙先跑 2 秒，则甲跑 4 秒就可追上乙若设甲的速度为 x 米/ 秒，乙的速度为 y 米/秒，则下列方程组中正确的是（ ）A BC D8现
3、有一张边长为 a 的大正方形卡片和三张边长为 b 的小正方形卡片（ aba）如图 1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图 2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图 3已知图 3 中的阴影部分的面积比图 2 中的阴影部分的面积大 2ab15，则小正方形卡片的面积是（ ）A10 B8 C2 D5二、填空题（每题 3 分，共 30 分）9某细胞的直径约为 0.0000102 米，用科学记数法表示为 米10计算：101 299 2 11若（a2）x |a|1 +3y1 是二元一次方程，则 a 12已知（m+n） 27，（mn） 23，则 m2+n2 13如
4、图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果127，那么2 14设 A（x 3）（x 7）， B（x2）（x8），则 A、B 的大小关系为 15如图，面积为 3cm2 的ABC 纸片沿 BC 方向平移至DEF 的位置，平移的距离是 BC 长的 2倍，则ABC 纸片扫过的面积为 16如果 4x2mxy+9y 2 是一个完全平方式，则 m 17如果方程组 的解中 x 与 y 的值相等，那么 a 的值是 18对于正整数 m，若 mpq（pq0，且 p，q 为整数），当 pq 最小时，则称 pq 为 m 的“最佳分解”，并规定 f（m） （如：12 的分解有 121，62，
5、43，其中，43 为 12 的最佳分解，则 f（12） ）关于 f（m）有下列判断：f（27）3；f （13） ；f（2018） ； f（2）f（32）；若 m 是一个完全平方数，则 f（m）1其中，正确判断的序号是 三、解答题（共 96 分）19（8 分）计算（1）（3.14） 0+（4） 2（ ） 1（2）（x3） 2（x +2）（x 2）20（8 分）因式分解（1）a 225（2）xy 24xy+4 x21（8 分）解方程组（1）（2）22（8 分）先化简再求值：4（a+2） 27（a+3）（a3）+3（a1） 2，其中 a 是最小的正整数23（8 分）如图，EGBC 与点 G，BFGD
6、AC， AD 平分BAC，试判断 AD 与 BC 的位置关系，并说明理由24（8 分）小明和小丽同解一个二元一次方程组 ，小明正确解得 ，小丽因抄错了 c，解得 已知小丽除抄错 c 外没有发生其他错误，求 a+b+c 的值25（12 分）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式比如图可以解释为：（a+2b）（a+b）a 2+3ab+2b2（1）则图 可以解释为等式： （2）在虚线框中用图中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为 3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式 3a2+7ab+2b2 因式分
7、解：3a 2+7ab+2b2 （3）如图 ，大正方形的边长为 m，小正方形的边长为 n，若用 x、y 表示四个长方形的两边长（xy），结合图案，指出以下关系式：（1）xy ；（2）x+ym ；（3）x 2y 2mn；（4）x 2+y2其中正确的关系式的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个26（12 分）先阅读下面的内容，再解决问题：例题：若 m2+2mn+2n26n+90，求 m 和 n 的值m 2+2mn+2n26n+90m 2+2mn+n2+n26n+90（m+n） 2+（n3） 20m +n0，n30m 3，n3根据你的观察，探究下面的问题：（1）若 x2+4x+4+y28
8、y+16 0，求 的值（2）试说明不论 x，y 取什么有理数时，多项式 x2+y22x +2y+3 的值总是正数（3）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，满足 a2+b210a+8b41，且 c 比 a、b 都大，求 c 的取值范围27（12 分）某校七年级 400 名学生到郊外参加植树活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 105 人，用 1 辆小客车和 2 辆大客车每次可运送学生 110 人（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？（2）若计划租小客车 m 辆，大客车 n 辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：请你设计出所有的租车方案；若小客车每辆租金 150 元，大客
9、车每辆租金 250 元，请选出最省线的租车方案，并求出最少租金28（12 分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯如图 1 所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯 A 转动的速度是每秒 2 度，灯 B 转动的速度是每秒 1 度假定主道路是平行的，即 PQMN，且BAM：BAN2：1（1）填空：BAN ；（2）若灯 B 射线先转动 30 秒，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线到达 BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3
10、）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线到达 AN 之前若射出的光束交于点 C，过 C 作ACD 交 PQ 于点 D，且ACD120，则在转动过程中，请探究 BAC 与BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由2017-2018 学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可【解答】解：a 6a2a 62 a 4故选：B【点评】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键2【分析】最小的非负整数为 0，把 x
11、0，x1，x 2， x3依次代入二元一次方程2x+y11，求 y 值，直至 y 为负数，从而得到答案【解答】解：最小的非负整数为 0，当 x0 时，0+y 11，解得：y 11，当 x1 时，2+y 11，解得：y 9，当 x2 时，4+y 11，解得：y 7，当 x3 时，6+y 11，解得：y 5，当 x4 时，8+y 11，解得：y 3，当 x5 时，10+y 11，解得：y 1，当 x6 时，12+y 11，解得：y 1（不合题意，舍去）即当 x6 时，不合题意，即二元一次方程 2x+y11 的非负整数解有 6 个，故选：C【点评】本题考查解二元一次方程，正确掌握代入法是解题的关键3【
12、分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释【解答】解：工人师傅做了一个长方形窗框 ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在 E、G 两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性故选：B【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得4【分析】组成方程组求解即可【解答】解：解方程组 得 ，故选：D【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是正确求出方程组的解5【分析】由于将代数式中的任意两个字母互
13、相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，根据这个定义分别将 进行替换，看它们都有没有改变，由此即可确定是否完全对称式【解答】解：（ab） 2（ba） 2，是完全对称式；ab+bc+ca 中把 a 和 b 互相替换得 ab+bc+ca，是完全对称式；a2b+b2c+c2a 中把 a 和 b 互相替换得 b2a+a2c+c2b，和原来不相等，不是完全对称式；故正确故选：A【点评】此题是一个阅读材料题，考查了完全平方公式，难点在于读懂题意，然后才能正确利用题意解决问题6【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出 K 的数值【解答】解：由题意可得 ，2 得 y k ，得 x2，代入
14、得 y5，则 k 5，解得 k8故选：B【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答7【分析】此题中的等量关系：乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒就可以追上乙；乙先跑 2 秒，则甲跑 4 秒就可追上乙【解答】解：根据乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒就可以追上乙，得方程 5x5y+10；根据乙先跑 2 秒，则甲跑 4 秒就可追上乙，得方程 4x4y+2y可得方程组 故选：A【点评】此题是追及问题注意：无论是哪一个等量关系中，总是甲跑的路程乙跑的路程8【分析】根据题意、结合图形分别表示出图 2、3 中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，根据整式是混合运算法则计算即可【解答】解：图 3
15、 中的阴影部分的面积为：（ab） 2，图 2 中的阴影部分的面积为：（2ba） 2，由题意得，（ab） 2（2ba） 22ab15，整理得，b 25，则小正方形卡片的面积是 5，故选：D【点评】本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键二、填空题（每题 3 分，共 30 分）9【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定【解答】解：0.00001021.0210 5 ，故答案为：1.0210 5 【点评】本题考查用科学记数法表示
16、较小的数，一般形式为 a10n ，其中 1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定10【分析】直接利用平方差公式分解因式进而计算得出即可【解答】解：101 299 2（101+99）（10199）400故答案为：400【点评】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题关键11【分析】根据二元一次方程的定义知，未知数 x 的次数|a| 11，且系数 a20【解答】解：（a2）x |a|1 +3y1 是二元一次方程，|a |1 1 且 a20，解得，a2；故答案是：2【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有 2 个
17、未知数，未知数的项的次数是 1 的整式方程12【分析】利用完全平方公式计算即可求出所求【解答】解：（m+n） 2m 2+n2+2mn7，（m n） 2m 2+n22mn3，+得：2（m 2+n2）10 ，则 m2+n25，故答案为：5【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键13【分析】先根据三角形内角和定理求出4 的度数，根据平行线性质求出3，根据邻补角定义求出即可【解答】解：将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，127，490302733，ADBC，3433，2180903357，故答案为：57【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的
18、性质，邻补角的定义的应用，解此题的关键是能求3 的度数，难度适中14【分析】根据多项式乘以多项式的法则，先把 A、B 进行整理，然后比较即可得出答案【解答】解：A（x 3）（x 7）x 210x+21，B（x 2）（x8）x 210x+16，ABx 210x +21（x 2 10x+16）50，AB，故答案为：AB【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项15【分析】根据平移的性质可以知道四边形 ACED 的面积是三个ABC 的面积，ABC 纸片扫过的面积为四边形 ABDF 的面积5 个ABC 的面积；【解答】解：平移的距离是边 BC 长的两倍，BC
19、CEEF，四边形 ACED 的面积是三个ABC 的面积；ABC 纸片扫过的面积S 四边形 ABFD5315cm 2，【点评】考查了平移的性质，本题的关键是得出四边形 ACED 的面积是三个ABC 的面积然后根据已知条件计算16【分析】这里首末两项是 2x 和 3y 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 2x 和 3y 积的2 倍【解答】解：4x 2mxy+9y 2 是一个完全平方式，mxy22x 3y，m12【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，避免漏解17【分析】把 yx 代入方程组求出 a 的值即可【
20、解答】解：把 yx 代入方程组得： ，解得： ，则 a 的值是 3，故答案为：3【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值18【分析】先分解因数，进而找出最佳分解，即可得出结论【解答】解：27 的分解有 271，93，93 为 27 的最佳分解，则 f（12） ，故说法错误；13 的分解有 131，131 为 13 的最佳分解，则 f（13） ，故说法正确；2018 的分解有 20181，10092，10092 为 2018 的最佳分解，则 f（2018） ，故说法错误；2 的分解有 21，21 为 2 的最佳分解，则 f（2） ，32 的分解有
21、321，162，84，84 为 32 的最佳分解，则 f（22） ，f（2）f（32），故说法正确；m 是一个完全平方数，设 mn 2（m0），nn 为 m 的最佳分解，则 f（m） 1，故说法 正确，正确判断的序号为 ，故答案为【点评】此题主要考查了新定义，分解因数，完全平方数的特点，能正确分解因数是解本题的关键三、解答题（共 96 分）19【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值【解答】解：（1）原式1+16215；（2）原式x 26x +9x 2+46x +13【点评】此题考查了平方差公式，完全平方公式，以及
22、实数的运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键20【分析】（1）两项考虑平方差公式；（2）提取公因式 x 后，再用完全平方公式【解答】解：（1）原式（a+5）（a5）；（2）原式x（y 24y +4）x（y2） 2【点评】本题考查了因式分解的平方差公式和完全平方公式题目比较简单，掌握公式是关键21【分析】（1）用代入法求解方程组比较简便；（2）变形 2x+y1，可用代入法求解，亦可2用加减法求解【解答】解：（1） ，把代入 ，得 2（1y ）+4y 5，解得，y ，把 y 代入，得 x1 原方程组的解为 （2）由，得 y12x ，把代入 ，得 5x+2（12 x）3，解得 x1把 x1 代入，得
23、 y1211所以原方程组的解为 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，题目相对简单，掌握代入、加减消元法是解决本题的关键22【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并同类项，再进一步代入求得数值即可【解答】解：原式4（a 2+4a+4）7（a 29）+3 （a 22a+1）4a 2+16a+167a 2+63+3a26a+310a+82，最小的正整数是 1，则 a1，原式10+8292，【点评】此题考查整式的混合运算，注意先利用公式计算，再进一步代入求得数值即可23【分析】根据角平分线的定义可得BADDAC，从而可得BFGBAD，再根据同位角相等，两直线平行可得 EG AD，然后
24、根据 EGBC 即可证明 ADBC【解答】解：ADBC理由如下：AD 平分BAC，BADDAC，BFGDAC，BFGBAD，EGAD ，EGCADC，又EGBC，EGC90，ADC90，ADBC【点评】本题考查了平行线的判定与角平分线的定义，找出相等的角是解题的关键24【分析】因为小明的解正确，所以可以代入任何一个方程，代入可求 c 的值，代入得ab2；因为小丽抄错了 c，因此可以代入中，得 a3b1，建立方程组，可以得出 a、b的值，从而求出结论【解答】解：将 代入 cx3y2得，c+32，c5，将 代入 ax+by2得， ab2 ，将 代入得，2a6b2，a3b1，将， 联立， ，解之得
25、，所以 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，要求方程组的字母系数，通常采用代入法，将正确的解代入即可25【分析】（1）看图即可得出所求的式子；（2）画出的矩形边长分别为（3a+b）和（a+2b）即可；（3）根据图中每个图形的面积之间的关系即可判断出正确的有几个【解答】解：（1）由分析知：图所表示的等式为：（2a+b）（a+2b）2a 2+5ab+2b2；（2）示意图如下3a2+7ab+2b2（3a+b）（a+2b）；（3）D【点评】此题考查利用图形面积研究因式分解，同时也加深了对多项式乘多项式的理解26【分析】（1）已知等式利用完全平方公式整理配方后，求出 x 与 y 的值，即可求出所求；（
26、2）原式配方变形后，利用非负数的性质判断即可；（3）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，即可求出 c 的范围【解答】解：（1）已知等式整理得：（x+2） 2+（y4） 20，可得 x+20，y 40，解得：x2，y 4，则原式2；（2）（x1） 20，（y +1） 20，原式（x1） 2+（y +1） 2+110，则不论 x，y 取什么有理数时，多项式 x2+y22x+2y+3 的值总是正数；（3）已知等式整理得：（a5） 2+（b4） 20，可得 a50，b40，解得：a5，b4，则 c 的范围是 5c 9【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次
27、幂，以及三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键27【分析】（1）设每辆小客车能坐 x 人，每辆大客车能坐 y 人，根据题意可得等量关系：3 辆小客车座的人数+1 辆大客车座的人数105 人；1 辆小客车座的人数+2 辆大客车座的人数110 人，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2） 根据题意可得小客车 m 辆运的人数+大客车 n 辆运的人数400，然后求出整数解即可；根据 所得方案和小客车每辆租金 150 元，大客车每辆租金 250 元分别计算出租金即可【解答】解：（1）设每辆小客车能坐 x 人，每辆大客车能坐 y 人，据题意： ，解得： ，答：每辆小客车能坐 20 人，每辆大客
28、车能坐 45 人；（2） 由题意得： 20m+45n400，n ，m、n 为非负整数， 或 或 ，租车方案有三种：方案一：小客车 20 车、大客车 0 辆，方案二：小客车 11 辆，大客车 4 辆，方案三：小客车 2 辆，大客车 8 辆；方案一租金：150203000（元），方案二租金：15011+25042650（元），方案三租金：1502+25082300（元），方案三租金最少，最少租金为 2300 元【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出二元一次方程或方程组28【分析】（1）根据BAM+BAN180，BAM：BAN2：1，即可得到BAN
29、 的度数；（2）设 A 灯转动 t 秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 0t90 时，根据2t1（30+t），可得 t 30；当 90t150 时，根据 1（30+t）+（2t 180）180，可得t110；（3）设灯 A 射线转动时间为 t 秒，根据BAC 2t 120 ，BCD120BCDt60，即可得出BAC：BCD2：1，据此可得BAC 和BCD 关系不会变化【解答】解：（1）BAM+BAN180，BAM：BAN2：1，BAN180 60，故答案为：60；（2）设 A 灯转动 t 秒，两灯的光束互相平行，当 0 t90 时，如图 1，PQMN，PBDBDA，ACBD，CAM
30、BDA ，CAMPBD2t1（30+ t），解得 t30； 当 90t150 时，如图 2，PQMN，PBD+BDA 180，ACBD，CAN BDAPBD+CAN1801（30+t）+（2t180） 180，解得 t110，综上所述，当 t30 秒或 110 秒时，两灯的光束互相平行；（3）BAC 和BCD 关系不会变化理由：设灯 A 射线转动时间为 t 秒，CAN 180 2t，BAC60（1802t）2t 120，又ABC120t，BCA180ABCBAC180t，而ACD120，BCD120BCA120（180t）t 60 ，BAC：BCD2：1，即BAC2BCD，BAC 和BCD 关系不会变化【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
