1、2017-2018学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1（5分）设集合A0，1，B1，3，则AB 2（5分）tan 3（5分）设幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（4） 4（5分）函数f（x）x3sinx的奇偶性为 函数（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）5（5分）已知扇形的面积为4cm2，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为 cm6（5分）（）+log49log32 7（5分）已知单位向量，的夹角为
2、60，则| 8（5分）已知cos（），则sin（） 9（5分）如图，在ABC中，2，若，则 10（5分）不等式2xlog2（x+1）的解集是 11（5分）已知ABC的面积为16，BC8，则的取值范围是 12（5分）已知函数f（x）2sin（x）（0）与g（x）cos（2x+）（0）的零点完全相同，则g（） 13（5分）设函数f（x）ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数若f（1），且g（x）a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，则m的值为 14（5分）设a为实数，函数f（
3、x）（3x）|xa|a，xR，若f（x）在R上不是单调函数，则实数a的取值范围为 二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知函数f（x）的定义域为A，集合Bx|22x16，非空集合Cx|m+1x2m1，全集为实数集R（1）求集合AB和RB；（2）若ACA，求实数m取值的集合16（14分）已知向量（2，1），（sin（），2cos）（1）若，求证：；（2）若向量，共线求|17（15分）函数f（x）2sin（x+）（其中0，|），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点（0，1）（1）求f（x）的解析式；
4、（2）求f（x）的单调增区间：（3）求f（x）在（，0）的值域18（15分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p与投入a（单位：万元）满足p46，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足：Q，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？19（16分）已知关于x的函数g（x）mx22（m1）x+n为R上的偶函数，
5、且在区间1，3上的最大值为10设f（x）（1）求函数的解析式；（2）若不等式f（2x）k2x2在x1，1上恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数t，使得关于x的方程f（|2x1|）+3t20有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t的范围，如果不存在，说明理由20（16分）已知函数f（x）lg（1）求不等式f（f（x）+f（1g2）0的解集；（2）函数g（x）2ax（a0，a1），若存在x1，x20，1），使得f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x），讨论函数yh（h（x）2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）2017-2018学年江苏省扬州市高一（
6、上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1（5分）设集合A0，1，B1，3，则AB0，1，3【分析】找出两集合的并集即可【解答】解：设集合A0，1，B1，3，则AB0，1，3，故答案为：0，1，3【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2（5分）tan【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可【解答】解：tantan（2+）tan故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力3（5分）设幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（4）2【分析】设出幂函数的
7、解析式，由图象过（2，），确定出解析式，然后令x4即可得到f（4）的值【解答】解：设f（x）xa，因为幂函数图象过（2，），则有2a，a，即f（x），f（4）2故答案为：2【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式会根据自变量的值求幂函数的函数值4（5分）函数f（x）x3sinx的奇偶性为偶函数（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）【分析】定义域关于原点对称，奇奇偶，可得答案【解答】解：函数f（x）x3sinx的定义域关于原点对称，函数yx3，是奇函数，函数ysinx也是奇函数，由奇奇偶，函数f（x）x3sinx是偶函数故答案为：偶【点评】解决函数的奇偶性时，一定要注意定
8、义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，属于基础题5（5分）已知扇形的面积为4cm2，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为10cm【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，利用弧长公式，扇形的面积公式可求r，即可得解周长的值【解答】解：设扇形的弧长为l，半径为r，扇形圆心角的弧度数是，lr，S扇lr4，rr4，r216，r4其周长cl+2r2+810故答案为：10【点评】本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于基础题6（5分）（）+log49log32【分析】直接由分数指数幂和对数的运算性质计算得答案【解答】解：（）+log49log32故答案为：【点评】本题考查
9、了对数的运算性质，是基础题7（5分）已知单位向量，的夹角为60，则|【分析】根据平面向量的数量积求模长即可【解答】解：单位向量，的夹角为60，则+4+41+411cos60+417，|+2|故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题8（5分）已知cos（），则sin（）【分析】利用已知条件，对三角函数的关系式进行变换，利用sin进一步求出结果【解答】解：已知cos（），则sin（）cos（）cos（）故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于与基础题型9（5分）如图，在ABC中，2，若
10、，则【分析】，运用共线向量的知识可得和的值【解答】解：根据题意得：AD2DC，BE2EA，；，（+）+，；故答案为【点评】本题考查平面向量基本定理的应用10（5分）不等式2xlog2（x+1）的解集是1，+）【分析】构造函数g（x）log2（x+1）（2x），利用导数证明g（x）log2（x+1）（2x）在（1，+）上为增函数，且g（x）0，可得g（x）g（1），则x1，由此可得原不等式的解集【解答】解：令g（x）log2（x+1）（2x），则不等式2xlog2（x+1）g（x）0，g（x），故g（x）log2（x+1）（2x）在（1，+）上为增函数，又g（1）log22（21）0，g（x）0
11、g（x）g（1）x1不等式2xlog2（x+1）的解集是1，+）故答案为：1，+）【点评】本题考查对数不等式的解法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题11（5分）已知ABC的面积为16，BC8，则的取值范围是0，+）【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示ABC顶点的坐标，求出的取值范围【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设ABC边BC上的高为h，则面积为8h16，解得h4，又A（0，4），设C（x，0），则B（x8，0），xR；（x8，4），（x，4）；则x（x8）+16x28x+16（x4）20，的取值范围是0，+）故答案为：0，+）【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是
12、基础题12（5分）已知函数f（x）2sin（x）（0）与g（x）cos（2x+）（0）的零点完全相同，则g（）【分析】由已知可知两函数周期相等，求得，由两函数零点相同求得值，则g（）可求【解答】解：函数f（x）2sin（x）（0）与g（x）cos（2x+）（0）的零点完全相同，两函数周期相同，则2，f（x）2sin（2x），由，可得x，kZ；g（）cos（）cos（）0，则，kZ，kZ取k0，可得则g（x）cos（2x+）cos（2x），g（）cos（）cos故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，是中档题13（5分）设函数f（x）ax（k1）a
13、x（a0且a1）是定义域为R的奇函数若f（1），且g（x）a2x+a2x2mf（x）在1，+）上的最小值为2，则m的值为2【分析】由奇函数的性质可得f（0）0，可得k2，由条件解方程可得a2，求得g（x）22x+22x2m（2x2x），可令t2x2x，由x1，可得t，可得函数yt2+22mt，讨论对称轴与区间的关系，结合单调性可得最小值，解方程可得m的值【解答】解：函数f（x）ax（k1）ax（a0且a1）是定义域为R的奇函数，可得f（0）0，即1（k1）0，可得k2，则f（x）axax，由f（1），可得aa1，解得a2，则g（x）a2x+a2x2mf（x）22x+22x2m（2x2x），可令
14、t2x2x，由x1，可得t，可得函数yt22mt+2，当m时，g（x）的最小值为2m2，由2m22，解得m2（2舍去）；当m时，g（x）的最小值为3m+2，由3m+22，解得m成立故答案为：2【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性，考查换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题14（5分）设a为实数，函数f（x）（3x）|xa|a，xR，若f（x）在R上不是单调函数，则实数a的取值范围为a|a3【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式即f（x），结合二次函数的性质分析其对称轴，综合即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）（3x）|xa|a，二次函数yx2（a+
15、3）x+2a的对称轴为xa，二次函数yx2+（a+3）x4a的对称轴也为x，若a，即a3时，二次函数yx2（a+3）x+2a在（0，a）上不单调，符合题意；若a，即a3时，二次函数yx2+（a+3）x4a在（a，+）上不单调，符合题意；若a，即a3时，二次函数yx2（a+3）x+2a在（0，a）上单调减，二次函数yx2+（a+3）x4a在（a，+）上单调减，此时函数f（x）在R上单调递减，不符合题意；则a的取值范围为a|a3；故答案为：a|a3【点评】本题考查分段函数的应用，涉及函数的单调性的性质，注意结合二次函数的性质进行分析二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证
16、明过程或演算步骤）15（14分）已知函数f（x）的定义域为A，集合Bx|22x16，非空集合Cx|m+1x2m1，全集为实数集R（1）求集合AB和RB；（2）若ACA，求实数m取值的集合【分析】（1）解不等式分别求出AB，进而可得集合AB和RB；（2）若ACA，则CA，分C和C两种情况分别求出满足条件的m，可得答案【解答】解：（1）由x2+5x60得：2x3，故A2，3，集合Bx|22x161，4，则AB2，3，RB（，1）（4，+）；（2）若ACA，则CA当m+12m1，即m2时，C满足条件；当m2时，C，则，解得：1m2，m2，综上可得：m2【点评】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，
17、难度不大，属于基础题16（14分）已知向量（2，1），（sin（），2cos）（1）若，求证：；（2）若向量，共线求|【分析】（1）向量（2，1），时，（sin，2cos）（，），由0能证明（2）由向量，共线得sin4cos，从而sin2+cos217cos21，进崦sin2，cos2，由此能求出|【解答】证明：（1）向量（2，1），（sin（），2cos），（sin，2cos）（，），2+1（）0解：（2）向量（2，1），（sin（），2cos）向量，共线，即，sin4cos，sin2+cos217cos21，sin2，cos2，|【点评】本题考查向量垂直的证明，考查向量模的求法，考查向量垂
18、直、向量共线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题17（15分）函数f（x）2sin（x+）（其中0，|），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点（0，1）（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调增区间：（3）求f（x）在（，0）的值域【分析】（1）利用正弦函数的周期性求的，根据图象经过定点，求得的值，可得函数的解析式（2）利用正弦函数的单调性求的f（x）的单调增区间（3）利用正弦函数的定义域以及值域，求的f（x）在（，0）的值域【解答】解：（1）函数f（x）2sin（x+）（其中0，|），若函数f（x）的图象与x
19、轴的任意两个相邻交点间的距离为，2，2再根据图象过点（0，1），可得12sin，即sin，f（x）2sin（2x+）（2）令2k2x+2k+，求得 kxk+，故f（x）的单调增区间为k，k+，kZ（3）在（，0）上，2x+（，），故当2x+时，函数取得最小值为2，当2x+ 趋于时，函数趋于最大值1，股函数f（x）的值域为2，1）【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域以及值域，属于基础题18（15分）近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益p
20、与投入a（单位：万元）满足p46，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足：Q，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？【分析】（1）根据收益公式计算；（2）得出f（x）的解析式，判断f（x）在定义域上的单调性，从而可得f（x）取得最大值时对应的x的值，从而得出最佳投资方案【解答】解：（1）当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，此时公司总收益：f（x）46+4166+28+288（万元）（2）甲城市的投入为x，则乙城市投资240x万元，当80
21、x120时，f（x）46+（240x）+24x+56，f（x）20恒成立，f（x）在80，120上单调递增，f（x）maxf（120）16+26，当120x160时，f（x）46+324+26，f（x）在（120，160上单调递增，f（x）maxf（160）4+2616+26，16+2616+26，该公司在甲城市投资160万元，在乙城市投资80万元，总收益最大【点评】本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题19（16分）已知关于x的函数g（x）mx22（m1）x+n为R上的偶函数，且在区间1，3上的最大值为10设f（x）（1）求函数的解析式；（2）若不等式f（2x）k2x2在x1，
22、1上恒成立，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数t，使得关于x的方程f（|2x1|）+3t20有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t的范围，如果不存在，说明理由【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可得m的值在区间1，3上的最大值为10，即可求解n，可得解析式；（2）利用换元法，分离参数即可求解实数k的取值范围；（3）利用换元法，转化为函数图象交点的问题根据函数与方程之间的关系，进行转化，利用参数分离法进行求解即可【解答】解：（1）函数g（x）mx22（m1）x+n为R上的偶函数，可得m10，即m1则g（x）x2+n，由g（x）在区间1，3上的最大值为10即g（3）10，可得n1函
23、数的解析式为g（x）x2+1；（2）由f（x）不等式f（2x）k2x2在x1，1上恒成立，即在x1，1上恒成立，k设，x1，1s，2则s22s+1（s1）20，1；k1，即所求实数k的取值范围为1，+）（3）由方程f（|2x1|）+3t20，可得|2x1|+3t20，可化为：|2x1|2（3t+2）|2x1|+（2t+1）0（|2x1|0），令r|2x1|，则r2（3t+2）r+（2t+1）0，r（0，+），方程f（|2x1|）+3t20有四个不相等的实数根；则关于r的方程r2（3t+2）r+（2t+1）0必须有两个不相等的实数根r1和r2，并且0r11，0r21，记h（r）r2（3t+2）r
24、+（2t+1）0，r（0，+），其对称轴，可得：即解得：故得存在实数t的范围为（，）【点评】本题主要考查函数解析式的求解，函数恒成立以及函数与方程的应用，利用参数转化法是解决本题的关键考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大20（16分）已知函数f（x）lg（1）求不等式f（f（x）+f（1g2）0的解集；（2）函数g（x）2ax（a0，a1），若存在x1，x20，1），使得f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x），讨论函数yh（h（x）2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）【分析】（1）求得f（x）的定义域和值域、单调性，由题意可得0.1，解不等式即可得到
25、所求范围；（2）求得当0x1时，f（x）的值域；以及讨论a1，0a1时，g（x）的值域，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即可得到所求范围；（3）由yhh（x）2，得hh（x）2，令th（x），则h（t）2，作出图象，分类讨论，即可求出零点的个数【解答】解：（1）函数f（x）lg，由0，可得1x1，f（x）lgf（x），即f（x）为奇函数，且0x1时，f（x）lg（1+）递减，可得f（x）在（1，1）递减，且f（x）的值域为R，不等式f（f（x）+f（1g2）0，即为f（f（x）f（lg2）f（lg2），则1f（x）lg2，即1lglg，即为0.1，解得x，则原不等式的解集为（，）；
26、（2）函数g（x）2ax（a0，a1），若存在x1，x20，1），使得f（x1）g（x2）成立，当0x1，f（x）lg的值域为（，0，当a1时，g（x）在0，1）递减，可得g（x）的值域为（2a，1，由题意可得f（x）和g（x）的值域存在交集，即有2a0，即a2；若0a1，则g（x）在0，1）递增，可得g（x）的值域为1，2a），由题意可得f（x）和g（x）的值域不存在交集，综上可得a的范围是（2，+）；（3）由yhh（x）2，得hh（x）2，令th（x），则h（t）2，作出图象，当k0时，只有一个1t0，对应1个零点，当0k1时，1k+12，此时t11，1t20，t31，由k+1（k+）（k），得在k1，k+1，三个t分别对应一个零点，共3个，在0k时，k+1，三个t分别对应1个，1个，3个零点，共5个，综上所述：当k1或k0或k时，yhh（x）2只有1个零点，当k0或k1时，yhh（x）2有3个零点，当0k时，yhh（x）2有5个零点【点评】本题主要考查函数的定义域和奇偶性、单调性，以及不等式的解法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题
